(Luận văn) phương pháp tọa độ diện tích trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN THẮNG lu an n va PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG p ie gh tn to oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN THẮNG lu PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG an n va tn to ie gh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC p Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp 60 46 01 13 d oa nl w Mã số: an lu nf va NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC lm ul TS NGÔ VĂN ĐỊNH z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si Mục lục Lời cảm ơn ii Kí hiệu quy ước iii lu an n va Chương Tọa độ diện tích 1.1 Khái niệm tọa độ diện tích 1.2 p Phương trình đường thẳng 1.3 Vị trí tương đối hai đường thẳng 13 1.4 Quan hệ vuông góc 14 1.5 Khoảng cách 16 1.6 Phương trình đường trịn 17 ie gh tn to Mở đầu d oa nl w nf va an lu Chương Một số ứng dụng tọa độ diện tích lm ul 19 Định lý Ceva định lý Menelaus 19 2.2 Công thức Conway 21 2.3 Một số toán chứng minh đồng quy 22 2.4 Một số tốn diện tích 27 2.5 Một số toán đề thi học sinh giỏi 31 z at nh oi 2.1 z l gm @ 38 m co Kết luận 39 an Lu Tài liệu tham khảo n va ac th i si Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn TS Ngô Văn Định (Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới lu an người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời n va gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học – Đại gh tn to làm luận văn p ie học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia w giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu oa nl Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể lớp Cao học Toán khóa d 9B (2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học an lu tập nf va Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến gia đình lm ul động viên chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn z at nh oi Thái Nguyên, 2017 z @ m co l gm Phạm Văn Thắng an Lu n va ac th ii si Kí hiệu quy ước Trong luận văn này, ta ln kí hiệu ∆ABC tam giác mặt phẳng với đỉnh theo thứ tự có chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) Độ dài cạnh kí hiệu a = BC, b = CA, c = AB Ngoài ra, với ba điểm P, Q, R lu an mặt phẳng ta kí hiệu [P QR] diện tích có hướng tam giác ∆P QR với dấu n va quy ước dấu âm thứ tự đỉnh theo chiều âm (cùng chiều kim đồng p ie gh tn to hồ) Hình ví dụ diện tích có hướng tam giác d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Hình 1: [P QR] < 0, [P RQ] > n va ac th iii si Mở đầu Trong hình học phẳng, bên cạnh hệ tọa độ quen thuộc hệ tọa độ Descartes, tọa độ cực, tọa độ Affine hình học xạ ảnh, hình học đại cịn có lý thuyết thú vị thể mối quan hệ mật thiết hình học đại số mà đó, tọa độ lu an điểm xác định nhờ hình tam giác sở thơng qua đại lượng vectơ, n va tọa độ diện tích (areal coordinate) hay cịn gọi tọa độ tỉ cự (barycentric tn to coordinate) Cụ thể hơn, với tam giác sở ∆ABC mặt phẳng, tọa độ diện p ie gh tích điểm P ba số thực (x, y, z) thỏa mãn x + y + z = −→ −−→ −→ xP A + y P B + z P C = ~0 Ba số thực xác định [P BC] [P CA] [P AB] ,y = ,z = , [ABC] [ABC] [ABC] oa nl w x= d kí hiệu [XY Z] diện tích có hướng tam giác ∆XY Z, tức là, diện tích lu an lấy dấu dương ba đỉnh X, Y, Z theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ lấy dấu nf va âm trường hợp lại lm ul Khái niệm tọa độ diện tích giới thiệu lần nhà toán học người z at nh oi c August Ferdinand Măobius vo nm 1827 Sau ú, nhiều nhà toán học khác quan tâm nghiên cứu khái niệm Hiện nay, tọa độ diện tích thể rõ tính hữu ích việc nghiên cứu hình học phẳng đặc biệt tính chất tam z gm @ giác Mục đích Luận văn trình bày cách hệ thống kiến thức tọa l m học phẳng co độ diện tích số ứng dụng tọa độ diện tích việc giải tốn hình an Lu n va ac th si Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung Luận văn trình bày thành chương: • Chương 1: Tọa độ diện tích Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tọa độ diện tích số khái niệm hình học phẳng tọa độ diện tích như: phương trình đường thẳng, vị trí tương đối hai đường thẳng, quan hệ vng góc, khoảng cách phương trình đường trịn • Chương 2: Một số ứng dụng phương pháp tọa độ diện tích Trong chương lu này, chúng tơi trình bày số ứng dụng tọa độ diện tích việc giải an tốn hình học phẳng Đầu tiên chúng tơi trình bày chứng minh hai định lý va n tiếng, Định lý Ceva Định lý Menelaus, việc sử dụng tọa độ diện tích Sau tn to chúng tơi trình bày ứng dụng tọa độ diện tích việc giải số toán chứng ie gh minh đồng quy, số tốn diện tích số tốn hình học phẳng p đề thi học sinh giỏi Trước đó, chúng tơi trình bày kí hiệu công thức Conway d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Tọa độ diện tích Trong chương mở đầu này, chúng tơi trình bày khái niệm tọa độ diện tích lu mặt phẳng số khái niệm hình học phẳng tọa độ diện tích an va n 1.1 Khái niệm tọa độ diện tích gh tn to Trong mặt phẳng, để xây dựng hệ tọa độ diện tích (tiếng Anh: “areal coordinate p ie system”), ta cần chọn tam giác ∆ABC cố định với thứ tự đỉnh theo chiều w dương, gọi tam giác sở Tam giác đóng vai trị trục tọa độ oa nl hệ tọa độ Descartes Khi tam giác sở chọn, điểm P mặt d phẳng tương ứng với ba số thực có thứ tự (x, y, z) thỏa mãn x+y +z = lu ta có định nghĩa: nf va an Bộ ba số thực gọi tọa độ diện tích P ta viết P = (x, y, z) Cụ thể lm ul z at nh oi Định nghĩa 1.1 Tọa độ diện tích điểm P mặt phẳng với tam giác sở   [P BC] [P CA] [P AB] ∆ABC [ABC] , [ABC] , [ABC] (xem Hình 1.1) Theo định nghĩa, ta có A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) Giả sử P = z gm @ (x, y, z) Khi đó, P nằm đường thẳng BC x = 0, P nằm đường thẳng CA y = 0, P nằm đường thẳng AB l co z = Hơn nữa, Các đường thẳng AB, BC, CA chia mặt phẳng thành miền xác m định dấu tọa độ diện tích (xem Hình 1.2) Dựa vào quy ước dấu an Lu diện tích có hướng tam giác ta dễ dàng kiểm tra (x, y, z) tọa độ n va diện tích điểm mặt phẳng x + y + z = ac th si lu an n va Hình 1.1: Tọa độ diện tích điểm P (x, y, z) p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z co l gm @ m Hình 1.2: Các miền phẳng xác định dấu tọa độ diện tích an Lu n va ac th si Như vậy, với Định nghĩa 1.1, điểm P mặt phẳng xác định tọa độ diện tích Để định nghĩa có nghĩa ta cần chứng minh ba số thực có thứ tự (x, y, z) thỏa mãn x + y + z = tọa độ diện tích điểm mặt phẳng Trước tiên, định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để ba số thực (x, y, z) tọa độ diện tích điểm P Định lý 1.2 Bộ ba số thực có thứ tự (x, y, z) tọa độ diện tích điểm P với tam giác sở ∆ABC lu −→ −−→ −→ xP A + y P B + z P C = ~0 x + y + z = an va n Chứng minh • Điều kiện cần: Giả sử (x, y, z) tọa độ diện tích điểm P Ta cần tn to chứng minh ie gh −→ −−→ −→ xP A + y P B + z P C = ~0 p Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh w d oa nl −→ −−→ −→ [P BC]P A + [P CA]P B + [P AB]P C = ~0 an lu nf va Ta thấy số ba cặp đường thẳng (P A, BC), (P B, CA) (P C, AB) có lm ul cặp đường thẳng không song song với Không làm tính tổng qt ta giả sử P A kBC Khi P A cắt BC điểm A0 (xem Hình 1.3) Ta có z at nh oi −−→0 −−0→ −−→ −−→0 −−0→ −→ P A + A B = P B, P A + A C = P C z Suy gm @ m −−→ −−→ −−→ −→ Do A0 C.P B = A0 B.P C nên co l −−0→ −−→0 −−0→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ A C(P A + A B) = A0 C.P B, A0 B(P A0 + A0 C) = A0 B.P C an Lu n va −−→0 −−0→ −−0→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ A0 C −−→ A0 B −→ P B − P C P A (A C − A B) = A0 C.P B − A0 B.P C ⇐⇒ P A0 = BC BC ac th si x3 y3 z3 l gm @ Định lý 1.7 Ba điểm P = (x1 , y1 , z1 ), Q = (x2 , y2 , z2 ) R = (x3 , y3 , z3 ) mặt n va ac th si Chứng minh Theo giả thiết, ta có x1 = [P BC] [P CA] [P AB] [QBC] , y1 = , z1 = , x2 = , [ABC] [ABC] [ABC] [ABC] Để đơn giản hóa trình bày, chúng tơi giả sử ba điểm P, Q, R nằm tam giác ∆ABC Gọi Px , Py , Pz hình chiếu vng góc từ P lên đường thẳng BC, CA, AB Ký hiệu tương tự với điểm Q R (xem Hình 1.4) Khi đó,ta có [P BC] = P Px a Suy P Px = 2[P BC] 2[ABC] = x1 a a lu an Tương tự, có n va 2[ABC] 2[ABC] x2 RRx = x3 a a tn to QQx = p ie gh Chúng ta có đẳng thức tương ứng cho P Py , QQy , RRy , P Pz , QQz RRz d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ m co l Hình 1.4: Ba điểm thẳng hàng PR , ta có PQ n va RRx = (1 − k)P Px + k.QQx an Lu Giả sử ba điểm P, Q, R thẳng hàng Khi đó, với k = ac th 10 si Kết hợp với đẳng thức trên, ta x3 = (1 − k)x1 + kx2 Hồn tồn tương tự, ta có y3 = (1 − k)y1 + ky2 z3 = (1 − k)z1 + kz2 Từ suy lu x1 y1 z1