TLBD HSG CHUYÊN đề ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH đảo

Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ : PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG Bài 2: ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Giáo viên thực chun đề: Nguyễn Chí Trung Đơn vị cơng tác: Trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tỉnh/TP: HCM Giáo viên phản biện chuyên đề: Nguyễn Thị Hồng Nhung Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Tiền Giang Tỉnh Tiền Giang A KIẾN THỨC CƠ BẢN Lý thuyết ( ) k Tính chất Phép nghịch đảo N O hay N ( O ,k ) , biến A thành A ' ; B thành B ' hai tam giác OAB đồng dạng tam giác OB ' A ' Đồng thời A ' B ' = k AB OA.OB Tính chất Qua phép nghịch đảo tâm O biến đường thẳng qua tâm O thành Tính chất Qua phép nghịch đảo tâm O biến đường thẳng d không qua tâm O thành đường trịn qua tâm O Với tính chất sau: CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 1| Tài liệu vd-vdc i) Đường thẳng nối tâm O tâm đường tròn iii) Tâm đường tròn I ' : ảnh I qua phép vng góc với đường thẳng d nghịch đảo, I đối xứng với tâm O qua ii) Đường kính OA ' đường tròn ảnh: A ' đường thẳng d ảnh A qua phép nghịch đảo, A k hình chiếu tâm nghịch đảo O đường iv) Bán kính đường trịn: r = thẳng d 2d ( O ,d ) (Ảnh A A'; Ảnh M M') Tính chất Qua phép nghịch đảo tâm O , đường tròn qua tâm O biến thành đường thẳng vng góc với đường nối tâm O tâm đường tròn Tâm I biến thành I ' đối xứng với O qua l với l ảnh ( I ) Tính chất Ảnh đường tròn ( C ) khơng qua tâm nghịch đảo đường trịn ( C ') Đặc biệt, (C') ảnh (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k PO ,(C ) Phương pháp giải Dựa vào yếu tố đề cập đề mà ta xét phép nghịch đảo thích hợp Cần ý đến phương tích, hệ thức hàng điểm điều hịa, đường phân giác, … B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho đường tròn ( O) đường kinh BC Một điểm A nằm ngồi đường trịn Gọi B ', C ' giao điểm AC ; BD Gọi H giao điểm BB ' CC ' Gọi M , N hai tiếp điểm hai tiếp tuyến qua A đến ( O ) Chứng minh H , M , N thẳng hàng Lời giải | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Gọi A ' hình chiếu A lên cạnh BC Do B ', C ' ∈ (O) nên BB ' ⊥ AC CC ' ⊥ AB Suy H trực tâm ∆ABC AA ' đường cao thứ ba Ta có PA/( O ) = AC ' AB = AB ' AC = AM = AN = k Xét phép nghịch đảo: N      A,k ÷÷÷  N( A , k ) M ¬ → M N ( A,k ) N ¬  →N N ( ( A,k ) A ' ¬  → H AA ' AH = AB ' AC ) N ( A,k ) ( AMN ) ¬  → MN · · · ' A = 900 Mặt khác ta lại có : ONA = OMA = OA Suy A ' ∈ ( AMN ) Do H ∈ MN Vậy M , H , N thẳng hàng Ví dụ 2: Đường tròn nội tiếp ( I) tam giác ABC tiếp xúc với BC , CA, AB D, E , F Chứng minh trực tâm H tam giác DEF , tâm đường tròn nội tiếp I tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác ABC thẳng hàng Lời giải CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 3| Tài liệu vd-vdc Xét phép nghịch đảo N ( I ,r ) Qua phép nghịch đảo này, đường tròn ( I ) biến thành đường tròn ( I ) , ba điểm A, B, C biến thành ba điểm A′, B′, C ′ theo thứ tự trung điểm EF , FD, DE Vì đường trịn ( O ) biến thành đường tròn Ơ-Le tam giác DEF Suy O, H , I thẳng hàng Ví dụ 3: Cho đường trịn đường kính AB , C điểm thay đổi ( AB ) cho tam giác ABC không cân C Gọi H chân đường cao tam giác ABC hạ từ C vẽ HE , HF vng góc với AC , BC EF AB cắt K Gọi D giao điểm thứ hai ( AB ) ( CH ) Chứng minh D, K , C thẳng hàng Lời giải | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Xét phép nghich đảo N 2  C ,CH ÷   : E¬ → A (Vì CE.CA = CH ) F¬ → B (Vì CF CB = CH ) Suy ra: (CH ) ¬  → AB Giả sử: N ( C ,CH ) (O ) ¬  → EF ( D) = D ' Vì D ∈ (CH ) nên N ( A,CH ) ( D ) = D ' ∈ EF Vì D ∈ (O) nên N ( A,CH ) ( D) = D ' ∈ AB Vậy D ' ∈ EF ∩ AB Suy : D ' ≡ K , tức N ( A,CH ) ( D) = K Vậy D, K , C thẳng hàng (Hệ thức Euler) Gọi ( O, R ) ( I , r ) đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: d = R − Rr , với OI = d Ví dụ 4: Lời giải Gọi M , N , P giao điểm ( I , r ) với AB, AC , BC A ', B ', C ' giao điểm IA, IB, IC với MN , MP, NP CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 5| Tài liệu vd-vdc Khi theo tính chất đường trịn nội tiếp tam giác, ta có: IM ⊥ AB , IN ⊥ AC , IP ⊥ BC , IA ⊥ MN , IC ⊥ NP , IB ⊥ MP Xét phép nghịch đảo N ( I , r ) , ta có: A ↔ A' (do IA ⋅ IA' = IN = r ) B ↔ B ' (do IB ⋅ IB' = IM = r ) C ↔ C ' (do IC ⋅ IC ' = IP = r ) Do đó: ( ABC ) ↔ ( A' B' C ') r Do ( A ' B ' C ') có bán kính nên theo tính chất phép nghịch đảo ta có: r r2 r2 r2 = = = 2 R PI / O d − R2 R − d ( ) Suy d = R − Rr Cho đường trịn (O) điểm  S nằm ngồi (O) , AB đường kính thay đổi a) Chứng minh đường tròn ( SAB) qua điểm cố định khác S b) SA, SB cắt (O) M , N Chứng minh MN qua điểm cố định Ví dụ 5: Lời giải | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi a) Gọi I giao điểm SO ( SAB) Ta có: OS OI = OAOB = − R Suy ra: I = N (O, − R ) ( S ) Mà S cố định, I cố định Vậy ( SAB) qua điểm cố định thứ hai I ảnh S qua phép nghịch đảo N (O, − R ) b) Xét phép nghịch đảo N ( S , k ) với k = Ρ S Khi đó, qua phép nghịch đảo N ( S , k ) : (O ) (O) ↔ (O ) M↔A N↔B Suy ra: MN ↔ ( SAB) Mà I ∈ ( SAB ) ⇒ J = N( S , k ) ( I ) ∈ MN Vậy MN qua điểm cố định J ảnh I qua phép nghịch đảo N ( S , k ) với k = Ρ S (O ) C BÀI TẬP (IMO Shortlist 1995) Cho A, B, C , D bốn điểm phân biệt đường thẳng theo thứ tự Các đường trịn đường kính AC , BD cắt X , Y Đường thẳng XY cắt CB Z Gọi P đường thẳng XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường trịn đường kính AC C M , đường thẳng BP cắt đường trịn đường kính BD B N Chứng minh AM , DN , XY đồng quy Bài 1: Lời giải CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 7| Tài liệu vd-vdc Xét phép nghịch đảo ω có tâm P , phương tích k = PX PY Gọi A ' giao điểm PA với đường trịn đường kính AC Qua ω thì: + Ảnh A A ' ; ảnh M C Do ảnh AM đường trịn ( PA ' C ) · ' P = 900 = PZC · Mặt khác, AC đường kính nên CA nên ( PA ' C ) qua Z + Tương tự, ảnh DN đường tròn qua Z Ảnh XY qua tâm nghịch đảo P đường thẳng XY qua Z + Ảnh ba đường thẳng AM DN , XY có điểm chung Z khác tâm nghịch đảo P nên đường thẳng AM DN , XY đồng quy (Centro American Math Olympiad) Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AB < CD P giao điểm AD BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD cắt đường thẳng AB Bài 2: điểm Q R Gọi S , T tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ P đến ( ABCD ) Chứng minh Q, R, S , T nằm đường tròn Lời giải | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Ta có, PA.PD = PB.PC = PS = PT = k Xét phép nghịch đảo N Pk Qua phép ảnh C B ; ảnh D A ; S , T giữ nguyên Ảnh ( PCD ) đường thẳng AB Suy ảnh giao điểm AB ( PCD ) Vậy PQ = PR = PS = PT = k Suy Q, R, S , T nằm đường tròn tâm P (VMO 2011) Cho đường trịn ( O ) đường kính AB P điểm tiếp tuyến Bài 3: ( O) B ; ( P khác B ) Đường thẳng AP cắt ( O ) lần thứ hai C D điểm đối xứng với C qua O Đường thẳng DP cắt ( O ) lần thứ hai E Chứng minh AE , BC , PO đồng quy M Lời giải CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 9| Tài liệu vd-vdc Xét phép nghịch đảo f tâm P phương tích k = PP / ( O ) Khi qua f ( PCD ) ; ảnh A biến thành C , E thành D ; giữ nguyên B ; ảnh AE đường tròn BC đường tròn ( PAB ) ; ảnh PO PO Ta cần chứng minh ( PCD ) , ( PAB ) , PO có điểm chung khác P Hay chứng minh PO là trục đẳng phương của ( PCD ) và ( PAB ) Ta có: OA.OB = OC.OD nên PO trục đẳng phương hai đường tròn ( PCD ) , ( PAB ) Bài 4: (Trung Quốc TST 2015) Cho tam giác ABC cân A với AB = AC > BC Gọi D điểm tam giác ABC cho DA = DB + DC Giả sử đường phân giác · ADB cắt đường trung trực AB P đường phân giác · cắt đường trung trực AC Q Chứng minh B, C , P, Q đồng viên ADC Lời giải ¼ Để ý P P là điểm cung BDA của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD ; Q là điểm ¼ cung CDA của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Đây là dấu hiệu để ta có thể nghịch đảo Xét phép nghịch đảo tâm D , phương tích k > Kí hiệu X ' ảnh X qua phép nghịch đảo Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD biến thành A ' B ' ; đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biến thành A ' C ' Do đó, Q ' chân đường phân giác đỉnh D tam giác A ' DC ' ; P ' chân đường phân giác đỉnh D tam giác A ' DB ' k k k DA ' DA ' = + ⇔ = 1− DA ' DB ' DC ' DB ' DC ' DA ' P ' A ' D ' A ' Q ' A ' = ; = Mà theo tính chất chân đường phân giác, ta có DB ' P ' B ' D ' C ' Q ' C ' P ' A' Q ' A' A'C ' = 1− = Suy ra, , suy Q ' B ' song song với P ' C ' P'B' Q 'C ' Q 'C ' Ta có DA = DB + DC ⇔ 10 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu vd-vdc c/ Bảo tồn góc đường thẳng đường tròn Cho đường thẳng d đường tròn ( C ) tâm I , với phép nghịch đảo N( O;k ) ta có trường hợp sau: + Nếu d ( C ) qua cực O ảnh ( C ) đường thẳng d ¢ với d ¢song song với tiếp tuyến d1 O nên ( d ; d ¢) = ( d ; d1 ) = ( d ; ( C ) ) + Nếu cực O d , đường trịn ( C ) khơng qua O ảnh ( C ) đường trịn ( C ¢) d giữ nguyên Do ảnh đường tròn qua phép nghịch đảo N (O;k ) ảnh đường tròn qua phép vị tự V k (O; ) p nên góc d ( C ) góc d ( C ¢) + Nếu cực O không nằm d ( C ) ảnh d đường trịn ( C1 ) qua cực O tiếp tuyến O d ¢// d , cịn ảnh ( C ) đường trịn ( C ¢) qua phép nghịch đảo N (O;k ) ảnh đường tròn ( C ) qua phép vị tự V k (O; ) p t1 t2 A d B t' C1 A' (C) (C') O d' Hình hình 10 Giả sử d cắt ( C ) điểm A ( C1 ) ( C ¢) cắt điểm A¢ ( với A¢ ảnh A ) Theo bổ đề hai tiếp tuyến t1 t2 A A¢ ( C1 ) ( C ¢) đối xứng qua 18 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi đường trung trực AA¢, góc ( t1; d ) góc ( t2 ; t ¢) với t ¢ tiếp tuyến A¢ ( C1 ) Do ( d ;( C ) ) = ( d ; t1 ) = ( t ¢; t2 ) = ( ( C ) ; ( C ¢) ) (đpcm) Chú ý: Các góc phần lý thuyết quan tâm độ lớn, không xét hướng Hệ quả: a) Nếu hai đường tròn tiếp xúc với tiếp điểm trùng với cực phép nghịch đảo ảnh chúng hai đường thẳng song song b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc với tiếp điểm không trùng với cực phép nghịch đảo N (O;k ) ảnh chúng tiếp xúc với CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 19 | Tài liệu vd-vdc Chuyên đề 3 HÌNH HỌC PHẦN III: PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG Bài 4: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẨO Giáo viên thực chuyên đề: Thầy Ngô Quang Anh Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu Tỉnh Đồng Tháp Giáo viên phản biện chuyên đề:……………………… Đơn vị công tác: ……………………………………… A KIẾN THỨC CƠ BẢN Chứng minh thẳng hàng, đồng quy Để thấy ý nghĩa phép nghịch đảo việc chuyển mối quan hệ ràng buộc phức tạp của đường tròn các mối quan hệ đơn giản của đường thẳng ta xét ví dụ sau Ví dụ Cho đường trịn (O) đường kính BC Một điểm A nằm ngồi đường trịn Gọi D, E giao điểm AC, AB với (O) Gọi H giao điểm BD, CE Gọi M, N tiếp điểm tiếp tuyến từ A đến (O) Chứng minh H, M, N thẳng hàng Phân tích Như phân tích phần lý thuyết, việc chọn A làm tâm phép nghịch đảo hợp lý Ta phép nghịch đảo biến điểm nằm đường tròn qua tâm phép nghich đảo thành H, M, N Hướng dẫn giải • Ta có H trực tâm tam giác ABC Gọi A’ hình chiếu vng góc A BC • AH AA ' = AD AC = AN A’ nằm đường tròn (OMAN) Xét phép nghịch đảo tâm A phương tích k = AN Khi I ( A;k ) : M ® M ; N ® N Mặt khác A’ nằm đường tròn (AMN) nên I ( A; k ) : ( A ' MAN ) ® MN (1) Hơn nữa: AH AA ' = k nên I ( A;k ) : A ' ® H (2) Từ (1) (2) ta suy H thuộc MN Để chứng minh tâm của hai đường tròn thêm điểm thứ ba thẳng hàng, việc áp dụng phép nghịch đảo tỏ hiệu Sau là ví dụ cho thấy điều đó 20 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Ví dụ Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt hai điểm A, B Trên tia BA lấy điểm M Qua M kẻ hai đường thẳng cho đường thẳng cắt (O) E, C đường thẳng lại cắt (O’) F, D Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, BEF điểm M thẳng hàng Hướng dẫn giải • Ta có MA.MB = ME.MC = MF MD = P( M /( O ) • Xét phép nghịch đảo tâm M, phương tích k = P( M /(O ) Ta có I ( M ;k ) : A ® B C®E D®F Þ I ( M ;k ) : ( ACD) ® ( BEF ) Do M với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, BEF thẳng hàng (đpcm) Ví dụ Đường trịn (I;r) nội tiếp ΔABC, tiếp xúc với BC, AC, AB M, N, P Chứng minh trực tâm H ΔMNP, tâm I, O đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ΔABC thẳng hàng Phân tích: Ở tốn ta có I, H tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm ∆MNP Và ta cần chứng minh O∈ IH, rõ ràng khó ta chứng minh trực tiếp khó tìm mối quan hệ trực tiếp điểm, ta tìm điểm đặc biệt khác IH chứng minh thông qua tậm đường trịn euler ∆MNP CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 21 | Tài liệu vd-vdc Hướng dẫn giải • Gọi A’, B’, C’ giao điểm IA, IB, IC với NP, PM, MN  A’, B’, C’ trung điểm NP, PM, MN  Đường tròn (A’B’C’) đường tròn euler tam MNP Gọi  tâm đường tròn (A’B’C’)   trung điểm IH  IHε (1) • Ta có IA.IA’ = IB.IB’ = IC.IC’ = r2 ⇒ phép nghịch đảo N(I,r2) biến: A  A’ B  B’ C  C’  Phép nghịch đảo N(I,r ) biến đường tròn (O) thành đường tròn (A’B’C’)  (A’B’C’) ảnh (O) phép vị tự tâm I tỉ số k = r2 P( I /( O ))  IOε (2) Từ (1), (2)  (đpcm) Ví dụ (IMO 1996, Problem 3) Cho điểm P bên ΔABC thỏa: ·APB - ·ACB = ·APC - ·ABC Gọi O1, O2 tâm đường tròn nội tiếp ΔAPB, ΔAPC CMR: AP, BO1, CO2 đồng quy Phân tích: Giả thiết đề cho hiệu góc nhau, hiệu góc khơng chung đỉnh nên ta đưa chúng chung đỉnh thông qua phép nghịch đảo 22 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hướng dẫn giải • Gọi X = BO1 ∩ AP , Y = CO2 ∩ AP BO1, CO2 phân giác góc ·ABP ·ACP ⇒ XP BP YP CP = , = XA BA YA CA BP CP = BA CA • Gọi B’, P’, C’ ảnh B, P, C qua phép nghịch đảo N (A,1) Áp dụng tính chất 2, ta có: · 'P' · ' P ' , ·APC = CC Tứ giác BPP’B’ nội tiếp ⇒ ·APB = BB Ta cần chứng minh X ≡ Y hay · 'B', Tứ giác BCP’C’ nội tiếp ⇒ ·ABC = CC • Mà ·APB - ·ACB = ·APC - ·ABC ⇒ • ·ACB = BB · 'C ' · ' C ' = CC · ' P ' - CC · 'B' ⇒ P · 'C ' B ' = · ' P ' - BB BB · ' B ' C ' ⇒ P’B’ = P’C’ (1) P Áp dụng tính chất 3, ta có: BP Þ AB AP CP C' P ' = Þ AC AP B ' P ' = Từ (1), (2) ⇒ BP = B ' P ' AP AB CP = C ' P ' AP AC (2) BP CP = (đpcm) BA CA 2.2 Chứng minh đồng viên Tư tưởng: Sử dụng tính chất biến đổi qua lại đường thẳng và đường tròn giúp chuyển bài toán thẳng hàng thành bài toán đồng viên Hơn nữa, số trường hợp phép nghịch đảo biến đường tròn này thành đường tròn khác giúp ta dễ dàng việc chứng minh đồng viên Ví dụ Cho đường tròn (O 1), (O2), (O3), (O4) tiếp xúc với A, B, C, D Chứng minh A, B, C, D đồng viên Phân tích Bài tốn có đường trịn tiếp xúc Bài toán yêu cầu chứng minh đồng viên, hai đặc trưng làm ta nghĩ đến phép nghịch đảo CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 23 | Tài liệu vd-vdc Hướng dẫn giải Xét phép nghịch đảo I(A, k) với k biến: (O1) ↔ d1 (O2) ↔ d2 (O3) ↔ (O ) (O4) ↔ (O ) B ↔ B’ C ↔ C’ D ↔ D’ ⇒ d1 P d2, (O ) (O ) tiếp xúc C’, d1 tiếp xúc với (O ) D’, d2 tiếp xúc với (O ) B’ ⇒ B’, C’, D’ thẳng hàng ⇒ đường tròn (BCD) qua A ⇒ (đpcm) Ví dụ Cho đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) cắt A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2 Chứng minh điểm A 1, B1, C1, D1 đồng viên ⇔ điểm A2, B2, C2, D2 đồng viên Hướng dẫn giải Bổ đề: Cho hai đường tròn (O) (O’) giao hai điểm A, B từ điểm S nằm ngồi đường trịn vẽ cát tuyến SMN tới (O) SPQ tới (O’) CMR: MAP ⇔ điểm S, N, B, Q đồng viên Chứng minh (⇒) MAP Ta có (QP, QB) º (AP, AB) (A, Q, P, B đồng viên) º (NM, NB) (mod π ) (A, B, N, M đồng viên MAP ) ⇒ S, N, B, Q đồng viên (⇐): S, N, B, Q đồng viên, ta lại có A, Q, P, B đồng viên A, B, N, M đồng viên ⇒ (AP, AB) º (QP, QB) º (NM, NB) º (AM, AB) (mod π) ⇒ MAP ⇒ (đpcm) Trở lại toán 24 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi A1, B1, C1, D1 đồng viên Xét phép nghịch đảo N ( A1 ,k ) với k tùy ý biến: (O1) ↔ d1 (O2) ↔ d2 (O3) ↔ (O ) (O4) ↔ (O ) B1 ↔ B1’ C1 ↔ C1’ D1 ↔ D1’ A2 ↔ A2’ B2 ↔ B2’ C2 ↔ C2’ D2 ↔ D2’ ⇒ B1, C1, D1 d1, d2 giao A2’, d1 giao (O ) D1’, D2’ d2 giao O3 B1’, B2’ (O ) giao (O ) C1’, C2’ Áp dụng trực tiếp bổ đề trên, ta có A2’, B2’, C2’, D2’ đồng viên ⇒ A2, B2, C2, D2 đồng viên Chiều ngược lại chứng minh tương tự ⇒ (đpcm) Chúng ta hoàn tồn xét phép nghịch đảo tâm A2 làm hồn tồn tương bổ đề có hai chiều Ví dụ Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với cắt tai O Gọi M, N, P, Q hình chiếu vng góc O AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp Hướng dẫn giải Dễ thấy tứ giác AMON, BNOP, CPOQ, OMDQ nội tiếp đường trịn đường kính AO, BO, CO, DO ⇒ BD tiếp tuyến chúng đường tròn (AMNP) (CPOQ), AC tiếp tuyến chung đường tròn (BNOP) (DMOQ) Xét phép nghịch đảo N(O,k) với k tùy ý biến: M↔ M’; N ↔ N’; P ↔ P’; Q ↔ Q’ ⇒ Phép nghịch đảo N(O,k) biến (AMON) ↔ M’N’ (BNOP) ↔ N’P’ (CPOQ) ↔ P’Q’ CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 25 | Tài liệu vd-vdc (DQOM) ↔ M’Q’ Tứ giác MNPQ ↔ Tứ giác M’N’P’Q’ ⇒ M’N’ P BD P P’Q’ N’P’ P AC P M’Q’ ⇒ M’N’P’Q’ hình chữ nhật ⇒ Tứ giác M’N’P’Q’ nội tiếp đường tròn ⇒ MNPQ nội tiếp đường trịn ⇒(đpcm) Tìm quỹ tích, đường qua điểm cố định Tư tưởng: Ta thường gặp hai dạng quỹ tích đường thẳng đường trịn Ta sử dụng việc biến đổi qua lại đường thẳng đường trịn phép nghịch đảo để tìm quỹ tích Ví dụ Cho (O) điểm S nằm ngồi (O) Hai cát tuyến chuyển động S cẳt (O) A,A ’ B, B’ Gọi M giao điểm thứ hai (SAB’) (SBA’) Tìm quỹ tích điểm M Phân tích: Ở tốn xuất tứ giác nội tiếp có hai cát tuyến cắt điểm mơ hình quen thuộc để nghĩ tới phép nghịch đảo Ta dự đoán quỹ tích đường trịn đường kính OS đề cho hai điểm cố định nên ta chọn tâm nghịch đảo hai điểm với phương tích đại lượng cố định Hướng dẫn giải Gọi I = AB’ Ç A’B Đường thẳng qua S vng góc với OS cắt OS (O) H, I’ Theo tính chất cực đối cực, ta có SI’ tiếp tuyến O Þ SH.SO = SI’2 = P(S,(O)) Þ Phép nghịch đảo N(S, k) với k = P(S,(O)) biến: H « O A ô A B ô B ị Phộp nghch o NS,k) với k = P(S,(O)) biến: (SA’B) « AB’ (SAB’) « A’B Þ Phép nghịch đảo NS,k) với k = P(S,(O)) bin M = (SAB) ầ (SAB) ô I = AB ầ AB Ã Ã ị T giỏc HIMO ni tiếp Þ OMI = 180o - IHO = 180o - 90o = 90o Vậy quỹ tích điểm M đường trịn đường kính OS Ví dụ Cho đường tròn cố định tâm (O) dây cung AB cố định đường trịn Một điểm M di động đường tròn (O) Gọi M’ giao điểm thứ đường tròn qua M tiếp xúc với AB A B Tìm quỹ tích M’ Phân tích: Ta dự đốn quỹ tích đường trịn đối xứng với (O) qua AB Vì ta nghĩ đến dùng phép vị tự biến (O) thành (AM’B) với tỉ số k = Vì phép vị tự hai đường tròn nên ta chuyển qua sử dụng phép nghịch đảo 26 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Gọi (O1), (O2) đường tròn ngoại tiếp DAMM’ DBMM’ Gọi I = MM’ Ç AB IA2 = P( I ,(O1 )) = IM IM ' = P( I ,(O2 )) = IB Þ IA = IB Vậy IA2 = IM.IM’ = IB2 Þ phép nghịch đảo N(I,k) với k = IA2 biến: A ® A; B ® B; M ® M’ Þ Phép nghịch đảo N(I,k) biến (O) thành đường tròn (AM’B) Suy đường tròn (AM’B) ành phép vị tự V(I, k’) với k '= k P( I ,( O )) = IA2 =1 IA2 mà A, B cố định Þ Đường trịn (AM’B) đối xứng với (O) qua AB Vậy M’ ln thuộc đường trịn đối xứng với đường trịn (O) qua AB Ví dụ 10 Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm I nằm đoạn AB (khác A, B) Một đường thẳng d thay đổi qua cắt (O) C, D (d không trùng với AB) Đường thẳng AC, AD cắt d’ M, N (d’ tiếp tuyến B (O)) Chứng minh (AMN) qua điểm cố định thứ 2, từ suy tâm đường trịn (AMN) ln nằm đường thẳng cố định Phân tích: Bài tốn u cầu chứng minh đường tròn qua điểm cố định, ta chứng minh dựa vào điểm cố định đề tìm phép biến đổi để điểm cố định cần tìm Một hướng suy nghĩ tự nhiên phép nghịch đảo cho ta biến đổi qua lại đường thẳng đường tròn CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 27 | Tài liệu vd-vdc Ta có AB ⊥ MN, BC ⊥ AM, BD ⊥ AM ⇒AC.AM = AB2 = AD.AN ⇒ phép nghịch đảo N(A,k) với k = AB2 biến: M → C N →D ⇒ phép nghịch đảo N(A,k) biến (AMN) → CD Gọi I’ = N(A,k)(I) ⇒ I’ ∈ (AMN) Mà I cố định ⇒ I’ cố định ⇒ (AMN) qua điểm cố định thứ ảnh I qua phép nghịch đảo N(A,k) ⇒ Tâm (AMN) thuộc đường trung trực AI’ Ví dụ 11 (VMO 2014) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O), B,C cố định A thay đổi (O) Trên tia AB AC lấy điểm M N cho MA = MC NA = NB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN ABC cắt P (P ¹ A) Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC Q (a) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng (b) Gọi D trung điểm BC Các đường trịn có tâm M,N qua A cắt K (K ¹ A) Đường thẳng qua A vng góc với AK cắt BC E Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) F (F ¹ A) Chứng minh đường thẳng AF qua điểm cố định 28 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi a Vì ∆MAC cân M ∆NAB cân N ⇒ (BA, BN) º (AN, AB) º (AC, AM) º (CM, CA) (mod π ) ⇒ B, N, C, M đồng viên ⇒AB.AM = AN.AC ⇒ Phép nghịch đảo N(A,k) với k = AB.AM biến: B ↔ M; C ↔ N ⇒ phép nghịch đảo N(A,k) biến: (AMN) ↔ BC (ABC) ↔ MN ⇒ phép nghịch đảo N(A,k) biến giao điểm P (AMN) (ABC) thành giao điểm Q BC MN ⇒ A, Q, P (đpcm) b Ta có OA=OB NA=NB ⇒ ON đường trung trực AB ⇒ ON ⊥ AB Tương tự ta có MO ⊥ AC ⇒ O trực tam tam giác (AMN) ⇒AO ⊥ MN Ta có AK trục đẳng phương đường tròn (N, NA) (M, MA) ⇒AK ⊥ MN ⇒ AOK ⇒AE ⊥ AO Ta có D trung điểm BC ⇒ OD ⊥ BC ⇒ tứ giác EAOD nội tiếp đường trịn đường kính OE ⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EAOD trung điểm OE ⇒ OE ⊥ AF ( AF trục đẳng phương (O) (EAOD)) ⇒ OL.OE = OA2 ⇒ phép nghịch đảo N(O,k) với k = OA2 biến: A →A E →L ⇒ phép nghịch đảo N(O, k) biến đường tròn (OAE) thành đường thẳng AL Mà D ∈ (OAE) ⇒ I = N(O,k) (D) ⇒ OI.OD = OA2 Mà D cố định ⇒ I cố định Vậy đường thẳng AF qua điểm I cố định AB OI.OD = OA2 Sử dụng phép nghịch đảo để chứng minh hệ thức số tính chất hình học khác CHUN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 29 | Tài liệu vd-vdc Ví dụ 12 Cho ABC điểm O CMR: Tổng hai ba đoạn OA, OB, OC khơng nhỏ đoạn cịn lại Phân tích: Điều cần chứng minh bất đẳng thức hình học ba cạnh, ý tưởng tự nhiên đưa ba cạnh OA, OB, OC mối liên hệ với cạnh tam giác để áp dụng bất đẳng thức tam giác ta nghĩ đến dùng phép nghịch đảo Hướng dẫn giải Xét phép nghịch đảo N(O,k) :A  A’ B  B’ C  C’ Khi theo tính chất 3, ta có: AB A'B ' = k OA.OB BC B'C' = k OB.OC CA C'A' = k OC.OA Xét A’B’C’, có A’B’ + B’C’  C’A’ AB BC CA Þ k +k ³ k OA.OB OB.OC OC.OA AB BC CA Þ + ³ OA.OB OB.OC OC.OA Þ AB.OC + BC.OA ³ CA.OB Þ OC + OA ³ OB Tương tự, ta có: OB + OC  OA, OA + OB  OC  (đpcm) Ví dụ 13 (Định lí Ptoleme) CMR: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn AC.BD = AB.CD + AD.BC Phân tích: Đề yêu cầu chứng minh đẳng thức, ta nghĩ đến việc chuyển đại lượng cần tính tốn vào đường thẳng để có đẳng thức Khi ta nghĩ đến phép nghịch đảo cho phép ta biến từ điểm thuộc đường tròn thành điểm thuộc đường thẳng Hướng dẫn giải Xét phép nghịch đảo N(A,1): M = N(A,1)(B) N = N(A,1)(C) P = N(A,1)(D) Ta có 30 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi BC AB AC CD NP = AC AD BD MP = AB AD ( ⇒ ) A, B, C, D thuộc đường tròn Gọi d ảnh (ABCD) qua phép nghịch đảo N(A,1) ⇒ B, C , D thuộc d MN = MN + NP =MP BC CD BD + = ⇒ ⇒ BC.AD + CD.AB = BD.AC AB AC AC AD AB AD ( ⇐ ) Giả sử A, B, C, D không thuộc đường trịn ⇒ M, N, P khơng thẳng hàng ⇒ MN + NP > MP BC CD BD + > ⇒ AB AC AC AD AB AD ⇒ BC.AD + CD.AB > BD.AC (MT giả thiết) Ví dụ 14 (Hệ thức euler) Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O, R) ngoại tiếp đường tròn (I, r) CMR: OI2 = R2 - 2Rr Hướng dẫn giải Gọi D, E, F tiếp điểm (I) với BC, CA, AB Gọi M = EF ∩ AI N = DF ∩ BI P = DE ∩ CI Ta có IP.IC = IM.IA = IN.IB = r2 ⇒ phép nghịch đảo N(I,r2) biến: A  M BN CP ⇒ phép nghịch đảo N(I,r2) biến (O, R) thành (O’, R’) (với (O’, R’) đường tròn ngoại tiếp MNP với bán kính R’) Ta có r R' Rr Rr R'= R Þ = = (1) P(I,(O)) r P(I,(O)) R - OI Ta có M, N, P trung điểm EF, FD, DE MN NP MP R' Þ = = = Þ = (2) DE EF FD r Rr (1), (2) Þ = Þ OI = R - Rr   R - OI  (đpcm) Ví dụ 15 Cho đường trịn (O) đường kính PQ, đường trịn (C) tiếp xúc với (O) tiếp xúc với PQ C Lấy A (O) B CQ cho AB vng góc với PQ AB tiếp xúc với (C) Chứng minh AC · phân giác PAB CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 31 | Tài liệu vd-vdc Phân tích: Bài tốn cho yếu tố tiếp xúc gợi cho ta sử dụng phép nghịch đảo Hướng dẫn giải Xét phép nghịch đảo N(C,k) với k tùy ý biến: D ↔ D’ P ↔ P’ Q ↔ Q’ I ↔ I’ A ↔ A’ ⇒ Phép nghịch đảo N(C,k) biến: (C) ↔ D’I’ ⇒ D’I’ P PQ (1) (O) ↔ (P’D’A’Q’) ⇒ D’I’ tiếp tuyến (P’D’A’Q’) ((O) (C) tiếp xúc với nhau) IB ↔ (CA’I’B’) ⇒ D’I’ tiếp tuyến (CA’I’B’) (IB tiếp xúc với (C)) D’I’ tiếp tuyến chung (P’D’A’Q’) (CA’I’B’) (2) (P’Q’,(P’D’A’Q’) ) = (PQ, (O)) = 90o ⇒ P’Q’ đường kính đường tròn (P’D’A’Q’) (CB’, (CA’I’B’)) = (CB’, IB) = 90o ⇒ CB’ đường kính đường trịn (CA’I’B’) ⇒ đường thẳng PQ đường thẳng chứa đường kính hai đường tròn (P’D’A’Q’) (CA’I’B’) (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ (P’D’A’Q’) (CA’I’B’) đối xứng với qua đường trung trực P’B’ ⇒ A’P’ = A’B’ ⇒ ·A ' P ' B ' = ·A ' B ' P ' · · ⇒ CAP = CAB (A, P, P’, A’ đồng viên A, A’, B’, B đồng viên) ⇒ (đpcm) 32 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC ... Dũng, ? ?Phép nghịch đảo? ??, 2018 Tài liệu 2: Nhóm 10,Tốn 4A,ĐHSP HCM, ? ?Phép nghịch đảo? ??, 2012 CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 13 | Tài liệu vd-vdc Chuyên đề 3 HÌNH HỌC PHẦN III: PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG... GIẢI TÍCH 19 | Tài liệu vd-vdc Chuyên đề 3 HÌNH HỌC PHẦN III: PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG Bài 4: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẨO Giáo viên thực chuyên đề: Thầy Ngô Quang Anh Đơn vị cơng... ảnh I qua phép vng góc với đường thẳng d nghịch đảo, I đối xứng với tâm O qua ii) Đường kính OA ' đường tròn ảnh: A ' đường thẳng d ảnh A qua phép nghịch đảo, A k hình chiếu tâm nghịch đảo O đường