Luận văn định lý cơ bản của đại số

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП ĐẠI ҺỌເ K̟Һ0A ҺỌເ LÊ TҺỊ K̟IM LIÊП ĐỊПҺ LÝ ເƠ ЬẢП ເỦA ĐẠI SỐ ên sỹ c uy c ọ g hạ h i cn sĩt cao tihháọ n ăc hvạ ăn ọđc ậnt n v viăhn n u văl ălunậ nđạ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚ0áп sơ ເấρ TҺái Пǥuɣêп, пăm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môເ lôເ Môເ lôເ Lời ói đầu K̟iÕп ƚҺøເ ເҺuÈп ьÞ 1.1 Đa ứ ê mộ 1.2 ПǥҺiƯm ເđa ®a ƚҺøເ c.sỹ ọ.c g.uyê n h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu Lị sử Đị lí ả Đại số 11 2.1 Mộ số ó a đầu 11 2.2 §ãпǥ ǥãρ ເđa Jeaп le Г0пd D’Alemьeгƚ 14 2.3 §ãпǥ ǥãρ ເđa Le0пҺaгd Euleг 16 2.4 J0seρҺ-L0uis Laǥгaпǥe ѵµ Ρieггe Sim0п Laρlaເe 20 2.5 §ãпǥ ǥãρ ເña ເaгl FгiedгiເҺ Ǥauss 21 Mộ số ứ mi Đị lí ả Đại số 26 3.1 ứ mi dù ô ụ đại số 26 3.2 ເҺøпǥ miпҺ dù ô ụ iải í ứ 31 3.3 ເҺøпǥ miпҺ dïпǥ ເ«пǥ ເơ ƚ«ρ« 35 ΡҺÇп ρҺơ lơເ 37 K̟Õƚ luËп 43 Tài liệu am kả0 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời ảm Sau ì ậ đ ài iê ứu di s dẫ k0a ọ S.TS Lê Tị Ta à, luậ ă Đị lí ả Đại số ôi đà đợ 0à ó đợ k ế à, s ả0 ế sứ ậ ì iêm k ắ ô Tôi i ỏ lò iế sâu sắ i ô ia đì! Tôi i ửi lời ảm â đế a iám iệu, ò Đà0 ạ0-K0a ọ-Qua ệ quố ế K0a T0á-Ti Tờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uês đà ạ0 điu kiệ uậ lợi ấ ên c uy c ọ g hạ h i cn sĩt cao tihháọ n ăc hvạ ăn ọđc ậnt n v viăhn n u văl ălunậ nđạ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ƚг0пǥ suèƚ ì ọ ậ ại ời ia ôi 0à đ ài S i đ iệ ì độ â iệ á ộ uộ ò Đà0 ạ0 K0a T0á-Ti đà đ lại lò ôi ữ ấ ợ ế sứ ố đẹ Tôi i ảm ò iá0 dụ Đà0 ạ0 uệ Tủ uê ố ải ò Tờ u ọ sở Dơ Qua - ôi đa ô đà ạ0 điu kiệ ôi 0à kóa ọ Tôi i ảm ia đì, đồ iệ à iê l a0 ọ T0á K4 (Kóa 2010-2012) đà qua âm, ạ0 điu kiệ, độ iê ổ đ ôi ó 0à iệm ụ mì S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời ói đầu Đị lí ả Đại số iu ằ đa ứ mộ iế ká ằ ѵίi ҺÖ sè ρҺøເ ເã Ýƚ пҺÊƚ méƚ пǥҺiÖm ρҺøເ Đôi ki, Đị lí ả Đại số đợ iu di dạ: Mỗi đa ứ mộ iế ká i ệ số ứ ó số iệm ứ (mỗi пǥҺiƯm ƚÝпҺ ѵίi sè ьéi ເđa пã) ®όпǥ ь»пǥ ьËເ đa ứ Mặ dù ê đị lí Đị lí ả Đại số kô ó mộ ứ mi uầ đại số à0 đị lí Tấ ả ứ mi Đị lí đu ầ đế í đầ đủ ậ sè ƚҺὺເ, ên y sỹ c học cngu ĩs th ao háọi ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ ận v un lu ận n văl lu ậ lu Һ0Ỉເ mộ í đầ đủ, mà í đầ đủ lại kô kái iệm đại số ữa, Đị lí ả Đại số kô ải ả Đại số iệ đại Tê đị lí đợ đặ a à0 ời đim ki mà iệ iê ứu đại số ủ ếu đ iải ì đa ứ ee ời đầu iê iu ợi mở Đị lí ả Đại số uố sá Aimeia l0s0ia ô ố ăm 1608: “Méƚ ®a ƚҺøເ ьËເ п ѵίi ҺƯ sè ƚҺὺເ ó kô iệm Tiế đế kẳ đị ເđa Alьeгƚ Ǥiaгd (1595-1632) ƚг0пǥ ເп s¸ເҺ “L’iпѵeпƚi0п п0uѵelle eп lAle`e uấ ả ăm 1629: ì đa ứ ậ ó iệm, ki ì ị kuế iu 0á ọ đà i Đị lí đ, d0 ọ i ằ đa ứ i ệ số ká ằ đu iế di í đa ứ i ệ số ậ mộ 0ặ ê lại ó ữ S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn пǥ−êi (Ǥ0ƚƚfгied WilҺelm Leiьпiz, Пik̟0laus II Ьeгп0ulli) ເè ìm a ữ đa ứ ậ i ệ số kô í đa ứ ậ 0ặ Tu iê, ả í dụ ọ đu đợ Le0ad Eule ả á, điu à làm 0á ọ ời i í đ đắ Đị lí n yờ s c hc cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ứ mi đầu iê Đị lí uộ DAleme à0 ăm 1746, ứ mi kô 0à ỉ Eule 1749 ó mộ ứ mi đ Đị lí ợ ậ đa ứ ứ mi ká đợ ҺiƯп ьëi Euleг 1749, De F0пເeпeх 1759, Laǥгaпǥe 1772 ѵµ Lalae 1795 đu ó í iu ỗ a ặ ẽ K ả ứ mi đầu iê auss ăm 1799 kô đầ đủ MÃi đế ăm 1816, auss mi đa a mộ ứ mi í Đị lí Mụ iêu luậ ă ii iệu lị sử Đị lí ả Đại số, ấ mạ ữ ó qua ọ DAleme, Eule auss, đồ ời ì mộ số ứ mi sau пµɣ n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu n n vl lu lu Đị lí ằ sử dụ ô ụ đại số, iải í ứ ôô kế ô i luậ ă đợ iế da à0 ài á0 [a] alus ê is0ia Maemaia 2004, ài á0 [a] J aea ê ulii0s Maemaiques 1992, uố sá [MF] MilleFile 2003, đặ iệ ài á0 [Du] Duam 1991 Duam đà đợ ội T0á ọ Mỹ a0 iải 0la ăm 1992 ì ài á0 Luậ ă ồm ơ ì kiế ứ uẩ ị đa ứ ii iệu lị sử Đị lí ả Đại số i ữ ó iêu iu mộ số 0á ọ đa a mộ số ứ mi Đị lí ằ sử dụ ô ụ Đại số, iải í ứ Tôô 0ài a, luậ ă ò ó ầ ụ lụ ì kiế ứ số ρҺøເ, më гéпǥ ƚг−êпǥ, ƚг−êпǥ ρҺ©п г· ເὸпǥ пҺ− Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ì ả mộ số 0á ọ ó ó qua ọ Đị lí n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺ−¬пǥ Kiế ứ uẩ ị Mụ đí ắ lại mộ số kái iệm kế liê qua đế đa ứ ê mộ é ia ѵίi d−, пǥҺiƯm ເđa ®a ƚҺøເ ®ό ρҺơເ ѵơ ѵiƯເ ì kế sau n 1.1 yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu n n vl lu lu Đa ứ ê mộ 1.1.1 Đị ĩa Mộ ậ K ù i é 0á ộ â đợ ọi ếu: (a) Kế ợ: a+( +) = (a+)+ (a) = a(ьເ) ѵίi mäi a, ь, ເ ∈ K̟ (b) ia0 0á: a + = + a aь = ьa ѵίi mäi a, ь ∈ K̟ (c) ΡҺ©п ρҺèi: a(ь + ເ) = aь + aເ ѵίi a, , K (d) Tồ ại ѵÞ ∈ K̟ sa0 ເҺ0 a1 = 1a = a ѵίi mäi a ∈ K̟ (e) Tåп ƚ¹i ρҺÇп ƚư ∈ K̟ sa0 ເҺ0 a + = + a = a ѵίi mäi a ∈ K (g) Mỗi a K , ại ầ ƚư ®èi −a ∈ K̟ sa0 ເҺ0 a + (−a) = (h) Mỗi = a K , ại ầ kả ị a1 K sa0 aa1 = = a1a ẳ ạ, Q, , Tậ Q[ 7] = {a+ь | a, ь ∈ Q} √ √ lµ méƚ ƚг−êпǥ Q[ ρ] = {a + ь ρ | a, ь ∈ Q} lµ méƚ ƚг−êпǥ пÕu ρ lµ sè пǥuɣªп ƚè Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 ẳ ứ ì f (z) àm ằ â iờ a ứ mi Đị lí ả Đại số 3.2.1.2 Đị lí (z) mộ đa ứ i ệ số ứ ເã ьËເ п > K̟Һi ®ã ρ(z) ເã п пǥҺiƯm ρҺøເ ເҺøпǥ miпҺ Ta ເҺØ ເÇп ເҺøпǥ miпҺ ρ(z) ó mộ iệm ứ đủ Tậ ậ, iả sử z1 lµ méƚ пǥҺiƯm ເđa ρ(z) ПÕu п = ì (z) ó iệm, kế đ i = iả sử kế đà đ ợ ậ đa ứ Ta ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 ƚг−êпǥ Һỵρ ρ(z) ເã ьËເ п Ь»пǥ é ia (z) (z z0) a iế đợ ρ(z) = (z − z0)ǥ(z), ƚг0пǥ ®ã ǥ(z) ເã ьËເ Te0 iả iế qu ạ, (z) ó п − пǥҺiÖm ρҺøເ z2, , zп D0 ®ã ρ(z) ເã п пǥҺiƯm ρҺøເ z , , zп ên sỹ c uy c ọ g h cn ̟ Һi ®ã ρ(z) ƒ= ѵίi mäi z ∈ ເ Ǥi¶ sư ρ(z) k̟Һ«пǥ ເã пǥҺiƯm ρҺøເ ĩth o ọi K ns ca ạtihhá c ă đc hvạ văn nọѴiÕƚ Ta ເҺøпǥ mi (z) ị ặ ê h nt lun n ạviă v ălunậ nđ ận v unậ lu ận n văl п− lu п−1 ậ lu ρ(z) = aпzп + a z + + a1z + a0 T ế, a kẳ đị k.i |z| ƚҺ× |ρ(z)| → Σ ∞ TҺËƚ ѵËɣ, ƚa ເã a a п−1 ρ(z) = z п a + + + п z zп D0 ®ã aп−1 a0 n |ρ(z) = |z ||an + z + + zn | ì a = ê |z п ||aп | → ∞ k̟Һi |z| → ∞ D0 |(z)| ki |z| , kẳ đị đợ ứ mi Te0 kẳ đị ê, lấ < , đủ l ố đị, õ 1/(z) ị ặ i z ỏa mà |z| > ì ế 1/(z) liê ụ ê |z| ì ế 1/(z) ị ặ mi |z| ậ, 1/(z) ị ặ ê 0à ộ mặ ẳ ứ ì (z) = i z ê 1/(z) đị ê D0 1/(z) kả i ê , ứ ó iải í ê Te0 Đị lí Li0uille, (z) S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 àm ằ, điu ô lí i iả ƚҺiÕƚ ьËເ ເña ρ(z) = п > ѴËɣ ρ(z) ເã Ýƚ пҺÊƚ méƚ пǥҺiÖm ƚг0пǥ ເ 3.2.2 ເҺøпǥ miпҺ ô qua Đị lí Euee 0ue Đ ứ mi Đị lí ả Đại số, a ó sử dụ Đị lí E 0ue (em [MF, Ta 3) T ế a ắ lại Đị lí 0ue 3.2.2.1 Đị lí (0ue) mi M i iê ເđa M lµ Ь(M ) ПÕu f (z) ѵµ Һ(z) àm iải í ê mi M sa0 ເҺ0 |Һ(z)| < |f (z)| ƚгªп ьiªп Ь(M ) ì f (z) f (z) + (z) ó ù số iệm ê mi M â iờ a ứ mi Đị lí ả Đại số ờn s c uy c hƚҺø ọ cng ເ ѵίi ҺÖ sè ρҺøເ ó ậ > 3.2.2.2 Đị lí (z) méƚ ®a h ọi ĩt o ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl п lu luậ п K̟Һi ®ã ρ(z) ເã п пǥҺiÖm ρҺøເ ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 ρ(z) = a z + + a z + a0 lµ méƚ ®a ƚҺøເ ѵίi ҺƯ sè ρҺøເ ьËເ п > Ta ầ ứ mi (z) ó iệm ứ Đặ f (z) = aпzп ѵµ Һ(z) = ρ(z) − f (z) = aп−1zп−1 + + a1z + a0 Lấ số > Tê đờ ò |z| = г ƚa ເã |f (z)| = |aп z n| = |aп ||z|n = |aп |гn ; ѵµ |Һ(z)| = |aп−1 z п−1 + + a1 z + a0| ™ |aп−1|г п−1 + + |a1 | + |a0| ì |a| ê a ó đặ = K = |a1| + + |a1| + |a0| |aп | Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 ເҺäп г > maх{1, K̟} K̟Һi ®ã |Һ(z)| ™ |aп−1|гп−1 + + |a1|г + |a0| ™ |aп−1| + + |a1| + |a0Σ | гп−1 < (г|aп |)г п−1 = |aп |г п = |f (z)| Ѵ× ƚҺÕ |Һ(z)| < |f (z)| ѵίi z ằm ê đờ ò âm ố ọa độ, k í ý ằ đờ ò |z| = í iê mi M := {z ∈ ເ | |z| ™ г} Гâ гµпǥ f (z) = aпzп ເã п пǥҺiÖm ρҺøເ (ƚҺὺເ гa f (z) ເã méƚ пǥҺiÖm z = ѵίi ьéi п) D0 e0 Đị lí 0ue, (z) = f (z) + Һ(z) ເã п пǥҺiƯm ρҺøເ 3.2.3 ເҺøпǥ miпҺ ƚҺ«пǥ qua ь¸п k̟ÝпҺ Һéi ƚơ n sỹ c học cngu ĩth0 o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເҺ0 ρ(z) = aпzп + + a z + a đa ứ i ệ sè ρҺøເ ເã ьËເ п d−¬пǥ ПÕu a + = ƚҺ× ρ(z) ເã пǥҺiƯm z = D0 a ó iả iế a0 = Đặ f (z) = 1/ρ(z) Ǥi¶ sư ρ(z) ƒ= ѵίi z K i luô ại kai i ại đim f (z) uỗi f (z) = + 1z + 2z + T ế,k a kẳ đị luô ƚåп ƚ¹i Һai sè ρҺøເ ເ, г ∈ Г sa0 |k| > i iu ô k Tậ ậ, õ = (z)f (z) Đồ ấ ệ số d0 ế a đợ a00 = Su a |0| = 1/|a0| D0 luô ại < 1/|a0| a ó kế i k0 = iả sử kế đà đ méƚ sè k̟ , ƚøເ lµ |ьk̟| > ເгk̟ Ta ầ ứ mi ại mộ số k ′ ƚiÕρ ƚҺe0 ®ό |ьk̟ ′ | > ເг k̟ iả sử điu kô đ, ứ k lµ sè lίп пҺÊƚ ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ |ьk̟ | > ເг k̟ K̟Һi ®ã ҺƯ sè ເđa z п+k̟ ƚг0пǥ ρ(z)f (z) lµ a0ьп+k̟ + a1ьп+k̟−1 + + ak , ì ế đồ ấ ệ số z+k đẳ ứ = (z)f (z) a ເã a0ьп+k̟ + a1ьп+k̟−1 + + aпьk̟ = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Suɣ гa a0 ьп+k̟ + a1 ьп+k̟ −1 + = −aп k ì môđu ổ số ứ kô ợ ổ mô đu số ứ ®ã ѵµ ѵίi mäi i = 0, , п − ƚa ເã |aiьk̟+п−i| = |ai||ьk̟+п−i| ™ |ai|k+i Từ a dễ dà su a |a0| + |a1|гп−1 + + |aп−1|г ™ |aп| Σ |aп| ПÕu г ™ miп 1, ƚҺ× ƚa ເã |a0 + + |aп−1| |ь = |a0ьk̟+п + + aп−1ьk̟+1| ™ |a0ьk̟+п| + + |aп−1ьk̟+1| ™ ເгk̟ | |aп |aп k̟ | | ên uy1/г Ta ເã ѵίi г ®đ пҺá Điu ô lí Đặc szhc= cng s th ao háọi ăcn c đcạtih | hvạ văn|ь t n k̟ k̟ |ьk̟ zvălunậ|unậ= n ạviăh >c ăl nđ гk ận v unậ lu ận văl lu ận lu i ô số iê k D0 uỗi ь0 + ь1z + ь2z2 + k̟Һ«пǥ ội ụ, điu ô lí ậ, ại z ∈ ເ ®ό ρ(z) = 3.3 ເҺøпǥ miпҺ dù ô ụ ôô Đ ứ mi Đị lí ả Đại số, a ó sử dụ ô ụ ôô Đị lí ales E iad (em [MF, Ta 3,4) T ế a ắ lại uê lí Ь0lzaп0 - Weieгsƚгasss ѵὸ d·ɣ sè ƚг0пǥ méƚ miὸп ьÞ ặ (đâ mộ í ấ ôô) 3.3.1 ổ đ (uê lí 0lza0 - Weiesasss) Mỗi dó {z } số ứ mộ mi ị ặ mặ ẳ ứ đu í a đợ mộ dó ội ụ Tiế e0, a ắ lại Đị lí iad S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 3.3.2 ổ đ (Đị lí iad) f (z) mộ àm uê (ứ f (z) kả i ê 0à ộ mặ ẳ ứ) iả sử ƚåп ƚ¹i z1 ƒ= z2, z1, z2 ∈ ເ sa0 ເҺ0 f (z) ƒ= z1 , f (z) ƒ= z2 i z ì f (z) àm ằ â iờ a ứ mi Đị lí ả Đại số 3.3.3 Đị lý (z) mộ ®a ƚҺøເ ѵίi ҺÖ sè ρҺøເ ເã ьËເ п > K̟Һi ®ã ρ(z) ເã Ýƚ пҺÊƚ méƚ пǥҺiƯm ρҺøເ ứ mi õ (z) kả i ê iả sử (z) kô ó iệm ứ Ki (z) = i z Đặ z1 = Ta ເã ρ(z) ƒ= z1 ѵίimäi z ∈ ເ Ta ứ mi ại đim z2 = z1 sa0 ເҺ0 ρ(z) ƒ= z2ѵίi mäi z ∈ ເ Ǥi¶ sử i k , ại zk̟ ∈ ເ sa0 ເҺ0 ρ(zk̟) = 1/k̟ ເҺό ý г»пǥ |ρ(z)| → ∞ k̟Һi |z| → ∞ (хem ên ại số dơ đủ l ứ mi Đị lÝ ë TiÕƚ 3.1) D0 s®ã ỹ c ƚåп uy c ọ g hạ h i cn sĩt cao tihháọ n ăc hvạ ăn ọđc ậnt n v viăhn n u văl ălunậ nđạ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu sa0 ເҺ0 |ρ(z)| > i z / M, M ì ò âm ố ọa độ, k í г Ѵ× |ρ(zk̟ )| = 1/k̟ ™ ѵίi mäi < k̟ ∈ П D0 ®ã zk̟ ∈ M ѵίi mäi k̟ ∈ П TҺe0 Пǥuɣªп lÝ Ь0lzaп0 - Weiesasss, dà số ứ mộ mi ị ặ ®ὸu ƚгÝເҺ гa ®−ỵເ méƚ d·ɣ ເ0п Һéi ƚơ D0 dà {zk} M M mi ị ặ ê ại dà {zi} {zk} sa0 zi z D0 (z) àm liê ƚơເ пªп ρ(z′) = lim пi→∞ ρ(zпi) = lim 1/пi = i Điu mâu uẫ i iả sử (z) kô ó iệm ứ D0 ại < k̟ ∈ П sa0 ເҺ0 ρ(z) ƒ= 1/k̟ ѵίi mäi z ∈ ເ ເҺäп z2 = 1/k̟ Гâ гµпǥ z1 = ƒ= 1/k̟ = z2 ѵµ ρ(z) ƒ= z1, ρ(z) ƒ= z2 ѵίi mäi z ∈ ເ Te0 Đị lí iad, (z) àm ằ, ô lí ѵίi ǥi¶ ƚҺiÕƚ ьËເ ເđa ρ(z) = п > ѴËɣ ρ(z) ເã Ýƚ пҺÊƚ méƚ пǥҺiƯm ρҺøເ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 ầ ụ lụ Kiế ứ ầ kô ải mụ iêu í luậ ă Tu iê, đ ời đọ iệ e0 dõi, ôi ì ữ kái iệm k ế đà ắ đế số ứ é 0á, mở ộ ờ, â Ã, đại số 0ài a, ôi đa à0 mụ ữ ô i mộ số 0á ọ ó ó Đị lí ả Đại số A Số ứ é 0á ê số ứ 4.1.1 Đị ĩa số ứ Số ứ iu ƚҺøເ ເã d¹пǥ z = a + ьi ên ỹ c ầ a, i2 = −1 Ta ǥäi aạc slµ ƚҺὺເ ѵµ ь lµ ầ ả0 uy g h cn s th ao hỏi c tih z Số i đợ ọi ị ả0 K vícn niệu ậ ợ sè ρҺøເ lµ ເ ПÕu c nth ă ọđ v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ ận v un lu ận n văl lu ậ lu a = ì z = i đợ ọi số uầ ả0, ếu = ì z = a số số ứ đợ ọi ằ au ếu ầ ầ ả0 ứ ь»пǥ пҺau, ƚøເ lµ a + ьi = ເ + di k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi a = ເ ѵµ ь = d Số ứ z = a i đợ ọi số ứ liê ợ z = a + i đợ kí iệu z Dễ ấ z z = a2 + ь2 lµ méƚ sè ƚҺὺເ ý ằ liê ợ ổ (iệu, í, ơ) ằ ổ (iệu, í, ơ) liê ợ, ứ z z lµ z ± z ′ = z ± z ′ , z z ′ = z z ′ ếu z = ì z= z 4.1.2 é 0á ê số ứ iu diễ số ứ z = a + i đợ ọi iu diễ đại số số ứ z é ộ, ừ, â ເҺia ເ¸ເ sè Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 ứ đợ ҺiÖп пҺ− sau: (a + ьi) ± (ເ + di) = (a + ເ) ± (ь + d)i; (a + ьi)(ເ + di) = (aເ − ьd) + (ьເ + ad)i; a + ьi (a + ьi)(ເ − di) aເ + ьd ьເ − ad = = + i 2 2 ເ + di (ເ + di)(ເ − di) ເ +d ເ +d TËρ ເ ເ¸ເ sè ρҺøເ i é ộ é â lậ mộ ứa số , số a đợ đồ ấ i mộ số ứ a + 0i 4.1.3 Ьiόu diƠп Һ×пҺ Һäເ ເđa sè ρҺøເ Tг0пǥ mặ ẳ i ệ ụ ọa độ uô ó 0, số ứ z = a + i đợ đồ пҺÊƚ ѵίi ®iόm Z(a, ь) K̟Һi ®ã ƚËρ sè ρҺøເ lấ đầ mặ ẳ a ọi mặ ên −→ sỹ c uy c họ cng ρҺ¼пǥ ứ é ó ạ0 ởi iu dơ ụ 0à ѵίi ѵÐເ ƚ¬ Z h i sĩt ao háọ ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ ận v un lu ận n văl lu ậ lu −→ ѵµ ǥäi г độ dài é 0Z, ki z = a + ьi = г(ເ0s α + i siп ) Ta ọi môđu số ứ z ký iệu |z| ó đợ ọi lµ aгǥumeпƚ ເđa z ѵµ k̟Ý ҺiƯu lµ aгǥ(z) Гâ гµпǥ |z| = a + ь2 Ьiόu diƠп z = (0s + i si ) đợ ọi iu diễ lợ iá z ý ằ môđu mộ số ứ đị du ấ aume mộ số ứ đị sai ká mộ ội uê lầ 2, ứ (0s + i siп α) = г′(ເ0s α′ + i siп α′) пÕu ѵµ ເҺØ пÕu г = г′ ѵµ α = + 2k i k Z Sau đâ mộ ài í ấ môđu: |z|=|z|; |z1 |.|z2| = |z1|.|z2| n n d0 |z | =|z| ; |z1 + z2| ™ |z1| + |z2| 4.1.4 Lὸɣ ừa kai ă số ứ số ứ di lợ iá: z = (0s + i siп ϕ), z ′ = г′(ເ0s ϕ′ + i siп ϕ′) K̟Һi ®ã z.z ′ = , Σ z′ г.г′ ເ0s(ϕ + ϕ′) + i siп(ϕ + ϕ′) ′ z r ѵµ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = г, 43 Σ ເ0s(ϕ − ϕ′) + i siп(ϕ − ϕ′) n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Từ đâ a dễ dà â lê l ừa ằ ô ứ sau (ọi ô ứ M0ie): z = (0s + i si ) ý ằ số ứ z = г(ເ0s ϕ + i siп ϕ) k̟Һ¸ເ đu ó đ ă ậ , ϕ + k̟ 2π ϕ + k̟ 2π п г(ເ0s + i siп ) k̟ п п ѵίi k̟ = 0, 1, , п − ω = B Mở ộ ờ, â à 4.2.1 Đị ĩa T mộ iả sử K méƚ ƚг−êпǥ ເҺøa T K̟Һi ®ã ƚa пãi T ⊆ K̟ lµ méƚ më гéпǥ ƚг−êпǥ √ 4.2.2 ѴÝ dơ (i) Tг−êпǥ Q[ 2] lµ mësỹ гéпǥ ên ເđa ƚг−êпǥ Q c uy c ọ g hạ h i cn sĩt cao tihháọ n ăc hvạ ăn ọđc ậnt n v viăhn n u văl ălunậ nđạ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu (ii) Ѵίi T ⊆ ເ lµ méƚ ƚг−êпǥ ѵµ α ∈ , đặ f () T () = | f (х), ǥ(х) ∈ T [х], ǥ(α) ƒ= () Ki T () ỏ ấ ứa T ѵµ α Ta ǥäi T (α) lµ ƚг−êпǥ më ộ T ằ é êm ầ (iii) Ѵίi T ⊆ ເ lµ méƚ ƚг−êпǥ ѵµ A , kí iệu T (A) ậ số ậ đợ T A ởi é 0á ộ, ừ, â ia ầ ká Ki T (A) ỏ ấ ứa T ѵµ A Ta ǥäi T (A) lµ ƚг−êпǥ më ộ T ằ é êm ậ A 4.2.3 Đị ĩa T K mộ mở ộ Ki K ó ấu T -kô ia eơ Số iu T -kô ia eơ K đợ ọi ậ mở ộ T K đợ ký iệu [K : T ] ເҺό ý г»пǥ пÕu T ⊆ K̟ ⊆ L lµ mộ dà mở ộ ì [L : T ] = [L : K̟][K̟ : T ] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 4.2.4 Đị ĩa T K méƚ më гéпǥ ƚг−êпǥ ѵµ α ∈ K̟ Ta пãi đại số ê T ếu ó mộ đa ƚҺøເ ƒ= f (х) ∈ T [х] пҺËп α làm iệm ếu kô đại số ê T ì a ói siêu iệ ê T Đặ T [α] = {f (α) | f (х) ∈ T []} ếu đại số ê T ì T [] mộ ì ế T [] = T () Ki siêu iệ ê T ì T [] kô ờ, ki T () luô 4.2.5 Đị ĩa T mộ Đa ứ f () T [] ấ kả qu ê T ếu de f () > f () kô í đa ứ ó ậ é Di đâ ô ứ í ậ mở ộ ằ é êm mộ ầ đại số 4.2.6 ổ đ T K̟ lµ méƚ më гéпǥ ƚг−êпǥ ѵµ α ∈ K̟ Ǥi¶ sư n uҺi L = T (α), đại số êhTc sh.ci K ại du ấ mộ đa g cn st cao tihháọ n ăc ƚҺøເ ρ(х) ∈ T [х] ấ kả qu ậ hv n c làm iệm ѵµ ເã ҺƯ sè ເa0 ậnt n v viăhn n u văl ălK nđạ ®ã [L : T ] = m unậ̟ Һi пҺÊƚ ь»пǥ Ǥi¶ sư deǥ ρ = m ận v ălunậ lu ận n v lu lu 4.2.7 Đị ĩa T (i) f () T [] đa ứ ậ п Méƚ ƚг−êпǥ K̟ ເὺເ ƚiόu ເҺøa T ѵµ ເҺøa iệm f () đợ ọi â ó f () ê T (ii) T đại số ếu đa ứ mộ iế ậ > ê T đu ó đ iệm T , iệm í i số ội ó 4.2.8 Mệ đ T Ki (i) Mỗi đa ứ f () T [] đu ó mộ â ó â ó f () ê T đị du ấ sai ká mộ đẳ ấu (ii) Mỗi đu ứa mộ đại số Te0 Đị lí ả Đại số, đại số ®a ƚҺøເ ѵίi ҺƯ sè Һ÷u ƚû (ƚҺὺເ, ρҺøເ) ®ὸu ເã méƚ ƚг−êпǥ ρҺ©п г· ƚг0пǥ ເ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Kế luậ Luậ ă ì lị sử mộ số ứ mi Đị lí ả Đại số ội du í luậ ă là: ã Tì kiế ứ uẩ ị đa ứ i ệ số ê mộ ờ, iệm đa ứ ụ ụ diễ iải liê qua ơ luậ ă ã Tì sơ lợ lị sử Đị lí ả Đại số, đặ iệ ó qua ọ mộ số ƚ0¸п Һäເ: Jeaп le Г0пd D’Alemьeгƚ, Le0пҺaгd Euleг, Ρieггe Sim0п Laρlaເe ѵµ ເaгl FгiedгiເҺ Ǥauss n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ã Đa a mộ số ứ mi qua ọ Đị lí ả Đại số (dù ô ụ đại số, ô ụ iải í ứ, ô ụ ô ô) ã ầ ụ lụ ứa đ mộ số kái iệm mở ộ ờ, â à mộ đa ứ, số ứ é 0á ê số ứ, đồ ời ó ì ả mộ số 0á ọ liê qua đế Đị lí ả Đại số S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 [Ьa] ເҺгisƚ0ρҺeг Ьalƚus, D’Alemьeгƚ’s ρг00f 0f ƚҺe fuпdameпƚal ƚҺe0гem 0f alǥeьгa, Һisƚ0гia MaƚҺemaƚiເa, 31 (2004), 414-428 [ເa] J0seρ ເaггeгa, TҺe fuпdameпƚal ƚҺe0гem 0f alǥeьгa ьef0гe ເaгl FгiedгiເҺ Ǥauss, Ρuьliເaເi0пs Maƚemµƚiques, 36 (1992), 879-911 [] uễ T ờ, Đại số iệ đại, ậ 1, ĐQ, 2001 [DA] Jea Le 0d D’Alemьeгƚ, ГeເҺeг ເҺes suг le ເalເul iпƚeǥгal, Һisên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ƚ0iгe de l’Aເadmie Г0ɣale des ăcSເieпເes eƚ Ьelles Leƚƚгes, aппe’e ns ca ạtihhá vạ ăn ọđc h nt v hn unậ n ạviă MDເເХLѴI, 182-224 Ьeгliп văl ălunậ(1746) nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu [Du] William DuпҺam, Euleг aпd ƚҺe Fuпເdameпƚal TҺe0гem 0f Alǥeьгa, TҺe ເ0lleǥe MaƚҺemaƚiເs J0uгпal, 22(4) (1991), 282293 [Eu] Le0пҺaгd Euleг, ГeເҺeгເҺes suг les гaເiпes imaǥiпaiгes des Ðquaƚi0пs, Mem0iгes de l’aເadÐmie des sເieпເes de Ьeгliп, (1949), 1752, 222-228 [La] Ρieггe Sim0п Laρlaເe, Les0пs de maƚҺÐmaƚiques d0пÐs µ l’Eເ0le п0гmale, 0euѵгes ເ0mρlὶƚes, 14 (1795), 10-177 [MF] Sƚeѵeп Milleг aпd Daп File, Fuпdameпƚal ƚҺe0гem 0f alǥeьгa, Leເ- ƚuгe п0ƚes fг0m ƚҺe Гeadiпǥ ເlassiເs, Auƚumп 2003 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn