THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỨA CHÍ NINH lu an n va p ie gh tn to BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU JOHN-NIRENBERG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN MORREY-CAMPANATO d oa nl w a lu f an nv oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z om l.c gm @ n a Lu Bình Định, năm 2021 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỨA CHÍ NINH lu an n va p ie gh tn to BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU JOHN-NIRENBERG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN MORREY-CAMPANATO d oa nl w a lu Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 8460102 oi lm ul f an nv z at nh Người hướng dẫn: PGS.TS LƯƠNG ĐĂNG KỲ z om l.c gm @ n a Lu Bình Định, năm 2021 n va ac th si Mục lục Một số ký hiệu Một số kiến thức chuẩn bị lu Lời nói đầu an n va Không gian định chuẩn 1.2 Lý thuyết độ đo 11 1.3 Tích phân Lebesgue 15 p ie gh tn to 1.1 d oa nl w Không gian Morrey-Campanato không gian Rn 17 Không gian Morrey-Campanato Lα,q,s (Rn ) 17 2.2 Phân hoạch Calderón-Zygmund Rn 30 2.3 Bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg Lα,q,s (Rn ) 33 a lu 2.1 f an nv Không gian Morrey-Campanato không gian loại 37 Không gian loại (X, d, µ) 37 3.2 Không gian Morrey-Campanato Lα,q (X) 38 3.3 Phân hoạch Calderón-Zygmund X 39 3.4 Bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg Lα,q (X) 40 oi lm ul 3.1 z at z 51 gm @ Tài liệu tham khảo nh Kết luận 52 om l.c n a Lu n va ac th si Lời mở đầu Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số vấn đề Khơng gian hàm có dao động trung bình bị chặn, ký hiệu BM O (Bounded Mean Oscillation), John Nirenberg giới thiệu vào năm 1961 trở nên lu tiếng nhờ vào kết đối ngẫu Fefferman Stein năm 1972 không gian an n va BM O John-Nirenberg thực đối ngẫu khơng gian Hardy thực Stein Weis Ban đầu việc nghiên cứu không gian BM O nảy sinh từ to tn tốn dao động điều hịa học toán đạo hàm riêng, p ie gh sau kết đối ngẫu Fefferman Stein trở nên tiếng nhiều người làm Giải tích điều hịa quan tâm nghiên cứu Vài năm sau d oa nl w John-Nirenberg giới thiệu không gian BM O, Sergio Campanato mở rộng khái niệm lên lớp không gian tổng quát mà ngày biết với tên gọi không gian Morrey-Campanato Lα,q,s ứng dụng vào việc nghiên cứu a lu f an nv toán Phương trình đạo hàm riêng Để nghiên cứu khơng gian BM O tổng quát không gian Morrey-Campanato, người ta cần sử dụng oi lm ul kết tiếng Phân hoạch Calderón-Zygmund Calderón Zygmund giới thiệu vào năm 1952 Trong báo, John-Nirenberg sử dụng nh phân hoạch để đưa đặc trưng không gian BMO, sau kết z at Campanato tổng quát lên cho không gian Morrey-Campanato Lý thuyết z không gian hàm ứng dụng nhiều nhà toán học quan @ gm tâm nghiên cứu Mục đích đề tài nhằm nghiên cứu lý thuyết không gian hàm Morrey-Campanato không gian loại theo l.c Luận văn gồm có ba chương, cụ thể sau: n a Lu thông qua bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg om nghĩa Coifman-Weiss, cụ thể nghiên cứu đặc trưng không gian n va ac th si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị gồm định nghĩa, tính chất giải tích hàm, khơng gian độ đo, khơng gian định chuẩn, tích phân Lebesgue nhắc lại tính chất sơ cấp tính chất cộng tính, tính chất bảo tồn thứ tự, tính chất tuyến tính, tính chất khả tích, kiến thức tích độ đo - tích phân lặp, để bổ trợ cho q trình chứng minh kết nêu đề tài Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian MorreyCampanato Lα,q,s (Rn ), phân hoạch Calderón-Zygmund Rn Bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg Lα,q,s (Rn ) Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm không gian lu an (X, d, µ), Khơng gian Morrey-Campanato Lα,q (X), Phân hoạch Calderón- n va Zygmund X Bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg Lα,q (X) p ie gh tn to Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Quy Nhơn Khoa Toán giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Luận văn d oa nl w thực hướng dẫn PGS TS Lương Đăng Kỳ Tôi xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tâm Thầy suốt thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành Luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu a lu sắc Thầy f an nv Nhân dịp xin chân thành gửi lời cảm ơn đến q Thầy, Cơ Khoa Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn dày công giảng dạy suốt năm oi lm ul qua tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Mặc dù có tơi cố gắng nỗ lực q trình hoàn thành luận văn, z at nh chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q Thầy, Cơ bạn để luận văn hoàn thiện z tháng năm 2021 gm @ Bình Định, ngày Học viên thực om l.c a Lu n Hứa Chí Ninh n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Một số ký hiệu lu an n va : Tập số tự nhiên R : Tập số thực C : Tập số phức K : R C Rn : Không gian vectơ thực n-chiều f +, f − : Phần dương, phần âm hàm f tn to N : Hầu khắp h.k.n : Hầu khắp nơi supp f : Giá hàm f p ie gh h.k A≳B : A ⩽ CB với số dương C : A ⩾ CB với số dương C : A ≲ B A ≳ B a lu A∼B d oa nl w A≲B : Không gian hàm khả tích Lebesgue tập bị chặn Rn |E| : Độ đo Lebesgue tập E ⊂ Rn fB : Trung bình f B oi lm ul f an nv L1loc (Rn ) BM O (Rn ) : Khơng gian hàm có dao động trung bình bị chặn nh : Khơng gian Morrey-Campanato Rn Lα,q (X) : Không gian Morrey-Campanato X z at Lα,q,s (Rn ) z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu Trong chương này, trình bày kiến thức liên quan đến Giải tích an hàm không gian định chuẩn, không gian Banach, tốn tử tuyến tính n va khái niệm định lý Lý thuyết độ đo tích phân, tích phân tn to Lebesgue Các kiến thức đề cập chương nhằm cung cấp kiện làm p ie gh tảng cho chương sau Tài liệu tham khảo chương [1, 2, 3] d oa nl w 1.1 Không gian định chuẩn a lu Định nghĩa 1.1.1 Cho X khơng gian tuyến tính trường K Một f an nv chuẩn X hàm x 7→ ∥x∥ từ X vào R thỏa mãn điều kiện sau: với x, y ∈ X, α ∈ K (ii) ∥αx∥ = |α| ∥x∥ ; oi lm ul (i) ∥x∥ ⩾ 0; ∥x∥ = x = 0; z at nh (iii) ∥x + y∥ ⩽ ∥x∥ + ∥y∥ Một khơng gian tuyến tính định chuẩn trường K khơng gian tuyến tính z Một số ví dụ không gian định chuẩn l.c + Không gian Rn gm @ với chuẩn om Xét khơng gian tuyến tính Rn Với x = (x1 , , xn ) ∈ Rn đặt |xi | n va i=1 1/2 2 n ∥x∥2 = n X a Lu ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Việc kiểm tra ∥ · ∥2 chuẩn khó bất đẳng thức tam giác Khi ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz Có nhiều chuẩn khác Rn mà ta gọi p - chuẩn Với ⩽ p < ∞ ta định nghĩa ∥x∥p = 1/p n X |xi | p i=1 Việc kiểm tra ∥ · ∥p chuẩn dựa vào bất đẳng thức Mincowski Một chuẩn khác Rn ứng với trường hợp p = ∞ : ∥x∥∞ = sup |xi | 1⩽i⩽n lu Người ta thường ký hiệu chung không gian ℓnp Chú ý khơng an gian tuyến tính ℓnp , ℓnq có phần tử n va + Không gian co không gian ℓ∞ tn to Dễ dàng kiểm tra khơng gian tuyến tính co ℓ∞ không gian định chuẩn p ie gh với chuẩn ∥x∥ = sup |ξn | n d oa nl w + Không gian ℓp , p ⩾ Xét p > Với x = (ξn ) ∈ ℓp ta đặt a lu ∥x∥ = ∞ X |ξn | p !1/p f an nv n=1 Ta dễ dàng kiểm tra ||.|| chuẩn Như ℓp không gian định chuẩn oi lm ul + Không gian C[a, b] Dễ dàng kiểm tra khơng gian tuyến tính C[a, b] không gian định chuẩn với chuẩn nh z at ∥x∥ = sup |x(t)| t∈[a,b] z Sau xét không gian C[a, b] khơng nói khác, ta hiễu xét với @ |x(t)| dt om a !1/p p l.c ∥x∥p = Z b gm chuẩn Ngoài C[a, b] với ⩽ p < ∞ ta có p -chuẩn a Lu Việc kiểm tra ∥ · ∥p chuẩn dựa vào bất đẳng thức Mincowski (dạng n tích phân) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an + Không gian Lp (X) Giả sử X tập đo Lebesgue R Ta ký hiệu Lp (X) tập hợp tất hàm số f từ X vào K cho |f |p khả tích Lebesgue Trong khơng gian ta đồng hàm hầu khắp nơi Trên Lp (X) ta xét hai phép toán cộng hàm số nhân hàm số với số theo nghĩa thông thường Với p ⩾ 1, hầu khắp nơi ta có |f (x) + g(x)|p ⩽ (|f (x)| + |g(x)|)p ⩽ (2 sup{|f (x)|, |g(x)|})p ⩽ 2p sup {|f (x)|p , |g(x)|p } Vì f, g ∈ Lp (X) nên diều cho ta f + g ∈ Lp (X) Rõ ràng αf ∈ Lp (X) với lu α ∈ K Với hai phép toán ta dễ dàng kiểm tra Lp (X) không gian tuyến an n va tính Với p ⩾ f ∈ Lp (X) đặt Z X |f |p 1/p p ie gh tn to ∥f ∥p = Ta dễ thấy ∥.∥ chuẩn.Như Lp (X) không gian định chuẩn Sau 1.1.1 d oa nl w xét không gian Lp (X) khơng nói khác, ta hiểu xét với chuẩn Sự hội tụ không gian định chuẩn a lu f an nv Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn } không gian định chuẩn E gọi hội tụ đến xo ∈ E limn→∞ ∥xn − xo ∥ = Ký hiệu xn → xo limn→∞ xn = xo oi lm ul Mệnh đề 1.1.3 Nếu limn→∞ xn = xo limn→∞ ∥xn ∥ = ∥xo ∥ nh z at Mệnh đề 1.1.4 Giả sử limn→∞ xn = xo , limn→∞ yn = yo không gian định chuẩn E limn→∞ λn = λo K Khi z lim λn xn = λo xo n→∞ gm @ lim (xn + yn ) = xo + yo n→∞ l.c Định nghĩa 1.1.5 Dãy {xn } không gian định chuẩn E gọi dãy om Cauchy với ε > tồn no ∈ N cho với n, m ∈ N, n, m ⩾ no ta n a Lu có ∥xm − xn ∥ < ε (hay nói cách khác limm,n→∞ ∥xm − xn ∥ = 0) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ với mêtric sinh chuẩn Định lý 1.1.7 Nếu chuỗi ∞ X xn không gian định chuẩn E hội tụ n=1 thỏa mãn điều kiện: ∀ε, ∃no , ∀n ⩾ no , p ⩾ ∥sn+p − sn ∥ = ∥xn+1 + · · · + xn+p ∥ < ε Ngược lại, E khơng gian Banach chuỗi thỏa mãn điều kiện hội tụ Định lý suy trực tiếp từ tiêu chuẩn Cauchy để dãy {sn } hội tụ lu không gian mêtric an n va Định lý 1.1.8 Nếu chuỗi ∞ X xn hội tụ limn→∞ xn = n=1 to p ie gh tn Chứng minh Ta có limn→∞ xn = limn→∞ (sn − sn−1 ) = s − s = Mệnh đề 1.1.9 ∞ X ∞ X d oa nl w (a) Nếu chuỗi xn ∞ X yn hội tụ có tổng tương ứng làs t chuỗi n=1 n=1 (xn + yn ) hội tụ có tổng s + t; với λ ∈ K chuỗi n=1 ∞ X λxn hội n=1 tụ có tổng λs ∞ X n=1 ∞ X n=1 yn hai chuỗi cho xn = yn với n trừ hữu hạn f an nv xn a lu (b) Nếu số chuỗi đồng thời hội tụ phân kỳ oi lm ul (c) Giả sử {kn } dãy tăng thực số tự nhiên k1 = 1, chuỗi kn+1 X−1 xp chuỗi z gm @ ∞ X yn hội tụ có tổng s z at Chuỗi hội tụ tuyệt đối Chuỗi ∞ X n=1 p=kn 1.1.3 xn gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi số dương ⩽ xn chuổi hội tụ tuyệt ∥xn ∥ n=1 n va n=1 n=1 ∞ X n xn hội tụ xn a Lu ∞ X ∞ X ∞ X ∥xn ∥ hội tụ om Định lý 1.1.10 Nếu E không gian Banach ∞ X n=1 l.c n=1 đíi E chuổi xn n=1 nh có tồng s Nếu đặt yn = ∞ X ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si f (y) − f dy e B(x,r) e rλ B(x,r) !1/p om l.c x∈Ω;r>0 gm @ Chuẩn không gian Campanato cho tương đương !1/p n a Lu sup n va x∈Ω;r>0 Z |f (y) − c|p dy inf ˜ rλ c∈R1 B(x,r) ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 20 Định lý 2.1.4 Cho ≤ p ≤ q < ∞ lấy λ, ν số không âm Nếu |Ω| hữu hạn Lq,ν (Ω) ,→ Lp,λ (Ω) điều kiện λ−n ν−n ≤ p q Trong G Stampacchia (1965) có giới thiệu khơng gian kiểu Campanato L(p,λ) (Q0 ) r Q0 khối lập phương Rn định nghĩa tập hợp nửa chuẩn lu K (Qj ) := sup an Q⊂Qj Z |Q|1−λ/n p |u(x) − uQ | dx Q !1/p , n va {Qj : ∪Qj ⊂ Q0 } họ khối lập phương cho song song với khối lập tn to phương Q0 , khơng có hai khối lập phương số có điểm chung, với điều kiện p ie gh X sup |K {Qj } 1 r r (Qj )| < ∞, j d oa nl w supremum lấy tất họ khối khối lập phương chấp nhận Trong số báo, không gian gọi không gian Campanato a lu mạnh f an nv Tầm quan trọng không gian Campanato bắt nguồn từ thực tế rằng, λ lớn n (và nhỏ n + p), chúng trùng với không gian ca cỏc hm liờn oi lm ul tc Hă older, cung cấp tính chất tích phân hàm Trong trường hợp λ < n chúng trùng với không gian Morrey, định lý phát biểu, z at nh chứng minh S Campanato (1963) (miền cho thỏa mãn điều kiện (A) có biên Lipschitz; để có chứng minh điều kiện (A), ta tham khảo z Phần 4.3 sách A Kufner et al), chứng minh trùng hợp @ gm không gian Campanato với không gian BM O(Rn ) trường hợp λ = n tìm thấy l.c om Ta nói tập hợp mở Ω ⊂ Rn thuộc (A) tồn số n f |B(x, r)| ≥ Arn , a Lu A > mà n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 21 ¯ ta kí hiệu khơng gian hàm thỏa mãn iu kin Hăolder v bi H () Ω Định lý 2.1.5 Cho ≤ p < ∞ Ω miền bị chặn kiểu (A) Khi (1) Lp,λ (Ω) ∼ = Lp,λ (Ω), λ ∈ [0, n), (2) Lp,λ (Ω) ∼ = BM O(Ω) λ = n, ¯ với α = (3) Lp,λ (Ω) ∼ = H α (Ω) λ−n p , λ ∈ (n, n + p] Định lý 2.1.6 Cho ≤ p < ∞, k ≥ Ω miền bị chặn kiểu (A) Khi lu ∼ p,λ (1) Lp,λ k (Ω) = L (Ω), λ ∈ [0, n) an n va ∼ m,α (Ω), ¯ (2) Lp,λ k (Ω) = C h n−λ p i ,α = − m, n + mp < λ < n + (m + 1)p, m = 0, 1, 2, , k λ−n p tn to với m = p ie gh Định nghĩa 2.1.7 (Không gian Campanato) Giả sử f hàm khả tích địa phương Rn , Q khối lập phương Rn s số nguyên không âm d oa nl w Cho PQ f (x) đa thức có bậc cao s cho Z Q (f (x)−PQ (f )(x))xα dx = (2.4) a lu Giả sử α ≥ 0, ≤ q ′ ≤ ∞ Cho f an nv Q Khi đó, khơng gian hàm Z q′ |f (x) − (PQ f ) (x)| dx |Q| Q )1/q ′ oi lm ul ∥f ∥Lα,q′ ,s = sup |Q|−α ( nh ′ z at Lα,q′ ,s (Rn ) = f ∈ Lqloc : ∥f ∥Lα,q′ ,s < ∞ z gm @ gọi khơng gian Morrey - Campanato Nhận xét 2.1.8 Ta dễ dàng nhận thấy L0,1,s (Rn ) = BM O (Rn ) Dễ om l.c dàng chứng minh ∥ · ∥Lα,q′ ,s nửa chuẩn Thật vậy, ∥f ∥Lα,q′ ,s = f ∈ Ps Vì vậy, f1 − f2 ∈ Ps , ta xác định f1 với f2 , Lα,q′ ,s (Rn ) n a Lu trở thành khơng gian định chuẩn tuyến tính n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 22 Bổ đề 2.1.9 Cho g ∈ Lloc (Rn ), B hình cầu Rn Khi sup |(PB g) (x)| ≤ x∈B C Z |g(x)|dx |B| B (2.5) Ngoài ra, |g|q ∈ Lloc (Rn ) , ≤ q < ∞, Z q B |(PB g) (x)| dx 1/q ≤C Z q B |g(x)| dx 1/q , số C độc lập với B g Chứng minh Hiển nhiên, bất đẳng thức thứ hai suy từ bất đẳng thức Cho φB l : |l| ≤ s kí hiệu chuẩn Gram- Schmidt n o lu {xα : |α| ≤ s} B trọng 1/|B| Đó là, φB l ∈ Ps , an D E n va B φB ν , φµ ≜ |B| Z B 1, ν = µ, 0, ν ̸= µ B φB ν (x)φµ (x)dx = δνµ = to tn Khơng tính tổng qt, ta giả sử B = B(0, r) Theo đẳng thức trên, ta có p ie gh Z φB(0,r) (ry)φB(0,r) (ry)dy = δνµ µ |B(0, 1)| B(0,1) ν d oa nl w B(0,r) Điều φl lấy C= a lu B(0,1) (x) = φl r−1 x x ∈ B(0, r) Do đó, cách X B(0,1) φ l ∞ |l|≤s , f an nv ta φB l ∞ ≤ C Có thể dễ dàng kiểm tra X oi lm ul (PB g) (x) = B < g, φB l > φl (x) |l|≤s nh Hiển nhiên, bất đẳng thức thứ bổ đề suy trực tiếp từ hai mối z at liên hệ Do đó, bổ đề chứng minh z Một kết khơng gian đối ngẫu H p phát biểu @ gm sau p − Nếu g ∈ L −1,q′ ,s (Rn ) hàm tuyến tính xác định i om h không âm s ≥ n l.c Định lý 2.1.10 Giả sử < p ≤ ≤ q ≤ ∞, p ̸= q, 1/q + 1/q ′ = 1, số nguyên p Z f (x)g(x)dx n va Rn n Lf = a Lu ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 23 bị chặn số tập trù mật Hap,q,s (Rn ) Ngược lại, L hàm tuyến tính bị chặn trên Hap,q,s (Rn ), tồn l ∈ L −1,q′ ,s (Rn ), cho p Z Lf = Rn f (x)l(x)dx, ∀f ∈ Hap,q,s (Rn ) đẳng thức cuối hiểu Lf = lim N →∞ N X λk Z ak (x)l(x)dx = k=1 ∞ X λk ak (x) ∈ Hap,q,s (Rn ) k=1 ′ Chứng minh Đầu tiên, thấy L −1,q′ ,s (Rn ) ⊂ (Hap,q,s ) (Rn ) Cho p g ∈ L −1,q′ ,s (Rn ), a (p, q, s) đủ nhỏ, supp a ⊂ B Khi p lu an Z
Ngày đăng: 22/07/2023, 16:08
Xem thêm: