(Luận văn) sự hội tụ theo dung lượng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM DƢƠNG HUYỀN NHUNG lu an va n SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG p ie gh tn to d oa nl w an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN – 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM DƢƠNG HUYỀN NHUNG lu an n va SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG tn to Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH p ie gh Mã số: 60.46.01.02 oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ll u nf va an lu m oi Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN – 2016 n va ac th si i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Tác giả lu an Dương Huyền Nhung n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp tơi xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán lu học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận an lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học va n Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Chuyên Tỉnh Cao Bằng gh tn to đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập p ie hồn thành luận văn w Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết oa nl mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên d để luận văn hoàn chỉnh lu va an Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi u nf thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn ll Tháng 04 năm 2016 oi m z at nh Tác giả z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lu an Bố cục luận văn n va Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ tn to 1.1 Hàm đa điều hoà gh 1.2 Toán tử Monge-Ampère phức p ie 1.3 Tính tựa liên tục hàm đa điều hòa 1.4 Nguyên lý so sánh 12 w oa nl 1.5 Các lớp lượng Cegrell 15 d Chƣơng 2: SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG 16 lu a 31 u nf 2.2 Sự hội tụ lớp va an 2.1 Sự hội tụ hàm đa điều hoà bị chặn 16 ll KẾT LUẬN 44 m oi TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm dung lượng Bedford Taylor giới thiệu năm 1982 [3] Nó đóng vai trò quan trọng lý thuyết đa vị, công cụ hiệu việc nghiên cứu hàm đa điều hịa tốn tử Monge-Ampère phức Một hướng nghiên cứu lý thuyết đa vị nhiều người quan tâm tìm mối quan hệ hội tụ theo lu dung lượng hàm đa điều hoà hội tụ độ đo Monge- an n va Ampère phức tương ứng Nghiên cứu kiểu hội tụ độ đo Monge-Ampère tn to phức hội tụ theo dung lượng Cn hàm Mối quan hệ hội tụ ie gh yếu độ đo Monge-Ampère phức với hội tụ theo C n 1  dung lượng p hàm Vì theo hướng nghiên cứu chúng tơi chọn đề tài: “Sự hội nl w tụ theo dung lượng” d oa Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu va an lu 2.1 Mục đích nghiên cứu u nf Mục đích luận văn nghiên cứu hội tụ theo dung lượng ll hàm đa điều hoà hội tụ độ đo Monge-Ampère phức m oi tương ứng; mối quan hệ hội tụ độ đo Monge-Ampère phức z at nh hội tụ theo Cn  dung lượng C n 1  dung lượng hàm Nghiên z cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère l gm @ 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu m co Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: an Lu + Nghiên cứu mối quan hệ hội tụ theo dung lượng hàm đa n va điều hoà hội tụ độ đo Monge-Ampère phức tương ứng ac th si + Nghiên cứu mối quan hệ hội tụ độ đo Monge-Ampère phức hội tụ theo Cn  dung lượng C n 1  dung lượng hàm + Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 45 trang, có phần mở đầu, hai chương lu an nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo va n Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kiến thức sở lý gh tn to thuyết đa vị cần thiết sử dụng chương ie Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại kết p nghiên cứu gần Y Xing mối quan hệ hội tụ theo dung lượng nl w hàm đa điều hoà hội tụ độ đo Monge-Ampère phức d oa tương ứng, số dạng khác định lý tính ổn định nghiệm an lu phương trình Monge-Ampère phức Phần cuối chương ( ) hàm u nf va trình bày lại kết Xing lớp kiểu Cegrell ll đa điều hịa khơng bị chặn m oi Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tôpô, hàm u : X , gọi nửa liên tục trên X với lu x X : u(x ) tập hợp mở X an va n Định nghĩa 1.1.2 Cho n tập mở gh p ie u(a , hàm b) điều hoà trùng thành nl w n Hàm u gọi đa điều hồ với a thơng b , thành phần liên tn to hàm nửa liên tục không trùng với u : :a Trong trường hợp này, ta viết PSH ( ) (ở kí hiệu PSH ( ) lớp hàm đa điều hoà ) an lu u b d oa phần tập hợp m PSH ( ) , u với z oi u n tập mở liên thông bị chặn ll bị chặn, tức u nf va Mệnh đề 1.1.3 Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền , z at nh u(z ) sup lim sup u(y ) z y y gọi đa cực với điểm l E có lân cận V a hàm u z V : u(z ) PSH (V ) cho an Lu E V m co a n gm @ Định nghĩa 1.1.4 Tập hợp E n va ac th si Định lý 1.1.5 Cho (i ) Họ PSH ( ) nón lồi, tức u, v PSH ( ) , (ii ) Nếu u u v uj PSH ( ) u j Khi , số không âm PSH ( ) liên thông lim u j n tập mở PSH ( ) dãy giảm, j , u j tập compact , u lu (iii ) Nếu u : j PSH ( ) hội tụ tới u an n va PSH ( ) tn to (iv ) Giả sử u A PSH ( ) cho bao u sup u bị gh A p ie chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà nl w n tập mở d oa Định lý 1.1.6 Cho (i ) Cho u, v hàm đa điều hoà an lu v lồi, v (u / v) đa điều hồ u nf PSH ( ) , v ll PSH ( ) , v : va (ii ) Cho u Nếu Nếu : m oi lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hoà lồi (0) , v (u / v) : : (z ) c gọi miền siêu lồi tồn ( , 0) cho với c an Lu z PSH ( ) m co hàm đa điều hoà âm, liên tục Nếu l n gm Định nghĩa 1.1.7 Một miền bị chặn c , v @ 0, PSH ( ) , u z : 0, z at nh (iii ) Cho u, v n va ac th si 1.2 Toán tử Monge-Ampère phức n Cho u đa điều hoà miền dc i( dd u n C 2( ) tốn tử: ) Nếu u c Ký hiệu d c dd u c dd u u z j zk n n ! det n n với dV yếu tố thể tích xem độ đo Radon dV , j ,k n gọi toán tử Monge-Ampe Toán tử , tức phiếm hàm tuyến tính liên tục lu không gian hàm liên tục với giá compact C ( ) an dd cu n n va C0 gh tn to Bedford Taylor chứng minh u đa điều hoà bị chặn tồn dãy um u dd cum n hội tụ yếu tới độ đo Radon tức là: oa nl w um PSH ( ) C ( ) cho m p ie địa phương dd cum d lim lu m C0 không phụ thuộc vào việc chọn dãy um trên, ta ký hiệu: u nf va gọi toán tử Monge-Ampe u ll oi m (dd cu)n d , an Hơn n Mệnh đề 1.2.1 Giả sử (G ) lim sup j (K ) an Lu : ( E) j m co tập compact (K ) iii ) Nếu E compact tương đối j j l lim inf gm ii ) Nếu K Khi tập mở (G ) hội @ i ) Nếu G n dãy độ đo Radon tập mở z tụ yếu tới độ đo Radon j z at nh Sau vài tính chất tốn tử tốn tử Monge-Ampe (E ) lim j j (E ) n va ac th si 31 fj ((dd cv)n với j j (dd cvk )n ) j (dãy tồn (dd cvk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n u j PSH ) Theo [2] tồn C ( ) cho (dd cu j )n fj (dd cvk )n u j j Từ định lý so sánh ta suy v vk uj j Vì ta trích lấy lu dãy {u j } cho hội tụ yếu tới hàm đa điều hịa u an n va đó, nên theo Định lý 2.1.19 ta nhận (dd cu)n u d gh tn to Hệ chứng minh ie a p 2.2 Sự hội tụ lớp nl w Trong phần chúng tơi trình bày kết Y Xing ( ) hàm đa điều hịa khơng bị chặn, tốn d oa lớp kiểu Cegrell lu miền siêu lồi ( ) , Cegrell chứng minh ll u nf Đối với hàm va an tử Monge-Ampère xác định, ( ), j 0,1, u j oi u0 Nếu u j z at nh theo C n E m Định lý 2.2.1 [7] Giả sử u j (dd cu j )n (dd cu)n yếu u z PSH L ( ) cố định dòng g(dd cu j )n hội tụ yếu tới g(dd cu)n a ( ) ta có hội tụ mạnh an Lu độ đo Monge-Ampère theo nghĩa sau m co Hơn nữa, trường hợp u0 l g gm @ Với giả thiết Định lý 2.2.1 chứng minh với n va ac th si 32 a Định lý 2.2.2 Giả sử u0 g(dd cu)n g PSH ( ) thoả mãn uj u0 g(dd cu j )n hội tụ yếu tới u theo C n E Nếu u j ( ) u j tất hàm đa điều hòa g với Ta giả thiết hội tụ theo dung lượng Định lý 2.2.2 xác việc đưa kết đảo ngược, mà kết khái qt hố Hệ 2.1.7 hàm a ( , ) lu Trước tiên chứng minh định lý xấp xỉ toán tử Monge- an a ( ) Sau định lý đảo, tổng quát hóa Định lý n va Ampère lớp gh tn to a 2.1.13 Định lý 2.1.15 cho hàm lớp n miền siêu lồi p ie Trong suốt phần ta giả sử ( , ) tùy ý, tồn dung lượng E với cho d oa C n nl w Định nghĩa 2.2.3 Dãy độ đo dương { j } gọi liên tục tuyệt đối E với C n (E1 ) bất đẳng thức j (E1 ) xảy va an lu với tập Borell E1 u nf với j ll Ta bắt đầu với vài bổ đề sau , , n )dd c max( 1, j ) dd c dd c dung lượng dd c với j n dd cg Vì nửa liên T n va , nên ta có 1,2, an Lu tục dd c max( 1, j ) T hội tụ yếu tới dd c j dd cg n m co dd c ( ) tuỳ ý độ đo l gm Chứng minh Ta biểu diễn T @ liên tục tuyệt đối C n ( ) g z , 1, z at nh ( oi m Bổ đề 2.2.4 Với ac th si 33 lim inf ( j )dd c max( 1, j ) T ( )dd c 1 T T Mặt khác, lấy tích phân phần ta ( )dd c max( 1, j ) T ( )dd c Do ta có lim ( j lu Do vậy, với a )dd c max( 1, j ) T ( an va n tn to ( j ( )dd c max( 1, j ) T lim ( j )dd c nl w ( T ( 0 j0 u nf )dd c max( 1, j ) T m E { oi T a j0 )dd c max( 1, j ) T a} )dd c max( 1, j ) T ( z a )dd c T E @ T s ( k )dd c T s ( g )dd c dd c n an Lu s m co l gm Từ bất đẳng thức dd c z at nh )dd c a cho với j ( ll E ( va an lu ( d oa ta có )dd c max( 1, j ) T T a , tồn a Do với )dd c a k T )dd c max( 1, j ) T p ie gh lim ( )dd c a E 0 theo Bổ đề 2.1.12 ta có lim j dd c k , n va ac th si 34 suy độ đo dd c T liên tục tuyệt đối C n T dung lượng , với ( )dd c ta nhận đo ( E ( ( g )dd c )dd c dd c dd c n T đủ bé C n (E ) đủ bé Vì với j độ )dd c max( 1, j ) T liên tục tuyệt đối C n ta chứng minh ( lu C n )dd c max( dung lượng, nên , j ) T liên tục tuyệt đối an với j Bổ đề chứng minh dung lượng n va Bây ta chứng minh tổng quát hoá Bổ đề 2.1.11 cho hàm thuộc ( ) gh tn to lớp Bổ đề 2.2.5 Nếu u, v, 1, , , ( ) g n ( ) , ta có p ie dd c dd cg n nl w u)dd c (v u v d oa )dd c (u v) dd c lu ( dd c dd cg n va an u v max(u, j ), vk l max(v, k) , max( 1, l ) ll u nf Chứng minh Đặt u j dd c dd cg Tương tự chứng minh Bổ đề 2.1.11 oi n z at nh m dd c T ta có l T ( u)dd c lim inf T ( u v l )dd cvk T )dd cu j j ( T u j vk theo Bổ đề Fatou ta nhận l l )dd cu j an Lu u v u j vk T m co (vk )dd cvk l Cho j l gm u j vk ( @ u j )dd c z (vk T u vk n va ac th si 35 Theo Bổ đề 2.2.4 tính tựa liên tục hàm đa điều hịa dưới, ta v} mở {u giả sử mà khơng tính tổng quát {u đóng Do đó, cho l ,k vk } hội tụ yếu dòng, nên ta có bất đẳng thức u)dd c (v T ( u v )dd c (u v) T u v g thay cho v cho Áp dụng bất đẳng thức cuối cho v lu ta nhận bất đẳng thức theo yêu cầu Bổ đề chứng minh an n va Bổ đề 2.2.6 Các khẳng định sau xảy ( ) độ đo ( u)(dd cu)n gh tn to a a ) Nếu u0 C n p ie ( ) với g g PSH ( ) với u ( ) với u dung lượng dd cg liên tục tuyệt đối u0 với ( ) với g cố định độ đo d oa u nl w b) Nếu dd cg liên tục tuyệt đối C n dung lượng va an PSH ( ) với u u0 ll u nf với u lu ( u)(dd cu)n m a oi Chứng minh Để chứng minh a), từ u0 ( ) suy u z at nh tuỳ ý a  ta có tầm thường u bị chặn Nếu khơng với E dd cg ( u )(dd cu)n u dd cg gm @ E z ( u)(dd cu)n a l a 1} dd cg an Lu Mặt khác ta có đánh giá tích phân cuối m co ( u)(dd cu )n E {u ( ) Kết n va ac th si 36 ( u)(dd cu )n E {u dd cg a 1} 1))(dd c max(u, a ( max(u, a E {u 1))n dd cg (a 1) nC n (E ) a 1} Từ Bổ đề 2.2.5 suy ( u)(dd cu )n u dd cg ( u0 )(dd cu )n dd cg max(2u0, a ))(dd cu)n dd cg a u0 ( 2u0 a lu 2u0 max(2u0 , a ) an n va 2u(dd cu)n dd cg a tn to 2u0 dd cu0 lần ta nhận tích phân cuối bị ie gh Tiếp tục theo cách tương tự thêm n p trội 2n u0 ( g )(dd cu0 )n 2n oa nl w 2n (dd cu0 )n 2n u0 a a , a d lu ( ) Do a) chứng minh va an a u0 ta nhận bất đẳng thức oi m tuỳ ý a E ll u nf Để chứng minh b), dùng phương pháp tương tự chứng minh a) với dd cg 2n 2n E u0 1) nC n (E ) (a a ( ) nên suy độ đo (dd cu0 )n dd cg liên tục tuyệt đối gm dung lượng dd cg @ tích phân cuối tiến dần tới l Cn z Vì u0 b) chứng minh Bổ để chứng minh hoàn toàn m co a ( u0 )(dd cu0 )n z at nh ( u)(dd cu)n Giả sử u0 a ( ) hàm u j PSH ( ) thỏa mãn n va phương an Lu Định lý 2.2.7 Cho B họ hàm đa điều hòa bị chặn địa ac th si 37 tới g(dd cu)n g g(dd cu j )n hội tụ yếu u theo C n E u0 Nếu u j uj với g B Hơn nữa, g j B , g j (dd cu j )n hội tụ yếu tới g(dd cu)n Chứng minh Ta giả sử B (dd cu j )n (dd cu )n ((dd cu j )n ((dd c max(u j , a))n Aj1(a ) Aj2(a ) ( ) Với a B hội tụ yếu tới ta viết (dd c max(u j , a ))n ) (dd c max(u, a))n ) ((dd c max(u, a))n (dd cu)n ) Aj3(a ) lu an n va Từ Định lý 2.1.9 suy với a tn to với g yếu tới g (g B Mặt khác, với g ) C ( ) g B g đó, theo chứng minh p ie gh tuỳ ý ta viết xác định, dòng gAj2 (a ) hội tụ f1dd c f2 f1, f2 hàm đa điều hòa bị chặn địa oa nl có dạng w Định lý 2.1.9, dịng dd c ( g ) viết tổng hữu hạn số hạng d phương phụ thuộc vào an lu g Do tồn họ B hàm đa điều cho dòng dd c ( g ) bị trội u nf va hòa bị chặn địa phương ll dd cg với g B Vì thế, lấy tích phân phần ta oi m gA (a ) (u j z at nh j c max(u j , a ))dd ( g ) n k (dd cu j )k z k (u j a ( u j )dd cg u0 a (dd cu j )n an Lu uj a )dd c ( g ) (dd cu j )n m co l gm @ (dd c max(u j , a))n n va ac th si 38 a B theo Bổ đề 2.2.6 a) Tương tự, gAj3 (a ) hội tụ , với g B Do ta chứng minh g(dd cu j )n yếu với 0, với g hội tụ yếu tới g(dd cu)n với g B Khẳng định thứ suy từ khẳng định thứ nhất, Định lý chứng minh Sử dụng chứng minh Định lý 2.2.7 dùng b) thay cho a) Bổ đề 2.2.6 ta có định lý sau phiên mạnh Định lý 2.2.1, kết thuộc Cegrell [7]: lu an Định lý 2.2.8 Giả sử u0 ( ) u j n va tn to u theo C n E Nếu u j với g g(dd cu)n yếu PSH uj u0 L ( ) cố định p ie gh ta có g(dd cu j )n PSH ( ) thỏa mãn nl w Định nghĩa 2.2.9 u PSH ( ) : h u h v, v F ( ), h MPSH ( ) , d oa ( , ) lu (z ) với z ) h thoả mãn lim h( ) an C( z ( , ) : (dd cu)n triệt tiêu tập đa cực ll u ( , ) u nf va a z ( , ) với u z( ) u0 Hơn nữa, độ đo (dd cu )n liên tục tuyệt với u an Lu dung lượng l i mu0 ( ) m co đối C n (dd cu)n (dd cu0 )n l ( , ) (0, ) Ta cần bổ đề sau : gm a ( , ): Khi u a @ u a ( ) z Bổ đề 2.2.10 Giả sử u0 với z a (0, ) z at nh ( ) oi m Rõ ràng, ( , ) với u u0 n va ac th si 39 Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử định nghĩa u Lấy dãy {u j } u j ( ) cho h ( , ) tồn u u u đặt u j ( ) cho u j u j (dd cu )n Nếu khẳng định với k lu an k(dd cu0 )n u h max(u, u j h ) Khi Ta buộc cho u0 (dd cu j )n u Theo với j ( ) bất kỳ, ta có k(dd cu j )n k ((dd cu0 )n (dd cu j )n ) n va to n c u j )dd k l (dd cu0 )l (dd cu j )n ie gh tn (u0 p Theo Định lý 2.1 [8] ta có w k(dd cu0 )n với k , (dd cu j )n va an k(dd cu)n k(dd cu0 )n với k k nửa liên tục PSH L ( ) âm ll u nf trên, nên ta có L ( ) âm tuỳ ý với j PSH (dd cu)n yếu lu Cho j d oa nl k(dd cu j )n oi m z at nh (dd cu)n (dd cu )n max(u / t, 1)(dd cu)n m co l t gm u @ (dd cu)n , ta có z max(u / t, 1) , t Đặc biệt với k an Lu max(u0 / t, 1)(dd cu0 )n n va ac th si 40 t a u (dd cu0 )n triệt tiêu {u0 0, ( , ) với u Cho b , lim(u0( ) (dd cu j )n Fb Aa,b cho với z u j ( )) z dung lượng u0 Vấn đề lại phải chứng minh lu a Điều kéo theo ( , ) độ đo (dd cu )n liên tục tuyệt đối C n , với u } (dd cu0 )n với j nên tồn tập đóng {max(u0, a ) 1/b uj } Fb với sup | u j | Do theo định lý so sánh ta có an va n (dd cu j )n (dd cu j )n Aa ,b Aa ,b (dd c max(u 0, a2 ))n Fb ,b gh tn to Aa (dd c max(u0, a2 ))n a1 sup | u j | Cho a2 ta nhận p ie với a2 ,b (dd cu j )n Fb (dd cu0 )n (dd cu0 )n b , ta va an lu Khi đó, cho a1 d oa nl w Aa (dd cu j )n (dd cu0 )n u nf u0 u j ll ( ) với g g thay cho u j chứng minh z at nh cuối u j Dùng u j oi m Lấy g ( , ): (dd cu0 )n u0 (z ) z u j u yếu an Lu Khi khẳng định sau xảy lim u0( ) m co ( , ) cho u j l a gm , u, u j @ Định lý 2.2.11 Giả sử u0 (dd cu0 )n Bổ đề z chứng minh với z (dd cu j )n L ( ) ta nhận n va ac th si 41 a ) Nếu g(dd cu j )n hội tụ yếu tới g(dd cu )n g với , u j b ) Nếu (dd cu j )n u theo C n , với g dung lượng (dd cu)n yếu , u j PSH ( ) u theo C n dung lượng a Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.10 ta có u, u j (dd cu)n ( , ) (dd cu j )n lu an n va Để chứng minh a ) , ta đặt fs PSH ( ) fs gh tn to fs max(u0 / s, 1) với s {u0 Do vậy, dùng đẳng thức s} fs )2 (g g2 fs2 p ie 2gfs 1,2, Khi gfs (dd cu j )n gfs (dd cu )n j d oa nl w ta nhận lu Vì va an s} (dd cu j )n {u0 s} (dd c max(u j , s))n m nên theo Định lý 8.1 [6] tồn v sj PSH oi fs (dd cu j )n lim v sj max(h, s) với s PSH L ( ) cho max | h | an Lu Do theo Hệ 2.1.16 tồn v s h m co v sj l gm max(u j , s) max | h | @ Từ định lý so sánh ta suy max(u0, s) s (z ) với z z z L ( ) cho z at nh (dd cv sj )n (dd c max(u j , s))n , ll {u0 u nf fs (dd cu j )n g PSH ( ) với với g n va ac th si 42 fs (dd cu )n v sj (dd cv s )n Vì (dd cv s )n u0 v (dd cu)n s h (dd cv)n v s theo C n nên v s a v với v (dd cv s )n Từ suy j ( , ) với (dd cv)n , (dd cu)n Theo Bổ đề [11] điều kéo theo v a Mặt khác, theo Bổ đề 5.14 [8] tồn h js (dd chjs )n u ( ) cho max(u0 / s, 1)(dd cu j )n lu Do an (dd cu j )n (dd cv sj )n (dd ch sj )n (dd c (v sj h sj ))n n va (dd cv sj )n h js gh tn to từ điều theo định lý so sánh ta có v sj ie Chọn dãy hàm { k } p ( ) cho v sj h js k (dd ch js )n d oa nl w (dd c k )n uj , theo định lý so sánh ta có k ( 1))n (dd c k )n u nf k (dd c ( va (dd c )n an n PSH ( ) với lu Cho 1) k ( (dd c k )n 1) ll m lấy cận trên tất thế, ta nhận oi Cho k C n ({h js }) z at nh n max(u0 / s, 1)(dd cu j )n z @ m co l gm max(u0 / s, 1)(dd cu0 )n , bất đẳng thức cuối suy từ chứng minh Bổ đề 2.2.10 Cuối cùng, ta có n va E an Lu Điều kéo theo hàm h js tiến tới theo C n s ac th si 43 | uj u| | uj v sj | | hjs | E | v sj | v sj vs | | vs | vs u| u |, số hạng thứ tổng cuối tiến dần đến theo C n s với j , với s cố định số hạng thứ tiến dần tới theo C n s E vs | u theo C n Do vậy, ta có u j a) chứng minh Ta bỏ qua chứng minh b) tương tự với chứng minh a) Định lý chứng minh lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 44 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hồ cực đại, tốn tử Monge-Ampère, tính tựa liên tục hàm đa điều hoà dưới, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor lớp lượng Cegrell + Các kết nghiên cứu gần Y Xing mối quan hệ hội lu tụ theo dung lượng hàm đa điều hoà hội tụ độ đo an + Một số dạng khác định lý tính ổn định nghiệm n va Monge-Ampère phức tương ứng tn to gh phương trình Monge-Ampère phức ( ) hàm đa p ie + Một số kết Xing lớp kiểu Cegrell d oa nl w điều hịa khơng bị chặn ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại Học sư phạm Hà Nội Tiếng Anh [2] E Bedford and B A Taylor (1976), “ The Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator” Inventer Math 37, p 1-44 [3] E Bedford and B A Taylor (1982), “A new capacity for plurisubharmonic funtions”, Acta Math 149, p 1– 40 lu [4] U Cegrell (1983), “Discontinuité de l‟opérateur de Monge-Ampère an va complexe”, Acad Sci Paris Ser I Math 296, p.869-871 n [5] U Cegrell (1988), Capacities incomplex analysis, Braunschweig/ tn to Wiesbaden: Friedr Vieweg and Sohn ie gh [6] U Cegrell (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math 180, No2, p187 – 217 p [7] U Cegrell (2001), “ Convergence in capacity”, Isaac Newton Institute for nl w Math Science P, Series NI01046-NPD, also available at arxiv.org: math oa CV/0505218 d [8] U Cegrell (2004), „The general definition of the complex Monge-Ampère lu va an operator”, Ann Inst Fourier 54, p.159-179 u nf [9] U Cegrell and S Kolodziej (2006), “ The equation of complex Monge- ll Ampère type and stability of solutions”, Mat Ann 334, p.713-729 m oi [10] Y Xing (1996), “Continuity of the complex Monge – Ampère”, Proc of [11] Y Xing (2000), “Complex Monge – Ampère measures of z functions with bounded values near the boundary”, l gm Canad J Math 52, no.5, p 1085 – 1100 @ plurisubharmonic z at nh Amer Math Soc 124, p.457 – 467 58, 5, p 1839 – 1861 m co [12] Y Xing (2008), “ Convergence in capacity”, Ann Inst Fuorier Grenoble n va 2, p 253-264 an Lu [13] Y Xing (2008), “Weak Convergence of Currents”, Math Z Vol 260 issue ac th si