Luận văn thạc sĩ dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ ĐỨC TRỌNG DẠNG SỐ PHỨC CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ ĐỨC TRỌNG DẠNG SỐ PHỨC CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Việt Cường Thái Nguyên - 2015 c i Mục lục Mục lục i Mở đầu ii Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép biến hình mặt phẳng 1.2 Tích vơ hướng tích lệch 1.2.1 Tích vơ hướng 1.2.2 Tích lệch Phương trình đường thẳng mặt phẳng phức 1.3.1 Phương trình tắc đường thẳng 1.3.2 Phương trình tổng quát đường thẳng 1.3.3 Phép chiếu vng góc xuống đường thẳng ∆ 1.3.4 Phép đối xứng qua đường thẳng Phương trình đường trịn mặt phẳng phức 1.4.1 Đường tròn đơn vị |z| = 1.4.2 Phương trình đường trịn tâm J, bán kính r > ¯ + β z¯) + P = 0, a ∈ R, P ∈ R, β ∈ Phương trình az z¯ + (βz C, |a| + |β| = 0(∗) 1.4.4 Hai đường tròn trực giao 1.4.5 Hai đường tròn tiếp xúc Phép nghịch đảo 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Tính chất 1.5.3 Các định lý 15 1.3 1.4 1.4.3 1.5 c ii Ứng dụng dạng số phức phép nghịch đảo để giải số dạng tốn hình học phẳng 21 2.1 Bài toán xác định phép nghịch đảo 21 2.2 Bài tốn quỹ tích 24 2.3 Bài tốn dựng hình 28 2.3.1 Dựng đường tròn tiếp xúc với đường tròn, đường thẳng cho trước 2.3.2 Dựng đường tròn trực giao với đường thẳng, đường tròn cho trước 2.3.3 28 33 Dựng đường tròn vừa tiếp xúc vừa trực giao với đường thẳng, đường tròn cho trước 37 2.4 Các toán tổng hợp 39 2.5 Một số định lý tiếng mặt phẳng 49 2.5.1 Công thức Euler 49 2.5.2 Bất đẳng thức Ptolemy 51 2.5.3 Định lý Feuerbach 52 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 c iii Mở đầu Số phức từ đời thúc đẩy toán học tiến lên giải số vấn đề khoa học, kỹ thuật Riêng hình học, số phức có ứng dụng quan trọng Đối với học sinh bậc THPT số phức nội dung cịn mẻ, với thời lượng không nhiều, việc sử dụng số phức phương tiện để giải toán Hình học phẳng vấn đề khó, địi hỏi học sinh phải có lực giải tốn định, biết vận dụng kiến thức đa dạng toán học Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa tập ứng dụng Số phức vào giải toán hình học phẳng cịn mang tính chất giới thiệu Do vậy, sử dụng công cụ số phức để giải tốn hình học phương pháp Trong hình học, phép biến hình cơng cụ giải tốn quan trọng, phép biến hình học nhà trường phổ thơng (phép dời hính, phép đồng dạng, phép vị tự) biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn Phép nghịch đảo phép biến hình thuộc loại khác, bảo tồn lớp đường thẳng đường trịn biến đường thẳng thành đường tròn ngược lại Chính đặc trưng phép nghịch đảo sử dụng hiệu để giải toán hình học, đặc biệt tốn hình học phẳng “Dạng số phức phép nghịch đảo” cách tiếp cận tạo nên cách nhìn tốn giải phép nghịch đảo Vì chọn đề tài “Dạng số phức phép nghịch đảo ứng dụng để giải tập hình học phẳng” để tìm hiểu nghiên cứu Ngồi phân mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn bao gồm hai chương: c iv Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị - Trình bày sơ lược kiến thức số phức có liên quan (tích vơ hướng tích lệch, phương trình đường thẳng đường tròn mặt phẳng phức) - Những kiến thức dạng số phức phép nghịch đảo (định nghĩa, tính chất, định lý phép nghịch đảo) Chương 2: Ứng dụng dạng số phức phép nghịch đảo để giải số tập hình học phẳng Các tập dựng hình, quỹ tích, tập tổng hợp chứng minh đẳng thức, chứng minh đường qua điểm cố định, tồn đường tiếp xúc tính ưu việt phép nghịch đảo mặt phẳng phức Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Trần Việt Cường Tác giả xin bày tỏ sâu sắc tới Thầy tận tâm giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Trong trình học tập làm luận văn, tác giả nhận quan tâm, giúp đỡ Khoa Tốn, Phịng Đào tạo Khoa Sau đại học Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học Toán K7Q Tác giả xin chân thánh cảm ơn giúp đỡ quý báu c Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày sơ lược kiến thức số phức có liên quan (tích vơ hướng tích lệch, phương trình đường thẳng đường trịn mặt phẳng phức) số kiến thức dạng số phức phép nghịch đảo (định nghĩa, tính chất, định lí phép nghịch đảo) 1.1 Phép biến hình mặt phẳng Kí hiệu P tập hợp điểm mặt phẳng Một song ánh f : P → P từ tập P lên gọi phép biến hình mặt phẳng Điểm M = f (M ) gọi ảnh điểm M qua phép biến hình f điểm M gọi tạo ảnh điểm M qua phép biến hình f Nếu H hình mặt phẳng P hình H = f (H) = {f (M )|M ∈ H} gọi ảnh hình H qua phép biến hình f H gọi tạo ảnh hình H qua phép biến hình Điểm M thuộc mặt phẳng P gọi điểm kép phép biến hình f : P → P f (M ) = M Đường thẳng d nằm mặt phẳng P gọi đường thẳng kép phép biến hình f : P → P ∀M ∈ d : f (M ) = M Phép biến hình f : P → P gọi phép biến hình đồng f (M ) = M, ∀M ∈ P c Phép biến hình f : P → P gọi có tình chất đối hợp f = Idp 1.2 Tích vơ hướng tích lệch 1.2.1 Tích vơ hướng Ta biết tích vơ hướng hai véctơ ~u, ~v ~u.~v = |~u|.|~v | cos(~u, ~v ) ~u, ~v khác ~0 ~u.~v = ~u ~v ~0 −−→ −→ Do đó, OM = ~u có toạ vị z, OP = ~v có toạ vị ω thì: - Nếu z ω khác 0, kí hiệu ϕ ψ argumen z ω ta có: −−→ −→ (z ω ¯ + z¯ω) = |z| |ω| cos(ψ − ϕ) = |z| |ω| cos(OM , OP ) ¯ + z¯ω) = - Nếu z ω ta có (z ω Vậy, đặt hz, ωi = (z ω ¯ + z¯ω) ta ln có: −−→ −→ OM OP = (z ω ¯ + z¯ω) = hz, ωi Một số tính chất (phép tốn) tích vơ hướng: • Tính chất đối xứng: hz, ωi = hω, zi • Tính chất R-song tuyến tính: hz1 + z2 , ωi = hz1 , ωi + hz2 , ωi ) (R-Tuyến tính z) hkz, ωi = khz, ωi, k ∈ R hz, ω1 + ω2 i = hz, ω1 i + hz, ω2 i hz, kωi = khz, ωi, k ∈ R ) (R-Tuyến tính ω) • hz, zi = |z|2 ¯ • hλz, ωi = hz, λωi, ∀λ ∈ C 1.2.2 Tích lệch −−→ −→ Cho véctơ OM có toạ vị z véctơ OP có toạ vị ω Tích lệch hai véctơ −−→ −→ OM OP số thực xác định bởi: h−−→ −→i i OM, OP = [z, ω] = (z ω ¯ − z¯ω) c Nếu z ω khác ta có [z, ω] = |z|.|ω| sin(ψ − ϕ), ϕ ψ h−−→ −→i −−→ z i + k = (tâm C k k đường trịn f (C) có toạ vị − β, bán kính R0 = .R) p p √ Vì đường tròn (C) trực giao với đường tròn nghịch đảo w(J, k) nên ta có √ 2 (∗) PJ/(C) = k =k Mặt khác, ta có PJ/(C) = p (thay tọa vị J vào phương trình 1.15) (∗∗) k Từ (∗) (∗∗) ta có k = p Do đó, ta có R = .R = R Tâm C có toạ vị p k − β = −β toạ vị tâm C p Vậy, ta có f (C) = (C)  c ... tốn hình học phẳng ? ?Dạng số phức phép nghịch đảo? ?? cách tiếp cận tạo nên cách nhìn tốn giải phép nghịch đảo Vì tơi chọn đề tài ? ?Dạng số phức phép nghịch đảo ứng dụng để giải tập hình học phẳng? ?? để. .. trịn mặt phẳng phức) - Những kiến thức dạng số phức phép nghịch đảo (định nghĩa, tính chất, định lý phép nghịch đảo) Chương 2: Ứng dụng dạng số phức phép nghịch đảo để giải số tập hình học phẳng. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ ĐỨC TRỌNG DẠNG SỐ PHỨC CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60