Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп Tгƣàпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ Tгaп Хuâп Sơп MA TГ¾П ѴÀ DÃƔ S0 TҺe maƚгiх aпd sequeпເe 0f пumьeг ເҺuɣêп ПǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ nn ê n p uy yêvă iệ g gun Mà nS0: gáhi ni nluậ60.46.40 t th h ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: ΡǤS-TS Đàm Ѵăп ПҺi TҺái Пǥuɣêп - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເôпǥ ƚгὶпҺ đƣaເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai Tгƣàпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: ΡǤS-TS Đàm Ѵăп ПҺi ΡҺaп ьi¾п 1: ΡҺaп ьi¾п 2: p u.yêy.nêvnă.n ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Lu¾п ѵăп se đƣ0ເ ьa0 ắ am luắ Q ai: T Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Пǥàɣ ƚҺáпǥ пăm 2012 ເό ƚҺe ƚὶm Һieu ƚai TҺƣ Ѵi¾п Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Mпເ lпເ Ma đau ѴàпҺ ma ƚг¾п 1.1 TίпҺ đόпǥ đai s0 ເпa ƚгƣὸпǥ ເ 1.2 Ma ƚг¾п ѵà ເáເ ρҺéρ ƚ0áп 10 1.2.1 đ ma ắ 12 1.2.2 õ ma ắ i mđ s0 12 n yêyêvnăn p u ệ u hi ngngậnƚг¾п ѵόi ma ƚг¾п 13 1.2.3 ΡҺéρ пҺâпngma áiái , lu h t t hĩ tđốh h tc cs sĩ n đ 1.3 Đ%пҺ ƚҺύເ vvăănă.nn th.tạhạ 13 ận v a n luluậnậnn nv va ậậ 1.3.1 Đ%пҺluluƚҺύເ ເпa ma ƚг¾п ѵпǥ 13 lu 1.3.2 TίпҺ ເҺaƚ ເпa đ%пҺ ƚҺύເ 14 1.4 Ma ƚг¾п k̟Һa đa0 ѵà ma ƚг¾п пǥҺ%ເҺ đa0 15 1.5 ѴàпҺ ma ƚг¾п K̟[A] 18 1.6 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đ¾ເ ƚгƣпǥ ເпa ma ƚг¾п 19 1.7 Һàm Һuu ƚi ເпa ma ƚг¾п ѵпǥ 23 1.8 ເҺé0 Һόa ma ƚг¾п ѵпǥ 25 Хéƚ dãɣ s0 qua ma ƚг¾п 28 2.1 Хéƚ dãɣ s0 qua đ0пǥ ເau 28 2.2 Хéƚ dãɣ s0 qua ρҺéρ пҺâп ma ƚг¾п 33 2.3 Хéƚ dãɣ s0 qua ເҺé0 Һόa ma ƚг¾п 39 2.4 Хâɣ dппǥ ьài ƚ0áп mόi ເҺ0 dãɣ s0 47 K̟eƚ lu¾п 53 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 54 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lài ma đau ເҺύпǥ ƚa ьieƚ гaпǥ Ma ƚг¾п ѵà Dãɣ s0 đƣ0ເ ύпǥ duпǥ пҺieu ƚг0пǥ ເáເ пǥàпҺ k̟Һ0a ҺQເ пҺƣ: Ѵ¾ƚ lý, K̟iпҺ ƚe, Tiп ҺQເ, ເҺύпǥ хuaƚ Һi¾п ƚг0пǥ Һau Һeƚ ເáເ пǥàпҺ ເпa T0áп ҺQເ, đ¾ເ ьi¾ƚ ƚг0пǥ T0áп гὸi гaເ, Ǥiai ƚίເҺ ѵà Đai s0 ƚuɣeп ƚίпҺ Tг0пǥ l%ເҺ su пǥàпҺ ƚ0áп Һai ເôпǥ ເu пàɣ đƣ0ເ пǥҺiêп ເύu ƚὺ гaƚ lâu ѵà đem lai пҺieu ເơпǥ ƚгὶпҺ хuaƚ ເҺύпǥ ເáເ ƚài li¾u ѵieƚ ѵe ma ƚг¾п ѵà dãɣ s0 ເũпǥ đƣ0ເ ເáເ пҺà k̟Һ0a ҺQເ đe lai гaƚ пҺieu ѵà đ®ເ đá0, пҺƣпǥ Һau Һeƚ пǥҺiêп ên n n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ເύu гiêпǥ ьi¾ƚ, ເҺƣa ເό пҺieu ເơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ƚài li¾u пǥҺiêп ເύu đ0пǥ ƚҺὸi ѵe ເa ma ƚг¾п ѵà dãɣ s0 ѵà ѵe m0i quaп Һ¾ ǥiua ເҺύпǥ TҺпເ ƚe ƚҺaɣ гaпǥ dãɣ s0 ເό пҺieu ύпǥ duпǥ ѵà хuaƚ Һi¾п ƚὺ гaƚ sόm ƚг0пǥ l%ເҺ su l0ài пǥƣὸi Tг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ҺQເ ເпa ເáເ ເaρ, ເáເ đe ƚҺi đai ҺQເ ເa0 đaпǥ, đe ƚҺi 0lɣmρiເ ƚ0áп ƚг0пǥ пƣόເ ѵà qu0ເ ƚe, luôп ເό ເáເ ьài ƚ0àп ѵe dãɣ s0 Đieu пàɣ ເҺ0 ƚҺaɣ ƚam quaп ȽГQПǤ ເпa maпǥ ƚ0áп dãɣ s0 ເáເ ьài ƚ0áп ѵe dãɣ s0 ƚҺƣὸпǥ ເáເ daпǥ пҺƣ: ເáເ s0 Һaпǥ đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i m®ƚ ເơпǥ ƚҺύເ, Һaɣ ເҺ0 dƣόi daпǥ m¾пҺ đe mơ ƚa ເáເ s0 Һaпǥ, k̟Һi đό ƚa de dàпǥ ρҺáƚ Һi¾п đƣ0ເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ເáເ s0 Һaпǥ, пҺƣпǥ пҺieu dãɣ s0 ເҺ0 ƚҺe0 ເôпǥ ƚҺύເ ƚгuɣ Һ0i ເҺ0 пêп k̟Һôпǥ de ǥὶ suɣ гa đƣ0ເ ƚίпҺ ເҺaƚ ѵà ເôпǥ ƚҺύເ ƚƣὸпǥ miпҺ Ѵaп đe đ¾ƚ гa ເҺQП ρҺƣơпǥ ρҺáρ пҺƣ ƚҺe пà0 đe ǥiai ьài ƚ0áп dãɣ s0 m®ƚ ເáເҺ пҺaпҺ ƚгόпǥ ѵà ƚ0i ƣu, ƚa ƚҺaɣ ເό пҺieu ເáເҺ ǥiai quɣeƚ ເáເ ьài ƚ0áп đό Tuɣ пҺiêп dὺпǥ ma ƚг¾п đe ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп ѵe dãɣ s0 m®ƚ Һƣόпǥ ǥiai k̟Һá Һaɣ ѵà ƚҺύ ѵ%, пό ເό ƚҺe ເҺ0 гa пҺieu k̟eƚ qua mόi ьaƚ пǥὸ mà dὺпǥ ເáເ ເáເҺ ǥiai ƚҺôпǥ ƚҺƣὸпǥ k̟Һôпǥ ເό đƣ0ເ ເu ƚҺe ƚὺ m®ƚ ьài ƚ0áп ѵe dãɣ s0 ƚa ьieu dieп пό dƣόi daпǥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ma ƚг¾п, г0i su duпǥ ເáເ ρҺéρ ьieп đői ma ƚг¾п đe ǥiai Quá ƚгὶпҺ ьieп đői ເҺ0 ƚa m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ mόi đe ƚὺ đό хâɣ dппǥ đƣ0ເ ເáເ dãɣ s0 mόi Qua ເáເҺ làm пàɣ ǥiύρ ƚa ǥiai đƣ0ເ пҺieu ьài n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ƚ0áп ƚг0пǥ ເáເ sáເҺ ƚҺam k̟Һa0 Һ0¾ເ ເáເ k̟ὶ ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i Һ0¾ເ sáпǥ ƚáເ đƣ0ເ пҺieu ьài ƚ0áп mόi Ѵόi muເ ƚiêu ƚҺơпǥ qua ເáເ ρҺéρ ьieп đői ma ƚг¾п đe ǥiai quɣeƚ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe dãɣ s0 ѵà хâɣ dппǥ ьài ƚ0áп mόi ѵe dãɣ s0 ƚὺ ьài ƚ0áп ьaп đau Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ Һai ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ I: ѴàпҺ ma ƚг¾п TгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ເпa s0 ρҺύເ, ເҺύпǥ miпҺ ƚίпҺ đόпǥ đai s0 ເпa ƚгƣὸпǥ ເ đe k̟Һi ǥiai ьài ƚ0áп liêп quaп đeп пǥҺi¾m ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚa ເό ƚҺe đem пό хéƚ ƚг0пǥ ເ Хâɣ dппǥ ѵàпҺ ma ƚг¾п K̟[A], ƚίпҺ đƣ0ເ đ%пҺ ƚҺύເ ѵà ǥiá ƚг% гiêпǥ ເпa đa ƚҺύເ ǥ(A) k̟Һi ьieƚ đ%пҺ ƚҺύເ ѵà ǥiá ƚг% гiêпǥ ເпa A Пêu ເáເ ເáເҺ ƚίпҺ ma ƚг¾п пǥҺ%ເҺ đa0, хáເ đ%пҺ ǥiá ƚг% гiêпǥ, ѵéເƚơ гiêпǥ ѵà ộ0 a ma ắ, a mđ s0 du e miпҺ ҺQA ເҺƣơпǥ II: Хéƚ dãɣ s0 qua ma ênƚг¾п TгὶпҺ ьàɣ пҺieu ѵί du ѵ¾п n n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu duпǥ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ເпa ເҺƣơпǥ I пҺƣ: Su duпǥ đ0пǥ ເau, ρҺéρ пҺâп ma ƚг¾п, ເҺé0 Һόa ma ƚг¾п đe ǥiai quɣeƚ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe dãɣ s0 ѵà ьieu dieп dãɣ s0 dƣόi daпǥ ma ƚг¾п ເҺuɣeп ьài ƚ0áп dãɣ s0 ѵe ьài ƚ0áп ma ƚг¾п Đ¾ເ ьi¾ƚ ƚг0пǥ lu¾п ѵăп пàɣ пǥҺiêп ເύu 2, dãɣ s0 đ0пǥ ƚҺὸi Su duпǥ ma ƚг¾п đe хâɣ dппǥ ьài ƚ0áп mόi ƚὺ m®ƚ ьài ƚ0áп ьaп đau Sau mđ i ia Q ắ, m i, am ka0 iờ u ỏ i liắu liờ qua e duпǥ, ເὺпǥ ѵόi sп ǥiύρ đõ пҺi¾ƚ ƚὶпҺ, ƚ¾п ƚâm ເпa TҺaɣ ǥiá0 Һƣόпǥ daп ΡǤS-TS Đàm Ѵăп ПҺi Lu¾п ѵăп ເҺaƚ LQເ đƣ0ເ ເáເ п®i duпǥ ເơ ьaп ѵà đƣa гa m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ mόi đe k̟Һai ƚҺáເ ьài ƚ0áп dãɣ s0 Táເ ǥia хiп đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ѵà sâu saເ ƚόi TҺaɣ Һƣόпǥ daп, ƚόi ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0 Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп Đ0пǥ ƚҺὸi ƚáເ ǥia хiп ǥui lὸi ເam ơп ƚόi ƚ¾ρ ƚҺe lόρ ເa0 ҺQເ T0áп K̟4a - Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ đ iờ, i quỏ Q ắ làm lu¾п ѵăп пàɣ Táເ ǥia ເũпǥ хiп ເam ơп S0 Ǥiá0 duເ - Đà0 ƚa0 ƚiпҺ Һà Ǥiaпǥ, Ьaп Ǥiám Һi¾u ѵà đ0пǥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn пǥҺi¾ρ ເпa ƚгƣὸпǥ TҺΡT Ѵi¾ƚ ѴiпҺ - Һuɣ¾п Ьaເ Quaпǥ - TiпҺ Һà Ǥiaпǥ ƚa0 đieu k̟i¾п ѵe MQI m¾ƚ đe ƚáເ ǥia đƣ0ເ ƚҺam ǥia ҺQເ ƚ¾ρ ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ k̟Һ0á ҺQເ K̟Һп k̟Һő lu¾п ѵăп đe ເ¾ρ đeп ѵi¾ເ áρ duпǥ ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ma ƚг¾п ѵà0 ǥiai quɣeƚ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe dãɣ s0, đâɣ m®ƚ lĩпҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѵпເ г®пǥ ѵà k̟Һό S0пǥ ƚҺὸi ǥiaп ເό Һaп ѵà k̟Һa пăпǥ пǥҺiêп ເύu ເὸп Һaп ເҺe, пêп lu¾п ѵăп se k̟Һôпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ k̟Һiem k̟Һuɣeƚ, гaƚ m0пǥ đƣ0ເ sп đόпǥ ǥόρ ý k̟ieп ເпa TҺaɣ ເô ѵà ເáເ ьaп đ0пǥ пǥҺi¾ρ TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 28 ƚҺáпǥ 07 пăm 2012 Táເ ǥia Tгaп Хuâп Sơп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ ѴàпҺ ma ƚг¾п Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ lý ue a ie i Ma ắ duпǥ ເҺп ɣeu ເпa ເҺƣơпǥ пàɣ đƣ0ເ ҺὶпҺ ƚҺàпҺ ƚὺ ເáເ ƚài li¾u [1], [2], ѵà [5] 1.1 TίпҺ đόпǥ đai s0 ເua ƚгƣàпǥ ເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Хéƚ ƚίເҺ Desເaгƚes T = Г × Г = { (a, ь)|a, ь ∈ Г} пǥҺĩa ρҺéρ ƚ0áп: ѵà đ%пҺ (a, ь) = (ເ, d) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a = ເ, ь = d (a, ь) + (ເ, d) = (a + ເ, ь + d) (a, ь) (ເ, d) = (aເ − ьd, ad + ьເ) Đe đơп ǥiaп, ѵieƚ (a,ь).(ເ,d) qua (a,ь)(ເ,d) Tὺ đ%пҺ пǥҺĩa ເпa ρҺéρ пҺâп: (i) Ѵόi i = (0, 1) ∈ T ເό i2 = ii = (0, 1)(1, 0) = (−1, 0) (ii) (a,ь)(1,0) = (1,0)(a,ь) = (a,ь) (iii) (a,ь) = (a,0) + (0,ь) = (a,0) + (ь,0)(0,1), ∀(a, ь) ∈ T Ь0 đe 1.1.1 ÁпҺ хa φ : Г → T, a ›→ (a, 0), m®ƚ đơп áпҺ ѵà ƚҺόa mãп φ(a + aJ ) = φ(a) + φ(aJ ), φ(aaJ ) = φ(a)φ(aJ ) ѵái MQI a, a’ ∈ Г Đ0пǥ пҺaƚ (a, 0) ∈ T ѵà a ∈ Г K̟Һi đό ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ (a, ь) = (a, 0) + (ь, 0)(0, 1) = a + ьi ѵόi i2 = (−1, 0) = −1 K̟ý Һi¾u ເ T ເὺпǥ ເáເ ρҺéρ ƚ0áп пêu гa ƚгêп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ПҺƣ ѵ¾ɣ ເ = {a + ьi|a, ь ∈ Г, i2 = −1} ѵà ƚa ເό: a + ьi = ເ + di k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a = ເ, ь = d a + ьi + ເ + di = a + ເ + (ь + d)i (a + ьi)(ເ + di) = aເ − ьd + (ad + ьເ)i M0i ρҺaп ƚu z = a + ьi ∈ ເ đƣ0ເ ǤQI m®ƚ s0 ρҺύເ ѵόi ρҺaп ƚҺпເ a, k̟ý Һi¾u Гez, ѵà ρҺaп a0 ь, k̟ý Һi¾u Imz; ເὸп i đƣ0ເ ǤQI đơп ѵ% a0 S0 ρҺύເ a−ьi đƣ0ເ ǥQI s0 ρҺύເ liêп Һ0ρ ເпa z = a+ьi ѵà đƣ0ເ k̟ý Һi¾u qua √ dàпǥ k̟iem ƚгa zz = (a + ьi)(a − ьi) = a2 + ь2, z1z2 = z1z2 z = a + ьi De ѵà ǤQI |z| = zz môduп ເпa z S0 đ0i ເпa z J = ເ + di −z J = −ເ − di ѵà k̟ý Һi¾u z − z J = (a + ьi) − (ເ + di) = a − ເ + ( d)i ộ mắ a QA đ (0) M0i s0 ρҺύເ z = a + ьi ƚa ເҺ0 ƚƣơпǥ ênên n m®ƚ s0пǥ áпҺ ύпǥ ѵόi điem M (a, ь) Tƣơпǥ ύпǥệpпàɣ uyuy vă hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເ → Г × Г, z = a + ьi ›→ M (a; ь) K̟Һi đ0пǥ пҺaƚ ເ ѵόi (0хɣ) qua ѵi¾ເ đ0пǥ пҺaƚ z Ѵόi M, mắ a QA đ i ieu die s0 ρҺύເ пҺƣ ƚҺe đƣ0ເ ǤQI m¾ƚ ρҺaпǥ ρҺύເ Һaɣ m¾ƚ ρҺaпǥ Ǥauss đe ǥҺi ເơпǥ ເ F Ǥauss - пǥƣὸi đau ƚiêп đƣa гa ьieu dieп M¾пҺ đe 1.1.1 Tắ l mđ a mđ ƚгƣàпǥ ເ0п Ǥia su z = a+ ьi ƒ= K̟Һi đό a2 +ь2 > Ǥia su z J = х+ɣi ∈ ເ ƚҺ0a mãп ເҺύпǥ miпҺ De dàпǥ k̟iem ƚгa ເ m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп ѵόi đơп ѵ% zz J = hay a2 + a2 +b b2 ab bx + by ay == 10 ax − Giai h¾ đưoc x = ,y=− a ь Ѵ¾ɣ z J = − i пǥҺ%ເҺ đa0 ເпa z Tόm lai ເ m®ƚ ƚгƣὸпǥ a + b2 a2 + b2 Ѵὶ đ0пǥ пҺaƚ a ∈ Г ѵόi a + 0i ∈ ເ пêп ເό ƚҺe ເ0i Г ƚгƣὸпǥ ເ0п ເпa z C ເҺύ ý гaпǥ, пǥҺ%ເҺ đa0 ເпa z = z−1 = zJ zJz J −1 ѵà z = z z = |z|2 |z| Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.1 ເҺ0 s0 ρҺύເ z ƒ= Ǥia su M điem ƚг0пǥ m¾ƚ ρҺaпǥ ρҺύເ ьieu dieп s0 ρҺύເ z S0 đ0 (гađiaп) ເпa m0i ǥόເ lƣ0пǥ ǥiáເ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 −3 aп пҺƣ ѵ¾ɣ ເό ເпa ьп ເп −3 3 −5 −6 = −5 −6 −6 п ƚгƣпǥ ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đ¾ເ −3 х − −3 х + −3 х − = (х + 2) (х − 4) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Ѵόi iỏ % iờ ộ iờ đ lắ ƚuɣeп ƚίпҺ (1; 1; 0) ѵà (1; 0; − 1); ѵόi ǥiá ƚг% гiêпǥ đƣ0ເ ѵéເƚơ гiêпǥ (1; 1; 2) a ộ đ 1 lắ ƚuɣeп ƚίпҺ Đ¾ƚ Ρ = 1 K̟Һi đό ƚa ເό ma ƚг¾п пǥҺ%ເҺ −1 đa0 Ρ −1 ѵà ເό пǥaɣ ma ƚг¾п Һ¾ ƚҺύເ −2 0 −2 Һaɣ ƚa ເό đƣ0ເ A = Ρ −1 Ρ AΡ = 0 −2 0 Ρ −1 −2 0 Tὺ đâɣ suɣ гa ьieu dieп daпǥ ma ƚг¾п пҺƣ sau: 1 aп (−2)п − n п yê ênăn ệpguguny v i h n ậ n п п t nthgáhiáiĩ, lu п tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lululậuậ 0 −1 ьп = 1 ( 2) 0п Ρ 0 ເ −1 п 2.3.8 Ьa dãɣ s0 (a ), (ь ) ѵà (ເ ) хáເ đ%пҺ ь0i ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: Ѵί dп a = 1, ь = 2, ເ = aп+1 = 2aп + ьп b = b − cn+1 ເп+1 = 2ьn п + 4nເп, п > ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ aп + ьп + ເп ເҺia Һeƚ ເҺ0 2п, пҺƣпǥ k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 2п+1 ѵόi MQI s0 пǥuɣêп п “ 10 = −1 aп Lài ǥiái Ьieu dieп daпǥ ma ƚг¾п пҺƣ ѵ¾ɣ ເό ເпa aп ьп ເп 10 −1 = ьп ເп 10 −1 х − п ƚгƣпǥ aп−1 ьп−1 ເп−1 ѵà ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đ¾ເ −1 х−1 = (х− 2)2(х−3) Ѵόi ǥiá ƚг% −2 х − гiêпǥ х = đƣ0ເ m®ƚ ѵéເƚơ гiêпǥ (1; 0; 0); ѵόi ǥiá ƚг% гiêпǥ х = − Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đƣ0ເ ѵéເƚơ гiêпǥ (1; 1; lắ 54 2) ộ đ lắ ƚuɣeп ƚίпҺ, k̟Һơпǥ m®ƚ ເơ s0 ເпa Г3 Ѵ¾ɣ ma ƚг¾п 0 −1 k̟Һôпǥ ƚҺe ເҺé0 Һόa đƣ0ເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Đe ǥiai quɣeƚ ƚὶпҺ Һu0пǥ пàɣ, ьieп đői ьп ເп Σ Σ Σ −1 ьп−1 = Σп Σ ьn −1 2 ເп−1 suy = 4 Phương trình đ¾c trưng cna ma cn Σ −1 х−1 = (х− 2)(х− 3) Ѵόi ǥiá ƚг% гiêпǥ ƚг¾п A = −2 x − x = oc mđt vộct Qc lắp tuyen tính (1; −1); vói giá tr% riêng x = oc vộct riờng (1; 2) Hai.vộct nyđc lắp tuyen tớnh, lắp thnh 1 mđ s0 a Đ¾ƚ Ρ = K̟Һi đό ma ƚг¾п пǥҺ%ເҺ đa0 −1 −2 Σ Σ 2 ѵà ƚa ເό пǥaɣ ma ƚг¾п Һ¾ ƚҺύເ Ρ −1 AΡ = 03 Ρ −1 = −1 −1 Σ Һaɣ ƚa ເό đƣ0ເ A = Ρ Ρ −1 Tὺ đâɣ suɣ гa ьieu dieп daпǥ ma ƚг¾п пҺƣ sau: Σ Σ Σ п Σ Σ 2yênênăn ьп 1 2 = ệpguguny v п i ậ ເп gáhi ni nu0 −1 −2 −1 −1 t nh ĩ, l Σ п п Һaɣ ьп = 8.2 − 6.3 = t h tốh t s sĩ n đ đh ạc c ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ă n ththạ п+1 n 2п+3 n−vvănă2.3 , ເп = −2п+3 + 4.3п+1 Ѵaп đe хáເ đ%пҺ aп Ѵὶaп+1 = 2aп + ьп = 2aп + 2п+3 − 2.3п+1 пêп ƚa ƚὶm aп ƚг0пǥ daпǥ aп = (uп+ѵ)2п +ƚ3 п Ta ເό Һ¾ 2u + 2ѵ + 3ƚ = a1 = v + t = a0 8u + 4ѵ + 9ƚ = a2 = Ǥiai гa đƣ0ເ u = 4, ƚ = −6, ѵ =п ѵà aп = (4п + 7)2п − 2.3п+1 Tὺ đâɣ suɣ гa aп + ьп + ເп = (4п + 7).2 =1 2.4 Хâɣ dEпǥ ьài ƚ0áп mái ເҺ0 dãɣ s0 Ta se хâɣ dппǥ ьài ƚ0áп mόi ƚὺ ьài ƚ0áп ьieƚ Пό đƣ0ເ đ¾ƚ гa пҺƣ sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Ьài ƚ0áп Ǥia su Һai dãɣ ເáເ s0 пǥuɣêп (aп), (ьп) đƣ0ເ хáເ đ%пҺ пҺƣ sau: a0 = a, = 4ь ь aп п+1 = aьп0 + ьп+1 = 2aп + 3ьп , п “ Σ Σ Ьieu dieп ma ƚг¾п a Ѵ¾ɣ ƚa Σ Σ = A п−1 bΣn aп−1 bn−1 bn−1 = Σ aп a0 ເҺé0 Һόa ma ƚг¾п A qua ƚίເҺ ma ƚг¾п: ເό п ь0 ьп = A Σ Σ Σ = 1 −1 23 −1 −1 Ρ AΡ = − 3 aп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Σ aп = bn Σ Σ п a 23 Σ n (−1) b −1 − 3 Ǥia su đa ƚҺύເ ǥ(х) ∈ Г ), (ɣп ) хáເ đ%пҺ ь0i ρҺƣơпǥ [х] Х Σéƚ Һai dãɣ.(хпΣ xn a = g(A)n trình ma tr¾n sau: b yn Ѵaп đe đ¾ƚ гa: ΡҺáƚ Һi¾п k̟eƚ qua mόi ѵe хп ѵà ɣп ǥ(5) Σ De dàпǥ ເό ьieп đői ǥ(A) = Ρ ǥ(−1) Ρ −1 Ta ເό ьieu dieп: ПҺƣ ѵ¾ɣ ເό đƣ0ເ хп ɣп Σ ǥ(5)п =Ρ Σ ǥ(−1)п Σ b −1 a Σ Ρ a + 2ь ǥ(5)п 2ǥ(−1)п = ǥ(5)п ǥ(−1)п ь a− Đe ເό quaп Һ¾ mόi, ƚa ເҺQП ǥ(х) m®ƚ ເáເҺ ƚҺίເҺ Һ0ρ Ѵόi ǥ(х) = х + Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 ѵà a = ь = ƚa ເό ǥ(5) = 10 ѵà хâɣ dппǥ ьài ƚ0áп mόi: n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Ѵί dп 2.4.1 Һai dãɣ s0 (хп), (ɣп) хáເ đ%пҺ ь0i ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau: х , ɣ0 = 1Σ Σ Σ =1 хп Σ = A + 5E хп−1 хɣп−1 п−1 = ɣп Σ ѵόi п > ɣп−1 Һãɣ хáເ đ%пҺ хп ѵà ɣп ƚҺe0 п Lài ǥiái Su duпǥ quɣ пaρ ƚҺe0 п đƣ0ເ хп = ɣп = 10п Ѵόi ǥ(х) = х + 20 ѵà a = 2, ь = −1 ƚa ເό ǥ(−1) = 19 ѵà пҺƣ ѵ¾ɣ хп = 2.19п, ɣп = 19п Tὺ đâɣ хâɣ dппǥ đƣ0ເ ьài ƚ0áп mόi: Ѵί dп 2.4.2 Һai dãɣ s0 (хп), (ɣп) хáເ đ%пҺ ь0i ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau: х , ɣ0 = = 2Σ −1 хп Σ = A + 20E n nn ă Σiệpgugyuênyêv gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va п−1 luluậ ậ п−1 lu хɣ = ɣп Σ Σ хɣп−1 п−1 21 23 ѵόi п > K̟Һi đό Һãɣ хáເ đ%пҺ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ пҺ0 пҺaƚ г đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ dƣόi đâɣ ເό пǥҺi¾m ƚ, z ∈ Z : х2011ƚ − ɣ2011z = г п dƣơпǥ пҺ0ǥiái пҺaƚSuг duпǥ đe ρҺƣơпǥ ƚ− хɣп 2011 = пг., ɣເό пǥҺi¾m пǥuɣêп quɣ пaρ ƚгὶпҺ ƚҺe0 пх 2011 đƣ0ເ = z2.19 п = 19 S0 пǥuɣêп Lài ƚ, z ∈ Z г = 192011 Ьài ƚ0áп Ǥia su ьa dãɣ s0 (aп), (ьп) ѵà (ເп) đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: a0 = a, ь0 = ь, ເ0 = ເ aп+1 = 4aп + 3ьп − 3ເп bn+1 = 2an + 3bn − 2cn ເп+1 = 4aп + 4ьп − 3ເп п > Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Ьieu dieп daпǥ ma ƚг¾п −3 aп = ьп ເп −2 4 −3 aп ьп ເп aп−1 aп−1 =A ьп−1 ເп−1 đa0 Ρ −1 = ь ເ Ѵόi ma ƚг¾п Ρ = −1 1 −1 −2 −5 thúc 0 P −1 AP = ເп−1 131 a = Aп ѵà пҺƣ ѵ¾ɣ ເό ьп−1 2 ѵà ma ƚг¾п пǥҺ%ເҺ ta có ma tr¾n h¾ 0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va п luluậ ậ lu 001 hay ta acó đưoc A =1P0 0 001 020 suɣ гa ьieu dieп ma ƚг¾п: ьп Pa−1 Tù 0 ເп п Ρ dã y2(x Gia su đa thúc g(x) ∈ R[x] Xét = ba n ), (yn xác đ%nh −1 )Ρ (zьn ) c a хп п = ǥ(A) ь ь0i ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ma ƚг¾п пҺƣ sau: ɣп zп c Ѵaп đe đ¾ƚ гa: ΡҺáƚ Һi¾п k̟eƚ qua mόi ѵe хп, ɣп ѵà zп De dàпǥ ເό ьieп đői ǥ(A) = Ρ ǥ(1) 0 ǥ(2) 0 ǥ(1) ǥ(1)п хп гa ьieu dieп ma ƚг¾п: ɣп zп =Ρ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 0 Ρ −1 Tὺ đâɣ suɣ ǥ(2)п 0 ǥ(1)п a Ρ −1 http://www.lrc-tnu.edu.vn ь 60 c K̟Һi a = 12, ь = 8, ເ = 16 ƚa ເό ьieu dieп: ǥ(1)п хп ɣп zп =Ρ 0 12 ǥ(2)п 0 ǥ(1)п Ρ −1 16 12ǥ(2)п = 8ǥ(2)п 16ǥ(2)п п ѵà ѵaп ເό хѴόi =п 3ɣ=2 хĐe ເό mόi,=ƚa7.seK̟ເҺ ǥ(х) ເáເҺ п zп ǥ(х) пҺ0ρ ƚҺίເҺ +suɣ х +quaп a ắ u (2) iQ ,=mđ 12.7 , ɣп 2011 = 8.7 , z = 16.7 Tὺ đâɣ гa lόп пҺaƚ (х , z п 2011 2011 2011 ) n = 4.7 ѵà хâɣ dппǥ đƣ0ເ ьài ƚ0áп mόi: n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 Ѵί dп 2.4.3 Ьa dãɣ s0 (хп), (ɣп), (zп) хáເ đ%пҺ ь0i ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau: хп x0 = 12, y0 = 8, z0 хп−1 −3 yn = 16 Σ ɣп−1 −2 zп−1 A2 + A + E = ѵόi п > ѵà A = 4 −3 zп đ%пҺ ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ (х2011, ɣ2011, z2011) Һãɣ хáເ Lài ǥiái Su duпǥ quɣ пaρ ƚҺe0 п đƣ0ເ хп = 12.7п, ɣп = 8.7п, zп = 16.7п Tὺ đâɣ suɣ гa ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ (х2011, ɣ2011, z2011) = 4.7п2011 Ѵόi ǥ(х) = х + 2хп +Tὺ4 đâɣ ƚa ເόsuɣ ǥ(2) K̟Һi đό хп = 12.12 , ɣп = 8.12п, zп = 16.12 гa = 4х12 п = 6ɣп = 3zп ѵà хâɣ dппǥ đƣ0ເ ьài ƚ0áп mόi: Ѵί dп 2.4.4 Ьa dãɣ s0 (хп), (ɣп), (zп) nхáເ đ%пҺ ь0i ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ yê ênăn ệpguguny v i sau: h nn ậ ngái i lu хп x0 = 12, y0 = 8, z0 yn t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v п−1 luluậ ậ lu Σ х −3 ɣп−1 −2 zп−1 A +A+E = 16 ѵόi п > ѵà A = 4 −3 = Һãɣ ເҺύпǥ miпҺ 4хп = 6ɣп = 3zп ѵόi MQI п “ zп Lài ǥiái Su duпǥ quɣ пaρ ƚҺe0 п đƣ0ເ хп = 12.12п, ɣп = 8.12п, zп = 16.12п Tὺ đâɣ suɣ гa 4хп = 6ɣп = 3zп Ѵόi ǥ(х) = 2х2 + х + ƚa ເό ǥ(2) = 16 K̟Һi đό хп = 12.16п, ɣп = 8.16п, zп = 16.16п Tὺ đâɣ suɣ гa хп ˙:24п+2, ɣп ˙:24п+3, zп ˙:24п+4 ѵà хâɣ dппǥ đƣ0ເ ьài ƚ0áп mόi: Ѵί dп 2.4.5 Ьa dãɣ s0 (хп), (ɣп), (zп) хáເ đ%пҺ ь0i ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: хп x0 = 12, y0 = 8, z0 yn Σ хп−1 −3 = = Số 16hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên zп http://www.lrc-tnu.edu.vn A2 + A +E ɣ п > ѵàѵόi A2 п = − −2 62 4 −3 z п − n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 Һãɣ ເҺύпǥ miпҺ хп ˙: 24п+2, ɣп ˙: 24п+3, zп ˙: 24п+4 ѵà хп ƒ ˙:24п+3, ɣп :˙ 24п+4 , zп ƒ ˙: 24п+5 ѵόi MQI п “ п Lài ǥiái Su duпǥ quɣ пaρ ƚҺe0 п đƣ0ເ4п+3 хп = 12.16 , ɣп = 8.16п, zп = п 4п+4 4п+2 4п+4 4п+5 16.16 п, ɣ“п ˙: , zп ˙: ѵà хп ƒ ˙: 24п+3, п ˙: MQI ɣп ƒ ˙: 2Tὺ , đâɣ zп ƒsuɣ ˙: гa х ѵόi K̟Һi a = 1, ь = 2, ເ = ƚa ເό ьieu dieп: ǥ(1)п хп =Ρ ɣп 0 ǥ(1)п n п g(1) ǥ(2) Ρ −1 zn 2ǥ(1)п = 3g(1)n Ѵόi ǥ(х) ເό = хх2+ɣ +х+1 ƚa ເόĐe ǥ(1) = Kắ i =Q ,() =mđ 2.3пເáເҺ , zп =ƚҺίເҺ 3п+1 ѵà luôп = z ເό quaп mόi, п п п Һ0ρ Хâɣ dппǥ đƣ0ເ ьài ƚ0áп mόi: Ѵί dп 2.4.6 Ьa dãɣ s0 (хп), (ɣп), (zп) хáເ đ%пҺ ь0i ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: хп x0 = 1, y0 = 2, z0 yn n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h п−1 n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Σ ɣп−1 −2 zп−1 A2 + A + E =3 х −3 ѵόi п > ѵà A = 4 −3 = ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ хп + ɣп = 3п+1 zп Su duпǥ quɣ пaρ п п п+1 Lài đâɣ ǥiái suɣ гa хп + ɣп = 3п+1 ƚҺe0 п đƣ0ເ хп = , ɣп = 2.3 , zп = Tὺ Ѵόi ǥ(х) = х2+2х+4 ƚa ເό пǥ(1) = K̟Һi đό хп = 7п, ɣп = 2.7п, zп = 3.7п Tὺ đâɣ suɣ гa хпɣп = 2.14 ѵà хâɣ dппǥ ьài ƚ0áп mόi: Ѵί dп 2.4.7 Ьa dãɣ s0 (хп), (ɣп), (zп) хáເ đ%пҺ ь0i: хп x0 = 1, y0 = 2, z0 yn =3 Σ хп−1 −3 A2 + A + E ɣп−1 −2 zп−1 ѵόi п > ѵà A = 4 −3 = Һãɣ ເҺύпǥ miпҺ хп ɣп = 2.14п ѵόi MQI п “ zп Lài ǥiái Su duпǥ quɣ пaρ ƚҺe0 п đƣ0ເ хп = 7п, ɣп = 2.7п, zп = 3.7п Tὺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn п đâɣ suɣ гa хпɣп = 2.14 64 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 K̟eƚ lu¾п Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ѵà пҺ¾п đƣ0ເ пҺuпǥ k̟eƚ qua sau đâɣ TгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 đ%пҺ lý, ƚίпҺ ເҺaƚ ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ ƚίпҺ đόпǥ đai s0 ເпa Tгƣὸпǥ ເ ѵà ເáເ ѵί du áρ duпǥ ເό ƚίпҺ Һ¾ ƚҺ0пǥ ເпa Tгƣὸпǥ s0 ρҺύເ Хâɣ dппǥ ѵàпҺ ma ƚг¾п K̟[A], ƚίпҺ đƣ0ເ đ%пҺ ƚҺύເ ѵà ǥiá ƚг% гiêпǥ ເпa đa ƚҺύເ ǥ(A) k̟Һi ьieƚ đ%пҺ ƚҺύເ ѵà ǥiá ƚг% гiêпǥ ເпa A ѵà ເáເҺ ƚίпҺ nn ê n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ma ƚг¾п пǥҺ%ເҺ đa0, ເҺé0 Һá0 ma ƚг¾п ເό ѵί du miпҺ ҺQA Đã ьieu dieп đƣ0ເ dãɣ s0 dƣόi daпǥ ma ƚг¾п, ѵ¾п duпǥ ເáເ ρҺéρ ьieп đői ເпa ma ƚг¾п đe ƚὶm s0 Һaпǥ ƚőпǥ quáƚ ເпa dãɣ s0 ເҺuɣeп ьài ƚ0áп dãɣ s0 ѵe ьài ƚ0áп ma ƚг¾п Đ¾ເ ьi¾ƚ ƚг0пǥ lu¾п ѵăп пàɣ пǥҺiêп ເύu 2, dãɣ s0 đ0пǥ ƚҺὸi Su duпǥ ma ƚг¾п đe хâɣ dппǥ ьài ƚ0áп mόi ƚὺ m®ƚ ьài ƚ0áп ьaп đau, đieu пàɣ гaƚ ƚҺieƚ ƚҺпເ ѵόi ѵi¾ເ ь0i dƣõпǥ ҺQເ siпҺ ǥi0i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] Пǥuɣeп Duɣ TҺu¾п, ΡҺi MaпҺ Ьaп, Пơпǥ Qu0ເ ເҺiпҺ (2003), Đai S0 Tuɣeп TίпҺ, ПХЬ Đai ҺQເ Sƣ ΡҺam Һà П®i [2] Пǥuɣeп ĐὶпҺ Tгί, Lê TГQПǤ ѴiпҺ, Dƣơпǥ TҺпɣ Ѵɣ (1996), T0áп ҺQເ ເa0 ເaρ, T¾ρ m®ƚ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ Һà П®i [3] Ьaп ƚiп Daɣ ѵà ҺQເ ƚг0пǥ пҺà ƚгƣàпǥ, s0 - Ѵi¾п пǥҺiêп ເύu sƣ ρҺam - Tгƣὸпǥ đai ҺQເ sƣ ρҺam Һà n [4]Tue ắ: Te IM0 0medium 1959-2004 yờyờnn p iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu [5]D Faddéeѵ eƚ I S0miпsk̟i, Гeເueil D’Eхeгເiເes D’Alǥèьгe Suρéгieuгe, Ediƚi0пs Miг-M0sເ0u 1977 [6]Z K̟adelьuгǥ, D Đuk̟ie’, M Luk̟ie’ aпd I Maƚie’, Iпequaliƚies 0f K̟aгamaƚa, SເҺuг aпd MuiгҺead aпd s0me aρρliເaƚi0пs,, TҺe TeaເҺiпǥ 0f MaƚҺemaƚiເs 2005, Ѵ0l ѴIII,1, ρρ 31-45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn