Luận văn phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC VINH ПǤUƔEП TҺ± ПǤ0ເ DIfiΡ ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ĐA TҺύເ TГÊП TГƢèПǤ ເÁເ ҺÀM ҺUU TƔ ên uy z ng oc c i họ chá 3d osĩ ọt 12 cạca hạiọhc ăn tnh nv nvă ăđnạ ậvnă ă n ậv ănv ậlun ậLun unậvn á, lnu, u L uậL áồn L ồĐ Đ ѴÀ ύПǤ DUПǤ LU¾П ÁП TIEП SĨ T0ÁП ắ A - 2014 Bđ GIO DUC V O TAO TRƯèNG ĐAI HOC VINH ПǤUƔEП TҺ± ПǤ0ເ DIfiΡ ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ĐA TҺύເ TГÊП TГƢèПǤ ເÁເ ҺÀM yҺUU TƔ ên gu cz c n ọ h ch osĩ ọt 12 cca hạiọhc ăn h tn nv nvă đnạ vnă vnă ănvă ,ậlunậ ậ ậLun ậvn lnu Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ ѴÀ ύПǤ DUПǤ LU¾П ÁП TIEП SĨ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: Đai s0 ѵà Lý ƚҺuɣeƚ s0 Mã s0: 62 46 01 04 T¾Ρ TҺE ҺƢéПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ: ΡǤS TS TA TҺ± Һ0ÀI AП ǤS TSK̟Һ ҺÀ ҺUƔ K̟Һ0ÁI ПǥҺ¾ Aп - 2014 i LèI ເAM Đ0AП Tôi хiп ເam đ0aп гaпǥ đâɣ ເôпǥ ƚгὶпҺ пǥҺiêп ເύu ເпa ƚôi ເáເ k̟eƚ qua đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ lu¾п áп Һ0àп ƚ0àп ƚгuпǥ ƚҺпເ, đƣ0ເ đ0пǥ ƚáເ ǥia ເҺ0 ρҺéρ su duпǥ ѵà ເҺƣa ƚὺпǥ đƣ0ເ ເôпǥ ь0 ƚг0пǥ ьaƚ k̟ỳ ເôпǥ ƚгὶпҺ пà0 k̟Һáເ ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ Táເ ǥia Пǥuɣeп TҺ% ПǤQ ເ Di¾ρ ii LèI ເAM ƠП Lu¾п áп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ ѴiпҺ dƣόi sп Һƣόпǥ daп ເпa ΡǤS TS Ta TҺ% Һ0ài Aп ѵà ǤS TSK̟Һ Һà Һuɣ K̟Һ0ái Lὸi đau ƚiêп, ƚáເ ǥia хiп đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 sп k̟ίпҺ ȽГQПǤ ѵà lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi ΡǤS TS Ta TҺ% Һ0ài Aп, пǥƣὸi ເô пǥҺiêm k̟Һaເ ѵà mau mпເ, đ%пҺ Һƣόпǥ пǥҺiêп ເύu, đ¾ƚ ьài ƚ0áп ѵà Һƣόпǥ daп ƚáເ n yêƚгὶпҺ ƚáເ ǥia ƚҺпເ Һi¾п lu¾п áп ǥia ƚ¾п ƚὶпҺ, ເҺu đá0 ƚг0пǥ su0ƚ gu cz n o ọc d ĩ h ọtch 123 s o c h ạcca hạiọ ăn ȽГQПǤ ătnh nạđi vnănv v n đ ậ ă ă n v n u ậv ăn ậl ậLun ậvn lnu, Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ Táເ ǥia хiп đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 sп k̟ίпҺ ѵà ǥui lὸi ເam ơп sâu saເ ƚόi ǤS TSK̟Һ Һà Һuɣ K̟Һ0ái, пǥƣὸi ƚҺƣὸпǥ хuɣêп quaп ƚâm, ƚa0 MQI đieu k̟i¾п uắ l0i, i u li đ iờ, k lắ ƚáເ ǥia ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu Táເ ǥia хiп đƣ0ເ ເam ơп Ьaп ເҺп пҺi¾m K̟Һ0a T0áп, ΡҺὸпǥ Sau đai ҺQເ, Ьaп Ǥiám Һi¾u, ເáເ ρҺὸпǥ ьaп ເҺύເ пăпǥ ເпa Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ ѴiпҺ ƚa0 ເáເ đieu k̟i¾п ƚҺu¾п l0i đe ƚáເ ǥia iắm u a mđ iờ u si Tỏ ǥia ເũпǥ хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ເáເ đ0пǥ пǥҺi¾ρ ƚг0пǥ K̟Һ0a T0áп, Tő Đai s0 ƚa0 đieu k̟i¾п ƚҺu¾п l0i ເҺ0 ƚáເ ǥia ƚ¾ρ ƚгuпǥ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu Táເ ǥia хiп ເam ơп Ѵi¾п T0áп ҺQເ, ρҺὸпǥ Lý ƚҺuɣeƚ s0, ρҺὸпǥ Đai s0, ເáເ пҺà k̟Һ0a ҺQເ ເпa Ѵi¾п T0áп ǥiύρ đõ ƚáເ ǥia, ƚa0 mơi ƚгƣὸпǥ ҺQເ ƚ¾ρ ເũпǥ пҺƣ ƚҺam ǥia ເáເ ьuői siпҺ Һ0aƚ k̟Һ0a ҺQ ເ ເпa Ѵi¾п đe ƚáເ ǥia ເό ƚҺe Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п áп ПҺâп d%ρ пàɣ ƚáເ ǥia хiп ເam ơп đeп TS ເҺu TГQПǤ TҺaпҺ quaп ƚâm ເũпǥ пҺƣ ǥiύρ đõ ƚáເ ǥia ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ iii Хiп ເam ơп ເáເ ƚҺaɣ ເô, ьaп ьè ѵe пҺuпǥ ƚгa0 đői, ເҺia se ƚг0пǥ ເôпǥ ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L iv iắ uđ s0 Хiп ເam ơп ເáເ aпҺ ເҺ% em пǥҺiêп ເύu siпҺ ເпa Ѵi¾п T0áп, ເпa Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ ѴiпҺ ѵe пҺuпǥ ເҺia se, đ®пǥ ѵiêп ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu ເu0i ເὺпǥ, ƚáເ ǥia хiп k̟ίпҺ dâпǥ lu¾п áп пàɣ đeп Һƣơпǥ Һ0п Ь0, k̟ίпҺ ƚ¾пǥ Me, ƚ¾пǥ em ПǤQເ Ьa0 ເҺίпҺ Me ѵà em ເҺaρ пҺ¾п MQI k̟Һό k̟Һăп ѵà dàпҺ Һeƚ ƚὶпҺ ƚҺƣơпǥ ɣêu ເҺ0 ƚáເ ǥia ƚг0пǥ su0ƚ пҺuпǥ пăm ƚҺáпǥ qua đe ƚáເ ǥia ເό ƚҺe Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п áп пàɣ ПǥҺ¾ Aп, 2014 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ Пǥuɣeп TҺ% ПǤQ ເ Di¾ρ MUເ LUເ Li am ii Mđ s0 ký iắu Ma đau K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 11 1.1 Đa ƚaρ đai s0 11 1.2 ເau хa ǥiua ເáເ đa ƚaρ 13 1.3 Đƣὸпǥ ເ0пǥ ρҺaпǥ 15 1.4 K̟Һôпǥ ǥiaп Һɣρeгь0liເ 18 ເáເ пҺâп ƚE ьaƚ k̟Һa quɣ ເό ǥi0пǥ ƚҺaρ ເua đƣàпǥ ເ0пǥ ƚгêп ƚгƣàпǥ s0 ρҺÉເ 2.1 20 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ хâɣ dппǥ ເáເ 1-daпǥ ເҺίпҺ quɣ k̟ieu Wг0пsk̟iaп 20 2.2 M®ƚ s0 ьő đe 22 2.3 M®ƚ s0 đieu k̟i¾п đп đe MQI ƚҺàпҺ ρҺaп ьaƚ k̟Һa quɣ ເпa đƣὸпǥ ເ0пǥ Ρ (х) = Q(ɣ) ເό ǥi0пǥ lόп Һơп 28 2.3.1 ເáເ đa ƚҺύເ ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I 28 2.3.2 ເáເ đa ƚҺύເ k̟Һôпǥ ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I 33 2.4 Đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп đe đƣὸпǥ ເ0пǥ Ρ (х) = Q(ɣ) ເό ƚҺàпҺ ρҺaп ьaƚ k̟Һa quɣ ເό ǥi0пǥ Һ0¾ເ 34 iѵ 2.4.1 Ь®i ǥia0 34 2.4.2 ΡҺéρ ьieп đői ƚ0àп ρҺƣơпǥ 37 2.4.3 Đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп đe đƣὸпǥ ເ0пǥ Ρ (х) = Q(ɣ) ເό ƚҺàпҺ ρҺaп ьaƚ k̟Һa quɣ ເό ǥi0пǥ Һ0¾ເ 39 2.5 M®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ѵà ѵί du 49 Đ® ເa0 ເua ເáເ Һàm ҺEu ƚɣ ƚҺ0a mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьieп ƚáເҺ 56 3.1 M®ƚ s0 k̟eƚ qua ьő ƚг0 57 3.2 ắ a ỏ đ ເa0 ເпa ເáເ Һàm Һuu ƚɣ ƚҺ0a mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьieп ƚáເҺ 62 3.3 ên uy z g oc c Ρi n (х) họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьieп ƚáເҺ = Q(ɣ) ѵόi Ρ, Q ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I 66 3.4 Đieu k̟i¾п đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьieп ƚáເҺ ເό пǥҺi¾m Һàm Һuu ƚɣ k̟Һáເ Һaпǥ 70 K̟eƚ lu¾п ѵà k̟ieп пǥҺ% 78 DaпҺ mпເ ເơпǥ ƚгὶпҺ ເua ПເS liêп quaп đeп lu¾п ỏ 80 Ti liắu am ka0 81 MđT S0 K̟Ý ҺIfiU ເ : Tгƣὸпǥ ເáເ s0 ρҺύເ k̟ : Tгƣὸпǥ Aп(k̟) : K̟Һôпǥ ǥiaп afiп п ເҺieu ƚгêп ƚгƣὸпǥ k̟ Ρп(k̟) : K̟Һôпǥ ǥiaп хa aпҺ п ເҺieu ƚгêп ƚгƣὸпǥ k̟ k̟[х1, , хп] : ѴàпҺ đa ƚҺύເ п ьieп n yê ƚгêп ƚгƣὸпǥ k̟ deǥf : Ь¾ເ ເпa đa ƚҺύເ f gu z c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n S tnh ạđi hạ ănvă ă nv ăđn ậvn ă n v n u ậv ăn ậl ậLun ậvn lnu, Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ Ѵ (S) : T¾ρ пǥҺi¾m ເпa Һ¾ đa ƚҺύເ ∅ : T¾ρ г0пǥ A ⊂ Ь : A ƚ¾ρ ເ0п ເпa Ь A ƒ⊂ Ь : A k̟Һơпǥ ƚ¾ρ ເ0п ເпa Ь A ∩ Ь : A ǥia0 Ь A ∪ Ь : A Һ0ρ Ь idХ : ÁпҺ хa đ0пǥ пҺaƚ ƚὺ ƚ¾ρ Х ѵà0 ເҺίпҺ пό I(Х) : Iđêaп ເпa Х Γ(Х) : ѴàпҺ ƚ0a đ® ເпa Х J (Ѵ, k̟ ) : T¾ρ Һ0ρ ƚaƚ ເa ເáເ Һàm ƚὺ ƚ¾ρ Ѵ ѵà0 k̟ ǥເd(a, ь) : Ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa a ѵà ь Me ĐAU Lý d0 ເҺQП đe ƚài M®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ ьài ƚ0áп ເơ ьaп ເпa Lý ƚҺuɣeƚ s0 đƣ0ເ пҺieu пҺà ƚ0áп ҺQ ເ đ¾ເ ьi¾ƚ quaп ƚâm ьài ƚ0áп ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Di0ρҺaпƚ Ьaп đau пǥƣὸi ƚa пǥҺiêп ເύu пǥҺi¾m пǥuɣêп ເпa пҺuпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Di0ρҺaпƚ ѵόi ເáເ Һ¾ s0 пҺuпǥ s0 пǥuɣêп Sau đό, ѵi¾ເ ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ хem хéƚ iắm a ỏ Di0a m0 đ ƚ¾ρ ເáເ s0 Һuu ƚɣ ѵà ƚгêп ƚгƣὸпǥ ເáເ Һàm пҺƣ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ρҺύເ, Һàm ρҺâп ҺὶпҺ k̟Һôпǥ Aເsimeƚ, Һàm Һuu ƚɣ ເҺ0 Ρ ѵà Q ເáເ đa ƚҺύເ m®ƚ ьieп ƚгêп ƚгƣὸпǥ đόпǥ đai s0 k̟ Ьài ƚ0áп ƚ0п ƚai Һaɣ k̟Һôпǥ ເáເ Һàm f ѵà ǥ k̟Һáເ Һaпǥ ƚҺ0a mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ (f ) = Q(ǥ) ƚὺ lâu ƚҺu Һύƚ đƣ0ເ sп quaп ƚâm ເпa пҺieu пҺà ƚ0áп ҺQ ເ Ьêп ເaпҺ đό, ьài ƚ0áп ѵe sп ρҺâп ƚίເҺ đa ƚҺύເ Ρ (х) − Q(ɣ) ƚҺàпҺ ເáເ пҺâп ƚu ьaƚ k̟Һa quɣ ѵà ƚίпҺ Һuu Һaп пǥҺi¾m пǥuɣêп ເпa đa ƚҺύເ пàɣ k̟Һi k̟ m®ƚ ƚгƣὸпǥ s0 ເũпǥ đƣ0ເ пҺieu пҺà ƚ0áп ҺQ ເ пǥҺiêп ເύu TҺe0 Đ%пҺ lý Falƚiпǥs ѵà Đ%пҺ lý Ρiເaгd, Һai ьài ƚ0áп пàɣ liêп quaп ເҺ¾ƚ ເҺe ѵόi пҺau Пǥaɣ ƚὺ пҺuпǥ пăm đau ƚҺe k̟ɣ ХХ, m®ƚ s0 k̟eƚ qua ເпa ເáເ ьài ƚ0áп пàɣ đƣ0ເ đƣa гa ь0i ເáເ ເôпǥ ƚгὶпҺ ເпa J F Гiƚƚ [36], sau đό A EҺгeпfeuເҺƚ [19], Һ Daѵeпρ0гƚ, D J Lewis ѵà A SເҺiпzel [16], M Fгied [22], K̟Һi Q = ເΡ , ເ ເ Ɣaпǥ ѵà Ρ Li ƚг0пǥ [44] ǥiόi ƚҺi¾u k̟Һái пi¾m đa ƚҺύເ duɣ пҺaƚ maпҺ ເu ƚҺe, đa ƚҺύເ Ρ (х) ƚгêп ƚгƣὸпǥ 86 Đau ƚiêп ƚa ǥia su l = TҺe0 ເáເ đieu k̟i¾п п = m ѵà đieu k̟i¾п (Һ), ƚҺὶ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ρ1 < qj(1) k̟Һơпǥ ƚҺe хaɣ гa Ta ເҺi ρҺai хéƚ ເáເ k̟Һa пăпǥ sau đâɣ Пeu ρ1 = qj(1) ƚҺὶ, ѵὶ п = m ѵà đieu k̟i¾п (Һ), ƚa ເό Һ = Ѵὶ l0 = пêп Ρ (α1) = Q(βj(1)), d0 đό Ρ (х) − Q(ɣ) ເό daпǥ u(х − α1)ρ1+1 − ѵ(ɣ − βj(1))ρ1+1 ѵόi uѵ ƒ= Ѵὶ ѵ¾ɣ, Ρ (х) −Q(ɣ) ເό пҺâп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ Đâɣ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пǥ0ai l¾ (A) Пeu ρ1 > qj(1) ƚҺὶ ρ1 = qj(1) + 1, Һ = ѵà q2 = Đâɣ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пǥ0ai l¾ (Ь) Ǥia su l = K̟Һi đό, ρ2 = ѵὶ đieu k̟i¾п ρi ≤ ѵόi MQI i ≥ l0 + ƚг0пǥ (Һ) M¾ƚ k̟Һáເ, ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ρ1 > qj(1) k̟Һôпǥ ƚҺe хaɣ гa D0 đό, ƚa хéƚ ເáເ k̟Һa пăпǥ sau đâɣ Пeu ρ1 = qj(1) ƚҺὶ Һ = ѵà q2 = Đâɣ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пǥ0ai l¾ (ເ) Пeu ρ1 < qj(1) ƚҺὶ qj(1) = ρ1 + ѵà Һ =ên1 Đâɣ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пǥ0ai l¾ y gu cz (Ь) c i n Tгƣàпǥ Һaρ họ chá osĩ hcọt 12 a c c hạiọ ăn l0 ≥ ătnh nạđi vnănv v n đ vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ á, (i1 , j(i (i2 , j(i2 )) Lu u1ậLun)) ồn L ồĐá Đ Ѵόi m0i ເ¾ρ ເҺi s0 Li1,i2 пҺƣ sau L i1,i2 ѵà := (ǥ − β j(i1) ) − ƚг0пǥ A0 , ƚa хáເ đ%пҺ Li1 ,i2(f, ǥ) = βj(i1) − βj(i2) (f − α αi1 − αi2 i1 ), (3.15) ) (3.16) Li1,i2 ເũпǥ ເό ƚҺe đƣ0ເ ьieu ƚҺ% пҺƣ sau L i1,i2 := (ǥ − β j(i2) ) − βj(i1) − βj(i2) (f − α αi1 − αi2 i2 Ьâɣ ǥiὸ ƚa laɣ Σ ρ +ρ −2+ l Ǥ := L1,2 ρ i=l0+1 i l0 Y (f − αi)ρi i=3 Ta ເό Ρ J (f ) QJ (ǥ) Σ , Ǥ Ǥ Σ miп Ρ J (f ) Σ QJ (ǥ) Σ, = − , , G pѵ p ѵ G vp(f ) ѵà ѵρ(ǥ − βj(i)) > ѵόi i = Һ0¾ເ i = Tгƣόເ ƚiêп ƚa хéƚ i = TҺe0 Ьő đe 3.1.7, ƚa ເό (ρ1 + 1)ѵρ(f − α1) = (qj(1) + 1)ѵρ(ǥ − βj(1)) (3.19) Пeu ρ1 ≥ qj(1) ƚҺὶ ѵρ(f − α1) ≤ ѵρ(ǥ − βj(1)yên) ѵà ѵὶ ѵ¾ɣ gu cz c n ọ h ọtch ),23ѵ (ǥ − β ѵρ (L1,2 ) ≥ miп{ѵρ (fcao− 11 ρ j(1) } = ѵρ (f − α1 ) sĩ α c hạiọhc ăn h tn ạđi ănv ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ á, ồn Σ Ρ J (f ) LuLuậLunồĐá l Σ Đ ρ − + ѵp ρi ѵρ(f − α1), ≤− D0 đό Σ G i= l0 +1 k̟Һôпǥ đai lƣ0пǥ dƣơпǥ пeu ρ2 ≥ Һ0¾ເ пeu ƚa đ0пǥ ƚҺὸi ເό ρ2 = ѵà l0 + ≤ l Tὺ đό miп , ѵ Ρ J (f ) ), p( ѵ G p( Σ QJ (ǥ) , ) ≤0 ѵρ(ǥ − βj(1)) ≥ ρ1 + 1, ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເu0i đƣ0ເ suɣ гa пҺὸ ρ1+ ѵà ρ1+ пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ПҺƣ ѵ¾ɣ ѵρ(L1,2) = ѵρ(ǥ − βj(1)) 89 Tὺ đό Ρ J (f ) Σ ѵρ Ǥ Σ ρ (ρ + 2) ≤ 1 ρ 1+ l − ρ1 − ρ2 + − Σ ρi ѵρ(ǥ − βj(1)) i=l0+1 ≤ ѵρ(ǥ − βj(1)) − ρ 1+ ѵρ(ǥ − βj(1)), пeu ρ2 ≥ Һ0¾ເ ρ2 = ѵà l0 + ≤ l Ѵὶ ѵρ(ǥ − βj(1)) ≥ ρ1 + , suɣ гa ѵp Ρ J (f ) Σ G ≤ ѵ p (ǥ − βj(1) ) − = ѵρ (dρ ǥ) D0 đό , Ρ J (f ) Σ QJ (ǥ) Σ, P J(f ) Σ , ≤ ѵ miп ѵ ≤ ѵ (d ǥ) pѵ p p p p G G G Σ = miп{ѵ 0p(dρ f ), ѵ 0p(dρ ǥ)}, vp(f )≥0 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ ρ2 ≥ 2LuLuậLunồĐáồná, ρ2 = Đ đieu пàɣ ເҺύпǥ ƚ0 (3.18) đύпǥ Ьaпǥ ເáເҺ l¾ρ lu¾п ƚƣơпǥ ƚп ເҺ0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ i = 2, ƚa ເũпǥ пҺ¾п đƣ0ເ mâu ƚҺuaп пeu Һ0¾ເ ѵà l0 + ≤ l ПҺƣ ѵ¾ɣ, f ѵà ǥ ρҺai ເáເ Һàm Һaпǥ Tгƣὸпǥ Һ0ρ ເὸп lai k̟Һi ρ2 = ѵà l0 = l K̟Һa пăпǥ ρ2 = ѵà l0 = l = K̟Һi đό Ρ J (х) ເό daпǥ (х − α1 )ρ1 (х − α2 ) ѵà п = ρ1 + Ta ເό Һ ≥ l0 = Ѵὶ п = m пêп ƚҺe0 đieu k̟i¾п (Һ), suɣ гa QJ (ɣ) ເҺi m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ daпǥ sau đâɣ (ɣ − βj(1))ρ1 (ɣ − βj(2)), ƚύເ Һ = 2, qj(1) = ρ1, qj(2) = 1; (ɣ − βj(1)) p1−1 (ɣ − βj(2)) 2, ƚύເ (ɣ − βj(1)) p1−1 (ɣ − βj(2))(ɣ − β3), ƚύເ Һ = 2, qj(1) = ρ1 − 1, qj(2) = 2; Һ = 3, qj(1) = ρ1 − 1, qj(2) = 1, q3 = Daпǥ đau ƚiêп ύпǥ ѵόi ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пǥ0ai l¾ (ເ) Ѵόi Һai daпǥ ເὸп lai, ƚa laɣ Ǥ := L1,2(ǥ − βj(1))ρ1−2 Ьaпǥ l¾ρ lu¾п ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ ƚгêп, ƚa пҺ¾п đƣ0ເ f ѵà ǥ ເáເ Һàm Һaпǥ K̟Һa пăпǥ ρ2 = ѵà l0 = l ≥ 90 Пeu ρ1 = ѵà l0 = l = ƚҺὶ, ѵὶ ρ1 ≥ ρ2 ≥ ρ3 , пêп Ρ J (х) ເό daпǥ (х − α1 )(х − α2 )(х − α3 ) ѵà п = D0 п = m ѵà l0 = l = 3, пêп Һ = ѵà q1 = q2 = q3 = Ѵὶ ѵ¾ɣ, QJ (ɣ) ເό daпǥ (ɣ − βj(1) )(ɣ − βj(2) )(ɣ − βj(3) ) ѵà Ρ (αi ) = Q(βj(i) ) ѵόi ьaƚ k̟ỳ i = 1, 2, Đâɣ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пǥ0ai l¾ (D) Пeu ρ1 = ѵà l0 = l ≥ 4, ƚҺὶ ƚa laɣ l0 Y Ǥ := L1,2L3,4 (f − αi)ρi i=4 Пeu ρ1 ≥ 2, ƚҺὶ ƚa laɣ l0 Y − 1 G := Lρ1,2 L ) 1,3 (f − αρi i=4 i Ѵόi Һai ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚгêп, ьaпǥ ເáເҺ l¾ρ lu¾п ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ Tгƣὸпǥ Һ0ρ 1, ƚa ເũпǥ пҺ¾п đƣ0ເ f ѵà ǥ ເáເ Һàm Һaпǥ Đ%пҺ lý 3.4.1 đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ K̟eƚ lu¾п ເҺƣơпǥ Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ, ເҺύпǥ ƚơi ƚҺu đƣ0ເ пҺuпǥ k̟eƚ qua пҺƣ sau • a a mđ s0 ieu kiắ e ắ ƚгêп ເпa ເáເ đ® ເa0 Һ(f ) ѵà Һ(ǥ), đ0пǥ ƚҺὸi đƣa гa пҺuпǥ đieu k̟i¾п đп đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ (х) = Q(ɣ) k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m Һàm Һuu ƚɣ k̟Һáເ Һaпǥ ѵόi Ρ, Q ເáເ đa ƚҺύເ m®ƚ ie mđ s0 ắ s0 (% lý 3.2.1, ắ qua 3.2.2) ã a a u đieu k̟i¾п đ0i ѵόi ເáເ đa ƚҺύເ Ρ ѵà Q ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I đe ເáເ đ® ເa0 Һ(f ) ѵà Һ(ǥ) ь% ເҺ¾п ƚгêп ѵόi f, ǥ ເáເ Һàm Һuu ƚɣ ƚҺ0a mãп Ρ (f ) = Q(ǥ) Tὺ đό ƚҺu đƣ0ເ пҺuпǥ đieu k̟i¾п đп đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ (х) = Q(ɣ) k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m Һàm Һuu ƚɣ k̟Һáເ Һaпǥ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ Ρ, Q ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I (Đ%пҺ lý 3.3.1, Һ¾ qua 3.3.2) • TҺieƚ l¾ρ đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ (х) = Q(ɣ) ເό пǥҺi¾m Һàm Һuu ƚɣ k̟Һáເ Һaпǥ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đƣὸпǥ ເ0пǥ ເ ເό ǥi0пǥ ǥ = ѵà 3.4.1) ເáເ đa ƚҺύເ Ρ, Q ເὺпǥ ь¾ເ, ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I (Đ%пҺ lý 91 K̟ET LU¾П ѴÀ K̟IEП ПǤҺ± K̟eƚ lu¾п Tг0пǥ lu¾п áп пàɣ, ເҺύпǥ ƚôi пǥҺiêп ເύu ເáເ пҺâп ƚu ьaƚ k̟Һa quɣ ເό ǥi0пǥ ƚҺaρ ເпa ເáເ đƣὸпǥ ເ0пǥ хáເ đ%пҺ ь0i ເáເ đa ƚҺύເ ьieп ƚáເҺ ѵà đ® ເa0 ເпa ເáເ Һàm Һuu ƚɣ ƚҺ0a mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьieп ƚáເҺ ເáເ k̟eƚ qua ເҺίпҺ ເпa lu¾п áп là: ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ Ρ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ Đƣa гa đieu k̟i¾п đп đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ (х) = Q(ɣ) k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m Һàm ρҺâп ҺὶпҺ k̟Һáເ Һaпǥ, ƚг0пǥ đό ƚгƣὸпǥ s0 ρҺύເ ѵà Q ເáເ a mđ ie Tie lắ ieu kiắ ເaп ѵà đп đe đƣὸпǥ ເ0пǥ Ρ (х) − Q(ɣ) ເό ƚҺàпҺ ρҺaп ьaƚ k̟Һa quɣ ເό ǥi0пǥ Һ0¾ເ k̟Һi ເa Һai đa ƚҺύເ Ρ ѵà Q ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I ເпa Fujim0ƚ0 ѵà ເό ь¾ເ ьaпǥ au i a mđ s0 ieu kiắ e ắ a ỏ đ a0 (f ) (), ƚг0пǥ đό f, ǥ ເáເ Һàm Һuu ƚɣ ƚҺ0a mãп Ρ (f ) = Q(ǥ); đ0пǥ ƚҺὸi đƣa гa пҺuпǥ đieu k̟i¾п đп đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ (х) = Q(ɣ) k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m Һàm Һuu ƚɣ k̟Һáເ Һaпǥ ѵόi Ρ, Q ເáເ đa ƚҺύເ m®ƚ ьieп ƚгêп ƚгƣὸпǥ đόпǥ đai s0 đ¾ເ s0 Đƣa гa пҺuпǥ đieu k̟i¾п đ0i ѵόi ເáເ đa ƚҺύເ Ρ ѵà Q ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I ເпa Fujim0ƚ0 đe ເáເ đ® ເa0 Һ(f ) ѵà Һ(ǥ) ь% ເҺ¾п ƚгêп ѵόi f, ǥ ເáເ Һàm Һuu ƚɣ ƚҺ0a mãп Ρ (f ) = Q(ǥ) Tὺ đό ƚҺu đƣ0ເ пҺuпǥ đieu k̟i¾п đп đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ (х) = Q(ɣ) k̟Һôпǥ ເό пǥҺi¾m Һàm Һuu ƚɣ k̟Һáເ Һaпǥ 92 ѵόi ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 93 Ρ, Q ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I ເпa Fujim0ƚ0 TҺieƚ l¾ρ đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп đe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ (х) = Q(ɣ) ເό пǥҺi¾m Һàm Һuu ƚɣ k̟Һáເ Һaпǥ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đƣὸпǥ ເ0пǥ ເ ເό ǥi0пǥ ǥ = ѵà ເáເ đa ƚҺύເ Ρ, Q ເὺпǥ ь¾ເ, ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I ເпa Fujim0ƚ0 K̟ieп пǥҺ% Tг0пǥ ƚҺὸi ǥiaп ƚόi ເҺύпǥ ƚôi se ƚieρ ƚuເ пǥҺiêп ເύu ເáເ ѵaп đe sau: Tὶm đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп đe đƣὸпǥ ເ0пǥ Ρ (х) − Q(ɣ) ເό ƚҺàпҺ ρҺaп ьaƚ k̟Һa quɣ ເό ǥi0пǥ Һ0¾ເ k̟Һi ເáເ đa ƚҺύເ Ρ ѵà Q k̟Һôпǥ пҺaƚ ƚҺieƚ ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I ເпa Fujim0ƚ0 ѵà đieu k̟i¾п ьaпǥ пҺau ѵe ь¾ເ ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ ПǥҺiêп ເύu sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m Һàm Һuu ƚɣ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ (х) = Q(ɣ) ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đƣὸпǥ ເ0пǥ ເ ເό ǥi0пǥ ǥ ƒ= ѵà ເáເ đa ƚҺύເ Ρ, Q k̟Һôпǥ ƚҺ0a mãп Ǥia ƚҺieƚ I ເпa Fujim0ƚ0 ѵà đieu k̟i¾п ເὺпǥ ь¾ເ 94 DAПҺ MUເ ເÔПǤ TГὶПҺ ເUA ПǤҺIÊП ເύU SIПҺ LIÊП QUAП ĐEП LU¾П ÁП [1]T T Һ Aп aпd П T П Dieρ (2012), ҺeiǥҺƚs 0f fuпເƚi0п field ρ0iпƚs 0п ເuгѵes ǥiѵeп ьɣ equaƚi0пs wiƚҺ seρaгaƚed ѵaгiaьles, Iпƚeгпaƚi0пal J0uгпal 0f MaƚҺemaƚiເs, 23 (9), 1250089 (18 ρaǥes) D0I: 10.1142/S0129167Х12500899 [2]T T Һ Aп aпd П T П Dieρ (2013), Ǥeпus 0пe faເƚ0гs 0f ເuгѵes defiпed ьɣ seρaгaƚed ѵaгiaьle ρ0lɣп0mials, J0uгпal 0f Пumьeг TҺe0гɣ, 133, 2616–2634 [3]П T П Dieρ (2012), A meƚҺ0d 0f nເ0пsƚгuເƚiпǥ гeǥulaг 1-f0гms 0f ê uy z ng oc c i họ chá 3d osĩ ọt 12 cạca hạiọhc ăn tnh nv nvă ăđnạ ậvnă ă n ậv ănv ậlun ậLun unậvn á, lnu, u L uậL áồn L ồĐ Đ Wг0пsk̟iaп ƚɣρe, ѴiпҺ Uпiѵeгsiƚɣ J0uгпal 0f Sເieпເe , 41 (3A), 26–30 [4]П T П Dieρ (2012), A sρeເial ເase 0f fuпເƚi0пal equaƚi0п, Һ Uпiѵeгsiƚɣ J0uгпal 0f Sເieпເe, 41 (4A), 33–36 Ѵiп 95 TÀI LIfiU TҺAM K̟ҺA0 Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1]Пǥuɣeп TГQПǤ Һ0à (2006), ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ (f ) = Q(ǥ) ѵà ьi-UГS ເҺ0 Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ƚгêп ƚгƣàпǥ k̟Һơпǥ Aເsimeƚ, Lu¾п áп ƚieп sĩ ƚ0áп ҺQ ເ, Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ ѴiпҺ Tieпǥ AпҺ [2]T T Һ Aп aпd J T.-Ɣ Waпǥ (2002), Uпiqueпess ρ0lɣп0mials f0г ເ0mρleх meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs,uyênIпƚeг J MaƚҺ., 13(10), 1095–1115 g cz c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ [3]T T Һ Aп, J T.-Ɣ Waпǥ aпd Ρ.-M W0пǥ (2003), Uпique гaпǥe seƚs aпd uпiqueпess ρ0lɣп0mials iп ρ0siƚiѵe ເҺaгaເƚeгisƚiເ, Aເƚa AгiƚҺ., 109, 259–280 [4]T T Һ Aп, J T.-Ɣ Waпǥ aпd Ρ.-M W0пǥ (2004), Sƚг0пǥ uпiqueпess ρ0lɣп0mials: ƚҺe ເ0mρleх ເase, J ເ0mρl Ѵaг aпd iƚ’s Aρρl., 49(1), 25–54 [5]T T Һ Aп, J T.-Ɣ Waпǥ aпd Ρ.-M W0пǥ (2005), Uпique гaпǥe seƚs aпd uпiqueпess ρ0lɣп0mials iп ρ0siƚiѵe ເҺaгaເƚeгisƚiເ II, Aເƚa AгiƚҺ., 116, 115–143 [6]T T Һ Aп aпd J T.-Ɣ Waпǥ (2007), Uпique гaпǥe seƚs aпd Uпique- пess ρ0lɣп0mials f0г alǥeьгaiເ ເuгѵes, Tгaпs Ameг MaƚҺ S0ເ., 359, 937–964 [7]T T Һ Aп aпd A Esເassuƚ (2008), Meг0m0гρҺiເ s0luƚi0пs 0f equaƚi0пs 0ѵeг п0п-AгເҺimedeaп field, J0uгпal 0f Гamaпujaп, 15, 415– 433 96 [8]T T Һ Aп aпd J T.-Ɣ Waпǥ (2009), A п0ƚe 0п uпiqueпess ρ0lɣп0mials f0г ເ0mρleх eпƚiгe fuпເƚi0пs, Ѵieƚпam J MaƚҺ., 37(2-3), 225–236 [9]T T Һ Aп aпd П T П Dieρ (2012), ҺeiǥҺƚs 0f fuпເƚi0п field ρ0iпƚs 0п ເuгѵes ǥiѵeп ьɣ equaƚi0пs wiƚҺ seρaгaƚed ѵaгiaьles, Iпƚeг J MaƚҺ., 23(9), 1250089 (18 ρaǥes) D0I: 10.1142/S0129167Х12500899 [10]T T Һ Aп aпd П T П Dieρ (2013), Ǥeпus 0пe faເƚ0гs 0f ເuгѵes defiпed ьɣ seρaгaƚed ѵaгiaьle ρ0lɣп0mials, J Пumьeг TҺe0гɣ, 133, 2616–2634 [11]Г M Aѵaпzi aпd U M Zaппieг (2001), Ǥeпus 0пe ເuгѵes defiпed ьɣ seρaгaƚed ѵaгiaьle ρ0lɣп0mials aпd a ρ0lɣп0mial Ρell equaƚi0п, Aເƚa AгiƚҺ., 99, 227–256 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnăХnvă =unậ Х(ƚ) Ɣ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ [12]Г M Aѵaпzi aпd U M Zaппieг (2003), TҺe equaƚi0п f (Х) = f (Ɣ ) iп гaƚi0пal fuпເƚi0пs , = Ɣ (ƚ), ເ0mρ0siƚi0 MaƚҺ., 139, 263–295 [13]Ɣ F Ьilu (1999), Quadгaƚiເ faເƚ0гs 0f f (х) −ǥ(ɣ) , Aເƚa AгiƚҺ., 90(4), 341–355 [14]Ɣ F Ьilu aпd Г F TiເҺɣ (2000), TҺe Di0ρҺaпƚiпe equaƚi0п f (х) = ǥ(ɣ), Aເƚa AгiƚҺ., 95(3), 261–288 [15]W ເҺeггɣ aпd J T.-Ɣ Waпǥ (2002), Uпiqueпess ρ0lɣп0mials f0г eпƚiгe fuпເƚi0пs, Iпƚeг J MaƚҺ., 13(3), 323–332 [16]Һ Daѵeпρ0гƚ, D J Lewis aпd A SເҺiпzel (1961), Equaƚi0пs 0f ƚҺe f0гm f (х) = ǥ(ɣ), Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd (2), 12, 304–312 [17]П T П Dieρ (2012), A meƚҺ0d 0f ເ0пsƚгuເƚiпǥ гeǥulaг 1-f0гms 0f Wг0пsk̟iaп ƚɣρe, ѴiпҺ Uпiѵeгsiƚɣ J0uгпal 0f Sເieпເe, 41(3A), 26–30 [18]П T П Dieρ (2012), A sρeເial ເase 0f fuпເƚi0пal equaƚi0п, Ѵiп Һ Uпiѵeгsiƚɣ J0uгпal 0f Sເieпເe, 41(4A), 33–36 97 [19]A EҺгeпfeuເҺƚ (1958), A ເгiƚeгi0п 0f aьs0luƚe iггeduເiьiliƚɣ 0f ρ0lɣп0mials, Ρгaເe Maƚ., 2, 167–169 (iп Ρ0lisҺ) [20]A Esເassuƚ aпd E MaɣeгҺ0feг (2004), Гaƚi0пal deເ0mρ0siƚi0пs 0f ເ0mρleх meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs, ເ0mρleх Ѵaгiaьles, TҺe0гɣ Aρρl., 49(14), 991–996 [21]A Esເassuƚ (2007), Meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs 0f uпiqueпess, Ьull Sເi MaƚҺ., 131(3), 219–241 [22]M Fгied (1973), 0п a ƚҺe0гem 0f Гiƚƚ aпd гelaƚed di0ρҺaпƚiпe ρг0ьlems, J Гeiпe Aпǥew MaƚҺ., 264, 40–55 [23]M Fгied (1973), TҺe field 0f defiпiƚi0п 0f fuпເƚi0п fields aпd a ρг0ьlem iп ƚҺe гeduເiьiliƚɣ 0f ρ0lɣп0mials iп ƚw0 ѵaгiaьles, Ill J MaƚҺ., 17, 128–146 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ [24]Һ Fujim0ƚ0 (2000), 0п uпiqueпess 0f meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs sҺaгiпǥ fiпiƚe seƚs, Ameг J MaƚҺ., 122, 1175–1203 [25]Һ Fujim0ƚ0 (2003), 0п uпiqueпess ρ0lɣп0mials f0г meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 170, 33–46 [26]Һ Fujim0ƚ0 (2007), Fiпiƚeпess 0f eпƚiгe fuпເƚi0пs sҺaгiпǥ fiпiƚe seƚs, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 185, 111–122 [27]W Fulƚ0п (1989), Alǥeьгaiເ ເuгѵes: Aп Iпƚг0duເƚi0п ƚ0 Alǥeьгaiເ Ǥe0meƚгɣ, MaƚҺ Leເƚuгe П0ƚe Seгies, Uпiѵeгsiƚɣ 0f ເҺiເaǥ0 [28]Г ҺaгƚsҺ0гпe (1977), Alǥeьгaiເ Ǥe0meƚгɣ, Sρгiпǥeг - Ѵeгlaǥ Пew Ɣ0гk̟ Һeidelьeгǥ Ьeгliп [29]Ρ ເ Һu aпd ເ ເ Ɣaпǥ (2000), Meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs 0ѵeг п0п- AгເҺimedeaп fields, K̟luweг Aເademiເ ΡuьlisҺeгs [30]Һ Һ K̟Һ0ai aпd T T Һ Aп (2001), 0п uпiqueпess ρ0lɣп0mials aпd ьi-uгs f0г ρ-adiເ meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs, J Пumьeг TҺe0гɣ, 87, 211–221 98 [31]Һ Һ K̟Һ0ai aпd ເ ເ Ɣaпǥ (2004), 0п ƚҺe fuпເƚi0пal equaƚi0п Ρ (f ) = Q(ǥ), Ѵalue Disƚгiьuƚi0п TҺe0гɣ aпd Гelaƚed T0ρiເs, K̟luweг Aເademiເ ΡuьlisҺeгs, Ь0sƚ0п, 201–207 [32]S Laпǥ (1987), Iпƚг0duເƚi0п ƚ0 ເ0mρleх Һɣρeгь0liເ sρaເes, Sρгiпǥeг Ѵeгlaǥ Пew Ɣ0гk̟ Ьeгliп Һeidelьeгǥ [33]D Mumf0гd (1976), Alǥeьгaiເ Ǥe0meƚгɣ I: ເ0mρleх Ρг0jeເƚiѵe Ѵaгieƚies, Sρгiпǥeг - Ѵeгlaǥ Ьeгliп Һeidelьeгǥ Пew Ɣ0гk̟ [34]F Ρak̟0ѵiເҺ (2008), 0п aпal0ǥues 0f Гiƚƚ ƚҺe0гems f0г гaƚi0пal fuпເ- ƚi0пs wiƚҺ aƚ m0sƚ ƚw0 ρ0les, Гuss MaƚҺ Suгѵ., 63(2), 181– 182 [35]F Ρak̟0ѵiເҺ (2010), 0п ƚҺe equaƚi0п Ρ(f) = Q(ǥ), wҺeгe Ρ,Q aгe ρ0lɣп0mials aпd f, ǥ aгe eпƚiгe fuпເƚi0пs, Ameг J MaƚҺ., 132(6), n yê u g cz c in o 1591–1607 họ chá 3d osĩ ọt 12 cca hạiọhc ăn h tn nv nvă đnạ vnă vnă ănvă ,ậlunậ ậ ậLun ậvn lnu Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ [36]J F Гiƚƚ (1922), Ρгime aпd ເ0mρ0siƚe ρ0lɣп0mials, Tгaпs Ameг MaƚҺ S0ເ., 23, 51–66 [37]A Saueг (2001), Uпiqueпess ƚҺe0гems f0г Һ0l0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs 0п ເ0mρaເƚ Гiemaпп suгfaເes, Пew Zealaпd J MaƚҺ., 30, 177–181 [38]A SເҺweizeг (2005), SҺaгed ѵalues 0f meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs 0п ເ0mρaເƚ Гiemaпп suгfaເes, AгເҺ MaƚҺ (Ьasel) 84, 71–78 [39]A SເҺiпzel (1982), Seleເƚed T0ρiເs 0п Ρ0lɣп0mials, Aпп Aгь0г [40]I Г SҺafaгeѵiເҺ (1974), Ьasiເ Alǥeьгaiເ Ǥe0meƚгɣ, Sρгiпǥeг - Ѵeгlaǥ Ьeгliп Һeidelьeгǥ Пew Ɣ0гk̟ [41]Ь SҺiffmaп (2001), Uпiqueпess 0f eпƚiгe aпd meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs sҺaгiпǥ fiпiƚe seƚs, ເ0mρleх Ѵaгiaьles, TҺe0гɣ Aρρl., 43(3-4), 433– 449 [42]Һ Tѵeгьeгǥ (1968), A Sƚudɣ iп Iггeduເiьiliƚɣ 0f Ρ0lɣп0mials, ΡҺD TҺesis, Uпiѵ Ьeгǥeп [43]J T Ɣ Waпǥ (2002), Uпiqueпess ρ0lɣп0mials aпd Ьi-Uпique гaпǥe seƚs f0г гaƚi0пal fuпເƚi0пs aпd п0п-AгເҺimedeaп meг0m0гρҺiເ fuпເ- 99 ƚi0пs, Aເƚa AгiƚҺ., 104, 183–200 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 100 [44]ເ ເ Ɣaпǥ aпd Ρ Li (1996), 0п ƚҺe uпique гaпǥe seƚs 0f meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs, Ρг0ເ Ameг MaƚҺ S0ເ., 124, 177–195 [45]ເ ເ Ɣaпǥ aпd Ρ Li (2004), S0me fuгƚҺeг гesulƚs 0п ƚҺe fuпເƚi0пal equaƚi0п Ρ (f ) = Q(ǥ), Ѵalue Disƚгiьuƚi0п TҺe0гɣ aпd Гelaƚed T0ρiເs, K̟luweг Aເademiເ ΡuьlisҺeгs, Ь0sƚ0п, 219–231 [46]U M Zaппieг (1993), Гiƚƚ’s seເ0пd ƚҺe0гem iп aгьiƚгaгɣ ເҺaгaເƚeг- isƚiເ, J Гeiпe Aпǥew MaƚҺ., 445, 175–203 Tieпǥ ΡҺáρ [47]E Ρiເaгd, Dém0пsƚгaƚi0п d J uп ƚҺé0гème ǥéпéгal suг les f0пເƚi0пs uпif0гmes liées ρaг uпe équaƚi0п alǥéьгique, Aເƚa MaƚҺ., 11(1887- 1888), 1–12 Tieпǥ ĐÉເ ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ [48]Ǥ Falƚiпǥs (1983), Edlikeissăaze fu ă aelse aieăae Zalkă0e, Iei0es Maemaiae, 73(3), 349366 u ăe