(Luận văn) phương trình gần đúng và tính nghiệm gần đúng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ NĂM lu an n va gh tn to PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ TÍNH NGHIỆM GẦN p ie ĐÚNG d oa nl w an lu oi lm ul nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ NĂM lu an PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ TÍNH NGHIỆM GẦN va n ĐÚNG p ie gh tn to nl w Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp 60 46 01 13 d oa Mã số: oi lm ul nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si Phương trình đại số lu an n va Tính nghiệm gần p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu Trần Thị Năm lm ul ĐHKH Thái Nguyên z at nh oi Thái Nguyên, năm 2013 z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục Lời cảm ơn iii lu Mở đầu an n va p ie gh tn to Phương trình Định lý Hilbert không điểm 1.1 Mở rộng đại số 1.1.1 Quan hệ tương đương 1.1.2 Mở rộng đơn 1.1.3 Mở rộng đại số 1.1.4 Một vài vận dụng 1.2 Phụ thuộc đại số Định lý Hilbert sở 1.2.1 Phụ thuộc đại số 1.2.2 Định lý sở Hilbert 1.3 Định lý không điểm Hilbert d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z 25 25 25 25 32 35 38 42 42 an Lu n va i co l gm @ m Tính gần nghiệm 2.1 Nghiệm hệ đa thức 2.1.1 Kết thức phép khử 2.1.2 Khái niệm kết thức biệt thức 2.1.3 Biểu diễn kết thức qua nghiệm 2.1.4 Phép khử ẩn 2.1.5 Phép biến đổi Tschirnhaus 2.2 Xác định nghiệm gần 2.2.1 Phương pháp truy hồi 4 13 17 18 18 21 ac th si 2.3 2.4 2.2.2 Phương pháp dây cung 2.2.3 Phương pháp tiếp tuyến Newton 2.2.4 Phương trình hàm ẩn Phương pháp lặp hội tụ chúng Ví dụ minh họa 44 46 47 48 57 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ii ac th si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đàm Văn Nhỉ - Thầy trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tình bảo, giúp đỡ, góp ý để hồn thiện luận văn Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn, tác giả nhận động viên, khuyến khích tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình cấp lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường phổ thông dân tộc Nội trú THPT tỉnh Tuyên Quang, bạn bè đồng nghiệp gia đình Với tình cảm chân thành, tác giả xin cảm ơn Khoa Tốn - Tin, phịng Đào tạo - Trường Đại học Khoa học - Đại hoc Thái Nguyên, thầy cô giáo tham gia giảng dạy, cung cấp kiến thức tài liệu giúp tác giả học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Mặc dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp chân thành từ thầy giáo, giáo, bạn bè đồng nghiệp bạn đọc Xin chân trọng cảm ơn! d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Tác giả z m co l gm @ an Lu n va iii ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Hai định lý Hilbert sở không điểm thuộc kết đại số Chúng vận dụng nhiều không lĩnh vực Đại số Hình học đại số, mà chúng vận dụng Lý thuyết số tổ hợp (Combinatorial Number Theory), Lý thuyết đồ thị Tổ hợp Đặc biệt, nhà tốn học Noga Alon (Tel Aviv University) nói, vận dụng hai định lý cho ta kết sâu sắc Lý thuyết số vấn đề tô màu đồ thị Do vậy, người học toán hay dạy toán cần nghiên cứu hai định lý Trong chương trình tốn phổ thơng nay, đặc biệt cho chun tốn, phần phương trình hệ phương trình chiếm thời lượng lớn ứng dụng nhiều môn học khác thực tế Khá nhiều sách tham khảo nhiều tác giả viết chuyên đề Các tài liệu có thường quan tâm đến kỹ thuật phương pháp giải dạng, lớp phương trình hệ phương trình Tuy nhiên, phương pháp đại số (biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đánh giá biểu thức ) giải phương trình, hệ phương trình thường giải số lớp phương trình hệ phương trình đó, tức khơng mang tính phổ qt Hơn giải phương trình ta thường biến đổi để đưa phương trình xét phương trình đa thức Nhiều tốn ta khơng cần biết xác nghiệm cụ thể mà ta cần vài tính chất có liên quan đến tập nghiệm Vì vậy, học sinh, học sinh chuyên toán, thường lúng túng gặp dạng tập Do vậy, cần mở rộng trường để phương trình có nghiệm trường dựa vào Định lý d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to Viet để suy tính chất nghiệm mà ta quan tâm Một vấn đề mà hay gặp việc giải hệ phương trình nhiều ẩn, thường làm loại bỏ số phương trình khơng làm ảnh hưởng đến tập nghiệm hệ cho Chính mà luận văn đặt vấn đề xét khái niệm phụ thuôc đại số, phương trình đại số định lý sở Hilbert, định lý không điểm Hilbert Đặc biệt thông qua việc nghiên cứu cách giải gần phương trình phi tuyến đề tài đề cập đến cách tính nghiệm gần nhằm cung cấp thêm kiến thức giải phương trình, hệ phương trình tốn có liên quan phục vụ cho cơng tác giảng dạy học tập mơn tốn, mơn học khác giải toán thực tế chương trình trung học phổ thơng Luận văn chia làm hai chương Chương gồm ba mục Mục 1.1 dành để trình bày mở rộng trường Trong Mục 1.2, chúng tơi trình bày khái niệm phụ thuộc đại số Định lý Hilbert sở Mục 1.3 tập trung trình bày phương trình đại số, Định lý Hilbert không điểm kết Noga Alon Kết ba định lý sau Định lý 1.2.4 [Hilbert’s Basis Theorem]Mỗi idêan I 6= (0) I 6= (1) vành đa thức K[x1 , x2 , , xn ] có hệ sinh hữu hạn Định lý 1.3.2 [Hilbert’s zero-theorem]Giả sử g(x1 , , xn ) 6= thỏa mãn g(ξ1 , ξ2 , , ξn ) = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) nghiệm hệ  fi (x1 , , xn ) = i = 1, 2, , r d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Khi có đa thức bi (x1 , , xn ) ∈ C[x1 , , xn ] số nguyên dương s thỏa mãn bi (x1 , , xn )fi (x1 , , xn ) gm @ g(x1 , , xn ) = r X z s i=1 l m co Định lý 1.3.4 [Noga Alon]Giả thiết trường K có char(K) = Cho đa thức khác không g(x) = g(x1 , , xn ) ∈ K[x] Ký hiệu tập an Lu n va ac th si Si ⊂ K thỏa mãn |Si | > pi (xi ) = Q (xi − s) với i = 1, , n Nếu s∈Si g(x) triệt tiêu nghiệm chung p1 , , pn tồn đa thức q1 , , qn ∈ K[x1 , , xn ] thỏa mãn deg qi deg g − deg pi để g= n X qi pi i=1 lu an n va gh tn to Chương gồm ba mục Mục 2.1 dành để trình bày kết thức vài tính chất Trong Mục 2.2 chúng tơi trình bày vài phương pháp giải gần phương trình phi tuyến Mục 2.3 trình bày phương pháp lặp để giải gần phương trình Kết hai định lý sau Định lý 2.1.1 Với hai đa thức fu gv ln có hai đa thức h(u, v, x) k(u, v, x) thuộc K[u, v][x] thỏa mãn hệ thức biểu diễn sau: p ie Res(fu , gv ) = h(u, v, x)fu + k(u, v, x)gv  f (x, y) = Định lý 2.1.20 Hệ phương trình (A) g(x, y) = giải qua  f, g ∈ R[x, y] phương trình đa thức ẩn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Phương trình Định lý Hilbert không điểm lu an n va Chương tập trung xét vài phần liên quan đến phương trình đại số Định lý không điểm Hlbert tn to Mở rộng đại số p ie gh 1.1 Quan hệ tương đương w 1.1.1 d oa nl Giả thiết tập X 6= ∅ Tích Carte X × X định nghĩa sau: an lu X × X = {(x, y)|x, y ∈ X} nf va Định nghĩa 1.1.1 Tập S X × X gọi quan hệ hai X Nếu (x, y) ∈ S ta nói x có quan hệ S với y viết xSy z at nh oi lm ul z Định nghĩa 1.1.2 Giả thiết X 6= ∅ S 6= ∅ quan hệ hai X Quan hệ S gọi quan hệ tương đương X thỏa mãn ba điều kiện sau đây: l gm @ (1) (Phản xạ) Với x ∈ X có xSx m co (2) (Đối xứng) Với x, y ∈ X, có xSy có ySx n va an Lu (3) (Bắc cầu) Với x, y, z ∈ X, có xSy ySz có xSz ac th si 1.2.1 Phụ thuộc đại số Định nghĩa 1.2.1 Giả thiết K ∗ trường mở rộng trường K Các phần tử γ1 , γ2 , , γr ∈ K ∗ gọi phụ thuộc đại số K có đa thức khác không f (x1 , x2 , , xr ) ∈ K[x1 , x2 , , xr ] để f (γ1 , γ2 , , γr ) = Các phần tử α1 , α2 , , αr ∈ K ∗ gọi độc lập đại số K khơng có đa thức khác khơng f (x1 , x2 , , xr ) ∈ K[x1 , x2 , , xr ] để lu f (α1 , α2 , , αr ) = an n va p ie gh tn to Chú ý rằng, r = phần tử γ1 phụ thuộc đại số K đại số K Thường cho phần tử phụ thuộc đại số γ1 , γ2 , , γr K ta hay chọn đa thức bất khả quy f (x1 , x2 , , xr ) ∈ K[x1 , x2 , , xr ] Trong trường hợp, phần tử độc lập đại số α1 , α2 , , αr K xem biến mở rộng trường K(α1 , α2 , , αr ) gọi trường hàm số hữu tỷ biến αi nl w Định lý sở Hilbert d oa 1.2.2 nf va an lu Xét vành đa thức K[x1 , x2 , , xn ] Giả sử I iđêan vành K[x1 , x2 , , xn ] Ta hệ sinh I gồm số hữu hạn đa thức lm ul z at nh oi Định nghĩa 1.2.2 Iđêan I vành R gọi idean với hệ sinh hữu hạn có số hữu hạn phần tử a1 , , as thuộc I cho phần tử b ∈ I có biểu diễn b = r1 a1 + · · · + rs as với ri ∈ R z Bổ đề 1.2.3 Mỗi idêan I vành đa thức biến K[x] sinh phần tử l gm @ m co Chứng minh: Giả sử I idêan vành đa thức biến x Nếu I = (0) I sinh phần tử Nếu I 6= (0) có phần tử a ∈ K, a 6= 0, thuộc I β ∈ K viết thành an Lu n va 18 ac th si β = (βα−1 )α ∈ I Ta viết I = (1) = K[x] Nếu khơng có phần tử khác thuộc K nằm I có đa thức bậc dương x thuộc I Trong số đa thức bậc dương thuộc I ta chọn đa thức f (x) bậc thấp d với hệ tử cao Giả sử f (x) = xd + a1 xd−1 + · · · + ad Với đa thức g(x) thuộc I có biểu diễn g(x) = f (x)h(x) + r(x) với deg r(x) < d, quy ước bậc đa thức băng −1 Vì g(x), f (x) ∈ I nên r(x) ∈ I Vì deg r(x) < d nên r(x) = Vậy g(x) = f (x)h(x) Do I sinh phần tử f (x) lu Định lý 1.2.4 Mỗi idêan I 6= (0) I 6= (1) vành đa thức K[x1 , x2 , , xn ] có hệ sinh hữu hạn an n va p ie gh tn to Chứng minh: Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp theo số n biến x1 , x2 , , xn Nếu n = 1, kết theo Bổ đề 1.2.3 Giả sử kết cho iđêan J khác (0) khác vành K[x1 , x2 , , xn−1 ] Biểu diễn đa thức thuộc I ⊂ K[x1 , , xn−1 , xn ] đa thức xn với hệ tử thuộc vành K[x1 , x2 , , xn−1 ] Xét tất hệ tử cao theo biến xn đa thức thuộc I Ta viết nl w d oa f (x) = f (x1 , , xn ) = a1 (x1 , , xn−1 )xsn + a2 (x1 , , xn−1 )xs−1 n +··· lu nf va an chứng minh đa thức a1 (x1 , , xn−1 ) lập thành iđêan thuộc vành K[x1 , x2 , , xn−1 ] Thật vậy, giả sử g(x) = b1 (x1 , , xn−1 )xrn + b2 (x1 , , xn−1 )xr−1 n +··· đa thức tùy ý thuộc I giả sử s > r, chẳng hạn Khi z at nh oi lm ul f (x) − xns−r g(x) = [a1 (x1 , , xn−1 ) − b1 (x1 , , xn−1 )]xsn + · · · đa thức thuộc I với hệ tử cao z @ l gm a1 (x1 , , xn−1 ) − b1 (x1 , , xn−1 ) m co Nếu a(x1 , , xn−1 ) ∈ K[x1 , , xn−1 ] a(x1 , , xn−1 )f (x) ∈ I với hệ tử cao a(x1 , , xn−1 )a1 (x1 , , xn−1 ) Như vậy, theo định nghĩa iđêan ta thấy hệ tử cao đa thức thuộc I lập thành an Lu n va 19 ac th si iđêan J thuộc K[x1 , x2 , , xn−1 ] Theo giả thiết quy nạp J có hệ sinh hữu hạn gồm ht (x1 , x2 , , xn−1 ) với t = 1, 2, , m0 Mỗi phần tử thuộc J biểu diễn thành tổng sau m0 X ct (x1 , x2 , , xn−1 )ht (x1 , x2 , , xn−1 ) t=1 với ct (x1 , x2 , , xn−1 ) ∈ K[x1 , x2 , , xn−1 ] Do đa thức n − biến ht (x1 , x2 , , xn−1 ) thuộc iđêan J nên có đa thức ft (x) = ft (x1 , , xn ) ∈ I với biểu diễn lu ft (x) = ft (x1 , , xn ) = ht (x1 , x2 , , xn−1 )xsnt + · · · , t = 1, 2, , m0 an n va tn to Đặt s = max{s1 , s2 , , sm0 } Giả sử f (x) = a(x1 , , xn−1 )xrn + · · · với r > s Biểu diễn ct (x1 , x2 , , xn−1 )ht (x1 , x2 , , xn−1 ) t=1 p ie gh a(x1 , , xn−1 ) = m0 X nl w Khi đa thức t ct (x1 , x2 , , xn−1 )xr−s ft (x1 , , xn−1 , xn ) n t=1 d oa f (x) − m X lu t=1 bt (x1 , x2 , , xn−1 , xn )ft (x1 , x2 , , xn−1 , xn ) z at nh oi lm ul f (x) − m X nf va an thuộc I với bậc nhỏ r Lặp lại trình, sau vài lần ta viết thuộc I với bậc nhỏ s Như vậy, ta cần xét đa thức thuộc I với bậc theo xn nhỏ s Xét đa thức xn với bậc s − hệ tử thuộc K[x1 , x2 , , xn−1 ] Giả sử z gm @ g(x) = b1 (x1 , , xn−1 )xs−1 + b2 (x1 , , xn−1 )xs−2 + ··· n n co l h(x) = c1 (x1 , , xn−1 )xs−1 + c2 (x1 , , xn−1 )xs−2 + ··· n n m Khi g(x) − h(x) = [b1 (x1 , , xn−1 ) − c1 (x1 , , xn−1 )]xs−1 n + · · · a(x1 , , xn−1 )g(x) thuộc I có bậc nhỏ s Các hệ tử cao theo an Lu n va 20 ac th si xn lập thành iđêan J1 ⊂ K[x1 , x2 , , xn−1 ] Theo giả thiết quy nạp, J1 có hệ sinh hữu hạn, chẳng hạn gồm hm0 +u (x1 , x2 , , xn−1 ) với m0 + u = m0 + 1, m0 + 2, , m1 Gọi fm0 +u (x) = hm0 +u (x1 , x2 , , xn−1 )xs−1 + ··· , n với m0 + u = m0 + 1, m0 + 2, , m1 , đa thức thuộc I với hệ tử cao hm0 +u (x1 , x2 , , xn−1 ) bậc theo xn s − Khi đó, đa thức k(x) ∈ I bậc theo xn s − có biểu diễn hiệu m1 P k(x) − fm0 +u (x) đa thức bậc không vượt s − Lặp lại, sau u=1 lu an số hữu hạn lần, hiệu va n f (x) − mv X bt (x1 , x2 , , xn−1 , xn )ft (x1 , , xn−1 , xn ) to t=1 gh tn ie thuộc I với bậc Vậy f (x) = mv P bt (x1 , , xn−1 , xn )ft (x1 , , xn−1 , xn ) p t=1 Định lý không điểm Hilbert d oa 1.3 nl w theo giả thiết quy nạp lu nf va an Giả thiết K = C, trường đóng đại số Để trình bày Định lý không điểm Hilbert, ta vận dụng kết không chứng minh sau lm ul z at nh oi Định lý 1.3.1 Nếu hệ phương trình đa thức  gi (x1 , , xn ) = i = 1, 2, , r z khơng có nghiệm tồn đa thức (x1 , , xn ) ∈ C[x1 , , xn ] r P thỏa mãn (x1 , , xn )gi (x1 , , xn ) =  l gm @ i=1 m co fi (x1 , , xn ) = Giả sử đa i = 1, 2, , r thức g(x1 , , xn ) 6= thỏa mãn g(ξ1 , ξ2 , , ξn ) = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) Xét hệ phương trình đa thức an Lu n va 21 ac th si nghiệm hệ  fi (x1 , , xn ) = i = 1, 2, , r Khi ta có kết sau: Định lý 1.3.2 [Hilbert’s zero-theorem] Giả sử g(x1 , , xn ) khác không thỏa mãn g(ξ1 , ξ2 , , ξn ) = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) nghiệm hệ  fi (x1 , , xn ) = i = 1, 2, , r lu Khi có đa thức bi (x1 , , xn ) ∈ C[x1 , , xn ] số nguyên dương s thỏa mãn r X s g(x1 , , xn ) = bi (x1 , , xn )fi (x1 , , xn ) an n va tn to i=1 p ie gh Chứng minh: Ký hiệu z biến Coi đa thức fi (x1 , , xn ) phần tử thuộc vành đa thức C[x1 , , xn , z] Xét hệ phương trình đa thức  fi (x) = fi (x1 , , xn ) = i = 1, 2, , r  zg(x) − = zg(x1 , , xn ) − = d oa nl w lu lm ul r X nf va an Hệ vô nghiệm Theo Định lý 1.3.1, tồn (x1 , , xn , z) b(x1 , , xn , z) thuộc vành C[x1 , , xn , z] để (x1 , , xn , z)fi (x) + b(x1 , , xn , z)(zg(x) − 1) = z at nh oi i=1 Đồng thức ta thay z qua z i=1
fi (x) = g(x) l gm x , , x n , @ r X Từ suy g(x) m co Nhân hai vế với lũy thừa thích hợp g(x) ta nhận hệ thức r P s g(x1 , , xn ) = bi (x1 , , xn )fi (x1 , , xn ) n va 22 an Lu i=1 ac th si Bổ đề 1.3.3 Giả thiết trường K có char(K) = Cho đa thức khác không g(x) = g(x1 , , xn ) ∈ K[x] ta ký hiệu ti = degi g(x) bậc g(x) theo biến xi , i = 1, , n Ký hiệu tập Si ⊂ K thỏa mãn |Si | > ti + với i = 1, , n Nếu g(α) = thỏa mãn cho (α) = (α1 , , αn ) ∈ S1 × S2 × · · · × Sn g(x) ≡ lu Chứng minh: Ta chứng minh kết luận phương pháp quy nạp theo n Với n = 1, ta có đa thức biến g(x1 ) bậc t1 triệt tiêu tập S1 với nhiều t1 phần tử Do g(x1 ) ≡ theo Định lý Bezout Giả sử kết luận cho tất đa thức n biến Biểu diễn lại đa thức g(x) thàn đa thức biến xn sau: an n va g(x1 , , xn ) = tn X gj (x1 , , xn−1 )xjn ∈ K[x1 , , xn−1 ][xn ] j=1 ie gh tn to Với (γ) = (γ1 , , γn−1 ) ∈ S1 × S2 × · · · × Sn−1 cố định ta có tn P g(γ, xn ) = gj (γ)xjn ≡ tập Sn Từ suy gj (γ) = với p j=0 d oa nl w j = 0, 1, , tn (γ) ∈ S1 × S2 × · · · × Sn−1 Theo giả thiết quy nạp ta có gj (x1 , , xn−1 ≡ với j = 0, 1, , tn Như g(x) ≡ Bổ đề chứng minh nf va an lu Định lý 1.3.4 [Noga Alon] Giả thiết trường K có char(K) = Cho đa thức khác không g(x) = g(x1 , , xn ) ∈ K[x] Ký hiệu tập Q Si ⊂ K thỏa mãn |Si | > pi (xi ) = (xi − s) với i = 1, , n lm ul s∈Si z at nh oi Nếu g(x) triệt tiêu nghiệm chung p1 , , pn tồn đa thức q1 , , qn ∈ K[x1 , , xn ] thỏa mãn deg qi deg g − deg pi để n X g= qi pi z i=1 @ − ti X n va 23 an Lu j=0 aij xji , aij ∈ Si , i = 1, , n m s∈Si (xi − s) = xtii +1 co pi (xi ) = Y l gm Chứng minh: Đặt ti = |Si | − với i = 1, , n Theo giả thiết ta có g(α) = với (α) ∈ S1 × S2 × · · · × Sn Ta biểu diễn lại đa thức ac th si Do pi (s) = nên s ti +1 = ti P aij sj , aij ∈ Si , i = 1, , n Như j=0 xiti +1 = ti P j=0 aij xji Si với i = 1, , n Ký hiệu đa thức g ∗ (x) đa thức nhận từ g(x) qua việc biểu diễn g(x) tổ hợp ti P aij xji Như vậy, đa thức nhận đơn thức thay xtii +1 j=0 ∗ lu sau thay g (x) có bậc khơng ti biến xi với i = 1, , n nhận từ g(x) việc trừ tích dạng qi pi , đa thức qi ∈ K[x1 , , xn ] với deg qi deg g − deg pi Qua lần biến đổi, ta ln ln có g ∗ (α) = g(α) = với n n Q P α∈ Si Theo Bổ đề 1.3.3, g ∗ ≡ suy g = q i pi an va i=1 i=1 n p ie gh tn to Định lý 1.3.5 [Noga Alon] Giả thiết trường K có char(K) = Cho đa thức khác không g(x) = g(x1 , , xn ) ∈ K[x] với bậc n n P P deg g(x) = ti , ti ∈ N Giả thiết hệ số đơn thức xtii khác Khi i=1 i=1 d oa nl w đó, tập Si ⊂ K thỏa mãn |Si | > ti với i = 1, 2, , n, tồn α1 ∈ S1 , , αn ∈ Sn để g(α) 6= nf va an lu Chứng minh: Kết suy từ Định lý 1.3.4 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 24 ac th si Chương Tính gần nghiệm lu 2.1 Nghiệm hệ đa thức an Kết thức phép khử n va 2.1.1 p ie gh tn to Kết thức hai đa thức biết đến ứng dụng mạnh mẽ đại số máy tính Nó đặc trưng cho việc xác định tính chất đặc trưng hai đa thức biến trường K có nghiệm chung thơng qua hệ số hai đa thức mà khơng địi hỏi phải tìm nghiệm chúng Kết thức công cụ đáng ngạc nhiên việc giải tốn hệ phương trình đại số d oa nl w lu Khái niệm kết thức biệt thức nf va an 2.1.2 z at nh oi lm ul Giả sử u0 , u1 , , um v0 , v1 , , họ gồm m + n + biến độc lập đại số trường K Hai đa thức thuộc K[u, v][x] với biểu diễn: fu = u0 xm + u1 xm−1 + · · · + um gv = v0 xn + v1 xn−1 + · · · + z m co l gm @ Định thức cấp m + n gồm n dòng cho ui , m dòng cho vj sau đây: an Lu n va 25 ac th si u0