Chữỡng 2-3: Bián Ngău Nhiản V Mởt Số PhƠn Phối Thỉng Dưng Ng y 29 th¡ng 10 n«m 2021 Cho bián ngău nhiản X cõ hm mêt ở: ( a cos(2x) f (x) = n¸u x ∈ 0; π4 x ∈ / 0; π4 X¡c ành gi¡ trà cõa a (a) Gi£i (b) Ta câ (c) Z +∞ 1= π/4 Z f (x)dx = −∞ (d) a cos(2x)dx =⇒ a = 2 Trång l÷đng (kg) cõa c¡c bao gÔo mởt nh mĂy õng tỹ ởng l bián ngău nhiản X cõ hm mêt ở ( náu x < f (x) = n¸u x ≥ x2 Tẵnh t lằ bao gÔo cõ trồng lữủng dữợi 6kg (a) 0.4 GiÊi (b) 0.5 Ta cõ (c) 0.2 Z P (X < 6) = (d) 0.1 Z f (x)dx = −∞ dx = 0.5 x2 Cho X, Y l bián ngău nhiản ởc lêp, biát E(X) = 2, Var(X) = 4, E(Y ) = 3, Var(Y ) = 10 T¼m E((3X + 4Y )2 ) (a) 340 Gi£i (b) 77 (c) 520 (d) 18 Ta câ Var(X) = E [X ] − (E[X])2 =⇒ E[X ] = Var(Y ) = E [Y ] − (E[Y ])2 = E[Y ] = 19 Nhữ vêy E (3X + 4Y )2 = E 9X + 16Y + 24XY = 9E X + 16E Y + 24E[X]E[Y ] = · + 16 · 19 + 24 · · = 520 Cho bián ngău nhiản X cõ hm mêt ở xĂc su§t l ( x x ∈ [10, 20] f (x) = 150 x ∈ / [10, 20] T½nh E(X) v Var(X) (a) 140/9; 8.02 Gi£i (b) 75/3; 7.02 (c) 140/9; 7.02 (d) 75/3; 8.02 Ta câ E(X) = R +∞ −∞ xf (x) = R 20 10 x· x dx 150 140 = Var(X) = E(X ) − [E(X)]2 = 8.02 Cho bián ngău nhiản liản tửc X cõ hm mêt ở xĂc suĐt l ( 6x2 23 náu x [1/2, 1] f (x) = n¸u x ∈ / [1/2, 1] Tẵnh ký vồng cừa bián ngău nhiản Y = (a) Gi£i X2 (b) 27 Ta câ (c) 10 E(Y ) = E X2 Z = 2 x2 (d) 6x − 2 dx = Cho Ôi lữủng ngău nhiản rới rÔc cõ bÊng phƠn phối xĂc suĐt: X=x P (X = x) 0.2 m − 2m 0.1 X¡c ành m v E(X) (a) 0.2; 2.8 Gi£i (b) 0.3; 2.4 (c) 0.15; (d) 0.25; 2.6 Ta câ m = 0.3 E(X) = · 0.2 + · 0.3 + · 0.4 + · 0.1 = 2.4 Bián ngău nhiản X cõ bÊng phƠn phối xĂc suĐt: X=x -2 P (X = x) 0.05 -1 0.15 0.25 0.35 0.2 T¼m ph÷ìng sai cõa X (a) 2.01 Gi£i Ta câ (b) 1.564 (c) 4.652 (d) 3.552 Var(X) = E(X ) − [E(X)]2 = 2.5 − (0.7)2 = 2.01 Page ( Cho bián ngău nhiản X cõ hm mêt ë x¡c su§t f (x) = x ∈ [1, 2] , tr½nh trung cõa x ∈ / [1, 2] x2 X (a) 1/3 Gi£i (b) 4/3 (c) 3/4 (d) 1/2 Theo ành ngh¾a ta câ Z m Z f (x)dx = 0.5 ⇐⇒ Med(X) = m ⇐⇒ F (m) = −∞ m dx = 0.5 =⇒ m = x Vªy trung v Med(X) = 43 Cho bián ngău nhiản X cõ phƠn phối nh thực, X B(10, p) X¡c ành p º P (X ≥ 1) = 0.95 (a) 0.26 Gi£i (b) 0.18 (c) 0.74 (d) 0.82 Ta câ P (X ≥ 1) = 0.95 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ − P (X < 1) = 0.95 P (X < 1) = 0.05 P (X = 0) = 0.05 0 C10 p (1 − p)10 = 0.05 p = 0.26 10 T lằ bÔch cƯu Ăi kiÃm cừa ngữới bẳnh thữớng p = 0.005 náu ám 100 bÔch cƯu tẵnh xĂc suĐt gp mởt bÔch cƯu Ăi kiÃm (a) 0.007 (b) 0.3044 (c) 0.05 (d) 0.003 Gồi X l số bÔch cƯu Ăi kiÃm 100 bÔch cƯu Ta cõ X B(n = 100, p = 0.005), nhữ vêy P (X = 1) = 0.3044 GiÊi 11 Bưn viản Ôn vo bia, xĂc suĐt trúng bia cừa mội viản Ôn l 0.7 Bia s b họng náu cõ ẵt nhĐt viản trúng Tẵnh xĂc suĐt bia khổng b họng, biát rơng cĂc lƯn bưn ởc lêp nha (a) 0.1267 (b) 0.0638 (c) 0.0705 (d) 0.2525 Gåi X l sè vi¶n Ôn trúng bia = X B(6, 0.7) XĂc suĐt º bia khæng bà häng P (X < 3) = P (X ≤ 2) = 0.0705 Gi£i 12 Mët ng÷íi b¡n h ng méi ng y b¡n ð nìi kh¡c nhau, xĂc suĐt mội nỡi bĂn ữủc hng l 0.3 Cho biát mội nỡi bĂn ữủc hng lÂi ữủc 50.000 Tẵnh số tiÃn lÂi trung bẳnh mội ngy cừa ngữới n y (a) 15.000 Gi£i 1.5 (b) 250.000 (c) 75.000 (d) 150.000 Gåi X l sè nìi b¡n ÷đc h ng mët ng y =⇒ X ∼ B(5, 0.3) =⇒ E(X) = ì 0.3 = Số tiÃn lÂi trung bẳnh mội ngy = Trung bẳnh số nỡi bĂn ữủc hng mởt ngy ì TiÃn lÂi bĂn ữủc hng mội nỡi = 1.5ì 50.000 = 75.000 13 Cho bián ngău nhiản X cõ phƠn phối Poisson vợi tham số = Tẵnh xĂc suĐt P (X = 2) (a) 0.298 Gi£i P (X = 2) = (b) 0.271 e−2 22 2! (c) 0.021 = 0.271 Page (d) 0.042 14 Cho X ∼ P (3.5) T½nh P (X < 3) (a) 0.52 Gi£i (b) 0.42 (c) 0.32 P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = (d) 0.12 P2 k=0 e−3.5 3.5k k! = 0.32 15 Sè cc gåi ¸n têng i l bi¸n ngău nhiản cõ phƠn phối Poisson Biát rơng phút trung bẳnh cõ cuởc gồi án tờng i Tẵnh xĂc suĐt phút cõ cuởc gồi ¸n têng i (a) 0.0446 Gi£i (b) 0.0892 (c) 0.0631 (d) 0.0326 Gåi X l sè cuëc gåi ¸n têng i =⇒ X ∼ P (λ) M°t kh¡c, E(X) = λ = X¡c su§t câ cc gåi ¸n têng i l P (X = 3) = e−6 ×63 3! = 0.0892 16 Cho X ∼ N (1, 4) T½nh P (X < 1) (a) Gi£i (b) 0.2 (c) 0.5 (d) 0.1 (c) 0.954 (d) 0.238 P (X < 1) = 0.5 17 Cho X ∼ N (200, 4) T½nh P (194 < X < 206) (a) 0.524 Gi£i (b) 0.9973 P (194 < X < 206) = 0.9973 18 Kh£o s¡t mởt lổ thuốc viản, trồng lữủng trung bẳnh cừa mởt viản thuốc l 252.6 mg v cõ ở lằch chuân 4.2 mg GiÊ sỷ trồng lữủng phƠn phối theo qui luêt chuân T lằ viản thuốc cõ trồng lữủng lợn hìn 260 mg l (a) 0.0390 Gi£i (b) 0.6587 (c) 0.8413 (d) 0.3249 Gồi X l trồng lữỡng viản thuốc, ta câ X ∼ N (252.6, 4.22 ) Vªy P (X > 260) = 0.0390 19 Cho bián ngău nhiản X cõ phƠn phối chuân X N (a, 0.25) Biát rơng P (X > 12) = 0.34 hÂy xĂc ành a (a) 12.6 Gi£i (b) 13.9 V¼ X ∼ N (a, 0.25), ta câ Z = (c) 17.3 X−a √ 0.25 (d) 11.8 ∼ N (0, 1) P (X > 12) = 0.34 ⇐⇒ − P (X ≤ 12) = 0.34 ⇐⇒ P (X ≤ 12) = 0.66 12 − a X −a ≤ √ = 0.66 ⇐⇒ P √ 0.25 0.25 12 − a ⇐⇒ P Z ≤ √ = 0.66 0.25 12 − a =⇒ √ = 0.41 0.25 =⇒ a = 11.8 20 Bi¸t X ∼ N (0, 1) v P (0 < X < a) = 21.57% T¼m a (a) 0.77 (b) 0.67 (c) 0.47 Page (d) 0.57 Gi£i Ta câ P (0 < X < a) = 0.2157 ⇐⇒ P (X < a) − P (X < 0) = 0.2157 ⇐⇒ P (X < a) = 0.7157 =⇒ a = 0.57 21 Bi¸t X ∼ N (10, 4) T½nh P (|X − 10| < 2.7) (a) 0.41149 Gi£i (b) 0.08851 (c) 0.82298 (d) 0.91149 Ta câ P (|X − 10| < 2.7) = P (7.3 < X < 12.5) = 0.82298 22 Cho Z ∼ N (0, 1) T½nh z0.01 v z0.05 (a) 2.33; 1.64 (b) 1.64; 2.33 (c) 3.33; 2.64 Answer Key: (c) 2 (b) 0.5 (c) 520 (a) 140/9; 8.02 (d) (b) 0.3; 2.4 (a) 2.01 (b) 4/3 (a) 0.26 10 (b) 0.3044 11 (c) 0.0705 12 (c) 75.000 13 (b) 0.271 14 (c) 0.32 15 (b) 0.0892 16 (c) 0.5 17 (b) 0.9973 18 (a) 0.0390 19 (d) 11.8 20 (d) 0.57 21 (c) 0.82298 22 (a) 2.33; 1.64 Page (d) 2.64; 3.33