(Luận văn) nghiệm yếu của phương trình kiểu schrodinger kirchhoff chứa toán tử p laplace phân thứ trên rn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY lu an va n NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH gh tn to KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TOÁN TỬ p ie P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2020 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY lu an n va NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH tn to KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TOÁN TỬ p ie gh P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN w Ngành: Tốn Giải tích d oa nl Mã số: 8460102 nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Thin m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2020 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc lu an va n Thái Nguyên, tháng năm 2020 to p ie gh tn Người viết luận văn w d oa nl Nithsavad VONGSY Vasia VAYINGTUVUE an lu Xác nhận nf va Xác nhận người hướng dẫn khoa học z at nh oi lm ul Trưởng khoa Toán z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thìn Thầy tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Một lần xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy! Đồng thời, lu an xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ Nhiệm khoa Tốn thầy tổ n va Bộ mơn Giải tích tạo điều kiện cho làm luận văn, quan tâm Thái Nguyên, tháng 86 năm 2020 p ie gh tn to đơn đốc tơi q trình làm luận văn nl w d oa Nithsavad VONGSY nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục Mở đầu 1 Nghiệm yếu ca phng trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff lu an 1.1 Giới thiệu toán số kết bổ trợ 1.2 Sự tồn nghiệm yếu cho phương trình kiểu Schrăodinger- n va cha toỏn t p-Laplace phõn th vi đại lượng nhiễu tn to Kirchhoff không chứa toán tử p-Laplace phân 12 ie gh thứ RN p Nghiệm yếu phng trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff Phng trỡnh khụng suy bin kiu Schrăodinger-Kirchhoff dng d 2.1 29 oa Hardy nl w chứa toán tử p-Laplace phân thứ, số mũ tới hạn đại lượng lu 2.2 nf va an chứa toán tử p-Laplace phân thứ đại lượng Hardy 29 Phng trỡnh suy bin kiu Schrăodinger-Kirchhoff dừng chứa Kết luận z at nh oi lm ul toán tử p-Laplace phân thứ số mũ tới hạn 41 49 Tài liệu tham khảo 50 z m co l gm @ an Lu n va ac th iii si Mở đầu Lý chọn luận văn Trong thời gian gần đây, nhà toán học dành quan tâm nghiên cứu toán tử khơng địa phương loại elliptic ứng dụng tốn tối ưu, tài chính, học lượng tử, khoa học vật liệu Toán tử Laplace thứ lu an dạng mở rộng toán tử Laplace, định nghĩa thơng qua tích phân n va kỳ dị cung cấp mơ hình đơn giản để mơ tả trình Lévy p-Laplave phân thứ.Với s ∈ (0, 1) hàm u ∈ Ln (RN ), n > 2s, tốn tử Laplace thứ (−∆)s u định nghĩa Z u(x) − u(y) s (−∆) u(x) = C(n, s) lim dy), ε→0 |x − y|n+2s p ie gh tn to lý thuyết xác suất Một mở rộng toán tử Laplace thứ toán từ w oa nl RN \B(x,ε) d C(n, s) = Z an lu , ς = (ς1 , ς ), ς ∈ Rn+1 Ngoài định − cos ς1 dς |ς|n+2s nf va RN nghĩa trên, tốn tử Laplace thứ (−∆)s cịn định nghĩa thông qua phép lm ul biến đổi Fourier [26], s- mở rộng điều hòa giới thiệu Caffarelli- z at nh oi Silvestre [12] Các toán dạng Kirchhoff mô tả số tượng vật lý, z cụ thể Kirchhoff nghiên cứu toán   L Z ∂ 2u p0 E Khi M không suy biến, nghiên cứu tồn nghiệm toán chứa số hạng kỳ dị Hardy sau RN :   ZZ p |u(x) − u(y)| |u|p−2 u s   M dx dy (−∆)p u − γ |x − y|n+ps |x|ps R2n ∗ = λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|ps −2 u Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng nghiên cứu bản, sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến toán tử Laplace thứ Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề luận văn lu Mục đích luận văn an Mục đích luận văn nghiên cứu nghiệm yếu số lớp phương va n trình Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th Lun gm chương: gh tn to Nội dung luận văn p ie - Chương Nghiệm yếu phương trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff w cha toỏn t p-Laplace phõn thứ với đại lượng nhiễu oa nl - Chương Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phân thứ, số mũ tới hạn đại lượng Hardy d nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Nghiệm yu ca phng trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toỏn t lu p-Laplace phân thứ với đại lượng an n va nhiễu gh tn to Giới thiệu toán số kết bổ trợ p ie 1.1 nl w Trong chương nghiên cứu phương trình p-Laplace phõn th d oa kiu Schrăodinger-Kirchhoff nh sau
M [u]ps,p (−∆)sp u + V (x) |u|p−2 u = f (x, u) + g(x) RN , nf va an lu (1.1) |u(x) − u(y)|p−2 := lm ul [u]ps,p ZZ R2N |x − y|N +ps dxdy, (1.2) z at nh oi đó, < s < < p < ∞ với ps < N, (−∆)sp toán tử p-Laplace phân z thứ định nghĩa dọc theo hàm ϕ ∈ C0∞ (RN ) Z |ϕ(x) − ϕ(y)|p−2 (ϕ(x) − ϕ(y)) s (−∆)p ϕ(x) = lim+ dy ε→0 |x − y|N +ps RN \Bε (x) gm @ co l với x ∈ RN , Bε (x) := {y ∈ RN : |x − y| < ε, xem [20, 23] tài liệu tham khảo để biết thêm chi tiết toán tử p-Laplace phân m an Lu thứ Hàm g = g(x) xem số hạng nhiễu loạn Khi p = M ≡ phương trình (1.1) trở thành phương trình n va ac th si Laplace phân thứ (−∆)s u + V (x)u = f (x, u) + g(x) RN , coi dạng phân thứ ca phng trỡnh Schrăodinger dng c in sau õy u + V (x)u = f (x, u) + g(x) RN Trong năm gần đây, phương trình Kirchhoff thuộc kiểu   Z − a + b |∇u| dx ∆u = h(x, u) Ω, (1.3) Ω Ω ⊂ RN miền trơn nhẵn, a > 0, b > u thỏa mãn lu số điều kiện biên nhận quan tâm lớn Bài toán (1.3) liên quan đến an n va (1.4) Ω gh tn to tương tự dừng phương trình Kirchhoff   Z utt − a + b |∇u| dx ∆u = h(x, u), đề xuất Kirchhoff năm 1883 mở rộng phương ie p trình truyền sóng D’Alembert tiếng Z L ! 2 ∂u ∂ u p0 E dx ∂ u = h(x, u) ρ − + ∂t λ 2L ∂x ∂x2 d oa nl w an lu Mơ hình Kirchhoff có tính đến thay đổi độ dài dây tạo nf va dao động ngang Ở đây, L độ dài dây, h diện tích lm ul tiết diện ngang, E môđun Young vật liệu, ρ khối lượng riêng z at nh oi p0 pha ban đầu Trong [2], toán (1.4) vài mơ hình vật lý, u mơ tả trình phụ thuộc vào mức trung bình Bài tốn khơng địa phương tìm thấy ứng dụng hệ thống sinh học Một ứng dụng khác tốn (1.3) sử dụng để mô tả tăng trưởng di chuyển loài cụ thể Chuyển động mơ hình hóa số hạng tích phân, giả định phụ thuộc lượng toàn hệ thống với u mật độ tập hợp Ngồi ra, chuyển động lồi cụ thể phải chịu ảnh hưởng mật độ dân số miền, dẫn đến phương trình kiểu R ut − ψ( Ω udx)∆u = h(x, u) z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mặt khác, gần đây, ý lớn tập trung vào nghiên cứu tốn tử phân thứ tốn tử khơng địa phương kiểu elliptic Kiểu toán tử phát sinh cách tự nhiên nhiều ứng dụng khác nhau, chẳng hạn học liên tục, tượng chuyển pha, động lực tập hợp, mặt cực tiểu lý thuyết trò chơi, xem kết điển hình trình Lévy [3] Trong bối cnh c hc lng t phõn th, phng trỡnh Schrăodinger phân thứ phi tuyến Laskin [28] đề xuất kết việc mở rộng tích phân đường Feynman, từ trình Brownian sang Lévy đường học lượng tử Trong năm qua, có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phương trình Schrăodinger phõn th lu an ()s u + V (x)u = f (x, u) RN , va n phi tuyến f thỏa mãn số điều kiện tổng quát [16, 21] Trong tn to [18], Fiscella Valdinoci đề xuất mơ hình biến thiên Kirchhoff ie gh miền bị chặn RN , có tính đến dạng khơng địa phương p lực căng phát sinh từ phép đo không địa phương độ dài phân thứ dây Trong [29] Nyamoradi nghiên cứu số lớp phương trình khơng w oa nl địa phương Kirchhoff miền bị chặn Ω đạt ba nghiệm d cách sử dụng ba định lý điểm tới hạn Puuci Saldi [34] thiết lập lu an tồn nghiệm không tầm thường cho vấn đề giá trị riêng kiểu lm ul thứ nf va Kirchhoff RN bao gồm đại lượng phi tuyến tới hạn Laplace phân Đầu tiên đưa giả thiết hàm Kirchhoff M z at nh oi z (M1 ) M ∈ C(R+ M (t) > a > 0, a > ) thỏa mãn inf t∈R+ số Rt (M2 ) tồn θ ∈ [1, N/(N − sp)) cho θM (t) = θ M (τ )dτ > M (t)t với t ∈ R+ Một ví dụ điển hình M đưa M (t) = a + btm với m > 0, a > 0, b > với t > Khi M thuộc kiểu này, toán (1.1) cho không suy biến a > b > 0, gọi suy biến a = b > Lưu ý [18, 29, 34], trình xét tồn nghiệm cho vấn đề phân thứ kiểu Kirchhoff, tác m co l gm @ an Lu n va ac th si giả giả định M hàm tăng R+ Tuy nhiên, đây, giả sử M thỏa mãn (M2 ) Giả thiết (M2 ), phân phối trường hợp M khơng đơn điệu lu an n va p ie gh tn to M (t) = (1 + t)k + (1 + t)−1 cho t ∈ R+ , với < k < Ở đây, < k + (M2 ) thỏa mãn, với điều kiện k ∈ (0, 1) nhỏ bé θ = k + < N/(N − sp) Sau đó, hàm vị V, giả thiết (V1 ) V ∈ C(RN ) thỏa mãn inf x∈RN V (x) > V0 > 0, V0 > số (V2 ) tồn h > cho lim|y|→∞ meas ({x ∈ Bh (y) : V(x) ≤ c}) = với c > 0, Như lưu ý BR (x) ký hiệu hình cầu mở RN tâm x bán kính R > 0, ta viết BR thay cho BR (0) Điều kiện (V2 ), yếu so với tính cưỡng chế giả thiết: V (x) → ∞ |x| → ∞, ban đầu dược Bartsch Wang giới thiệu [9] để khắc phục thiếu tính compact phép nhúng Trong [9], điều kiện (V1 ) (V2 ) sử dụng để nghiên cứu tồn tính nhiều nghiệm phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn tớnh Ta gi s f thỏa mãn số điều kiện sau: (f1 ) f : RN × R → R hàm Carathéodory tồn q, với θp < q < p∗s , a1 > cho |f (x, t)| ≤ a1 (1 + |t|q−1 ) với x ∈ RN với t ∈ R, Rt (f2 ) Tồn µ > θp cho µF (x, t) = µ f (x, τ )dτ ≤ f (x, t)t với x ∈ RN với t ∈ R, (f3 ) (x, t) = o(|t|p−1 ) t → 0, cho x ∈ RN , (f4 ) inf x∈RN ,|t|=1 F (x, t) > Trước vào nghiên cứu kết chính, nhắc lại số ký hiệu sử dụng phần d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z @ l gm Định nghĩa 1.1.1 Không gian Sobolev phân thứ W s,p (RN ) xác định co m  W s,p (RN ) = u ∈ Lp (RN ) : [u]s,p < ∞ , an Lu n va ac th si [u]s,p ký hiệu chuẩn Galiarlo cho (1.2), nghĩa !1/p ZZ p |u(x) − u(y)| , dxdy [u]s,p = N +ps R2N |x − y| W s,p (RN ) trang bị chuẩn  1/p p p kukW s,p (RN ) = kukLp (RN ) + [u]s,p

Như biết, W s,p RN = (W s,p RN , k·kW s,p (RN ) ) không gian Banach lồi Định nghĩa 1.1.2 Gọi W bao đóng C0∞ (RN ), với chuẩn Z  1/p p p p kukW = [u]s,p + [u]p,V , kukp,V = V (x) |u(x)|p dx (1.5) lu RN an Hiển nhiên W không gian Banach lồi va n Định nghĩa 1.1.3 Phần tử u ∈ W gọi nghiệm (yếu) M ([u]ps,p ) |u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y))(ϕ(x) − ϕ(y)) ZZ ie gh tn to toán (1.1) |x − y|N +ps p R2N dxdy Z oa nl w + Z d = RN RN nf va an lu với ϕ ∈ W V (x) |u(x)|p−2 u(x)ϕ(x)dx RN Z f (x, u)ϕ(x)dx + g(x)ϕ(x)dx Trước hết,tơi phát biểu chứng minh số tính chất không lm ul gian Sobolev phân thứ sử dụng luận văn Cho < s < < z at nh oi p < ∞ số thực, với sp < N, p∗s số mũ tới hạn Sobolev thứ xác định p∗s = N p/(N − sp) Khi đó, phép nhúng W s,p (RN ) ,→ Lν (RN ) liên tục với ν ∈ [p, p∗s ] theo Định lý 6.7 [14] z gm @ Bổ đề 1.1.4 Giả sử (V1 ) thỏa mãn Nếu ν ∈ [p, p∗s ] phép nhúng l W ,→ W s,p (RN ) ,→ Lν (RN ) m co liên tục, ta có min{1, V0 } kukpW s,p (RN ) ≤ kukpW với u ∈ W Đặc biệt, kukLν (RN ) ≤ Cν kukW với u ∈ W an Lu tồn số Cν > cho (1.6) n va ac th si Nếu ν ∈ [1, p∗s ) phép nhúng W ,→,→ Lν (BR ) compact với R > Chứng minh Rõ ràng phép nhúng W ,→ W s,p (RN ) ,→ Lν (RN ) liên tục bất đẳng thức min{1, V0 } kukpW s,p (RN ) ≤ kukpW với u ∈ W Điều dễ dàng suy từ định nghĩa k·kW (V1 ) Do đó, (1.6) Cố định R > lưu ý kukpLp (BR ) + !1/p p |u(x) − u(y)| ZZ |x − y|N +ps BR ×BR dxdy chuẩn W s,p (BR ) phép nhúng W ,→ W s,p (BR ) liên tục Theo [14, Hệ 7.2], phép nhúng W s,p (BR ) ,→,→ Lν (BR ) compact Do lu đó, ta có phép nhúng W ,→,→ Lν (BR ) compact theo phần đầu tiền an bổ đề va n Định lý 1.1.5 Giả sử (V1 ) − (V2 ) thỏa mãn Cho ν ∈ [p, p∗s ) giả tn to sử {vj }j dãy bị chặn W Khi tồn v ∈ W ∩ Lν (RN ) ie gh cho với j ta có vj → v mạnh Lν (RN ) j → ∞ p Chứng minh Cố định c > đặt Ac (y) := {x ∈ RN : V (x) ≤ c} ∩ d oa nl w Bh (y), h > số độc lập c cho (V2 ) Đầu tiên xét trường hợp ν = p Vì {vj }j dãy bị chặn W với j, tồn số dương C v ∈ W cho vj * v yếu W kvj kW + kvkW ≤ C Hơn nữa, theo Bổ đề 1.1.4 ta có kvj kLp∗s (RN ) ≤ Cp∗s C Theo định lý nhúng miền bị chặn, vj → Zv mạnh Lp (BR ) với nf va an lu lm ul |vj (x) − v(x)|p dx, đầu R > 0, xem [14, Hệ 7.2] Để uớc lượng z at nh oi RN \BR ∞ [ tiên chọn {yj }j ⊂ RN cho RN = bị phủ nhiều N Bh (yi ) x ∈ RN i=1 hình cầu Đặt Ch (yi ) := {x ∈ RN : |vj (x) − v(x)|p dx |vj (x) − v(x)|p dx an Lu Ch (yi ) m |yi |≥R−h co |yi |≥R−h Bh (yi ) Z ∞ X l Z ∞ X gm = @ RN \BR z V (x) > c} ∩ Bh (yi ), ta có Z |vj (x) − v(x)|p dx ≤ n va ac th si