ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ PHƯƠNG THÙY BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU MOSER TRUDINGER CHO CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG CEGRELL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TR.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ PHƯƠNG THÙY BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU MOSER-TRUDINGER CHO CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG CEGRELL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU MOSER-TRUDINGER CHO CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG CEGRELL Ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU Thái Nguyên, năm 2022 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn "Bất đẳng thức kiểu Moser-Trudinger cho lớp lượng Cegrell" công trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng tơi hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố hình thức trước đây; kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2022 Xác nhận Tác giả luận văn Người hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Đặng Thị Phương Thuỳ i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Thái Nguyên hướng dẫn, bảo tận tình GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn định hướng chọn đề tài tận tình bảo để tơi hồn thành luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phịng Sau đại học, Thầy, bạn học viên với người thân giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Thái Nguyên, 2022 Đặng Thị Phương Thùy ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Phần mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình biến nhiều biến 1.2 Hàm đa điều hòa lớp Cegrell 1.3 Bất đẳng thức Moser-Trudinger Rn 11 Chương Bất đẳng thức Moser-Trudinger Cn 14 2.1 Bất đẳng thức Moser-Trudinger cho hàm đa điều hòa 14 2.2 Bất đẳng thức Sobolev cho hàm delta đa điều hòa 23 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 Lời cam đoan 28 iii Phần mở đầu Bất đẳng thức Moser-Trudinger cho hàm khả vi thực tìm vào năm 70 kỷ trước Đây dạng tới hạn định lý nhúng Sobolev có ứng dụng sâu rộng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng hay hình học vi phân Một hướng nghiên cứu gần đặt thay cho hàm khả vi thực Rn ta xét hàm đa điều hịa miền siêu lồi bị chặn Cn toán tử đạo hàm định lý Moser-Trudinger thay tốn tử Monge-Ampère phức Nội dung luận văn trình bày lại cách chi tiết số kết báo [2] Công cụ tiếp cận (cũng nằm cơng trình nói trên) dựa vào kết cổ điển lý thuyết vị kết hợp với nguyên lý so sánh lớp lượng Cegrell với biểu diễn độ đo Mong-Ampère hàm đa điều hịa radial hình cầu Cấu trúc luận văn bao gồm chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị hàm đa điều hòa dưới, đặc biệt lớp lượng Cegrell Trong chương chúng tơi trình bày lại số nét bất đẳng thức Moser-Trudinger cổ điển lý thuyết hàm thực Chương trình bày đánh giá kiểu Moser-Trudinger cho hàm thuộc lớp lượng Cegrell Chú ý lúc độ đo Monge-Ampère hàm số đóng vai trị gradient hàm số trường hợp biến Bằng phương pháp tương tự chúng tơi tìm số kết cho hàm thuộc lớp δ Cegrell Một toán lớn nhận ý nhiều nhà tốn học tìm ứng dụng bất đẳng thức kiểu Moser-Trudinger vào việc phân loại đa tạp phức Do đề tài không đơn giản pha trộn nhiều kiến thức giải tích phức lý thuyết đa vị phức vốn hiểu biết tơi cịn hạn hẹp nên khơng tránh khỏi thiếu sót trình bày Tơi mong muốn nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, 2022 Đặng Thị Phương Thùy Chương Kiến thức chuẩn bị Chúng ta trình bày số kết hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa với miền siêu lồi Sau đó, ta đề cập tới lớp lượng Cegrell miền siêu lồi bị chặn Ngoài nhắc lại bất đẳng thức Moser-Trudinger cổ điển giải tích thực Những phần lấy tài liệu tham khảo [1] [4] 1.1 Hàm chỉnh hình biến nhiều biến Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định miền D ⊂ C Xét giới hạn: f (z + h) − f (z) , z, z + h ∈ D h→0 h lim Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức f z , ký f (z) Như vậy: f (z + h) − f (z) h→0 h f (z) = lim Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay C-khả vi z Do định nghĩa đạo hàm phức hoàn toàn tương tự với định nghĩa đạo hàm hàm biến thực, ta dễ dàng thiết lập công thức sau Định lý 1.1.2 Nếu f (x) g(x) khả vi phức z0 αf (z)+βg(z), f (z)g(z) f (z)/g(z)(g(z0 ) = 0) khả vi phức z0 với α, β ∈ C và: i (αf + βg) (z0 ) = αf (z0 ) + βg (z0 ) ii (f g) (z0 ) = f (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g (z0 ) iii (f /g) (z0 ) = f (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g (z0 ) g (z0 ) iv Nếu w = f (z) khả vi phức z0 , g(w) khả vi phức w0 = f (z0 ) hàm hợp g· f khả vi phức z0 và: (g ◦ f ) (z0 ) = g (f (z0 ))f (z0 ) Định lý 1.1.3 (Điều kiện Cauchy - Riemann) Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định hàm R2 − khả vi miền D ⊂ C Khi f C− khả vi z0 = x0 + iy0 ∂u ∂x (x0 , y0 ) ∂u ∂y (x0 , y0 ) 1.2 = = ∂v ∂y (x0 , y0 ) ∂v − ∂x (x0 , y0 ) Hàm đa điều hòa lớp Cegrell Chúng ta nhắc lại khái niệm hàm đa điều hòa Đây đối tượng trung tâm lý thuyết đa vị giải tích phức Định nghĩa 1.2.1 Cho D miền mở Cn Một hàm u : D → [−∞, ∞) gọi đa điều hòa nếu: (i) u nửa liên tục trên, tức với a ∈ R tập {u < a} tập mở D; (ii) Hạn chế u lên đường thẳng phức hàm điều hòa biến, i.e., với a ∈ D với b ∈ Cn , hàm biến λ → u(a + λb) điều hòa lân cận ∈ C Dựa vào hàm chỉnh hình ta có ví dụ hàm điều hịa Ví dụ 1.2.2 Cho f (z) = |z|, logf (z) hàm điều hòa Mệnh đề 1.2.3 Cho f hàm chỉnh hình tập mở D Cn Khi u := log |f | đa điều hòa D Chứng minh Lấy đường thẳng phức l tùy ý Cn hạn chế f lên l ∩ D chỉnh hình nên ta cần chứng minh n = Với z0 ∈ D cho f (z0 ) = f = hình trịn U tâm z0 Do f khác không U ta có f = eg với g chỉnh hình U Do log |f | = Reg hàm điều hòa U Mặt khác f (z0 ) = hiển nhiên f thỏa mãn bất đẳng thức trung bình z0 log |f (z0 )| = −∞ Ta chứng minh u điều hòa D Để kiểm tra hàm đủ trơn có đa điều hịa hay khơng, có tiêu chuẩn sau: Mệnh đề 1.2.4 Hàm u khả vi liên tục cấp miền mở D Cn đa điều hòa Hessian phức u nửa xác định dương, tức với t = (t1 , · · · , tn ) ∈ Cn với p ∈ D có ∂ 2u Hu (p, t) := (p)ti tj ≥ ∂z ∂z i j 1≤i,j≤n Tiếp theo ta trình bày ngắn gọn cách xây dựng toán tử Monge-Ampère phức Ký hiệu d := ∂ + ∂, dc := i(∂ − ∂) Mệnh đề 1.1.2 cho ta thấy u đa điều hòa dạng vi phân ddc u ≥ Nhờ tính dương ddc u ta định nghĩa qui nạp (ddc u)n theo cách sau (ddc u)k := ddc (u(ddc u)k−1 ), ≤ k ≤ n Tính chất quan trọng tốn tử Monge-Ampère nguyên lý so sánh sau chứng minh Bedford Taylor vào đầu năm 80 kỷ trước Định lý 1.2.5 Cho u, v hàm đa điều hòa bị chặn miền mở bị chặn D ⊂ Cn Giả sử u, v thỏa mãn điều kiện lim (u(z) − v(z)) ≥ z→∂D Chương Bất đẳng thức Moser-Trudinger Cn Trong chương chúng tơi trình bày bất đẳng thức Moser-Trudinger cho hàm đa điều hịa sau hàm delta đa điều hịa Cơng cụ chúng tơi nguyên lý so sánh lớp lượng Cegrell định lý tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère Ngồi phần chương, chúng tơi cịn sử dụng số kiến thức giải tích hàm liên quan đến tính compact tốn tử từ nón lồi vào khơng gian véctơ 2.1 Bất đẳng thức Moser-Trudinger cho hàm đa điều hòa Ta bắt đầu kết sau chặn tích phân dạng e−u với u thuộc lớp lượng Cegrell thích hợp Định lý 2.1.1 Cho D miền siêu lồi bị chặn Cn p ≥ 1.Khi tồn số dương A(p, n, D) B(p, n, D) cho với u ∈ Ep (D) ˆ e−u dλ2n ≤ A(p, n, D) + B(p, n, D)ep (u)1/p log D Chứng minh Trước hết ta giả sử u ∈ E0 (D) ∩ C(D.) Khi theo kết tồn nghiệm phương trình Monge-Ampère với điều kiện 14 tồn nghiệm, ta tìm w ∈ E0 cho (ddc w)n = (−u)p (ddc u)n Thật dễ thấy u := cu nghiệm phương trình c > đươc chọn thích hợp, tức (ddc u )n ≥ (−)p (ddc u)n với c > đủ lớn Bất đẳng thức then chốt cho toàn chứng minh: Với t > ta có u ≥ t−p/n w − t (2.1) Để thấy điều này, ta nhận xét tập hợp {z ∈ D : u(z) ≥ −t} ta có đánh giá u(z) ≥ −t ≥ t−p/n w − t Bởi u ∈ E0 (D) nên lim u(z) = Điều có nghĩa z→∂D Dt := {z : u(z) < −t} compact tương đối D, tập ta có đánh giá (ddc u)n ≤ (−u)p (ddc u)n = (ddc w)n Chuyển vế bất đẳng thức ta nhận (ddc u)n ≤ t−p (ddc w)n = (ddc (t−p/n w − t))n Cũng ý lim (u(z) − t−p/n w(z) + t) ≥ z→∂Dt Sử dụng nguyên lý so sánh Bedford-Taylor ta nhận (2.1) 15 Tiếp theo ta cố định ε ∈ (0, 1) chọn t := ep (u) εn (2n)n Với cách chọn t ta có ˆ ˆ (ddc t−p/n w)n = t−p (−u)p (ddc u)n D D −p = t ep (u) = εn (2n)n Như ta áp dụng Hệ 5.2 [2] cho hàm t−p/n w để nhận đánh giá ˆ ˆ −p/n −u log e dλ2n ≤ log e−t w et dλ2n D D ≤ log ep (u)1/p εn 2n d(D) + π + β(n) (n − εn)n (2εn)n/p n Cuối ta xét trường hợp tổng quát u ∈ Ep (D) Khi lấy ρ ∈ E0 (D) hàm vét cạn D Ta đặt uj := max{u, jρ} Theo nguyên lý so sánh uj ∈ E0 (D) ∩ C(D) uj ↓ u Theo định lý hội tụ đơn điệu lớp lượng Cegrell ta có ep (uj ) → ep (u) j → ∞ Áp dụng chứng minh trước cho uj cho j → ∞ với ý hệ số tuyến tính vế phải khơng phụ thuộc vào j ta có bất đẳng thức cần chứng minh Kết sau cho chặn số B(p, n, D) Định lý 2.1.2 Cho D miền siêu lồi bị chặn Cn , n ≥ Ký hiệu B(p, n, D) số xuất Định lý 2.1.1 Khi ta có đánh giá p ≤ B(p, n, D) (4π)n/p (n + p)1+n/p Chứng minh Bằng phép tịnh tiến ta coi ∈ D Ký hiệu g 16 hàm Green với cực Với số β < ta xét hàm sau u(z) := (2n + 2p) max{g(z), β} Do (ddc g)n = δ0 nên ta có ˆ ep (u) = (−u)p (ddc u)n = (2π)n (2n + 2p)p+n (−β)p D Bước quan trọng đánh giá tích phân sau ˆ e−u dλ2n D Muốn ta chọn r > đủ bé số C > đủ lớn cho với |z| < r ta có log |z| − C ≤ g(z) ≤ log |z| + C Lấy β < β1 < cho {g < β1 } ⊂ B(0, r) Khi ta có bao hàm thức B(0, eβ−C ) ⊂ {z ∈ D : g(z) < β} ⊂ B(0, eβ+C ) Như ta tính tích phân cách chia hai tích phân thành phần ˆ ˆ e−u dλ2n = D ˆ e−(2n+2p)β dλ2n + {g A > tồn số B cho với t ≥ ta có Atα + B ≥ t Trên thực tế ta chọn B= α−1 (αA) 1−α α Chứng minh Với t ≥ đặt f (t) = Atα − t Khi f đạt cực tiểu t0 = (αA) 1−α Như f = [0,∞) 1−α (αA) 1−α = −B α Vậy ta có điều phải chứng minh Bổ đề sau cho biểu diễn độ đo Monge-Ampère hàm đa điều hòa radial Bổ đề 2.1.4 Cho u ∈ E0 (B) hàm radial Khi ˆ 1 u˜(r) = − F (t)1/n dt, t r F (t) := (ddc u)n (B(0, t)) n (2π) Chứng minh Bằng cách lấy tích chập u ˜ với nhân trơn chuẩn tắc ta nhận dãy hàm đa điều hòa radial uj hội tụ giảm 19 u Khi với ≤ r ≤ s ≤ − 1/j ta có ˆ s u˜j (r) − u˜s (r) = − Fj (t)1/n dt, t r Fj (t) := (ddc uj )n (B(0, t)) n (2π) Do F hàm tăng [0, 1) nên F khả vi hầu khắp nơi Nếu F khả vi t0 ta có ¯ (0, t)) (ddc u)n (B(0, t)) = (ddc u)n (B Theo định lý hội tụ đơn điệu Bedford-Taylor, ta có (ddc uj )n hội tụ yếu ∗ tới (ddc u)n Bởi ta có ¯ (0, t)) ≤ (ddc u)n (B ¯ (0, t)) lim (ddc uj )n (B j→∞ ¯ (0, t)) = (ddc u)n (B ¯ (0, t)) ≤ lim (ddc uj )n (B j→∞ Điều có nghĩa Fj → F hầu khắp nơi [0, 1) Theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có u˜(r) − u˜(s) = lim (˜ uj (r) − u˜j (s)) j→∞ ˆ s = lim − Fj (t)1/n dt j→∞ t ˆ s r = − F (t)1/n dt t r Cho s ↑ ta có điều phải chứng minh Kết lượng hàm đa điều hịa radial cơng cụ then chốt cho chứng minh định lý lại phần Bổ đề 2.1.5 Cho p > u(z) = u(|z|) = u ˜(t) hàm radial đa điều hòa thỏa mãn điều kiện lim u(z) = u ∈ Ep Khi ta có z→∂ B ˆ n (−˜ u(t))p−1 u (t)n+1 tn dt ep (u) = (2π) p 20 Chứng minh Do u hàm radial đa điều hòa dưới, nên theo Bổ đề 2.1.4 ta có F (t) := (ddc u)n (B(0, t)) = tn u˜ (t)n (2π)n Trong u ˜ đạo hàm trái hàm lồi u˜ Với t ≥ ta có {z ∈ B : u(z) ≤ −t} = B(0, s), s := u˜−1 (−t) Bây ta áp dụng công thức sau đây: Với hàm đo f ∈ Lp (X, µ), µ độ đo dương tập X ⊂ Cn ta có ˆ ˆ ∞ p |f | dµ = p tp−1 µ{x ∈ X : |f (x)| ≥ t}dt X Áp dụng cơng thức cho µ = (ddc u)n f = −u ta có ˆ ep (u) = (−u)p (ddc u)n Bˆ m =p tp−1 (ddc u)n ({z ∈ B : u(z) ≤ −t}) ˆ m n = p(2π) tp−1 F (˜ u−1 (−t))dt ˆ0 = p(2π)n (−˜ u(s))p−1 u˜ (s)n+1 sn ds, m := − inf u Ta có điều phải chứng minh Đối với hàm radial đa điều hòa hình cầu đơn vị ta có đánh giá kiểu Moser-Trudinger sau Định lý 2.1.6 Cho u hàm đa điều hòa radial thỏa mãn u ∈ Ep (B) lim u(z) = Khi tồn số d > không phụ thuộc u cho z→∂ B ˆ −u log e dλ2n B ep (u)pp−1 ≤d+ (4π)n (n + 1)n+1 (n + p)p−1 Đặc biệt ta có đánh giá pp−1 B(p, n, B) ≤ (4π)n (n + 1)n+1 (n + p)p−1 21 1/p 1/p Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.4 ta có ˆ ep (u) = (2π)n p (−˜ u(t))p−1 u (t)n+1 tn dt ˆ n n+p (2π) p(n + 1)n+1 n+1 ) = − (−˜ u (t) (n + p)n+1 Đặt (2π)n p(n + 1)n+1 a := ep (u)(n + p)n+1 n+1 tn dt n+p xác định hàm số n+p v(t) := −(−a˜ u(t)) n+1 , ≤ t < Khi v hàm đơn điệu tăng thỏa mãn v(t) → t → Hơn ta có ˆ (v (s))n+1 sn ds ≤ Bây ta lại áp dụng bất đẳng thức cổ điển Moser-Trudinger để nhận ˆ 2n(−v(s)) e n+1 n ˆ s 2n−1 e2n(−˜u(s)x) ds = n+p n s2n−1 ds ≤ 0 c , 2n c > không phụ thuộc vào u Sử dụng Bổ đề 2.1.3 ta có −˜ u(s) ≤ 2n(−˜ u(s)x) n+p n := 2n(−˜ u(s)x) Cuối ta có ˆ e−u dλ2n B n+p n + ep (u)pp−1 (4π)n (n + 1)n+1 (n + p)p−1 + y ˆ 2π n = e−˜u(s) s2n−1 ds (n − 1)! ˆ n+p 2π n +y ≤ e2n(−˜u(s)x) n s2n−1 ds (n − 1)! 2π n c ≤ y, (n − 1)! 2n 22 1/p hay cách tương đương ˆ ep (u)pp−1 πnc −u log + e dλ2n ≤ log n! (4π)n (n + 1)n+1 (n + p)p−1 B 1/p Đây điều cần phải chứng minh 2.2 Bất đẳng thức Sobolev cho hàm delta đa điều hòa Trong phần cuối luận văn, đề cập tới dạng bất đẳng thức Sobolev cho hàm hiệu hai hàm đa điều hòa với lượng hữu hạn Cụ thể ta xét không gian véctơ δEp := Ep − Ep Ta trang bị cho δEp chuẩn |||u|||p := inf{ep (u1 + u2 ) n+p : u1 − u2 = u, u1 , u2 ∈ Ep } Định lý 2.2.1 Cho D miền siêu lồi bị chặn Cn u ∈ δEp , p > Khi với q > tồn số C(p, q, n, D) > cho u q ≤ C(p, q, n, D)|||u|||p Chứng minh Ta bắt đầu với trường hợp u ∈ Ep Với t, s > ta đặt ˆ e−tu dλ2n f (t) : = D λ(s) : = λ2n ({z ∈ D : u(z) < −s}) Khi theo Định lý 2.1.1 ta tìm số A, B > không phụ thuộc u cho A Bt f (t) ≤ e e n+p p e (u)1/p p 23 = Ceg(t) , g(t) := Bt n+p p ep (u)1/p Ta ý đánh giá sau đây: ˆ λ(s) ≤ e−st e−tu dλ2n {u phụ thuộc vào n, p, q cho ep (u) n+p ≤ C u Lq với u ∈ Ep (B) Chứng minh Xét dãy hàm số xác định B sau max{log |z|, −j 1+n/p } j uj (z) := Khi ta có uj (z) = Điều dẫn tới uj Lq j log |z| e−j 1+n/p ≤ |z| ≤ ≤ |z| ≤ e−j −j n/p 1+n/p → j → ∞ với q > Tuy nhiên ta lại có ep (u) = j n+p (2π)n (j 1+n/p )p = (2π)n Tức khơng có số C để ep (uj ) n+p ≤ C uj 25 Lq ∀j Kết luận Trong luận văn này, tơi trình bày lại số kết báo [2] dạng bất đẳng thức Moser-Trudinger cho hàm đa điều hòa đelta đa điều hòa miền siêu lồi bị chặn Cn Đóng góp chủ yếu là: 1) Cho chặn tích phân dạng e−u với u thuộc lớp lượng Cegrell thích hợp (Định lý 2.1.1) 2) Cho chặn số cốt yếu chặn cho Định lý 2.1.1 (Định lý 2.1.2) 3) Trình bày đánh giá kiểu Moser-Trudinger cho hàm delta đa điều hòa (Định lý 2.2.1) Phương pháp chứng minh kết dựa vào kết cổ điển lý thuyết vị kết hợp với nguyên lý so sánh lớp lượng Cegrell với biểu diễn độ đo Mong-Ampère hàm đa điều hòa radial hình cầu 26 Tài liệu tham khảo [1] N.Q Dieu L.M Hai, Cơ sở Lý thuyết đa vị, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2014 ă [2] P Ahag and R Czyz, On the Moser-Trudinger inequality in complex space , Journal of Mathematical Analysis and Applications, 479 (2019), 1456-1474 [3] U Cegrell, Pluricomplex energy, Acta Math 180 (1998), no 2, 187-217 [4] J Moser, A sharp form of an inequality by N Trudinger, Indiana Univ Math J 20 No 11 (1971) , 1077-1092 27 Lời cam đoan Tôi cam đoan thực việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung luận văn qua phần mềm Turnitin cách trung thực đạt kết mức độ tương đồng 17% Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm cứng nộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tơi hồn toàn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2022 TÁC GIẢ CỦA SẢN PHẨM HỌC THUẬT Đặng Thị Phương Thuỳ 28