Bài tập hệ thức lượng trong ta giac vuông

Bài 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Cho tam giác vuông tại có đường cao Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn nếu biết: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Bài 2. Cho tam giác vuông tại có đường cao Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn nếu biết: 1. 2. 3. 4. 5. 6. (với là độ dài cho trước, ). Bài 3. Cho tam giác vuông tại có đường cao Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn nếu biết: 1. 2. 3. 4. 5. (với là độ dài cho trước, ). 6. (với là độ dài cho trước, ).

HỌC HÌNH HỌC GV: Lê Xuân Thương Bài HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Hãy tính độ dài đoạn BH , CH , AH , AC biết: AB 6cm; BC 10cm AB 20cm; BC 25cm AB 12cm; BC 13cm AB 5cm; BC 1dm AB  3cm; BC 2cm AB 2 2cm; BC 4cm Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Hãy tính độ dài đoạn BC , AH , BH , CH biết: AB 3cm; AC 4cm AB 12cm; AC 9cm AB 12cm; AC 5cm AB  2cm; AC  2cm AB  3cm; AC 1cm AB 3a; AC 4a (với a độ dài cho trước, a  ) Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Hãy tính độ dài đoạn AH , BC , AB, AC biết: BH  2cm; CH  2cm BH 9cm; CH 16cm BH 1cm; CH 3cm BH 25cm; CH 144cm BH 16a; CH 9a (với a độ dài cho trước, a  ) BH 144a, CH 25a (với a độ dài cho trước, a  ) Bài Cho tam giác DEF vng D có DI đường cao Tính độ dài DI biết: DE 15cm, DF 20cm DE 1cm, DF 1cm DE 7cm, DF 24cm DE 12cm, EF 15cm DF  3cm, EF 2cm EI 9cm, EF 25cm LUYỆN TẬP Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Hãy điền số thích hợp vào trống (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm trịn kết đến chữ số hàng phần trăm) AC BC CH AB AH BH 12 24 HỌC HÌNH HỌC GV: Lê Xuân Thương 40 20 60 84 29 61 85 3,2 1,96 16 1,8 23,04 Bài Giả sử tam giác ABC khơng có góc tù Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông biết: AB 6cm, AC 8cm, BC 10cm AB 15cm, AC 20cm, AH 12cm AH 12cm, BH 16cm, CH 9cm AH 30cm, BH 36cm, CH 25cm AB 2cm, BH 1cm, BC 4cm AC 24cm, BH 1,96cm, BC 25cm Bài Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Gọi M N hình chiếu H lên AB AC Chứng minh rằng: AB AM  AC AN Bài Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh rằng: AB  AC BH  CH Bài Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD O Chứng minh rằng: AB  BC  CD  DA2 2  OA2  OB  OC  OD  2 2 AB  CD  AD  BC Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A Từ trung điểm D cạnh AC kẻ DE vng góc với BC E Chứng minh rằng: 2 2 2 BE  CE BD  CD AB BE  CE Bài 11 Cho tam giác ABC có góc nhọn Lấy O điểm tùy ý miền tam giác Kẻ OH , OK , OL vng góc với AB, BC , CA H , K , L Chứng minh rằng: 2 2 2 2 AH  BK  CL OA  OB  OC  OH  OK  OL 2 2 2 AH  BK  CL  AL  BH  CK Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh rằng: BC 2 AH  BH  CH Bài 13 Cho tam giác ABC cân A, đường cao CD Chứng minh HỌC HÌNH HỌC GV: Lê Xuân Thương AB  BC  AC BD  AD  3CD Bài 14 Cho tam giác ABC vuông A Gọi a, b, c chiều dài cạnh BC , CA, AB Chứng minh: S ABC   a  b  c  b  c  a S ABC   a  c  b  a  b  c Bài 15 Cho tam giác ABC vuông cân A điểm M thuộc cạnh BC Kẻ ME , MF vuông góc với AB, AC E F Chứng minh rằng: 2 2 2 BM 2ME CM 2MF BM  CM 2 AM Bài 16 Cho hình vng ABCD điểm M thuộc cạnh BC Kéo dài AM cắt tia DC N Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia CB E Chứng minh rằng: 1   2 AM AN AE  AN AB Bài 17 Cho tam giác ABC cân A, có đường cao AH BK Qua B kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt tia đối tia AC D Chứng minh rằng: 1  2 BC AH 2 BK BD 2 AH BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 18 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH đường trung tuyến AM Hãy tính độ dài đoạn AM , HM , BH , CH , AB, AC biết: AH 4,8cm, BC 10cm AH 12cm, BC 25cm AH  3cm, BC 4cm AH 6cm, BC 13cm Bài 19 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Đặt BH  x Hãy tính x, suy độ dài đoạn AB, AC biết: AH 2, 4cm; BC 5cm AH 1cm; BC 2cm AH 2cm; BC 5cm AH 6,72cm; BC 25cm Bài 20 Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Đặt BH  x Hãy tính x, suy độ dài đoạn AH , AC biết: AB 3cm; CH 3, 2cm AB 6cm; CH 3 2cm AB 60cm; CH 27cm AB 1cm; CH 1,5cm HỌC HÌNH HỌC GV: Lê Xuân Thương Bài 21 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a  điểm A di động  cho BAC 90 Kẻ AH vng góc với BC H Gọi HE HF đường cao tam giác ABH tam giác ACH 2 2 Chứng minh rằng: BC 3 AH  BE  CF 2 Tìm điều kiện tam giác ABC để tổng BE  CF đạt giá trị nhỏ Bài 22 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a  điểm A di động  cho BAC 90 Kẻ AH vng góc với BC H Gọi HE HF đường cao tam giác ABH tam giác ACH Đặt AH  x Chứng minh rằng: AH BC.BE.CF BC.HE.HF Tính SAEF theo a x S Tìm x để AEF đạt giá trị lớn Bài 23 Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Gọi E , F hình chiếu vng góc H cạnh AB, AC Đặt BC 2a với a  BH CH BE  ; CF  BC BC Chứng minh rằng: 2 Tính giá trị BE  CF theo a Bài 24 Cho tam giác ABC có trực tâm H 2 2 2 Chứng minh: AB  HC  AC  HB BC  HA Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh: AB.HC  BC.HA  CA.HB 4S Bài 25 Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM BN Biết rằng: AM 6cm; BN  61cm Bài 26 Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM BN Biết rằng: AM 2,5cm; CN 4cm Bài 27 Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM BN vng góc với Biết rằng: AB x với x  Tính AC BC theo x Bài 28 Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM BN Biết rằng: BM  73cm, CN 2 13cm Tính độ dài cạnh AB, AC Bài 29 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a  điểm A di động  cho BAC 90 Gọi BM CN đường trung tuyến tam giác ABC HỌC HÌNH HỌC GV: Lê Xuân Thương 2 Chứng minh rằng: BM  CN 5a Tìm điều kiện tam giác ABC để tổng BM  CN đạt giá trị lớn Bài 30 Cho tam giác ABC vng A có BD dường phân giác Biết AD 4 x, CD 5 x với x  Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC theo x Bài 31 Cho tam giác ABC vng A có AD đường phân giác Biết BD 15 x, CD 20 x với x  Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC theo x Bài 32 Cho tam giác ABC vng A có BD đường phân giác AM đường trung tuyến Biết AM  BD, BD 2 3x với x  Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC Bài 33 Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác AD Đặt BD  x, CD  y với x, y  Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC theo x y Bài 34 Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác AD Đặt AD  x, CD  y với y  x  Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC theo x y AD t AB  t   Bài 35 Cho hình chữ nhật ABCD với Lấy điểm M cạnh BC Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD P Đường thẳng EF vng góc  với AM cắt AB E cắt CD F Đường phân giác DAM cắt CD K Chứng minh rằng: 1 t2   AM AP 2 AB EF tBM  DK  Bài 36 Co hình thoi ABCD với BAD 120 Tia Ax tạo với tia AB góc 15 cắt cạnh BC M , cắt đường thẳng CD N Chứng minh rằng: 1   2 AM AN AB Bài 37 Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH BK Chứng minh: 1   BK BC AH Bài 38 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Đặt BH  x, BC a, AC b, AB c, p  a b c Chứng minh rằng: HỌC HÌNH HỌC GV: Lê Xuân Thương a  b2  c x 2a 1 S ABC  a 2b  b 2c  c a  a  b  c  S  p p a   p b  p c     ABC Bài 39 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH đường trung tuyến AM , BN , CP Đặt AM ma , BN mb , CP mc Tính x theo a, b, c BH  x, BC a, AC b, AB c, p a b c , 2b  2c  a m  2 a 2 Tính ma  mb  mc theo a, b, c Tính a, b, c theo ma , mb , mc ABC  AC  AB  , Bài 40 Cho tam giác trung tuyến AM , đường cao AH Chứng minh rằng:  a AMB góc nhọn, AMC góc tù 2 2 2 b BH BM  BM MH  MH ; CH CM  2CM MH  MH BC AB  AC   AM ; AC  AB 2 BC.MH c Bài 41 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH đường phân giác AD Đặt 2 BH  x, BC a, AC b, AB c, p  a b c Tính x, BD, CD theo a, b, c l0  bcp  p  a  bc Chứng minh rằng: Bài 42 Cho tam giác ABC Trên nửa đường thẳng thuộc đường trng trực cạnh BC , AC , AB miền tam giác lấy điểm A1 , B1 , C1 Từ A kẻ Ax vng góc với B1C1 D, từ B kẻ By vng góc với A1C1 E , từ C kẻ HỌC HÌNH HỌC GV: Lê Xn Thương Cz vng góc với A1B1 F Gọi O giao điểm By Cz Kẻ OH vng góc với B1C1 Chứng minh rằng: OC12  OA12 BC12  BA12  EC12  EA12  OB12  OA12 CB12  CA12  FB12  FA12  OC12  OB12 BC12  CB12   AC12  AB12  2 DC  DB OC  OB ; HC  HB  AC1  AB1 2 2 2 Bài 43 Ax, By, Cz đòng quy điểm Cho đường trịn tâm O, bán kính R, đường kính AB Lấy điểm M tùy thuộc  O  Vẽ MH vng góc với AB H Hãy xác định vị trí M  O  cho tổng độ dài OH  MH lớn