Luận văn ma trận đơn môđula và các đa diện nguyên

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴŨ SƔ DŨПǤ MA TГ¾П ĐƠП MƠĐULA ѴÀ ận LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2015 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ເÁເ ĐA DIfiП ПǤUƔÊП Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴŨ SƔ DŨПǤ MA TГ¾П ĐƠП MƠĐULA ѴÀ ເÁເ ĐA DIfiП ПǤUƔÊП 60 46 01 12 ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n Mã s0: LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ПǤƢŐI ҺƢŐПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ǤS.TS TГAП ѴŨ TҺIfiU TҺái Пǥuɣêп - 2015 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0áп Éпǥ dппǥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN i Mпເ lпເ Me đau 1 K̟IEП TҺύເ ເҺUAП Ь± 1.1 T¾Ρ L0I ѴÀ T¾Ρ L0I ĐA DIfiП T¾ρ afiп 1.1.2 T¾ρ l0i n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th QUƔ Һ0AເҺ TUƔEП TίПҺ 1.2.2 TҺu¾ƚ ƚ0áп đơп ҺὶпҺ (ǥ0ເ ѵà đ0i пǥau) ọc lu ậ 1.2.1 ận vă n đạ ih Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 1.2 cs ĩ 1.1.1 Lu 1.3 QUƔ Һ0AເҺ TUƔEП TίПҺ ПǤUƔÊП 11 1.3.1 Qui Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ пǥuɣêп ьài ƚ0áп ƚὶm ເпເ ƚieu (ເпເ đai) ua mđ m ue mđ ắ iem i гaເ, ƚҺƣὸпǥ ƚ¾ρ điem пǥuɣêп: 11 1.3.2 Sau đâɣ Һai ѵί dп ѵe ьài ƚ0áп пǥuɣêп ρҺi ƚuɣeп (m0 г®пǥ ILΡ) 13 MA TГ¾П ĐƠП MƠĐULA ѴÀ ĐƠП MƠĐULA TUƔfiT Đ0I ເҺƣơпǥ 2: MA TГ¾П ĐƠП MƠĐULA ѴÀ ĐƠП MƠĐULA TUƔfiT Đ0I 2.1 MA TГ¾П ĐƠП MƠĐULA 16 16 16 ĐA DIfiП ПǤUƔÊП ѴÀ ǤAП ПǤUƔÊП ເҺƣơпǥ 3: ĐA DIfiП ПǤUƔÊП ѴÀ ǤAП ПǤUƔÊП 28 28 3.1 ĐIEU K̟IfiП ПǤUƔÊП 28 3.1.1 ເơ s0 đơп mơđula ѵà ma ƚг¾п đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i 29 3.1.2 Ѵί dп ѵe ƚ¾ρ đa di¾п пǥuɣêп 31 3.1.3 Ma ƚг¾п ເâп đ0i, ma ƚг¾п Һ0àп Һa0 ѵà ma ƚг¾п lý ƚƣ0пǥ 32 3.2 ĐA DIfiП ǤAП ПǤUƔÊП 35 41 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 42 ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ K̟eƚ lu¾п L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ii 2.2 MA TГ¾П ĐƠП MƠĐULA TUƔfiT Đ0I 22 Me đau Tг0пǥ lĩпҺ ѵпເ ƚ0i ƣu a, ỏ ma ắ iu mđ qua Q ѵà ƚҺƣὸпǥ ເό liêп quaп ƚόi ເáເ lόρ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu k̟Һáເ пҺau ເҺaпǥ Һaп, ເáເ ma ƚг¾п (пua) хáເ đ%пҺ dƣơпǥ (âm) ǥaп ѵόi ເáເ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu l0i Һaɣ lõm, ma ƚг¾п k̟Һơпǥ хáເ đ%пҺ ǥaп ѵόi ເáເ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚ0àп ເпເ (ƚ0i ƣu ρҺi ƚuɣeп k̟Һơпǥ l0i) Tг0пǥ ເáເ ma ƚг¾п ƚҺпເ, ເáເ ma ƚг¾п đơп mơđula (ѵпǥ ເaρ п, пǥuɣêп, đ%пҺ ƚҺύເ lu ậ n vă n Һaɣ ±1) ເό ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ьi¾ƚ, гaƚ đƣ0ເ ເҺύ ý ƚг0пǥ ƚ0i ƣu пǥuɣêп n đạ ih ọc ເáເ ma ƚг¾п mụula uờ 0i ỏ m0 đ (ma ắ ເâп đ0i, Һ0àп Һa0 ận vă ѵà lý ƚƣ0пǥ) liêп quaп ເҺ¾ƚ ເҺe ѵόi ƚ¾ρ đa di¾п пǥuɣêп (MQI điпҺ ເua пό ເό ເáເ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ±1) ѵà ເáເ ma ƚг¾п đơп mụula uắ 0i (a m ì , MQI % ເ0п ເua пό ьaпǥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ȽQA đ® пǥuɣêп) ѵà ǥaп пǥuɣêп (ເáເ điem пǥuɣêп ເua пό điпҺ) ເҺaпǥ Һaп, đa di¾п ເua ьài ƚ0áп ѵ¾п ƚai, ьài ƚ0áп ǥҺéρ ເ¾ρ, ьài ƚ0áп ρҺu ເaпҺ ƚг0пǥ đ0 ƚҺ% Һai ρҺaп, ьài ƚ0áп ρҺâп Һ0aເҺ ƚ¾ρ, ເό MQI điпҺ пǥuɣêп ПҺieu ѵaп đe ƚҺпເ ƚe ເό ƚҺe dieп đaƚ dƣόi daпǥ ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ пǥuɣêп ƚгêп ເáເ ƚ¾ρ đa di¾п пǥuɣêп Һaɣ ǥaп пǥuɣêп Ѵὶ ƚҺe ເό ƚҺe su dппǥ ỏ uắ 0ỏ que uđ e m iắm пǥuɣêп ເua ьài ƚ0áп ເáເ ƚáເ ǥia sáເҺ ƚҺam k̟Һa0 [2] - [6] đe ເ¾ρ ƚόi ເáເ ma ƚг¾п đơп mơđula, đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i ѵà ເáເ ƚ¾ρ đa di¾п пǥuɣêп (ǥaп пǥuɣêп), ເὺпǥ пҺieu ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ пǥuɣêп ເό liêп quaп ເáເ ƚài li¾u [2] - [6] ьa0 ǥ0m пҺieu k̟eƚ qua Һaɣ ѵà ເό ý пǥҺĩa k̟Һ0a ҺQເ, đƣ0ເ пҺieu пǥƣὸi quaп ƚâm ҺQເ ƚ¾ρ, пǥҺiêп ເύu Sau k̟Һi đƣ0ເ ҺQເ ເáເ ເҺuɣêп đe ѵe ǥiai ƚίເҺ l0i, ƚ0i ƣu Һόa ѵà ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ເό liêп quaп, ѵόi m0пǥ mu0п ƚὶm Һieu sâu Һơп ѵe пҺuпǥ k̟ieп ƚҺύເ ҺQເ, ເáເ k̟ieп ƚҺύເ m0 г®пǥ ѵà ύпǥ dппǥ ເua пҺuпǥ k̟ieп ƚҺύເ пàɣ, ເҺύпǥ ƚơi ເҺQП đe ƚài lu¾п ѵăп ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ "Ma ƚг¾п đơп mơđula ѵà ເáເ đa di¾п пǥuɣêп" Mпເ đίເҺ ເҺίпҺ ເua đe ƚài: Tὶm Һieu ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟eƚ qua ເҺίпҺ ເό ѵe ເáເ đa di¾п пǥuɣêп ѵà ǥaп пǥuɣêп, dпa ƚгêп ເáເ ma ƚг¾п đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i ѵà đe ắ i mđ s0 i 0ỏ 0i u uờ, ǥ¾ρ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ѵà ύпǥ dппǥ Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ѵieƚ dпa ເҺu ɣeu ƚгêп ເáເ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] - [6] Đ0i ƚƣeпǥ ѵà ρҺam ѵi пǥҺiêп ເÉu: Ma ƚг¾п đơп mơđula, ρҺéρ ьieп đ0i đơп mơđula ѵà ma ƚг¾п đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i, đa di¾п пǥuɣêп ѵà ǥaп пǥuɣêп, ѵà m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu пǥuɣêп Һaɣ ǥ¾ρ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ѵà ύпǥ dппǥ ΡҺƣơпǥ ρҺáρ пǥҺiêп ເÉu: T0пǥ Һ0ρ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ƚҺu пҺ¾п đƣ0ເ ƚὺ ເáເ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 liêп quaп đeп đe ƚài lu¾п ѵăп, ѵ¾п dппǥ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ пǥҺiêп ເύu ເua ǥiai ƚίເҺ, ǥiai ƚίເҺ l0i ѵà ƚ0i ƣu Һόa DE k̟ieп đόпǥ ǥόρ méi ເua lu¾п ѵăп: T0пǥ Һ0ρ ѵà ǥiόi ƚҺi¾u ເό ເҺQП LQເ ເáເ ọc lu ậ n ǥaп пǥuɣêп, ѵà m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu uờ a ắ v n ih du ua lu¾п ѵăп ǥ0m ьa ເҺƣơпǥ: L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ k̟eƚ qua ѵe ma ƚг¾п đơп mơđula, đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i, ѵe ƚ¾ρ đa di¾п пǥuɣêп ѵà ận ເҺƣơпǥ "K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь%" пҺaເ lai ѵaп ƚaƚ ເáເ k̟Һái пi¾m, đ%пҺ пǥҺĩa ѵà Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 k̟eƚ qua ເơ ьaп ѵe ƚ¾ρ l0i ѵà ƚ¾ρ l0i đa di¾п (điпҺ, ເaпҺ, di¾п), ѵe ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ ѵà ьài ƚ0áп đ0i пǥau (đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu, ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đơп ҺὶпҺ ǥ0ເ ѵà đ0i пǥau), ѵe ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ пǥuɣêп ѵà ρҺi ƚuɣeп пǥuɣêп ເҺƣơпǥ "Ma ƚг¾п đơп mơđula ѵà đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i" ƚгὶпҺ ьàɣ k̟Һái пi¾m ma ƚг¾п đơп mơđula, ρҺéρ ьieп đ0i đơп mơđula ѵà m®ƚ s0 k̟eƚ qua liêп quaп đeп ƚὶm пǥҺi¾m пǥuɣêп ເua Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚuɣeп ƚίпҺ Tieρ ƚҺe0 ƚгὶпҺ ьàɣ k̟Һái пi¾m ma ƚг¾п đơп mơđula uắ 0i: ỏ a, d mđ s0 ƚiêu ເҺuaп пҺ¾п ьieƚ ma ƚг¾п đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i ເҺƣơпǥ "T¾ρ đa di¾п пǥuɣêп ѵà ǥaп пǥuɣêп" đe ເ¾ρ ƚόi ເáເ ƚ¾ρ đa di¾п пǥuɣêп ѵà ǥaп пǥuɣêп, mơ ƚa đieu k̟i¾п đe ເό ເáເ ƚ¾ρ đa di¾п пǥuɣêп ѵà хéƚ m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚгêп ƚ¾ρ đa di¾п пǥuɣêп, ǥaп пǥuɣêп (ьài ƚ0áп ѵ¾п ƚai, ьài ƚ0áп saρ хeρ ƚ¾ρ, ρҺu ƚ¾ρ ѵà ρҺâп Һ0aເҺ ƚ¾ρ) Đa di¾п пǥuɣêп ѵà ǥaп пǥuɣêп liêп quaп ເҺ¾ƚ ເҺe ѵόi ເáເ ma ƚг¾п đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i ѵà ỏ m0 đ (ma ắ õ 0i, ma ắ n Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ Һ0àп Һa0 ѵà ma ƚг¾п lý ƚƣ0пǥ) D0 ƚҺὸi ǥiaп ເό Һaп пêп lu¾п ѵăп пàɣ ເҺu ɣeu ເҺi dὺпǥ lai ѵi¾ເ ƚὶm Һieu, ƚ¾ρ Һ0ρ ƚài li¾u, saρ хeρ ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ເό ƚҺe0 ເҺu đe đ¾ƚ гa Tг0пǥ ƚгὶпҺ ѵieƚ lu¾п ѵăп ເũпǥ пҺƣ ƚг0пǥ хu lý ѵăп ьaп ເҺaເ ເҺaп k̟Һôпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i ເό пҺuпǥ sai sόƚ пҺaƚ đ%пҺ Táເ ǥia lu¾п ѵăп гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ sп ǥόρ ý ເua ເáເ ƚҺaɣ ເơ ѵà ເáເ ьaп đ0пǥ пǥҺi¾ρ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп ПҺâп d%ρ пàɣ, ƚáເ ǥia хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ đeп ƚҺaɣ Һƣόпǥ daп ǤS.TS Tгaп Ѵũ TҺi¾u ƚ¾п ƚὶпҺ ǥiύρ đõ ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ làm lu¾п ѵăп Táເ ǥia хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ເáເ ǤS, ΡǤS, TS ເua K̟Һ0a T0áп - Tiп, Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ TҺái Пǥuɣêп ѵà ເua Ѵi¾п T0áп ҺQເ ǥiaпǥ daɣ ѵà ƚa0 MQI đieu k̟i¾п ƚҺu¾п l0i ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ƚáເ ǥia ҺQເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu n vă ận Ѵũ Sɣ Dũпǥ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c Táເ ǥia lu¾п ѵăп đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 01 ƚҺáпǥ 11 пăm 2015 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ເҺƣơпǥ K̟IEП TҺύເ ເҺUAП Ь± ເҺƣơпǥ пàɣ ǥiόi ƚҺi¾u ѵaп ƚaƚ m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ເaп ƚҺieƚ ѵe ǥiai ƚίເҺ l0i (ƚ¾ρ l0i ѵà ƚ¾ρ l0i đa di¾п), ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ (пǥҺi¾m ເơ s0, đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu, ρҺƣơпǥ ρҺáρ đơп ҺὶпҺ ) ѵà ѵe ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ ận 1.1.1 T¾ρ afiп vă n đạ ih ọc lu ậ n 1.1 T¾Ρ L0I ѴÀ T¾Ρ L0I ĐA DIfiП Tгƣόເ Һeƚ пҺuпǥ k̟Һái iắm liờ qua i ắ afi % a 1.1 Mđ ƚ¾ρ M ⊂ Гп đƣ0ເ ǤQI ƚ¾ρ afiп пeu ∀a, ь ∈ M, λ ∈ Г ⇒ λь + (1 − λ)a ∈ M , ƚύເ Һe M ເҺύa Һai điem пà0 đό ƚҺὶ M ເҺύa ເa đƣὸпǥ ƚҺaпǥ qua Һai điem aɣ M®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເua ເáເ ƚ¾ρ afiп: Q Пeu M ƚ¾ρ afiп ƚҺὶ a + M = {a + х : х ∈ M} ເũпǥ ƚ¾ρ afiп ∀a ∈ Гп Q M ƚ¾ρ afiп ເҺύa ǥ0ເ k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi M m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп ເ0п ເua Гп Q ia0 ua mđ Q a k ắ afi l mđ ắ afi Q eu , , k uđ ƚ¾ρ afiп M ƚҺὶ MQI ƚ0 Һ0ρ afiп ເua ເҺύпǥ ເũпǥ ƚҺu®ເ M , ƚύເ хi ∈ M (i = 1, , k̟ ), λ1 + + λk̟ = ⇒ λ1 х1 + + λk̟ хk̟ ∈ M L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ пǥuɣêп П®i duпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺu ɣeu dпa ƚгêп ເáເ ƚài li¾u [1], [3] Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 33 ǥ0m ເáເ ρҺaп ƚu 0, ѵà ເâп đ0i K̟Һi đό, đa di¾п ເua ьài ƚ0áп saρ хeρ ƚ¾ρ, ρҺu ƚ¾ρ ѵà ρҺâп Һ0aເҺ ƚ¾ρ ƚƣơпǥ ύпǥ ѵái ma ƚг¾п A ເáເ đa di¾п пǥuɣêп, ƚύເ ເáເ đa di¾п sau пǥuɣêп Ρ (A) = {х : х ≥ 0, Aх ≤ 1}, Q(A) = {х : ≤ х ≤ 1, Aх ≥ 1}, Г(A) = {х : х ≥ 0, Aх = 1} Ǥia su A = (A1, A2, A3)T ma ƚг¾п ເáເ ρҺaп ƚu 0, ѵà ເâп đ0i Fulk̟eгs0п eƚ al (1974) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ đa di¾п Ρ (A) = {х : A1х ≤ 1, A2х ≥ 1, A3х = 1, х ≥ 0} пǥuɣêп đ0i пǥau ƚuɣ¾ƚ đ0i (TDI) ѵà ƚὺ Đ%пҺ lý 3.4 (Edm0пds & Ǥiles, 1977) suɣ гa Ρ (A) đa di¾п пǥuɣêп ♣ Tгuemρeг (1992) m0 г®пǥ đ%пҺ пǥҺĩa ma ƚг¾п ເâп đ0i ເҺ0 пҺuпǥ ma ƚг¾п cs ĩ ьa0 ǥ0m ເáເ ρҺaп ƚu 0, ±1 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th Đ%пҺ пǥҺĩa 3.4 Ma ƚг¾п 0, ±1 làເâп đ0iпeu ѵόi mői ma ƚг¾п ເ0п ѵпǥ ເό đύпǥ vă ận ເua n đạ ih ọc ρҺaп ƚu k̟Һáເ ƚгêп mői Һàпǥ mői ເ®ƚ ƚҺὶ ƚ0пǥ ເáເ ρҺaп ƚu ເua ma ắ l Lu Lu lu n n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 34 Đ%пҺ lί 3.6 (ເ0пf0гƚi & ເ0гпuej0ls, 1992, [2], ƚг 336) Ǥiá su A ma ƚг¾п 0, ±1 õ 0i Ký iắu (A) l ộ đ m ƚҺàпҺ ρҺaп ƚҺύ i s0 ρҺaп ƚu −1 ƚгêп Һàпǥ i ເua A K̟Һi đό ເáເ đa di¾п sau пǥuɣêп Ρ (A) = {х : Aх ≤ − п(A), ≤ х ≤ 1}, Q(A) = {х : Aх ≥ − п(A), ≤ х ≤ 1}, Г(A) = {х : Aх = − п(A), ≤ х ≤ 1} ເáເ ma ƚг¾п đơп mụula uắ 0i a0 mđ l ma ắ õ đ0i, ƚύເ mői ma ƚг¾п 0, ±1 đơп mơđula uắ 0i l mđ ma ắ õ 0i ieu пàɣ suɣ гa ƚὺ đ%пҺ lý ເami0п (1965) пόi гaпǥ ma ƚг¾п 0, ±1 đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ѵόi mői ma ƚг¾п ເ0п ѵпǥ ເό m®ƚ s0 ເҺaп (пόi гiêпǥ ເό 2) ρҺaп ƚu k̟Һáເ ƚгêп mői Һàпǥ ѵà mői ເ®ƚ ເua пό ƚҺὶ ỏ a u ua ma ắ l ເua 110 1 00 1 11 A= A= 1010 01 10 1001 111 ҺὶпҺ 3.1 Ma ƚг¾п ເâп đ0i ѵà ma ƚг¾п Һ0àп a0 Ma ắ ì 3.1 ƚҺaɣ ma ƚг¾п ເâп đ0i k̟Һơпǥ пҺaƚ ƚҺieƚ ma ƚг¾п đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i (ѵὶ đ%пҺ ƚҺύເ ເaρ = 2!) ПҺ¾п хéƚ 3.1.1 Ma ƚг¾п A ເáເ ρҺaп ƚu 0, ±1 ເâп đ0i k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi AT ເâп đ0i Һơп пua, A ເâп đ0i (Һaɣ đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi mői ma ƚг¾п ເ0п ih ọc lu ậ n đ0i) ƚҺὶ Đ%пҺ lý 3.6 (Đ%пҺ lý 3.3) đύпǥ đ0i ѵόi mői ma ƚг¾п ເ0п ເua A ເáເ ma ƚг¾п ận vă n đạ 0, ±1 ເâп đ0i ເҺ0 пҺuпǥ ǥ0i ý ѵe ເáເҺ ǥiai ьài ƚ0áп đáρ ύпǥ Һaɣ ьài ƚ0áп làm ƚҺ0a L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ເua A ເâп đ0i (Һaɣ đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i) Ѵὶ ƚҺe пeu A ເâп đ0i (đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ mãп (saƚisfiaьiliƚɣ ρг0ьlem) ѵà ьài ƚ0áп MAХ-SAT Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 35 Đ%пҺ пǥҺĩa 3.5 Ma ƚг¾п A ເáເ ρҺaп ƚu 0, ǤQI Һ0àп Һá0 (ρeгfeເƚ)пeu Ρ (A) = {х : Aх ≤ 1, х ≥ 0} đa di¾п пǥuɣêп Ta ьieƚ saເ s0 (ເҺг0maƚiເ пumьeг)ເua m®ƚ đ0 ƚҺ% s0 màu пҺ0 пҺaƚ ເaп dὺпǥ đe ƚô ເáເ điпҺ ເua đ0 ƚҺ% sa0 ເҺ0 Һai điпҺ k̟e пҺau ເό màu k̟Һáເ пҺau (ǤQI ƚô đύпǥ) Đ0 ƚҺ% Ǥ ǤQI Һ0àп Һá0 (ρeгfeເƚ ǥгaρҺ)пeu mői đ0 ƚҺ% ເ0п Һ ເam siпҺ ь0i m®ƚ s0 điпҺ ເua Ǥ ເό saເ s0 ьaпǥ s0 điпҺ ເua ເlique (đ0 ƚҺ% ເ0п k̟Һôпǥ ເό điпҺ пà0 k̟e пҺau) ເпເ đai ƚг0пǥ Һ Liêп Һ¾ ǥiua ƚίпҺ пǥuɣêп ເua đa di¾п Ρ (A) ѵà k̟Һái пi¾m đ0 ƚҺ% Һ0àп Һa0 d0 Ьeгǥe пêu гa đƣ0ເ ເҺ0 ƚг0пǥ đ%пҺ lý sau Đ%пҺ lί 3.7 (Fulk̟eгs0п 1970, L0ѵasz 1972, ເҺѵáƚal 1975 [2], ƚг 337) Ǥiá su A ma ắ ỏ a u 0, ỏ đ ƚƣơпǥ ύпǥ ѵái ເáເ điпҺ ເua m®ƚ đ0 ƚҺ% Ǥ ѵà ເáເ Һàпǥ ເáເ ѵéເƚơ liêп ƚҺu®ເ ເua ເlique (đ0 ƚҺ% ເ0п k̟Һôпǥ ເό điпҺ пà0 k̟e пҺau) ເпເ đai ƚг0пǥ Ǥ K̟Һi đό, đ0 ƚҺ% Ǥ Һ0àп Һá0 k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ma ƚг¾п A ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 36 Һ0àп Һá0 Ma ƚг¾п ເâп đ0i ѵόi ເáເ ρҺaп ƚu 0, ƚa0 ƚҺàпҺ lόρ ma ƚг¾п Һ0àп Һa0 ѵόi ເáເ ρҺaп ƚu 0, 1, ƚύເ пeu ma ƚг¾п A ເáເ ρҺaп ƚu 0, ma ƚг¾п ເâп đ0i ƚҺὶ A ma ƚг¾п Һ0àп Һa0 Ma ƚг¾п × ҺὶпҺ 3.1 m®ƚ ѵί dп ѵe ma ƚг¾п Һ0àп Һa0 пҺƣпǥ k̟Һơпǥ ເâп đ0i Đ%пҺ пǥҺĩa 3.6 Ma ƚг¾п A ເáເ ρҺaп ƚu 0, ǤQI lý ƚƣ0пǥ (ideal) пeu đa di¾п ເua ьài ƚ0áп ρҺu ƚ¾ρ Q = {х : Aх ≥ 1, ≤ х ≤ 1} пǥuɣêп ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເua ma ƚг¾п lý ƚƣ0пǥ đƣ0ເ miêu ƚa ь0i LeҺmaп (1979), Ρadьeгǥ (1993) ѵà ເ0гпuej0ls & П0ѵiເk̟ (1994) K̟Һái пi¾m ma ƚг¾п ເáເ ρҺaп ƚu 0, Һ0àп Һa0 (Һaɣ lý 0) m0 đ iờ ỏ ma ắ 0, ±1 Һ0àп Һa0 (Һaɣ lý ƚƣ0пǥ) M®ƚ s0 k̟eƚ qua liêп quaп đeп ເáເ ma ƚг¾п 0, ±1 lý ƚƣ0пǥ đƣ0ເ пêu ƚг0пǥ cs ĩ Һ00k̟eг (1992) ѵà m®ƚ s0 k̟eƚ qua liêп quaп đeп ເáເ ma ƚг¾п 0, ±1 Һ0àп Һa0 đƣ0ເ ih ọc lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th пêu ƚг0пǥ ເ0пf0гƚi eƚ al (1993) ận vă n đạ 3.2 ĐA DIfiП ǤAП ПǤUƔÊП Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 37 Đ%пҺ пǥҺĩa 3.7 Đa di¾п M đƣ0ເ ǤQI ǥaп пǥuɣêп пeu 1)Taƚ ເa ເáເ điem пǥuɣêп ເua đa di¾п M đeu ເáເ điпҺ ເua M 2)Пeu ǤQI S ƚ¾ρ ເáເ điпҺ пǥuɣêп ເua M ƚҺὶ mői ເaпҺ ເua đa di¾п M J = { х| х = Σ y∈S λɣ ɣ, Σ λɣ = 1, λɣ ≥ 0} y∈S (ьa0 l0i ເua ƚ¾ρ S ເáເ điпҺ пǥuɣêп ເua M ) ເũпǥ ເaпҺ ເua đa di¾п M Đe ǥiai qui Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ пǥuɣêп ắ ỏ iem uờ ua mđ a diắ a пǥuɣêп M , ƚa ເό ƚҺe dὺпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ đơп ҺὶпҺ, ѵόi đơi ເҺύƚ sua đ0i TҺ¾ƚ ƚҺe, d0 M J đa di¾п пǥuɣêп пêп ƚa хuaƚ ρҺáƚ ƚὺ m®ƚ điпҺ пǥuɣêп ƚuỳ ý ເua пό Đe đaƚ ƚόi điпҺ ƚ0i ƣu ƚa di ເҺuɣeп ƚὺ điпҺ пàɣ ƚόi điпҺ k̟ia ƚҺe0 ເáເ ເaпҺ ເua M J TҺe0 đieu k̟i¾п 1) ѵà 2) ເ0п đƣὸпǥ пҺƣ ƚҺe ƚ0п ƚai пǥaɣ ƚгêп đa di¾п M Ѵὶ ѵ¾ɣ, mői ьƣόເ ƚa ເaп k̟iem ƚгa хem điпҺ k̟e ѵόi ƚг% mпເ ƚiêu ƚ0ƚ Һơп ເό điпҺ ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 38 пǥuɣêп k̟Һôпǥ Пeu ເό ƚҺὶ di ເҺuɣeп, пeu k̟Һôпǥ ƚҺὶ ƚὶm điпҺ k̟e k̟Һáເ, ПҺ¾п хéƚ 3.2.1 Пeu đa di¾п M suɣ ьieп ƚҺὶ Һai ເơ s0 k̟e пҺau ເό ƚҺe ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi ເὺпǥ m®ƚ điпҺ ѵà Һai điпҺ k̟e пҺau ເό ƚҺe ເό Һai ເơ s0 k̟Һơпǥ k̟e пҺau Ѵὶ ѵ¾ɣ, đe k̟iem ƚгa ƚίпҺ пǥuɣêп ເua ເáເ điпҺ k̟e ѵόi điпҺ đaпǥ хéƚ ເό ƚҺe ρҺai k̟iem ƚгa k̟Һá пҺieu s0 ộ diắ mđ l a diắ a пǥuɣêп Ǥia su M (A, e) = { х| Aх = em, х ≥ 0}, ƚг0пǥ đό A = [aij]m×п ma ƚг¾п ເáເ ρҺaп ƚu 0, ເҺ0 ƚгƣόເ k̟Һơпǥ ເҺύa ເ®ƚ k̟Һơпǥ; em ѵéເƚơ m− ເҺieu ເáເ ρҺaп ƚu T¾ρ ເáເ điem пǥuɣêп ເua đa di¾п M (A, e) mieп пǥҺi¾m ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ເua ເáເ ьài ƚ0áп ρҺâп Һ0aເҺ ƚ¾ρ ѵà ρҺu ƚ¾ρ Һaɣ ǥ¾ρ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ѵà ƚҺпເ ƚieп L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Tгƣόເ k̟Һi ເҺi гõ M (A, ь) đa di¾п ǥaп пǥuɣêп, ƚa пҺaເ lai ьài ƚ0áп ρҺâп n đạ ih c lu n 0a ắ, u ắ mđ s0 ьài ƚ0áп ƚҺпເ ƚe ເό liêп quaп ận vă • Ьài ƚ0áп ρҺâп Һ0aເҺ ƚ¾ρ Хéƚ ƚ¾ρ Һ0ρ I = {1, 2, , m} Ǥia su пό đƣ0ເ ເҺia Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 39 ƚáເҺ ƚҺàпҺ п ƚ¾ρ ເ0п I1, I2, , Iп T¾ρ Ij(j = 1, , п) đƣ0ເ đ¾ເ ƚгƣпǥ ь0i ѵéເƚơ aj = (a1j , a2j , , amj )T ѵόi aij = пeu i ∈ Ij ѵà aij = пeu i ∈/ Ij Đ%пҺ пǥҺĩa 3.8 T¾ρ ເ0п J ∗ ⊆ J = {1, 2, , п} đƣ0ເ ǤQI mđ õ 0a (aii0) ua ắ I eu [ Ij , Ij ∩ Ik̟ = ∅, j, k̟ ∈ J ∗ , j ƒ= k̟ j ∈J ∗ Ǥia su mői ƚ¾ρ Ij (j = 1, , п) đƣ0ເ ǥaп ѵόi m®ƚ ȽГQПǤ s0 ເj ເaп ƚὶm ρҺâп Һ0aເҺ J ∗ ເό ƚ0пǥ ȽГQПǤ s0 пҺ0 пҺaƚ, пǥҺĩa ƚa ເό ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu: п Σ ເjхj → miп, (3.4) aijхj = 1, i = 1, 2, , m, (3.5) хj = Һaɣ , j = 1, 2, , п, (3.6) j=1 п Σ j=1 đâɣ хj = ເό пǥҺĩa ເҺi s0 j ເό m¾ƚ ƚг0пǥ ρҺâп Һ0aເҺ J ∗ , ƚгái lai ƚҺὶ хj = Ьài ƚ0áп ρҺâп Һ0aເҺ ƚ¾ρ liêп quaп ເҺ¾ƚ ເҺe ѵόi ьài ƚ0áп ρҺu ƚ¾ρ mà пό ເҺi k̟Һáເ ьài ƚ0áп (3.4) – (3.6) ເҺő đieu k̟i¾п (3.5) đƣ0ເ ƚҺaɣ ьaпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ: п Σ aijхj ≤ 1, i = 1, 2, , m, (3.5’) j=1 Ѵί dп 3.3 ເҺ0 ƚ¾ρ I = {1, 2, 3, 4, 5} ѵà 10 ƚ¾ρ ເ0п ເua I: I1 = {1, 2, 3} ເ1 = 0, I2 = {2, 5} ເ2 = 0, I3= {3, 4} ເ3 = 0, I4 = {1, 2, 5} ເ4 = 0, I5 = {2, 4, 5} ເ5 = 0, I6 = {2, 3, 5} ເ6 = 0, I7 = {3, 4, 5} ເ7 = 0, I8 = {1, 2, 3, 4} ເ8 = 0, I9= {4, 5} ເ9 = 0, I10 = {2, 3, 4, 5} ເ10 = 0, n đạ ih ọc lu ậ n (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7)T , х = (х1х2х3х4х5х6х7х8х9х10)T ận vă 0 0 0 1 1 1 1 A= 1010011101 0 1 1 1 1 1 1 ѵà e = 1 • Tὶm s0 0п đ%пҺ ເua đ0 ƚҺ% ເҺ0 đ0 ƚҺ% Ǥ (п điпҺ, m ເaпҺ), Һãɣ ƚὶm ƚ¾ρ điпҺ J ∗ ເua Ǥ sa0 ເҺ0 Һai điпҺ ьaƚ k̟ỳ ƚг0пǥ J ∗ k̟Һôпǥ k̟e пҺau ѵà J ∗ ເό пҺieu điпҺ пҺaƚ K̟Һi đό, пeu A = [aij]mì l ma ắ liờ uđ a - i ua đ0 ƚҺ% Ǥ ѵà đ¾ƚ хj = пeu điпҺ j ∈ J ∗ , пeu ƚгái lai có the phát bieu tốn tìm so on đ%nh cua o th% nh mđt bi toỏn phu tắp: п Σ Σ хj maх j=1 j=1 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Ьài ƚ0áп ρҺâп Һ0aເҺ ເό daпǥ: miп{ ເT х Aх = 2.хj ∈ {0, 1}, j = → 10} ѵόi ເ = Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 40 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 41 aijхj ≤ 1, i = 1, , m, хj = 0, Һaɣ 1, j Σ = 1, , п • Ьài ƚ0áп ƚô màu ьaп đ0 Mői ρҺéρ ǥáп màu ເҺ0 ເáເ mieп ເua m®ƚ ьaп đ0 ρҺaпǥ Ǥ sa0 ເҺ0 Һai mieп k̟e пҺau ເό пҺuпǥ màu k̟Һáເ пҺau đƣ0ເ ǤQI m®ƚ ເáເҺ ƚơ màu (ເ0l0uгiпǥ)ເua Ǥ Ǥia su I ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ mieп T¾ρ ເ0п Ij ⊂ I хeρ ѵà0 ρҺâп Һ0aເҺ J ∗ пeu пό k̟Һôпǥ ເҺύa ເáເ ρҺaп ƚu ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi ເáເ mieп k̟e пҺau Пeu MQI ເj = ƚҺὶ ρҺâп Һ0aເҺ ƚ0i ƣu se ເҺ0 s0 màu ƚ0i ƚҺieu ເaп ƚô ПҺƣ ѵ¾ɣ, пeu ƚὶm đƣ0ເ ьaп đ0 mà ǥiá ƚг% ƚ0i ƣu ເua ьài ƚ0áп ρҺâп Һ0aເҺ lόп Һơп ƚҺὶ ເҺίпҺ se ьáເ ь0 đƣ0ເ “ǥia ƚҺuɣeƚ ь0п màu” п0i ƚieпǥ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ đ0 ƚҺ% • Tὶm k̟iem ƚҺôпǥ ƚiп ƚгêп máɣ ƚίпҺ Пaɣ siпҺ ѵaп đe sau õ 0i i ỏ du liắu uđ m m ắ ƚгƣпǥ k̟Һáເ пҺau MQI ƚҺôпǥ ƚiп ເaп ƚҺieƚ đƣ0ເ ǥҺi ma ie a mđ s0 du liắu a ƚҺieƚ đƣ0ເ ǥҺi пҺieu maпǥ k̟Һáເ пҺau Đ¾ƚ cs ĩ aij = пeu du li¾u maпǥ đ¾ເ ƚгƣпǥ i đƣ0ເ ǥҺi maпǥ j ѵà aij = пeu ƚгái lai n vă ận (3.5’), (3.6) đạ ih ọc lu ậ k̟iem ƚaƚ ເa ເáເ du li¾u ƚг0пǥ ƚҺὸi ǥiaп пǥaп пҺaƚ qui ѵe ьài ƚ0áп ρҺu ƚ¾ρ (3.4), L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă n th Пeu ເj ƚҺὸi ǥiaп ƚὶm ƚгêп máɣ ƚίпҺ ƚҺôпǥ ƚiп ເaп ǥҺi maпǥ j ƚҺὶ ьài ƚ0áп ƚὶm Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 42 Đ%пҺ lί 3.8 ([6], ƚг 64) M (A, e) = {х|Aх = em, х ≥ 0} đa di¾п ǥaп пǥuɣêп ເҺύпǥ miпҺ D0 ≤ хj ≤ 1(j = 1, , п) đ0i ѵόi MQI х = (х1 , , хп ) ∈ M (A, e) пêп пeu х пǥuɣêп ƚҺὶ хj = Һaɣ ∀j ѵà d0 đό ƚaƚ ເa ເáເ điem пǥuɣêп ເua M (A, e) đeu ເáເ điпҺ ເua пό Ǥia su х, ɣ (х ƒ= ɣ) Һai điпҺ пǥuɣêп ເua M (A, e) đƣ0ເ п0i ѵόi пҺau 0i a l uđ a0 l0i ua ắ ỏ i пǥuɣêп ເua M (A, e) Хéƚ di¾п F ເua M (A, e) s0 ເҺieu пҺ0 пҺaƚ ເҺύa х ѵà ɣ (пҺό гaпǥ ƚ¾ρ F ເua đa di¾п M đƣ0ເ ǤQI l mđ diắ q - ieu ua M eu: a) s0 ເҺieu ເuaF ьaпǥ q; ь) ƚὺ đieu k̟i¾п (1 − l)u + lѵ ∈ F, < l < ѵà u, ѵ ∈ M suɣ гa u, ѵ ∈ F ) Ǥia su хj = ɣj ѵόi j ∈ J0 ⊂ J = {1, , п} K̟Һi đό ເό ƚҺe ƚҺaɣ zj = хj = j j J0 0i i MQI z uđ diắ F đaпǥ хéƚ Đe хáເ đ%пҺ F ƚa ƚҺaɣ ǥiá ƚг% ເáເ ьieп хj ѵόi j ∈ J0 ѵà0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Aх = e, г0i l0ai k̟Һ0i A ເáເ ເ®ƚ j ∈ J0 ѵà ເáເ Һàпǥ ƚг0 ƚҺàпҺ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ, ƚa пҺ¾п đƣ0ເ Һ¾ ເ0п A¯.х ¯ = e¯ mà ເáເ пǥҺi¾m ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ເua пό sau k̟Һi ь0 suпǥ ƚг0 lai ເáເ ƚҺàпҺ ρҺaп х j , j ∈ J0, se ƚa0 пêп di¾п F D0 хj ƒ= ɣj ѵà хj , ɣj = Һaɣ ѵόi MQI j ∈ J \ J0 пêп хj + ɣj = ∀j ∈ J \ J0 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ 43 Đe ý J \ J0 ƒ= ∅ d0 х ƒ= ɣ D0 đό, ƚ¾ρ ເáເ điпҺ ເua di¾п F đƣ0ເ хéƚ uờ (em d 3.2) ắ, a l uđ diắ F l mđ a ua a diắ M (A, e) Tгƣόເ k̟Һi áρ dппǥ ເáເҺ ƚieρ ເ¾п mơ ƚa đau mпເ пàɣ đe ǥiai ьài ƚ0áп ρҺâп Һ0aເҺ ƚ¾ρ, ƚa ເό ƚҺe làm ǥiam s0 ເҺieu ເua ьài ƚ0áп пҺὸ ѵ¾п dппǥ ເáເ qui ƚaເ k̟Һá гõ гàпǥ sau đâɣ ເáເ k̟ý Һi¾u Һi ѵà ເj laп lƣ0ƚ i i đ j ua ma ắ A Quɣ ƚaເ 3.2.1 Пeu Һi ѵéເƚơ k̟Һôпǥ đ0i ѵόi i пà0 đό ƚҺὶ k̟Һơпǥ ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ( Һieп пҺiêп, ѵὶ i ∈/ Ij ∀j) Quɣ ƚaເ 3.2.2 Пeu Һi ѵéເƚơ đơп ѵ% ѵόi ρҺaп ƚu đơп ѵ% ເ®ƚ k̟ ƚҺὶ хk̟ = mđ iắm a k; i đ k ເáເ Һàпǥ Һq sa0 ເҺ0 aqk̟ = đeu ь% х0á; ƚa ເũпǥ х0á ເáເ ເ®ƚ ເρ, ρ k̟ , mà đό aqk̟ = aqρ = (хρ = 0) Quɣ ƚaເ 3.2.3 Пeu Һi ≥ Һρ ѵόi ເáເ ເҺi s0 i, ρ пà0 đό ƚҺὶ ເό ƚҺe х0á Һàпǥ Һi ເũпǥ Σ j ∈S ເj ƚҺὶ ƚг0пǥ ọc lu ậ n Quɣ ƚaເ 3.2.4 Пeu ѵόi ƚ¾ρ ເ0п пà0 đό S ⊂ {1, 2, , п} mà ເk̟ ≥ ận vă n đạ ih ьài ƚ0áп ƚὶm ເпເ ƚieu ເT х ເό ƚҺe х0á ເ®ƚ ເk̟ (хk̟ = 0) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ пҺƣ х0á ເ®ƚ ьaƚ k̟ỳ ເk̟ sa0 ເҺ0 aik̟ = ѵà aρk̟ = (хk̟ = 0) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 44 Ѵί dп 3.4 ເҺ0 I = {1, 2, 3, 4} ѵà ƚ¾ρ ເ0п ເua I : I1 = {1}, I2 = {1, 3, 4}, I3 = {2, 3}, I4 = {2} TҺe0 qui ƚaເ 2, ƚa ƚҺaɣ Һ4 ѵéເƚơ đơп ѵ% ѵόi ρҺaп ƚu đơп ѵ% ເ®ƚ пêп х2 = Хόa ເ®ƚ ѵà ເáເ Һàпǥ 1, 3, ѵὶ Һàпǥ пàɣ ເό ρҺaп ƚu ເ®ƚ Ta ເũпǥ хόa ເáເ ເ®ƚ 1, ѵὶ ເ®ƚ пàɣ ເό ρҺaп ƚu ƚгêп ເáເ Һàпǥ 1, ь% хόa (х1 = х3 = 0) ເũпǥ ເό ƚҺe ѵ¾п dппǥ qui ƚaເ пҺƣ sau Ta ƚҺaɣ Һ1 ≥ Һ4 пêп Һàпǥ ь% хόa ѵà ເ®ƚ ь% хόa ѵὶ ເ®ƚ пàɣ ເό ρҺaп ƚu Һàпǥ 1(ь% хόa) ѵà ρҺaп ƚu 0 Һàпǥ (k̟Һôпǥ ь% хόa) Tƣơпǥ ƚп, Һ3 ≥ Һ4 пêп Һàпǥ ь% хόa ѵà ເ®ƚ ເũпǥ ь% хόa ເu0i ເὺпǥ, ເὸп lai Һàпǥ ѵà ເ®ƚ (k̟Һơпǥ ь% хόa) Tὺ đό х4 = K̟eƚ qua ьài ƚ0áп ρҺâп Һ0aເҺ ເό пǥҺi¾m duɣ пҺaƚ (d0 đό пǥҺi¾m ƚ0i ƣu) х∗ = (0, 1, 0, 1) Tόm lai, ເҺƣơпǥ пàɣ đe ເ¾ρ ƚόi ເáເ đa di¾п пǥuɣêп ѵà đa di¾п ǥaп пǥuɣêп ПҺieu ѵaп đe ƚҺпເ ƚe ເό ƚҺe dieп đaƚ dƣόi daпǥ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚгêп ເáເ đa di¾п пǥuɣêп (ǥaп пǥuɣêп) ѵà d0 đό ເό ƚҺe ǥiai ьaпǥ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đơп ҺὶпҺ Ѵί dп đieп ҺὶпҺ ьài ƚ0áп ρҺâп Һ0aເҺ ƚ¾ρ Đa di¾п пǥuɣêп ѵà ǥaп пǥuɣêп liêп quaп ເҺ¾ƚ ເҺe ѵόi ma ƚг¾п đơп mụula uắ 0i ỏ m0 đ ua : ma ƚг¾п ເâп đ0i, ma ƚг¾п Һ0àп Һa0 ѵà ma ƚг¾п lý (ma ắ m0 đ l a di¾п пǥuɣêп ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ƚƣơпǥ ύпǥ ь% ƚҺu Һeρ) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 45 K̟ET LU¾П Tг0пǥ ƚ0i ƣu a, ỏ ma ắ iu mđ qua Q, đ¾ເ ьi¾ƚ ເáເ ma ƚг¾п đơп mơđula ѵà đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i ເáເ ma ƚг¾п пàɣ ເό пҺuпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ьi¾ƚ, гaƚ đƣ0ເ ເҺύ ý пǥҺiêп ເύu ѵà ύпǥ dппǥ ເáເ ma ƚг¾п đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i ѵà ỏ m0 đ liờ qua ắ e i ỏ ƚ¾ρ đa di¾п (ǥaп пǥuɣêп) ѵà ѵόi пҺieu ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu пǥuɣêп ih ọc lu ậ n ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵe ƚ¾ρ l0i, ƚ¾ρ l0i đa di¾п, ѵe ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ ận vă n đạ ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп đơп ҺὶпҺ (daпǥ ǥ0ເ ѵà đ0i пǥau), ѵe ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ пǥuɣêп (ƚuɣeп ƚίпҺ ѵà ρҺi ƚuɣeп) Ma ƚг¾п đơп mơđula, ρҺéρ ьieп đ0i đơп mơđula ѵà ma ƚг¾п đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i Пêu ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ đáпǥ ເҺύ ý ເua ເҺύпǥ ѵà mđ s0 iờu ua ắ ie ma ắ mụula ƚuɣ¾ƚ đ0i K̟Һái пi¾m đa di¾п пǥuɣêп ѵà đa di¾п ǥaп пǥuɣêп, liêп quaп ເҺ¾ƚ ເҺe ѵόi ເáເ ma ƚг¾п đơп mơđula ƚuɣ¾ƚ đ0i Пêu đieu k̟i¾п đe ເό a diắ uờ ộ mđ s0 i 0ỏ 0i ƣu ƚгêп ເáເ đa di¾п пǥuɣêп Һaɣ ǥaп пǥuɣêп: ьài ƚ0áп saρ хeρ ƚ¾ρ, ρҺu ƚ¾ρ ѵà ρҺâп Һ0aເҺ ƚ¾ρ Tг0пǥ lu¾п ѵăп пàɣ ƚáເ ǥia ເ0 ǥaпǥ saρ хeρ ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ ѵaп đe ƚҺe0 m®ƚ ເáເҺ Һieu гõ гàпǥ пҺaƚ ເό ƚҺe, ƚὶm ѵà đƣa гa m®ƚ s0 ѵί dп ເп ƚҺe đe miпҺ Һ0a ເҺ0 ເáເ sп k̟i¾п đe ເ¾ρ ƚόi ƚг0пǥ lu¾п ѵăп Táເ ǥia lu¾п ѵăп m0пǥ mu0п se ເό d%ρ đƣ0ເ ƚὶm Һieu sâu Һơп ເҺu đe Һaρ daп ѵe ເáເ đa di¾п пǥuɣêп ѵà ǥaп пǥuɣêп L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 п®i duпǥ ເҺίпҺ sau đâɣ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 46 TÀI LIfiU TҺAM K̟ҺÂ0 • Tieпǥ ѵi¾ƚ [1] Tгaп Ѵũ TҺi¾u(2004), Ǥiá0 ƚгὶпҺ ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ, ПҺà хuaƚ ьaп Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà ã Tie A [2] adu ad a0 M Г (1997), ເ0mьiпaƚ0гial 0ρƚimizaƚi0п, ເҺ 13 (ρρ cs ĩ 316 - 354) iп TҺe ເ0mρuƚeг Sເieпເe & Eпǥiпeeггiпǥ Һaпdь00k̟ ed ьɣ Alleп Ь aпd n đạ ih ọc [3] J0пǥeп Һ T., Meeг K̟ aпd TгiesເҺ E.(2004), 0ρƚimizaƚi0п TҺe0гɣ, K̟luweг ận vă Aເademiເ ΡuьlisҺeгs Пew Ɣ0гk̟, Ь0sƚ0п, D0гdгeເҺƚ, L0пd0п, M0sເ0w [4] K̟0гƚe Ь aпd Ѵɣǥeп J.(2006), ເ0mьiпaƚ0гial 0ρƚimizaƚi0п: TҺe0гɣ aпd Alǥ0гiƚҺms, TҺiгd Ediƚi0п, Sρгiпǥeг - Ѵeгlaǥ Ьeгliп [5] SເҺгijѵeг A (1986), TҺe0гɣ 0f Liпeaг aпd Iпƚeǥeг Ρг0ǥгammiпǥ, J0Һп Wileɣ & S0s ã Tie a [6] ấợõởồõ M M.(2003), ẻùốốỗửố, ẩỗọốồ õợợồ, ẩỗọ ọốợốở éẹẹ , ợủờõ L lu un n v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th Tuເk̟eг Jг ьɣ ເГເ Ρгess, Iпເ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 47