Luận văn dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trên mặt phẳng

I TãI U Tì I Sì M ã T L0A D U Tã ếA ì T M ГI–ПǤ TUƔ˜П T•ПҺ ເ‡Ρ ҺAI TГ–П M•T ΡҺ•ПǤ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П TãI U - 2020 I TãI U Tì „I ҺÅເ S× ΡҺ„M °пǥ TҺà L0aп n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu D U Tã ếA ì T „0 Һ€M ГI–ПǤ TUƔ˜П T•ПҺ ເ‡Ρ ҺAI TГ–П M•T ΡҺ•ПǤ uả : T0Ă iÊi Tẵ M số: 46 01 02 LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П ҺÅເ ເ¡п ьë ữợ dă k0a ồ: TS T T DI LI i TҺ•I ПǤUƔ–П - 2020 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ii Lίi ເam 0aп Tỉi хiп ເam 0aп Luªп ô "DÔ uâ - ừa ữ ẳ Ô0 m iả uá ẵ Đ ả m " l ẳ iả u k0a ừa iả ổi dữợi sỹ ữợ dă ỹ iá ừa TS T T Diằ Li i a, luê ô ổi ỏ sỷ dử mở số ká quÊ, ê ừa mở số Ă iÊ kĂ Ãu õ ẵ ẵ dă uỗ ố.T0 quĂ ẳ iả u, ổi  ká ứa ƚҺ пҺ qu£ k̟Һ0a Һåເ ເõa ເ¡ເ пҺ k̟Һ0a Һåເ ợi sỹ Ơ iá .c s c guyờn h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c v n lê c áu Ă iằ Đ ký sü ǥiaп п ƚæi хiп Һ0 п ƚ0 п ເҺàu ƚг¡ເҺ nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v n n vălu nậnđ пҺi»m ѵ· пëi duпǥ luªп lô u n vluừa mẳ lu n lu TĂi uả, 15 Ă ôm 2020 TĂ iÊ T L0a ii Li Êm Luê ô ữủ Ôi ữ Ôi Sữ Ôm TĂi uả TĂ iÊ i ọ lỏ kẵ iá sƠu s- TS T T Diằ Li ữi Ư  ỹ iá ữợ dă, ê ẳ Ê0 iả Ă iÊ ƚг0пǥ suèƚ ƚҺίi ǥiaп пǥҺi¶п ເὺu ѵøa qua T¡ເ ǥi£ Ơ ỷi li Êm Ă Ư, ổ iĂ0 K0a T0Ă, ỏ Ô0 Sau Ôi ồ, Ă Ô niả lợ a0 K26 T0Ă iÊi yờ sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu ẵ ữ Ôi Sữ Ôm TĂi uả  luổ i ù, Ô0 iÃu kiằ uê lủi Ă iÊ quĂ ẳ ê iả u Ôi ữ TĂ iÊ ụ i ọ iá sƠu s- ợi ia ẳ ữi Ơ  luổ kuá kẵ, iả Ă iÊ suố quĂ ẳ ê l m luê ô TĂ iÊ m0 ê ữủ ỵ kiá õ õ quỵ Ău ừa Ă Ư ổ Ô luê ô ữủ iằ TĂi uả, 15 Ă ôm 2020 ữi ỹ iằ °пǥ TҺà L0aп iii Mưເ lưເ Tгaпǥ ь¼a ρҺư i Lίi ເam 0aп ii Lίi ເ£m ὶп iii Lίi пâi Ưu 1 Kiá uâ n yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 1.1 Mëƚ sè k̟Һ¡i пi»m à ữ ẳ Ô0 m iả 1.2 ữ ẳ Ô0 m iả ເ§ρ Һai 1.2.1 ữ ẳ uá ẵ 1.2.2 DÔ uâ - ừa ữ ẳ e0li 20 1.2.3 DÔ uâ - ừa ữ ẳ aa0li 23 1.2.4 DÔ uâ - ừa ữ ẳ elii 25 DÔ uâ - ừa ữ ẳ Ô0 m iả uá ẵ Đ ả m 28 2.1 ữ ẳ Ô0 m iả uá ẵ Đ ợi iá ëເ lªρ .28 2.2 DÔ uâ - kổ a ữ .31 2.3 DÔ uâ - 35 iv 2.3.1 àпҺ l½ гόƚ ǥåп 39 2.3.2 DÔ uâ - Ă im kẳ d Đ 47 Ká luê 51 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 52 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu v Lίi пâi ¦u Sü k̟Һði ¦u ừa lỵ uá Ã Ă dÔ uâ - ừa ữ ẳ Ô0 m iả uá ẵ Đ ả m ữủ iả u k0Ê ia k̟ 18 Ѵ ƚҺίi iºm â d'Alemьeгƚ ѵ Euleг  à uĐ ữ ẳ sõ ữ ẳ Lalae º mỉ ƚ£ sü ເҺuɣºп ëпǥ ເõa d¥ɣ ѵ sü a ê ố ừa Đ lọ kổ ữủ ữ Sau ki uĐ iằ dÔ uâ - m Ôi diằ Ă ữ ẳ l0Ôi elii ữ ẳ l0Ôi e0li, ữủ sỷ dử n yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu пҺi·u ƚг0пǥ ǥi£i ƚ½ເҺ º ¡ρ dưпǥ ƚг0пǥ ѵi»ເ ǥi£i quɣ¸ƚ ເ¡ເ ь i ƚ0¡п k̟Һ¡ເ au a Đ Ã ữủ iÃu ữi qua Ơm ữ ữủ iả u lắ ỹ ữ ẳ Ô0 m iả ữ ẳ ƚêпǥ qu¡ƚ a(х, ɣ)uхх + ь(х, ɣ)uхɣ + ເ(х, ɣ)uɣɣ = 0, (0.1) ѵỵi a, ь, ເ l ເ¡ເ Һ» số , õ ữủ ữa Ã Ă dÔ a ữ Ư D ợi D = 4a ừa ữ ẳ (0.1) e0 ỹ l im Đ ký ừa ữ ẳ e0l eli ữ , l iằ Ơm, Ă a ời Ă ồa ỹ iằ Ơ ả mở m Đ iá ẵ ủ (em[4]) ối ợi mở a quĂ Ư õ ƚг0пǥ ƚæρæ WҺiƚпeɣ ьi»ƚ ƚҺὺເ l гéпǥ Һ0°ເ l mëƚ ÷ίпǥ ເ0пǥ ƚгὶп ÷đເ пҺόпǥ ƚг0пǥ m°ƚ ρҺ¯пǥ ПҺ÷ ê mở ữ ẳ quĂ ừa ữ ẳ sõ dÔ u u = ữ ẳ Lalae dÔ u + u = Ă dÔ uâ - iằ a ừa ữ ẳ (0.1) ẵ l Ư mở im ơm i ữ ữ ữủ ồi l dÔ ữ a ời ẳ Đ ký im Ư õ ữ ẳ ỗm õ Ă im ừa Ê eli e0l ΡҺ÷ὶпǥ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ƚг¼пҺ (0.1) a ời dÔ mià ữủ ồi l ữ ẳ dÔ ộ ủ T0 iả u ừa Ti0mi ([em 6])  mở ữ ẳ Ư im ừa dÔ ữ a ời, õ l ữ ẳ kổ su ьi¸п ເõa ьi»ƚ ƚҺὺເ, ƚὺເ l D(Ρ ) = dD( ) = Ôi õ ữ ữ d : d ữủ Ă i ữ ẳ (0.2) ữ ẳ (0.2) kổ iá uá ợi ữ Ư mở im ữ ê, Ti0mi  ữa a (0.1) dÔ uâ - ữủ kẵ iằu a(, )d2 ь(х, ɣ)dхdɣ + ເ(х, ɣ)dх2 = uɣɣ + ɣuхх = (0.3) Sau k̟Һi ƚҺaɣ êi ເ¡ເ ƚåa ë ỹ iằ Ơ ả mở m Đ iá é dÔ ữ ẳ an ời ả Һ0 пҺ ѵ пâ ƚҺuëເ yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl 0ălunậ nđạv ận v unậ2 lu ận n 0văl lu lu ữ ẳ l0Ôi elii mià > ѵ Һɣρeгь0liເ ƚг0пǥ mi·п ɣ < ເâ Һai ữi ẵaÔi mội im ừaơ .ẳ Ă ẵ dÔơm uâ - miÃa, õ dÔ 9( mi ) = ữ ối ợi ữ ẳ (0.3), Ti0mi ([em 6]) ẳ dÔ mợi à l0Ôi i ƚ0¡п ǥi¡ ƚгà ьi¶п ƚг0пǥ mi·п ьà ເҺ°п ьði ເ¡ເ °ເ ƚг÷пǥ ǥia0 пҺau i ƚø Һai iºm ເõa dÔ ữ a ời i mở u ơm ƚг0пǥ mi·п ɣ > ѵ пèi ເ¡ເ iºm п lÔi ối ợi Ă iÃu kiằ iả ừa Diile ÷đເ х¡ເ àпҺ ƚг¶п ເuпǥ п ɣ ѵ ƚг¶п mëƚ u ữ, ổ  mi lỵ à sỹ ỗ Ôi ẵ du Đ ừa iằm a Đ Ã ữủ ƚ¶п l Tгiເ0mi I Tг0пǥ пǥҺi¶п ເὺu Tгiເ0mi ([хem 6]) ụ u Đ Ã Ê dÔ uâ - (0.3) ữ mi ừa ổ ữa Ư Sau õ mi dÔ ữủ ỹ iằ i iai0 ữ lữu ỵ ả, ká quÊ ừa Ti0mi  ữủ sỷ dử ẵ ỹ iả u lỵ uá Ã Ă dÔ uâ - ừa ữ ẳ Ô0 m iả ả m à 2.3.7 ối ợi iá dÔ ừa ỗ Đ , õ l ợ ả am số, ợi ê ố ừa Ơ lả lụ ứa : (, , ) (, , ) iá dÔ ợi ê ố à п ɣ ƚ÷ὶпǥ ƚü пҺ÷ пҺύпǥ ρҺ¡ƚ ьiºu ƚ÷ὶпǥ ὺпǥ ƚø ь i ь¡0 sè ([5], [6]) ເҺὺпǥ miпҺ ьði 0Ă ỹ iá D0 à 2.3.6  mi lỵ Ư a ữ Ư k0Ê [0, 1] ừa - ử, ẳ iá dÔ ê ƚèເ Ѵƚ = fƚ ѵ − (γƚ∗ fƚ ) γ∗ (2.15) iÊi ữủõừa ữ ẳ ốif ợi f dỹa ả sỹ ữ ẵ ừa T0 l ữ e l m ả , , KÊ ô ợi m a lê a0 m sỹ ữ ƚҺ½ເҺ ເõa Һå ѵ ѵ γƚ ເҺ0 måi ƚ [0, 1] d0 ắa ừa iá dÔ ê ố (ọ qua số ) ả m ρҺ¯пǥ ɣ = (Һ0°ເ η = 0) ເâ k̟Һæпǥ ½ƚ пҺ§ƚ ເõa ເ§ρ Һai D0 â, пâ ເâ ƚҺº ữủ ẳ dữợi dÔ s yờn c u ạc họ cng ĩth ao háọi s 2ăcn c ạtih vạ n c nth vă ăhnọđ ậ n u ận ạvi l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Һ(ζ, η, ε) Ѵ =η г(ζ, η, ε) (2.16) , ѵỵi mëƚ sè Һ m ƚгὶп Һ ѵ г Пǥ0 i гa, d0 à 2.3.6 iá dÔ ê ố Êi ọa m¢п ¯пǥ ƚҺὺເ γ∗Ѵ = −Ѵ TҺaɣ ѵ ьiºu ƚҺὺເ (2.16) ເâ Σ η Һ(ζ, −η, ε) −η г(ζ, −η, ε) =− η2Һ(ζ, η, ε) Σ η2г(ζ, η, ε) г(ζ, −η, ε) = г(ζ, η, ε) ѵỵi D0 â Һ(ζ, −η, ε) = −Һ(ζ, η, ε) ѵ ເ¡ເ Һ m Һ ѵ г lƯ lữủ l đ l D0 õ ẵ Đ a ữ Ư im ố õ dữợi dÔ (, , ε) = ηρ(ζ, η2, ε) ѵ г(ζ, η, ε) = q(ζ, η2, ε) ѵỵi mëƚ sè Һ m ƚгὶп ρ q D0 õ ê ố õ dÔ (ζ, η, ε) = η3ρ(ζ, η2, ε) 60 ∂ ∂ζ + η2q(ζ, η2, ε) ∂ ∂η (2.17) n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 61 Һὶп пύa ƚг¶п m°ƚ ρҺ¯пǥ η = ເâ γ∗ѵ = −ѵ d0 i·u iÊ sỷ ừa lỵ à ẵ ữ ẵ ẵ Đ ơm a D0 õ Ư im ố ừa ữ õ ữủ iá dữợi dÔ ѵ(ζ, η, ε) = ηl(ζ, η, ε) + m(ζ, η, ε) , ∂ζ ∂η (2.18) ѵỵi mëƚ sè Һ m ƚгὶп l ѵ m Lόເ п ɣ Һ m f l ừa Ă Ư đ l ừa õ ợi iá số kổ ời , l f (, η, ε) = u(ζ, η 2, ε) + ηω(ζ, η2 , ) Ôi u l Ă m ƚгὶп TҺaɣ ƚҺ¸ ьiºu ƚҺὺເ п ɣ ເҺ0 f ѵ iu (2.17) (2.18) Ă số Ô ả Êi ừa (2.15) õ ữủ (f )(, , ) = [u(ζ, η2, ε) + ηω(ζ, η2, ε)] ηl(ζ, η, ε) + m(ζ, η, ε)∂ ∂ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ ∂ u l ƚ ∂η ∂ζ (2.19) Σ (γƚ∗ fƚ ) (ζ, η, ε) = f (.ζ, −η, ε) = u(ζ, η , ε) − ηω(ζ, η∂2 , ε) (γt∗ v) (ζ, η, ε) = − ηl(ζ, −η, ε) ∂ζ + m(ζ, −η, ε) ∂η Σ ∂ζ Σ ∂ + m(ζ, −η, ε) ∂η (2.20) Lόເ п ɣ ƚҺaɣ ƚҺ¸ ເ¡ເ ьiºu ƚҺὺເ (2.17), (2.19) ѵ (2.20) ( lƯ lữủ ợi , f (γƚ∗ fƚ ) γƚ∗ѵ ) ѵ ьiºu ƚҺὺເ (2.15) ƚa ເâ ((γ ∗ f ƚ ƚ ) γƚ∗ ѵ) (ζ, η, ε) = −[u(ζ, η , ε) − ηω(ζ, η , ε)] ηl(ζ, −η, ε) 2 ∂ Σ∂η Σ 2 22 ∂ ∂ = ρ(ζ, [u(ζ,ηη, ,ε)ε) ++ηω(ζ, η η q(ζ,η η, , ε) ηl(ζ, η, ε)∂ζ + m(ζ, η, ε)∂η ∂ ∂ ε)] 2 +[u(ζ, η , ε) − ηω(ζ, η , ε)](ηl(ζ, −η, ε) ∂ζ∂ + m(ζ, −η, ε) ∂∂η) ∂ζ ∂ζ = [uη(l(ζ, η, ε) + l(ζ, −η, ε)) + ωη2 (l(ζ, η, ε) − l(ζ, −η, ε))] ∂ +[u(m(ζ, η, ε) + m(ζ, −η, ε)) + ωη(m(ζ, η, ε) − m(, , ))] Ơ Ă Ư ỷ ẵa Ăi Êi ừa iu iá, e0 i ằ ữ ẳ uá ẵ ả u ω: uη(l(ζ, η, ε) + l(ζ, −η, ε)) + ωη2(l(ζ, η, ε) − l(ζ, −η, ε)) = η3ρ(ζ, η2, ε) 62 u(m(ζ, η, ε) + m(ζ, −η, ε)) + ωη(m(ζ, η, ε) − m(ζ, −η, ε)) = η2q(ζ, η2, ε) n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 63 Ð Ơ ia ữ ẳ Ưu iả ỗi ằ ữ ẳ õ dÔ u(l(, , ) + l(ζ, −η, ε)) + ωη(l(ζ, η, ε) − l(ζ, −η, ε)) = η2ρ(ζ, η2, ε) u(m(ζ, η, ε) + m(ζ,− η, ε)) + ωη(m(ζ, η, ε)− m(ζ, − η, ε) = η2q(ζ, η2, ε) (2.21) àпҺ ƚҺὺເ ເõa ma ƚгªп ເõa Һ» п ɣ l l(ζ, η, ε) + l(ζ, −η, ε) η(l(ζ, η, ε) − l(ζ, −η, ε)) = η [L+Q(ζ, η, ε)], m(ζ, η, ε) + m(ζ, −η, ε) η(m(ζ, η, ε) − m(, , )) Ôi L = 2[l(0, 0, 0)m(0, 0, 0) − lη(0, 0, 0)m(0, 0, 0)] ѵ Q l m iằ iảu Ôi im ố i ẳ Êi ừa ằ ia ữ L kổ ь¬пǥ d0 i·u k̟i»пD0 â (2.21) l ƚгὶп ǥi£i ữủ ối ợi u Ư im ố áu L = ẵ ữ ẵ ừa Ơ lả lu ứa ữ Tê ê d0 ẵ ữ ẵ, diằ ẵ ừa ẳ ẳ ữủ пǥҺ¾a ьði ǥi¡ ƚгà ên sỹ c uy c ọ g ừa ữ õ số ê Һai m°ƚ ρҺ¯пǥ η = ເõa ເ¡ເ iºm h ƚг¶п cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n đc th vă hnọƚҺøa ເè àпҺ ເõa Ơ lảvlunnlụ D0 õ m n i n nđạv v γ∗ѵ ălu ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ηl(ζ, η, ε) (ζ, η, ε) = m(ζ, η, ε) −ηl(ζ, −η, ε) −m(ζ, −η, ε) = −η[l(ζ, η, ε)m(ζ, −η, ε) − l(ζ, −η, ε)m(ζ, η, ε)] = 2η2[L + Һ(ζ, η, ε)], ѵỵi Һ l Һ m Đ iá Ôi im ố õ số ê ả m ẳ ê L = 0, ẵ Đ a ữ Ư im ố, ằ ữ ẳ (2.21) d iÊi ữủ ki i пǥuɣ¶п u ѵ ω l¶п lơɣ ƚҺøa σ1 ѵ σ2 Ôi im ố l - ữ ữ mÔ D0 õ ữ ẳ (2.15) d iÊi ữủ ổi ừa Ơ lỵ ữủ mi ỵ 2.1 DÔ uâ - u +(1 − г)uφφ = ເơпǥ sû dưпǥ ເҺ0 ເ¡ເ Һå ữ ẳ ợi am số u Ô iÃu , п¸u ເҺ0 mëƚ sè ǥi¡ ƚгà 64 ເõa ƚҺam sè õ Ă iÃu kiằ ỵ ữợ ữủ ọa m ẳ dÔ uâ - Ư im kẳ d Đ a õ dÔ u + (1 )u = ả ỗ ổi ừa m , m iằ a ẵ liả ử uở am số ữ lữu ỵ ả ữ ẳ ừa (2.22) d Ơ ẵ Ă im ký d ừa iằ ữ sõ iằ ứ ữ Đ ỗ ổi kổ Êm Ê0 iằ Ê0 ỗ ẵ Đ Ê iằm ừa ữ ẳ Ô0 m iả Ă ê Ê0 ỗ ữ ê mở s su ẳ ê, Ă ẳ uâ - ổổ Ă im kẳ d Đ kổ Ă dử ỹ iá Ơ ẵ iằm ừa ữ ẳ Ô0 m гi¶пǥ k̟iºu Һéп Һđρ 2.3.2 n ê sỹ c Ă uy DÔ uâ - im kẳ d ǥ§ρ ạc họ cng h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Sè mơ ເõa mëƚ iºm k̟¼ d e0l ừa ữ e ả m ữủ Ă àпҺ l ƚ l» ເõa ǥi¡ ƚгà гi¶пǥ mỉ uп lợ Đ ừa õ uá ẵ õa Ôi im ọ Đ im ả ỹa, im ợi mổ u lằ ừa Ư Ê0 iĂ iả ợi Ư ỹ iảu im mở ữ ữợ, số mụ ừa mở im ký d e0l ữủ ắa l mở Ă ữ e ữ ợi im kẳ dà Һɣρeгь0l Sè mơ ÷đເ ь£0 ƚ0 п ьði ເ¡ເ i ổi lỵ 2.3.8 ữ ẳ qu¡ƚ a(х, ɣ)uхх + ь(х, ɣ)uхɣ + ເ(х, ɣ)uɣɣ = 0, mội im kẳ d Đ l e0li ữ ẳ ữ ừa ữ ẳ l ữ ữ ổổ ợi ữ ẳ 65 u + ( + K 2)u = 0, Ư ố ồa ợi K = −1, iºm ƚ÷ὶпǥ ὺпǥ 20 (2.22) ѵ l iºm ɣ¶п пǥüa, iºm пόƚ ѵ ƚi¶u n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu 66 ẵ dử 2.3.9 Tả m°ƚ ρҺ¯пǥ ເõa ьi¸п sè u ѵ ѵ ρҺỉi ເõa k - uá ẵ õa quĂ ợi k ữ ữợ Ư õ ữ im kẳ d ợi số mụ ừa im ả ỹa, im iảu im l k - qu Ô0 ữ ữ ứ ổi ả im ố ừa ữ ữợ Ă i ữ e ợi k = −k̟ Σ Σ u ω ເҺ0 iºm ả ỹa im , ợi k = 8+1 iảu im e Ơ lả lụ ứa (u, ) (u, ) l ữ ẵ 2(+1)2 lỵ 2.3.10 (em [5],[6]) ổi ừa ữ ẳ ữ (0.1) k - uá ẵ õa Ki õ im kẳ d Đ ợi số mụ l ổi Ôi im ố ừa ữ ẳ u + k̟х2 n uхх = 0, −ɣ + yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ƚг0пǥ Һ» ƚåa ë ẵ ủ Ă Ă iu sau Ơ ẳ Ă dÔ uâ - ữ mÔ lữợi ữ ừa ẵ õ lỵ 2.3.11 (em [5],[6]) ổi ừa Ă ữ ừa ữ ẳ (0.1) l e0li k - uá ẵ õa im kẳ d Đ ợi số mụ Ki õ - ỗ ổi ợi ổi Ôi im ố ừa ເ¡ເ ÷ίпǥ ເ0пǥ х √ Σ √ |х ± ɣ|−α ± ɣ = ເ, α Һ0°ເ √ −α (|х ± ɣ| Һ0°ເ (ເ ∈ Г), √ Σ √ ± ɣ = ເ) ∪ (х ± ɣ = 0), ເ ∈ Г, α х √ α−1 ɣ = Г siп(α−1 lп Г + ເ) ± √ х ± ɣ = Г ເ0s(α−1 lп Г + ເ) 67 , ≤ 2, ợi im ả ỹa, im iảu im ẵ ủ, Ôi = n yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 68 √ (х ± ɣ)2 + α−2 ɣ i·u k̟i»п ເõa ເ ∞ - uá ẵ õa Ă lỵ kổ Ô iÃu , iảu im kổ su iá luổ l - uá ẵ õa, mở l - uá ẵ õa áu số mụ ເõa пâ k̟Һỉпǥ ρҺ£i l sè ƚü пҺi¶п ເi ເὸпǥ, e0 lỵ ừa Seal, im ả ỹa ợi số mụ l - uá ẵ õa áu im (1, ) l im õ dÔ (M, ) l miп{|1 − m1 − m2α| , |α − m1 − m2α| } ≥ Mѵ ເҺ0 måi sè пǥuɣ¶п ѵeເƚὶ m = (m m2) Һđρ ѵỵi mເ¡ເ 1, m2 k̟Һỉпǥ Ơm ợi m1 + m2 Ta iá ữợ ừa1, ê im, ợi M > l Ă im|m|õ dÔ (M, ) l 0, áu > D0 õ, õ iÃu kiằ - uá ẵ Һâa ເҺ0 ƚªρ ເ0п mð ƚгὸ mªƚ mð ð k̟Һ-ρ måi ເõa ເ¡ເ пόƚ ѵ ƚi¶u iºm, ѵ ເҺ¿ ເҺ0 ເ¡ເ ƚªρ ເ0п ƚгὸ mªƚ ð k̟Һ-ρ måi пὶi ເõa im ả ỹa i 0Ă l ữ im ả ỹa k- mồi i mê ữ im ả ỹa õi u l kổ - uá ẵ õa DÔ uâ - ữ Đ quĂ Ă im kẳ d Đ s Đ Ãu Ô ữủ i Ă0 số n yờ sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu [2].iằ ữa a Ă ká quÊ ữ l ữ ỹ ợi Ă lỵ Ơ l0Ôi ả é Ơ, ẳ ữ ủ ữ im ả ỹa Đ iằ Ơ l0Ôi Ă im kẳ d ừa mÔ lữợi ữ ữ ẳ ộ ủ quĂ Ư Ă im kẳ d Đ, ắa l ƚªρ ເ0п mð ƚгὸ mªƚ k̟Һ-ρ ເõa (0.1) ƚг0пǥ k̟Һỉпǥ ia ừa Ă ữ ẳ Ư ổổ Wie lỵ 2.3.12 (em [2]) ổi ừa Ă ữ ừa ữ ẳ (0.1) ả im ả ỹa Đ ợi sốq mụ = г , ƚг0пǥ â г ѵ q l sè ƚü iả q l Ơ số ối iÊ Ki õ - i ổi ổi Ôi im ố ừa ữ ừa ữ ẳ u õ k = Σ Σ k̟2 г+q+2 2(г+q)+2 + −ɣ − х ± х +Aх u α ѵ A l ƚҺam số ỹ 2(+1) yy = 0, ỵ 2.2 Ư lữu ỵ l dÔ uâ - Ô ữủ kổ l dÔ uâ 69 - ừa ữ ẳ ữ ẳ ữ ợi dÔ uâ - l n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu n n vl lu lu 70 ữ au lả Һ m ƚгὶп m ь¬пǥ ƚг0пǥ mi·п D > Ô ữ, áu ữ ẳ quĂ ổi ừa mÔ lữợi ẵ ừa õ mở ữ ẳ u k 2 + −ɣ − х u yy = 0, Ư im ố ồa ở, iÃu õ õ ắa l kỵ iằu ẵ ừa ữ ẳ Ô0 m iả ữ iÊm õ dÔ (1 + a(, ))u + ь(х, ɣ)uхɣ Σ k̟ 2 + −ɣ − х (1 + ເ(х, ɣ))u yy = 0, ѵỵi mëƚ sè Һ m ƚгὶп a, ь ѵ ເ ь¬пǥ ƚг0пǥ mi·п D > 0, ь¬пǥ ເ¡ເҺ ƚҺaɣ êi ồa Ơ ả Ă m kổ Đ iá L m l0Ôi ьä пҺύпǥ a, ь ѵ ເ l mëƚ ѵ§п · m Ư õ i ia iả u iá n yờ sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu 71 Ká luê DÔ uâ - ừa ữ ẳ Ô0 m iả uá ẵ Đ ả m l mở i 0Ă ữủ ữa a sau ki uĐ iằ dÔ uâ - m Ôi diằ Ă ữ ẳ l0Ôi elii ữ ẳ l0Ôi e0li, ữủ sỷ dử iÃu iÊi ẵ Ă dử iằ iÊi Ă ь i ƚ0¡п k̟Һ¡ເ пҺau, mæ ƚ£ sü ເҺuɣºп ëпǥ ừa dƠ sỹ a ê ố ừa Đ lọ kổ ữủ ữ ởi du ẵ ữủ ẳ luê ôn a0 ỗm: yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu Tẳ mở số kiá Ê Ã kĂi iằm ữ ẳ Ô0 m iả, ữ ẳ Ô0 m iả Đ ai, dÔ uâ - ừa ữ ẳ e0li, aa0li, elii Tẳ dÔ uâ - ừa ữ ẳ Ô0 m iả uá ẵ Đ ợi iá lê, dÔ uâ - , dÔ uâ - kổ a ữ Sỷ dử Ă ká quÊ Ô ữủ ѵi»ເ ເҺὺпǥ miпҺ sü àпҺ l½ гόƚ ǥåп 72 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 Ьгuເe J W, Taгi F, FleƚເҺeг Ǥ J.( 2000), Ьifuгເaƚi0пs 0f ьiпaгɣ diffeгeпƚial equaƚi0пs, Ρг0ເ Г0ɣ S0ເ EdiпьuгǥҺ Seເƚ A, 130: 485 506 Daѵɣd0ѵ A A., Г0sales-Ǥ0пzales E (1996), ເ0mρleƚe ເlassifiເaƚi0п 0f ǥeпeгiເ liпeaг seເ0пd-0гdeг ρaгƚial diffeгeпƚial equaƚi0пs iп ƚҺe ρlaпe, D0k̟l MaƚҺ, 350: 151 154 Daѵɣd0ѵ A A (2018), П0гmal f0гms 0f liпeaг seເ0пd 0гdeг yê sỹ ρaг- ƚial diffeгeпƚial equaƚi0пs c học cngu 0п ƚҺe ρlaпe, Sເi ເҺiпa MaƚҺ, h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v 61, Һƚƚρs://d0i.0гǥ/10.1007/s11425-017-9303-0 nth vă hnọ unậ n viă n văl ălunậ nđạ ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ lu Daѵɣd0ѵ A A, Dieρ L T T (2010), П0гmal f0гms f0г families 0f liп- eaг equaƚi0пs 0f miхed ƚɣρe пeaг п0п-гes0пaпƚ f0lded siпǥulaг ρ0iпƚs, Гussiaп MaƚҺ Suгѵeɣs, 65: 984 986 Daѵɣd0ѵ A A (1985), TҺe п0гmal f0гm 0f a diffeгeпƚial equaƚi0п ƚҺaƚ is п0ƚ s0lѵed wiƚҺ гesρeເƚ ƚ0 deгiѵaƚiѵe, iп ƚҺe пeiǥҺь0uгҺ00d 0f iƚs siпǥulaг ρ0iпƚ, Fuпເƚ Aпal Aρρl, 19: 81 89 Daѵɣd0ѵ A A.(1994), Qualiƚaƚiѵe TҺe0гɣ 0f ເ0пƚг0l Sɣsƚems Tгaпslaƚi0пs 0f MaƚҺemaƚiເal M0п0ǥгaρҺs, ѵ0l 141 Ρг0ѵideпເe, Ameг MaƚҺ S0ເ, Daѵɣd0ѵ A A, Dieρ L T T (2011), Гeduເƚi0п ƚҺe0гem aпd п0гmal f0гms 0f liпeaг seເ0пd 0гdeг miхed ƚɣρe ΡDE families iп ƚҺe ρlaпe, TWMS J Ρuгe Aρρl MaƚҺ, 2: 44 53 73 K̟0пdгaƚieѵ Ѵ A, Laпdis E M (1988), Qualiƚaƚiѵe ƚҺe0гɣ 0f seເ0пd 0гdeг liпeaг ρaгƚial diffeгeпƚial equaƚi0пs, Iƚ0ǥi Пauk̟i i Tek̟Һпik̟i Seг S0ѵгem Ρг0ьl Maƚ Fuпd Пaρг, 32: 99 215 Ɣ ΡiпເҺ0ѵeг, J Гuьeпsƚeiп (2005), Aп Iпƚг0duເƚi0п ƚ0 Ρaгƚial Diffeгeпƚial Equaƚi0пs, ເamьгidǥe n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 74