(Luận văn) phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG TRUNG THƠNG PHƯƠNG PHÁP LẶP lu an GIẢI BÀI TỐN CHẤP NHẬN TÁCH TỔNG QUÁT va n TRONG KHÔNG GIAN HILBERT ie gh tn to p Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 d oa nl w Mã số: an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN BƯỜNG z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2016 ac th si i Mục lục iii Bảng ký hiệu lu Mở đầu Chương Một số kiến thức bổ trợ an va n 1.1 Không gian Hilbert to p ie gh tn 1.1.1 1.1.2 1.1.3 Một số tính chất Hàm lồi vi phân w 1.2 Định nghĩa Một số ví dụ Tập lồi Hàm lồi Dưới vi phân hàm lồi 10 d oa nl 1.2.1 1.2.2 Toán tử không gian Hilbert 10 lm ul 1.4 Toán tử đơn điệu 10 Toán tử tuyến tính 12 nf va 1.3.1 1.3.2 an lu 1.3 1.4.2 z at nh oi Điểm bất động ánh xạ không giãn 13 1.4.1 Ánh xạ không giãn điểm bất động 13 Phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 15 z @ tổng quát không gian Hilbert l gm Chương Phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách 17 m co Bài toán chấp nhận tách 17 Phát biểu toán 17 Một số bổ đề bổ trợ 18 n va 2.1.1 2.1.2 an Lu 2.1 ac th si ii 2.2 Phương pháp giải toán chấp nhận tách 22 2.2.1 Giới thiệu 22 2.2.2 2.2.3 Sự hội tụ phương pháp 27 Một ví dụ áp dụng 36 40 41 Kết luận Tài liệu tham khảo lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định lu bảng đây: N tập số nguyên không âm N∗ tập số nguyên dương an n va tập số thực không gian Hilbert thực C ∅ tập đóng lồi H tập rỗng ∀x x p ie gh tn to R H tồn x tích vơ hướng hai véctơ x y chuẩn véctơ x xn hội tụ mạnh đến x d xn hội tụ yếu x toán tử đơn điệu không gian Hilbert nf va xn * x T an lu kxk xn → x oa nl w ∃x hx, yi lm ul toán tử đồng H toán tử giải T P lim supn→∞ xn phép chiếu mêtric từ H lên T −1 giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dãy số {xn } ∂f vi phân hàm lồi f z at nh oi I Jr z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Bài tốn chấp nhận tách tổng qt đóng vai trị đặc biệt quan trọng việc mơ hình hóa nhiều toán ngược xuất thực tế lu tốn nén hình ảnh, chụp hình cộng hưởng từ, mạng nơ ron, khôi phục ảnh Một phương pháp nhiều tác giả sử an n va dụng để giải toán chấp nhận tách phương pháp chiếu cần phải thực phép chiếu mêtric lên tập lồi đóng khơng gian ie gh tn to Hilbert Tuy nhiên, việc tính ảnh ánh xạ chiếu mêtric tập lồi đóng khơng dễ thực thi Do vậy, việc xây dựng phương p pháp xấp xỉ điểm bất động để giải toán chấp nhận tách hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm Nhiều kết công bố w d oa nl gần phương pháp giải cho lớp toán thường địi hỏi tính liên tục Lipschitz hệ số Lipschitz ánh xạ Tuy nhiên thực hành an lu tính tốn, việc tính hệ số Lipschitz thường phức tạp tốn kém, dẫn nf va đến việc cần thiết phải cải tiến loại bỏ điều kiện để xây dựng phương pháp giải hiệu lm ul z at nh oi Đề tài luận văn phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát không gian Hilbert Đây đề tài vừa có ý nghĩa mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao Nội dung luận văn trình bày hai chương z l gm @ Chương 1: giới thiệu cách hệ thống lại định nghĩa, ví dụ số tính chất quan trọng không gian Hilbert thực an Lu áp dụng m co Chương 2: trình bày phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát khơng gian Hilbert, trình bày số định lý hội tụ, kết n va Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường ac th si Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ cho tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, giáo Nguyễn Thị Thu Thủy toàn thể thầy cô trường giảng dạy giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa 2014–2016), bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, góp ý cho tác giả nhận xét quý báu lu Xin chân thành cảm ơn! an Thái Nguyên, tháng năm 2016 va Tác giả luận văn n ie gh tn to p Hồng Trung Thơng d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức bổ trợ lu Trong chương này, ta trình bày số kiến thức sử dụng chương sau Đó nhắc lại kiến thức khơng gian Hilbert, an va n tính chất quan trọng khơng gian Hilbert giải tích lồi, trình bày vi phân Bên cạnh ta nhắc lại số toán tử p ie gh tn to không gian Hilbert phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Các kiến thức chương tổng hợp từ tài oa Định nghĩa d 1.1.1 Không gian Hilbert nl 1.1 w liệu [1]–[6] lu nf va an Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian véctơ X trường số thực R Tích vơ hướng xác định X ánh xạ lm ul h., i :X × X → R z at nh oi (x, y) 7→ hx, yi thỏa mãn điều kiện sau đây: z co l (ii) hy, xi = hx, yi, với x, y ∈ X; gm @ (i) hx, xi ≥ 0, với x ∈ X, hx, xi = ⇔ x = 0; m (iii) hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi với x, x0 , y ∈ X; an Lu (iv) hλx, yi = λhx, yi với x, y ∈ X, λ ∈ R n va Số hx, yi gọi tích vơ hướng hai véctơ x, y X ac th si Nhận xét 1.1.2 Từ định nghĩa suy với x, y, z ∈ X, λ ∈ R: (1) hx, y + y i = hx, yi + hx, y i; (2) hx, λyi = λhx, yi; (3) hx, 0i = Định nghĩa 1.1.3 Cặp (X, h., i), X khơng gian tuyến tính R, h., i tích vơ hướng X gọi không gian tiền Hilbert thực lu Định lý 1.1.4 Mọi không gian tiền Hilbert X không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định cơng thức an p hx, xi (1.1) n va kxk = gh tn to Định nghĩa 1.1.5 Nếu X không gian tiền Hilbert thực đầy đủ đối p ie với chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.1) X gọi khơng gian Hilbert thực w oa nl Định nghĩa 1.1.6 Cho H không gian Hilbert Dãy {xn } gọi d hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, kxn − xk → n → ∞ nf va an lu Định nghĩa 1.1.7 Dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội Chú ý 1.1.8 z at nh oi lm ul tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn * x, hxn , yi → hx, yi n → ∞ với y ∈ H z (a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, gm @ điều ngược lại không l (b) Mọi không gian Hilbert có tính chất Kadec-Klee, tức dãy m co {xn } không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện kxn k → kxk xn * x, xn → x n → ∞ an Lu Định nghĩa 1.1.9 Cho C tập khơng gian Hilbert H Khi n va C gọi là: ac th si (a) Tập đóng dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn → x n → ∞, ta có x ∈ C; (b) Tập đóng yếu dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn * x n → ∞, ta có x ∈ C; (c) Tập compact dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ phần tử thuộc C; (d) Tập compact tương đối dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ; lu (e) Tập compact yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ yếu phần tử thuộc C; an n va (f) Tập compact tương đối yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ yếu ie gh tn to Nhận xét 1.1.10 p (a) Mọi tập compact tập compact tương đối, điều ngược lại không oa nl w (b) Mọi tập đóng yếu tập đóng, điều ngược lại không d lu nf va an Mệnh đề 1.1.11 Cho H không gian Hilbert thực C tập H Khi đó, ta có khẳng định sau: lm ul (a) Nếu C tập lồi, đóng C tập đóng yếu; z at nh oi (b) Nếu C tập bị chặn C tập compact tương đối yếu z Định nghĩa 1.1.12 Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Hilbert thực H Ta biết với x ∈ H, tồn l gm @ phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn y∈C m co kx − PC (x)k = inf kx − yk an Lu Phần tử PC (x) xác định gọi hình chiếu x lên C ánh xạ PC : H → C biến phần tử x ∈ H thành PC (x) gọi n va phép chiếu mêtric từ H lên C ac th si Đặc trưng phép chiếu mêtric cho mệnh đề Mệnh đề 1.1.13 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, ánh xạ PC : H → C phép chiếu mêtric từ H lên C hx − PC (x), y − PC (x)i ≥ với y ∈ C Nhận xét 1.1.14 Về phương diện hình học, với y ∈ C, ta gọi α π góc tạo véc tơ x − PC (x) y − PC (x), α ≤ 1.1.2 Một số ví dụ lu an Ví dụ 1.1.15 Rn khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng va n n X hx, yi = λk α k tn to k=1 gh p ie x = (λ1 , λ2 , , λn ) y = (α1 , α2 , , αn ) chuẩn cảm sinh nl w kxk = hx, xi = n X n X αk αk = |αk |2 k=1 d oa k=1 nf va an lu Ví dụ 1.1.16 Khơng gian ( l2 = lm ul x = {xn }n ∈ R : ∞ X ) xn yn k=1 z at nh oi không gian Hilbert với tích vơ hướng hx, yi = sinh ∞ P xn yn chuẩn cảm n=1 z v u∞ uX kxk = t |xn |2 m co l với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 gm @ k=1 an Lu n va ac th si 28 Vn không giãn Với x∗ ∈ S = Fix(Vn ) ta có: kxn+1 − x∗ k2 = k(1 − αn )(xn − x∗ ) + αn (Vn xn − x∗ )k2 = (1 − αn )kxn − x∗ k2 + αn kVn xn − x∗ k2 (2.19) −αn (1 − αn )kxn − Vn xn k2 ≤ kxn − x∗ k2 − αn (1 − αn )kxn − Vn xn k2 Do với I − Tn = α(I − Vn ) ta nhận − αn kxn − Tn xn k2 ≤ kxn − x∗ k2 − kxn − x∗ k2 αn lu Vì an + γn kAk2 αn = ∈ n va ,1 ! (a) kxn+1 − x∗ k ≤ kxn − x∗ k với n, lim kxn − x∗ k tồn với n→∞ x∗ ∈ S; ∞ P (b) (1 − γn kAk2 )kxn − Tn xn k2 < ∞ p ie gh tn to ta thu oa nl w n=1 ∞ P d với điều kiện (ii) (b) ta có lu kxn − Tn xn k2 < ∞ Điều n=1 nf va an lim kxn − xn+1 k = lim kxn − Tn xn k = n→∞ (2.20) n→∞ lm ul Bây ta ký hiệu ωω (xn ) tập tất điểm hội tụ yếu {xn } z at nh oi Lấy xˆ ∈ ωω (xn ) giả sử xnj → xˆ yếu Không giảm tổng quát ta giả sử ˆ > γn → γˆ ∈ (0, kAk−2 ) Ký hiệu λnj → λ j z gm @ Tˆ = Jλˆ (I − γˆ A∗ (I − T )A) m co l + γˆ kAk2 -trung bình Fix(Tˆ) = S Tˆ an Lu n va ac th si 29 Đặt zj = (I − γnj A∗ (I − T )A)xnj , ta suy kxnj − Tˆxnj k ≤ kxnj − xnj +1 k + kT nj xnj − Tˆxnj k ≤ kxnj − xnj +1 k + kJλnj zj − Jλˆ zj k + kJλˆ zj − Tˆxnj k (2.21) Số hạng cuối (2.21) ước lượng theo kJλˆ zj − Tˆxnj k = kJλˆ (I − γnj A∗ (I − T )A)xnj − Jλˆ (I − γˆ A∗ (I − T )A)xnj k ≤ |γnj − γˆ | kA∗ (I − T )Ak kxnj k → (2.22) lu an Số hạng (2.21) ước lượng theo va n ˆ ˆ λ λ zj + (1 − )Jλnj zj ) − Jλˆ zj k λnj λnj ˆ λ ≤ |1 − |kJλnj zj − zj k → λnj (2.23) p ie gh tn to kJλnj zj − Jλˆ zj k = kJλˆ ( nl w Thay (2.20), (2.22), (2.23) vào (2.21) cho oa lim kxnj − Tˆxnj k = (2.24) d j→∞ an lu nf va Từ suy xˆ ∈ Fix(Tˆ) = S Vì ωω (xn ) ⊂ S Sử dụng điều (a) ta áp dụng Bổ đề 2.1.5 dãy {xn } hội tụ yếu đến z0 ∈ S lm ul Theo Bổ đề 2.1.4 ta thấy z0 đồng thời giới hạn mạnh {PS xn }  z at nh oi Định lý 2.2.8 Cho H1 , H2 không gian Hilbert B : H1 → 2H1 toán tử đơn điệu cực đại cho Jλ = (I + λB)−1 toán tử giải B với z số λ > Cho T : H2 → H2 ánh xạ khơng giãn, A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính giới nội Giả sử B −1 ∩ A−1 Fix(T ) 6= ∅ Với co l gm @ x1 = x ∈ H1 , xác định m xn+1 = βn xn + (1 − βn )Jλn (I − λn A∗ (I − T )A)xn , ∀n ∈ N, (2.25) an Lu {βn } ⊂ (0, 1) {λn } ⊂ (0, +∞) thỏa mãn điều kiện n va ac th si 30 (C1) ∞ P βn (1 − βn ) = ∞, n=1 (C2) < a ≤ λn ≤ ∞ P |λn − λn+1 | < ∞ ||A||2 n=1 Khi xn * z0 ∈ B −1 ∩ A−1 Fix(T ), z0 = lim PB −1 0∩A−1 Fix(T ) xn n→∞ Chứng minh Tập S = B −1 ∩ A−1 Fix(T ) lấy x∗ ∈ S Cho Tn = Jλn (I − λn A∗ (I − T )A) lu Un = βn I + (1 − βn )Tn an Khi thuật tốn (2.25) viết lại sau n va (2.26) gh tn to xn+1 = βn xn + (1 − βn )Tn xn = Un xn p ie Lưu ý Un (1 − βn )-trung bình Lặp lại chứng minh (2.19) [thay αn Vn (1 − βn ) Tn , tương ứng] ta w kxn+1 − x∗ k2 ≤ kxn − x∗ k2 − βn (1 − βn )kxn − Tn xn k2 d oa nl (2.27) an lu điều nf va • kxn+1 − x∗ k ≤ kxn − x∗ k với n, lm ul lim kxn − x∗ k tồn với x∗ ∈ S (2.28) n→∞ z at nh oi • βn (1 − βn )kxn − Tn xn k ≤ kxn − x∗ k2 − kxn+1 − x∗ k2 với n, z ∞ X βn (1 − βn )kxn − Tn xn k2 < ∞ @ m n=1 co βn (1 − βn ) = ∞ kéo theo l Từ điều kiện gm n=1 ∞ P (2.29) n→∞ an Lu lim inf kxn − Tn xn k = (2.30) n va ac th si 31 Bây ta chứng minh lim kxn − Tn xn k tồn Đặt n→∞ un = (I − λn A∗ (I − T )A)xn yn = Tn xn = Jλn un Vì Jλn (I − λn A∗ (I − T )A) không giãn, theo Bổ đề 2.1.3 ta có kyn+1 − yn k = kJλn+1 un+1 − Jλn un k ≤ kJλn+1 un+1 − Jλn+1 (I − λn+1 A∗ (I − T )A)xn )k + kJλn+1 (I − λn+1 A∗ (I − T )A)xn − Jλn un k lu ≤ kxn+1 − xn k + kJλn+1 (I − λn+1 A∗ (I − T )A)xn − Jλn un k an ≤ kJλn+1 (I − λn+1 A∗ (I − T )A)xn − Jλn+1 (I − λn A∗ (I − T )A)xn k va n + kJλn+1 un − Jλn un k + kxn+1 − xn k tn to ≤ k(I − λn+1 A∗ (I − T )A)xn − (I − λn A∗ (I − T )A)xn k ≤ |λn+1 − λn | kA∗ (I − T )Axn k |λn+1 − λn | + kJλn+1 un − un k + kxn+1 − xn k a ≤ kxn+1 − xn k + M |λn+1 − λn |, p ie gh + kJλn+1 un − Jλn un k + kxn+1 − xn k d oa nl w an lu M số thỏa mãn nf va z at nh oi lm ul M ≤ sup(kA∗ (I − T )A)xn k + kJλn+1 un − un k) a n z m co l gm @ an Lu n va ac th si 32 Vì thế, ta suy kxn+1 − yn+1 k =kβn xn + (1 − βn )yn − yn+1 k ≤βn kxn − yn+1 k + (1 − βn )kyn − yn+1 k ≤βn (kxn − xn+1 k + kxn+1 − yn+1 k) +(1 − βn )(kxn+1 − xn k + M |λn+1 − λn |) =kxn − xn+1 k + βn kxn+1 − yn+1 k + (1 − βn )M |λn+1 − λn |) =(1 − βn )kxn − yn k + βn kxn+1 − yn+1 k + (1 − βn )M |λn+1 − λn | lu Điều suy an va n kxn+1 − yn+1 k ≤ kxn − yn k + M |λn+1 − λn | n→∞ p ie gh tn to Từ ta suy lim kxn − yn k tồn tại, đồng thời từ (2.30) ta thu (2.31) lim kxn − xn+1 k = (2.32) d oa nl w Suy lim kxn − Tn xn k = n→∞ nf va an lu n→∞ Tiếp theo ta chứng minh z ∈ ωω (xn ) cụm điểm yếu lm ul {xn }, z ∈ S Thật vậy, lấy dãy {xni } {xn } xni * z z at nh oi Lưu ý ta có xni +1 * z quan sát thấy điều kiện (C2) có nghĩa ˆ ∈ [a, kAk−2 ] Cho λn → λ z ˆ ∗ (I − T )A) Tˆ = Jλˆ (I − λA @ l gm Khi Tˆ khơng giãn Fix(Tˆ) = S Lặp lại chứng minh từ (2.21) - (2.23) ta nhận co m ˆ λ kxnj − Tˆxnj k ≤ kxnj − xnj +1 k + |1 − |kJλnj unj − unj k λnj ˆ kA∗ (I − T )Ak kxn k → (j → ∞) + |λn − λ| an Lu j n va j ac th si 33 Điều đảm bảo z = Tˆz, có nghĩa z ∈Fix(Tˆ) = S Giờ ta áp dụng Bổ đề 2.1.4 Bổ đề 2.1.5 để kết luận dãy {xn } hội tụ yếu đến z0 ∈ S giới hạn mạnh dãy {PS xn }  Định lý 2.2.9 Cho H1 , H2 không gian Hilbert thực C tập lồi đóng khác rỗng H1 Cho B : H1 → 2H1 ánh xạ đơn điệu cực đại với D(B) ⊂ C cho Jλ = (I + λB)−1 toán tử giải B với λ > Cho V : C → C ánh xạ lai ghép tổng quát T : H2 → H2 ánh xạ không giãn A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính giới nội Giả sử S = Fix(V ) ∩ B −1 ∩ A−1 Fix(T ) 6= ∅ Với x1 = x ∈ C, ta xây dựng dãy {xn } xác định thuật toán lu an n va xn+1 = βn xn + (1 − βn )V (Jλn (I − λn A∗ (I − T )A)xn ), ∀n ∈ N, (2.33) (i) < c ≤ βn ≤ d < p ie gh tn to dãy {βn } {λn } thỏa mãn điều kiện: kAk2 w (ii) < a ≤ λn ≤ b < nl Khi {xn } hội tụ yếu đến z0 ∈ S, z0 = lim PS xn d oa n→∞ Tn = Jλn (I − λn A∗ (I − T )A), nf va an lu Chứng minh Như chứng minh định lý trên, ta đặt lm ul un = (I − λn A∗ (I − T )A)xn , z at nh oi yn = Tn xn = Jλn un Khi Tn αn -trung bình, αn = z @ viết lại Tn sau + λn kAk2 ta l gm Tn = (1 − αn )I + αn Vn m co Vn ánh xạ không giãn Cho z ∈ S lặp lại chứng minh (2.19) nhận an Lu kyn − zk2 ≤ kxn − zk2 − αn (1 − αn )kxn − Vn xn k2 (2.34) n va ac th si 34 Đặc biệt, kyn − zk ≤ kxn − zk Từ (2.33) ta có xn+1 = βn xn + (1 − βn )V yn Vì V z = z ta suy kxn+1 − zk2 =kβn (xn − z) + (1 − βn )(V yn − z)k2 =βn kxn − zk2 + (1 − βn )kV yn − zk2 − βn (1 − βn )kxn − V yn k2 ≤βn kxn − zk2 + (1 − βn )kyn − zk2 − βn (1 − βn )kxn − V yn k2 ≤βn kxn − zk2 + (1 − βn )[kxn − zk2 − αn (1 − αn )kxn − V xn k2 ] (2.35) lu an −βn (1 − βn )kxn − V yn k2 n va ≤kxn − zk2 − (1 − βn )αn (1 − αn )kxn − Vn xn k2 gh tn to −βn (1 − βn )kxn − V yn k2 p ie Do điều kiện (i) (ii), ta thấy (1 − βn )αn (1 − αn ) βn (1 − βn ) hai đại lượng dương Ta suy từ (2.35) kxn+1 − zk ≤ kxn − zk với lim kxn − zk tồn với z ∈ S, (2.36) lim kxn − V xn k = 0, (2.37) nf va d oa nl w n, (2.38) n→∞ an lu n→∞ lim kxn − V yn k = z at nh oi ta có: lm ul n→∞ lim kxn − yn k = 0, (2.39) lim kxn − xn+1 k = (2.40) n→∞ z m co l gm @ n→∞ an Lu n va ac th si 35 Với z = Jλn z, (I − T )Az = I − T -ism Ta suy kyn − zk2 =kJλn (I − λn A∗ (I − T )A)xn − Jλn zk2 ≤kxn − λn A∗ (I − T )Axn − zk2 =kxn − zk2 − 2λn hxn − z, A∗ (I − T )Axn i + (λn )2 kA∗ (I − T )Axn k2 =kxn − zk2 − 2λn hAxn − Az, (I − T )Axn i + (λn )2 kA∗ (I − T )Axn k2 ≤kxn − zk2 − λn k(I − T )Axn k2 + (λn )2 kAA∗ k k(I − T )Axn k2 =kxn − zk2 − λn (1 − λn kAk2 )k(I − T )Axn k2 lu (2.41) an n va Với điều kiện (ii), điều to (kxn − zk2 − kyn − zk2 ) a(1 − b||Ak ) ie gh tn k(I − T )Axn k2 ≤ p Sử dụng (2.39) ta w nl lim k(I − T )Axn k = (2.42) d oa n→∞ nf va an lu Theo Bổ đề 2.1.5 (2.36) chứng tỏ {xn } hội tụ yếu Ta phải chứng minh dãy {xnj } {xn } hội tụ yếu đến điểm x∗ , x∗ ∈ S Thật vậy, lm ul A tốn tử tuyến tính giới nội, ta có Axnj * Ax∗ Vì T khơng giãn, ta có từ (2.42) T Ax∗ = Ax∗ ; Ax∗ ∈ Fix(T ) x∗ ∈ A−1 T )A)xn có nghĩa z at nh oi Fix(T ) Tiếp theo ta chứng minh x∗ ∈ B −1 Lưu ý yn = Jλn (I − λn A∗ (I − z m co Vì B đơn điệu, ta có với (u, v) ∈ B l gm @ (xn − yn − λn A∗ (I − T )Axn ) ∈ Byn λn (xn − yn − λn A∗ (I − T )Axn ) − vi ≥ 0, λn an Lu hyn − u, n va ac th si 36 hay hyn − u, x n − yn − A∗ (I − T )Axn − vi ≥ λn Thay n nj hynj − u, xnj − ynj − A∗ (I − T )Axnj − vi ≥ λnj (2.43) Vì xnj * x∗ , ynj * x∗ A∗ (I − T )Axn → 0, lấy giới hạn j → (2.43) khẳng định hx∗ − u, −vi ≥ Tính đơn điệu cực đại B ∈ Bx∗ Nghĩa x∗ ∈ B −1 lu an Cuối cùng, ta thấy x∗ ∈ Fix(V ) Kết hợp (2.38) (2.39) va n lim kyn − V yn k (2.44) Vì ynj * x∗ ta áp dụng Bổ đề 2.1.10 có x∗ ∈ Fix(V ) gh tn to n→0 p ie Trong phần ta chứng minh x∗ ∈ B −1 0∩ Fix(V ) ∩ A−1 Fix(T ) = S Cho nên ta áp dụng Bổ đề 2.1.5 để có hội tụ w oa nl yếu dãy {xn } tới điểm z0 ∈ S theo Bổ đề 2.1.4 với d giới hạn mạnh dãy {PS xn } lu Một ví dụ áp dụng nf va an 2.2.3 Cho H khơng gian Hilbert f hàm thường nửa liên tục lồi z at nh oi lm ul H (−∞, ∞) Đã biết [9] vi phân ∂f f xác định sau ∂f (x) = {z ∈ H : f (x) + hz, y − xi ≤ f (y), ∀y ∈ H}, x ∈ H z @ toán tử đơn điệu cực đại, đặc biệt tập đóng lồi khác m co l gm rỗng H, hàm C, iC , xác định ( 0, x ∈ C iC (x) = ∞, x ∈ /C an Lu hàm thường nửa liên tục lồi H, ∂iC toán tử va n đơn điệu cực đại Nón chuẩn tắc tập C u ∈ C xác định ac th si 37 sau NC (u) = {z ∈ H : hz, y − ui ≤ 0, ∀y ∈ C} Dễ dàng (1) ∂iC (u) = NC (u) với u ∈ C; (2) Jλ x = PC x với x ∈ H, Jλ = (I + λ∂iC )−1 toán tử giải ∂iC với λ > Áp dụng Định lý 2.2.8 cho trường hợp B = ∂iC ta có kết sau Định lý 2.2.10 (xem [12]) Cho C tập đóng lồi khác rỗng lu không gian Hilbert H cho U : C → C ánh xạ không giãn cho Fix(U ) 6= ∅ Với x1 = x ∈ C, xác định an n va ∀n ∈ N (2.45) {βn } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện ie gh tn to xn+1 = βn xn + (1 − βn )U xn p ∞ X w βn (1 − βn ) = ∞ oa nl n=1 d Khi xn * z0 ∈ Fix(U ), z0 = lim PFix(U ) xn an lu n→∞ nf va Chứng minh Đặt H1 = H2 = H, B = ∂iC , T = U PC A = I Định lý 2.2.8 ta có Fix(T ) = Fix(U ) Jλ = PC với λ > Hơn lm ul z at nh oi lấy λ = với n ∈ N ta thấy toán tử giải (2.26) Định lý 2.2.8 rút gọn toán tử giải (2.45), kết thúc Định lý 2.2.10 Áp dụng Định lý 2.2.9 cho kết sau z Định lý 2.2.11 Cho H1 H2 không gian Hilbert C tập @ gm lồi đóng khác rỗng H1 Cho V : C → C ánh xạ co hẹp cho m nghĩa dãy {xn } C sau co l T : H2 → H2 ánh xạ không giãn Cho A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính giới nội Giả sử Fix(V ) ∩ A−1 Fix(T ) 6= ∅ Với x1 = x ∈ C, định an Lu xn+1 = βn xn + (1 − βn )V PC (I − λn A∗ (I − T )A)xn ∀n ∈ N n va ac th si 38 dãy {βn } {λn } thỏa mãn < c ≤ βn ≤ d < 1và < a ≤ λn ≤ b < ||A||2 Khi xn * z0 ∈ Fix(V ) ∩ A−1 Fix(T ) z0 = lim PFix(V )∩A−1 Fix(T ) xn n→∞ Chứng minh Một ánh xạ co hẹp V : C → C (2, 1)-lai ghép tổng quát Hơn nữa, đặt B = ∂iC Định lý 2.2.9, ta có Jλ = PC với λ > Như có kết mong muốn từ Định lý 2.2.9 Tiếp theo giải toán cân với ánh xạ không giãn không gian Hilbert lu an Định lý 2.2.12 (xem [11]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H f : C × C → R song hàm thỏa mãn điều n va gh tn to kiện (A1) − (A4) Định nghĩa Af sau ( {z ∈ H : f (x, y) ≥ hy − x, zi, ∀y ∈ C}, x ∈ C, Af (x) = ∅, x ∈ / C p ie (2.46) d oa nl w Khi EP (f ) = A−1 f (0) Af đơn điệu cực đại với miền xác định Af C Hơn ∀r > nf va an lu Tr (x) = (I + rAf )−1 (x), lm ul Từ Định lý 2.2.8 ta có định lý sau z at nh oi Định lý 2.2.13 Cho H1 H2 không gian Hilbert Cho C tập đóng lồi khác rỗng H1 Cho f : C × C → R thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4) ký hiệu Tλ toán tử giải Af (như định nghĩa z (2.46)) với số λ > Cho T : H2 → H2 ánh xạ không giãn Cho A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính giới nội Giả sử EP (f ) ∩ co l gm @ A−1 Fix(T ) 6= ∅ Với x1 = x ∈ H1 , định nghĩa m xn+1 = βn xn + (1 − βn )Tλn (I − λn A∗ (I − T )A)xn , ∀n ∈ N, an Lu n va ac th si 39 {βn } ⊂ (0, 1) {λn } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn điều kiện sau ∞ X βn (1 − βn ) = ∞, n=1 < a ≤ λn ≤ , ||A||2 ∞ X |λn − λn+1 | < ∞ n=1 Khi đó, xn * z0 ∈ EP (f )∩A−1 Fix(T ), z0 = lim PEP (f )∩A−1 Fix(T ) xn n→∞ Chứng minh Áp dụng dụng Định lý 2.2.8 cho trường hợp B = Af Có kết Định lý 2.2.13 Định lý 2.2.14 Cho H1 H2 không gian Hilbert Cho C tập lu đóng lồi khác rỗng H1 Cho f : C × C → R thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4) cho Tλn toán tử giải Af với λn > an n va Định lý 2.2.12 Cho V : C → C ánh xạ lai ghép tổng quát cho T : H2 → H2 ánh xạ không giãn Cho A : H1 → H2 toán tử tuyến p ie gh tn to tính giới nội Giả sử Fix(V ) ∩ EP (f ) ∩ A−1 Fix(T ) 6= ∅ Với x1 = x ∈ C, định nghĩa ∀n ∈ N, nl w xn+1 = βn xn + (1 − βn )V Tλn (I − λn A∗ (I − T )A)xn , d oa {βn } {λn } thỏa mãn lu < a ≤ λn ≤ b < nf va an < c ≤ βn ≤ d < 1, kAk2 lm ul Khi xn * z0 ∈ Fix(V ) ∩ EP (f ) ∩ A−1 Fix(T ), z at nh oi z0 = lim PFix(V )∩EP (f )∩A−1 Fix(T ) xn n→∞ z m co l gm @ an Lu n va ac th si 40 Kết luận Những vấn đề luận văn: (1) Nhắc lại số khái niệm tính chất khơng gian Hilbert lu tích vơ hướng, trực giao, trực chuẩn đồng thời trình bày số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, vi phân an n va hàm lồi số ví dụ minh họa tn to (2) Phần trọng tâm luận văn trình bày kiến thức tốn chấp lặp Mann để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn giải tốn cân p ie gh nhận tách tổng quát không gian Hilbert, ứng dụng phương pháp w d oa nl Do vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp, thời gian khả hạn chế nên có nhiều cố gắng lu nf va an luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo người quan z at nh oi lm ul tâm để luận văn hoàn thiện z m co l gm @ an Lu n va ac th si 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội lu an n va [2] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu (2003), Nhập mơn Giải tích lồi ứng dụng, Viện Toán học, Hà Nội p ie gh tn to [3] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Đỗ Văn Lưu, Nguyễn Đức Lạng (2010), Giáo trình Giải tích hàm, oa nl w NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [5] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc d an lu gia, Hà Nội nf va [6] Nguyễn Đông n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học z at nh oi Tiếng Anh lm ul tự nhiên Công nghệ, Hà Nội z [7] Blum E., Oettli W (1994), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems", Math Student 63, 123–145 @ gm [8] Kocourek, P., Takahashi, W., Yao, J.C (2010), "Fixed Point Theo- m co l rems and Weak Convergence Theorems for Genelalized Hybrid Mappings in Hilbert Spaces", Taiwan J Math., 14, 2497–2511 an Lu [9] Opial, Z (1967), "Weak Covergence of the Sequence of Successive Approximations for Nonexpansive Mappings", Bull Amer Math Soc., n va 73, 591-597 ac th si 42 [10] Reich, S (1979), "Weak Covergence Theorems for Nonexpansive Mappings in Banach Spaces", J Math Anal Appl., 67, 274-276 [11] Rockafellar, R.T (1970), "On The Maximal Monotonicity of Subdifferential Mappings", Pac J Math., 33, 209-216 [12] Takahashi W., Xu H.K., Yao J.C (2015), "Iterative Methods for Generalized Split Feasibility Problems in Hilbert Spaces", Springer, 23, 205-221 [13] Xu H.K (2006), "A Variable Krasnosel’skii–Mann Algorithm and the Multiple-set Split Feasibility Problem", Inverse Probl., 22, 2021-2034 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si