(Luận văn) số phức và một số dạng toán hình học phẳng liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN KIÊN lu an n va SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LIÊN QUAN p ie gh tn to oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN KIÊN lu SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LIÊN QUAN an n va tn to gh Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp p ie Mã số: 60 46 01 13 d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu nf va NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC lm ul TS NGÔ VĂN ĐỊNH z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si i Mục lục iii Danh sách kí hiệu iv Mở đầu 1 Số phức hình học mặt phẳng phức 1.1 Mặt phẳng phức 1.2 ie p Tích thực hai số phức 1.3 Tích phức hai số phức 1.4 Phép quay 1.5 Diện tích tam giác lu Lời cảm ơn an n va gh tn to d oa nl w an lu Áp dụng số phức vào giải số toán tam giác 2.1 Tam giác đồng dạng tam giác 2.1.1 Tam giác đồng dạng 2.1.2 Tam giác 12 z at nh oi lm ul Một số điểm quan trọng tam giác 18 2.3 Một số khoảng cách quan trọng tam giác 21 z 2.2 @ 2.3.1 Bất biến tam giác 21 2.3.2 Khoảng cách OI, ON, OH, OG 23 co l gm Một số toán diện tích tam giác 26 m 2.4 an Lu nf va Áp dụng số phức vào giải số toán đa giác nội tiếp, ngoại tiếp 37 n va đường tròn ac th si ii 3.1 Một số định lý 37 3.2 Hai tam giác nội tiếp đường tròn 43 3.3 Một số toán đa giác 47 Bài tốn dựng hình tốn quỹ tích 52 4.1 Một số tốn dựng hình 52 4.2 Một số tốn quỹ tích 55 lu Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Ngô Văn Định Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, TS lu an Ngơ Văn Định, người đưa đề tài dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn, giải n va đáp thắc mắc em suốt trình nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết Em xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô tham gia giảng dạy Trường Đại học gh tn to ơn sâu sắc đến Thầy p ie Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để em học tập w nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học K7B động viên oa nl giúp đỡ trình học tập làm luận văn d Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu lu an đồng nghiệp Trường THPT Hùng Thắng - Huyện Tiên Lãng - Thành phố Hải nf va Phòng tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tập lm ul Tôi cảm ơn đại gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên giúp đỡ z at nh oi suốt trình học tập làm luận văn z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Danh sách kí hiệu lu an n va tập hợp số thực C tập hợp số phức Im z phần ảo số phức z Re z phần thực số phức z arg z argument số phức z |z| môđun số phức z z số phức liên hợp số phức z điểm A biểu diễn cho số phức a tích thực hai số phức z w ie A(a) p gh tn to R tích phức hai số phức z w d oa nl z×w w z·w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Số phức tập hợp số quan trọng tốn học Trong chương trình tốn học trường phổ thơng trung học nay, số phức giới thiệu định nghĩa, phép toán, dạng đại số, dạng lượng giác số tính chất Tuy nhiên, số lu an phức có nhiều ứng dụng giải tốn Đặc biệt, giải toán sơ cấp, số phức n va sử dụng để giải tốn thuộc chun đề khác như: hình Mục đích luận văn trình bày ứng dụng số phức vào giải số dạng gh tn to học, đại số tổ hợp, tích phân, lượng giác, p ie tốn hình học phẳng, đặc biệt dạng toán giải tam giác (tức toán liên w quan đến vấn đề tam giác) Mỗi số phức biểu diễn điểm oa nl mặt phẳng chiều ngược lại, điểm mặt phẳng hai chiều biểu diễn d số phức Với tương ứng − này, ta chuyển đổi tính chất hình học mặt lu an phẳng phép toán số phức Từ đó, ta chuyển tốn hình nf va học phẳng thành toán đại số tập hợp số phức lm ul Các toán giải tam giác thường quan tâm nhiều chương trình z at nh oi hình học phẳng trường phổ thông Ngay từ học sinh làm quen với hình học phẳng tam giác hình đa giác giới thiệu kĩ lưỡng với nhiều yếu tố Các toán tam giác vơ phong phú Luận văn trình bày ứng dụng số phức z @ vào giải số toán tam giác đồng dạng, tam giác đều, diện tích tam giác, l gm điểm đặc biệt khoảng cách đặc biệt tam giác Ngồi ra, luận văn cịn trình m dựng hình co bày số toán đa giác nội, ngoại tiếp đường trịn số tốn quỹ tích an Lu n va ac th si Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày thành chương: • Chương 1: Số phức hình học mặt phẳng phức Trong chương này, chúng tơi trình bày cách sơ lược số phức số phép toán số phức liên quan đến giải tích mặt phẳng mà sử dụng chương • Chương 2: Áp dụng số phức vào giải số toán tam giác Chương trình bày ứng dụng số phức vào giải số toán tam giác Đầu chương chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ hai tam giác đồng dạng tam giác Đồng lu thời, chúng tơi trình bày thêm số tập áp dụng tính chất Trong mục 2.2 an chúng tơi trình bày cơng thức tổng quát xác định tọa độ điểm đặc biệt va n tam giác, như: trọng tâm, trực tâm, điểm Gergonne, điểm Nagel, Trong mục tn to tiếp theo, chúng tơi trình bày áp dụng số phức tính tốn khoảng cách diện ie gh tích tam giác p • Chương 3: Áp dụng số phức vào giải số toán đa giác nội tiếp, ngoại nl w tiếp đường trịn Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất đường d oa trịn ngoại tiếp tam giác như: tam giác pedal, đường Simson-Wallance, tính trực giao an lu cực hai tam giác nội tiếp đường trịn Cuối chương, chúng tơi trình bày nf va áp dụng số phức vào số tốn đa giác • Chương 4: Áp dụng số phức vào giải số toán dựng hình số lm ul tốn quỹ tích z at nh oi Do khối lượng kiến thức lớn thời gian nghiên cứu chưa đủ dài, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận góp ý z thầy cô bạn bè đồng nghiệp gm @ m co l Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Vũ Văn Kiên an Lu Email: kien78thptht@gmail.com n va ac th si Chương Số phức hình học mặt phẳng phức Trong chương này, chúng tơi trình bày sơ lược số phức số phép lu toán số phức liên quan đến hình học phẳng sử dụng cho chương tiếp an n va theo Ở đây, chúng tơi khơng trình bày lại định nghĩa số phức phép toán chương khái niệm tích thực tích phức hai số phức, Ngồi ra, gh tn to cộng, trừ, nhân chia số phức thơng thường Chúng tơi chủ yếu trình bày p ie có trình bày thêm mối liên hệ phép nhân số phức với số phức có mơđun phép quay mặt phẳng Phần cuối chương, chúng tơi trình bày số công Mặt phẳng phức d nf va an lu 1.1 oa nl w thức tính diện tích tam giác dựa vào tọa độ phức đỉnh Ta biết số phức biểu diễn điểm mặt phẳng chiều Oxy lm ul điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn hình học số phức z at nh oi Nếu M điểm mặt phẳng biểu diễn số phức m ta nói số phức m tọa vị điểm M viết M (m) Trong suốt luận văn này, trừ chỗ ghi cụ thể, chúng tơi quy ước sử dụng kí hiệu chữ in hoa cho điểm nằm mặt phẳng chữ z m co l gm @ thường tương ứng tọa vị phức điểm an Lu n va ac th si 1.2 Tích thực hai số phức Định nghĩa 1.1 Cho a b hai số phức Tích thực hai số phức a b số, kí hiệu a · b, xác định công thức sau a·b=
ab + ab Theo định nghĩa, ta có a·b=
ab + ab = a · b Do a · b số thực, điều giải thích cho tên gọi phép tốn lu an Giả sử a b có dạng đại số là: va n a = x1 + y1 i, b = x2 + y2 i, tn to gh với x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R Khi đó, ta có a · b = x1 x2 + y1 y2 Gọi A B p ie điểm mặt phẳng biểu diễn số phức a b Xét mặt phẳng với hệ trục tọa độ d tích thực oa nl w Descartes vng góc Oxy ta dễ thấy tích thực a · b tích vơ hướng hai −→ −−→ véc tơ OA OB Với nhận xét này, dễ dàng có tính chất an lu nf va Định lí 1.1 Cho số phức a, b, c, z ta có mối quan hệ sau (2) a · b = b · a (3) a · (b + c) = a · b + a · c z at nh oi lm ul (1) a · a = |a| z m co (6) (az) · (bz) = |z| (a · b) l (5) a · b = OA ⊥ OB gm @ (4) (αa) · b = α (a · b) = a · (αb) với α ∈ R an Lu Chứng minh Các tính chất (1), (2), (3), (4), (5) suy trực tiếp từ tính chất n va tích vơ hướng Tính chất (6) dễ dàng có từ định nghĩa tích thực ac th si α1 β1 γ1 = α2 β2 γ2