Nghiệm Yếu Của Phương Trình Kiểu Schrodinger Kirchhoff Chứa Toán Tử P-Laplace Phân Thứ Trên Rn.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TOÁN TỬ P LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠ[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TOÁN TỬ P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TỐN TỬ P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Thin THÁI NGUYÊN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Nithsavad VONGSY Vasia VAYINGTUVUE Xác nhận Trưởng khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn khoa học i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thìn Thầy tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Một lần xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy! Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ Nhiệm khoa Toán thầy tổ Bộ mơn Giải tích tạo điều kiện cho làm luận văn, quan tâm đơn đốc tơi q trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng 86 năm 2020 Nithsavad VONGSY ii Mục lục Mở đầu 1 Nghiệm yếu phương trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th với đại lượng nhiễu 1.1 Giới thiệu toán số kết bổ trợ 1.2 Sự tồn nghim yu cho phng trỡnh kiu SchrăodingerKirchhoff khụng thun nht chứa toán tử p-Laplace phân thứ RN 12 Nghiệm yếu phương trình kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th, s mũ tới hạn đại lượng Hardy 2.1 29 Phương trỡnh khụng suy bin kiu Schrăodinger-Kirchhoff dng cha toỏn t p-Laplace phân thứ đại lượng Hardy 2.2 29 Phng trỡnh suy bin kiu Schrăodinger-Kirchhoff dng chứa toán tử p-Laplace phân thứ số mũ tới hạn 41 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iii Mở đầu Lý chọn luận văn Trong thời gian gần đây, nhà toán học dành quan tâm nghiên cứu tốn tử khơng địa phương loại elliptic ứng dụng toán tối ưu, tài chính, học lượng tử, khoa học vật liệu Toán tử Laplace thứ dạng mở rộng tốn tử Laplace, định nghĩa thơng qua tích phân kỳ dị cung cấp mơ hình đơn giản để mơ tả q trình Lévy lý thuyết xác suất Một mở rộng toán tử Laplace thứ toán từ p-Laplave phân thứ.Với s ∈ (0, 1) hàm u ∈ Ln (RN ), n > 2s, tốn tử Laplace thứ (−∆)s u định nghĩa Z u(x) − u(y) s dy), (−∆) u(x) = C(n, s) lim ε→0 |x − y|n+2s RN \B(x,ε) C(n, s) = Z RN , ς = (ς1 , ς ′ ), ς ′ ∈ Rn+1 Ngoài định − cos ς1 dς |ς|n+2s nghĩa trên, tốn tử Laplace thứ (−∆)s cịn định nghĩa thông qua phép biến đổi Fourier [26], s- mở rộng điều hòa giới thiệu CaffarelliSilvestre [12] Các tốn dạng Kirchhoff mơ tả số tượng vật lý, cụ thể Kirchhoff nghiên cứu toán   L Z E Khi M không suy biến, nghiên cứu tồn nghiệm toán chứa số hạng kỳ dị Hardy sau RN :   ZZ p |u(x) − u(y)| |u|p−2 u s   M dx dy (−∆)p u − γ |x − y|n+ps |x|ps R2n ∗ = λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|ps −2 u Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng nghiên cứu bản, sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến toán tử Laplace thứ Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề luận văn Mục đích luận văn Mục đích luận văn nghiên cứu nghiệm yếu ca mt s lp phng trỡnh Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phân thứ Nội dung luận văn Luận văn gồm chương: - Chương Nghiệm yếu phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th với đại lượng nhiễu - Chương Nghiệm yếu phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th, số mũ tới hạn đại lượng Hardy Chương Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toán tử p-Laplace phân thứ với đại lượng nhiễu 1.1 Giới thiệu toán số kết bổ trợ Trong chương nghiên cứu phương trình p-Laplace phõn th kiu Schrăodinger-Kirchhoff nh sau
M [u]ps,p (−∆)sp u + V (x) |u|p−2 u = f (x, u) + g(x) RN , [u]ps,p := ZZ |u(x) − u(y)|p−2 R2N |x − y|N +ps dxdy, (1.1) (1.2) đó, < s < < p < ∞ với ps < N, (−∆)sp toán tử p-Laplace phân thứ định nghĩa dọc theo hàm ϕ ∈ C0∞ (RN ) Z |ϕ(x) − ϕ(y)|p−2 (ϕ(x) − ϕ(y)) s dy (−∆)p ϕ(x) = lim+ ε→0 |x − y|N +ps RN \Bε (x) với x ∈ RN , Bε (x) := {y ∈ RN : |x − y| < ε, xem [20, 23] tài liệu tham khảo để biết thêm chi tiết toán tử p-Laplace phân thứ Hàm g = g(x) xem số hạng nhiễu loạn Khi p = M ≡ phương trình (1.1) trở thành phương trình Laplace phân thứ (−∆)s u + V (x)u = f (x, u) + g(x) RN , coi l dng phõn th ca phng trỡnh Schrăodinger dng c điển sau −∆u + V (x)u = f (x, u) + g(x) RN Trong năm gần đây, phương trình Kirchhoff thuộc kiểu   Z (1.3) − a + b |∇u| dx ∆u = h(x, u) Ω, Ω Ω ⊂ RN miền trơn nhẵn, a > 0, b > u thỏa mãn số điều kiện biên nhận quan tâm lớn Bài toán (1.3) liên quan đến tương tự dừng phương trình Kirchhoff   Z utt − a + b |∇u| dx ∆u = h(x, u), (1.4) Ω đề xuất Kirchhoff năm 1883 mở rộng phương trình truyền sóng D’Alembert tiếng Z L ! 2 ∂u p0 E ∂ u dx ∂ u = h(x, u) − + ρ ∂t λ 2L ∂x ∂x2 Mơ hình Kirchhoff có tính đến thay đổi độ dài dây tạo dao động ngang Ở đây, L độ dài dây, h diện tích tiết diện ngang, E môđun Young vật liệu, ρ khối lượng riêng p0 pha ban đầu Trong [2], toán (1.4) vài mơ hình vật lý, u mơ tả trình phụ thuộc vào mức trung bình Bài tốn khơng địa phương tìm thấy ứng dụng hệ thống sinh học Một ứng dụng khác tốn (1.3) sử dụng để mô tả tăng trưởng di chuyển loài cụ thể Chuyển động mơ hình hóa số hạng tích phân, giả định phụ thuộc lượng toàn hệ thống với u mật độ tập hợp Ngồi ra, chuyển động lồi cụ thể phải chịu ảnh hưởng mật độ dân số miền, dẫn đến phương trình kiểu R ut − ψ( Ω udx)∆u = h(x, u) Mặt khác, gần đây, ý lớn tập trung vào nghiên cứu toán tử phân thứ tốn tử khơng địa phương kiểu elliptic Kiểu toán tử phát sinh cách tự nhiên nhiều ứng dụng khác nhau, chẳng hạn học liên tục, tượng chuyển pha, động lực tập hợp, mặt cực tiểu lý thuyết trò chơi, xem kết điển hình trình Lévy [3] Trong bối cảnh học lượng t phõn th, phng trỡnh Schrăodinger phõn th phi tuyn Laskin [28] đề xuất kết việc mở rộng tích phân đường Feynman, từ q trình Brownian sang Lévy đường học lượng tử Trong năm qua, có nhiều tác giả quan tõm nghiờn cu phng trỡnh Schrăodinger phõn th ()s u + V (x)u = f (x, u) RN , phi tuyến f thỏa mãn số điều kiện tổng quát [16, 21] Trong [18], Fiscella Valdinoci đề xuất mơ hình biến thiên Kirchhoff miền bị chặn RN , có tính đến dạng khơng địa phương lực căng phát sinh từ phép đo không địa phương độ dài phân thứ dây Trong [29] Nyamoradi nghiên cứu số lớp phương trình khơng địa phương Kirchhoff miền bị chặn Ω đạt ba nghiệm cách sử dụng ba định lý điểm tới hạn Puuci Saldi [34] thiết lập tồn nghiệm không tầm thường cho vấn đề giá trị riêng kiểu Kirchhoff RN bao gồm đại lượng phi tuyến tới hạn Laplace phân thứ Đầu tiên đưa giả thiết hàm Kirchhoff M (M1 ) M ∈ C(R+ M (t) > a > 0, a > ) thỏa mãn inf t∈R+ số Rt (M2 ) tồn θ ∈ [1, N/(N − sp)) cho θM (t) = θ M (τ )dτ > M (t)t với t ∈ R+ Một ví dụ điển hình M đưa M (t) = a + btm với m > 0, a > 0, b > với t > Khi M thuộc kiểu này, toán (1.1) cho không suy biến a > b > 0, gọi suy biến a = b > Lưu ý [18, 29, 34], trình xét tồn nghiệm cho vấn đề phân thứ kiểu Kirchhoff, tác giả giả định M hàm tăng R+ Tuy nhiên, đây, giả sử M thỏa mãn (M2 ) Giả thiết (M2 ), phân phối trường hợp M không đơn điệu M (t) = (1 + t)k + (1 + t)−1 cho t ∈ R+ , với < k < Ở đây, < k + (M2 ) thỏa mãn, với điều kiện k ∈ (0, 1) nhỏ bé θ = k + < N/(N − sp) Sau đó, hàm vị V, giả thiết (V1 ) V ∈ C(RN ) thỏa mãn inf x∈RN V (x) > V0 > 0, V0 > số (V2 ) tồn h > cho lim|y|→∞ meas ({x ∈ Bh (y) : V(x) ≤ c}) = với c > 0, Như lưu ý BR (x) ký hiệu hình cầu mở RN tâm x bán kính R > 0, ta viết BR thay cho BR (0) Điều kiện (V2 ), yếu so với tính cưỡng chế giả thiết: V (x) → ∞ |x| → ∞, ban đầu dược Bartsch Wang giới thiệu [9] để khắc phục thiếu tính compact phép nhúng Trong [9], điều kiện (V1 ) (V2 ) sử dụng để nghiên cứu tồn tính nhiều nghiệm phương trỡnh Schrăodinger phi tuyn tớnh Ta gi s f tha mãn số điều kiện sau: (f1 ) f : RN × R → R hàm Carathéodory tồn q, với θp < q < p∗s , a1 > cho |f (x, t)| ≤ a1 (1 + |t|q−1 ) với x ∈ RN với t ∈ R, Rt (f2 ) Tồn µ > θp cho µF (x, t) = µ f (x, τ )dτ ≤ f (x, t)t với x ∈ RN với t ∈ R, (f3 ) (x, t) = o(|t|p−1 ) t → 0, cho x ∈ RN , (f4 ) inf x∈RN ,|t|=1 F (x, t) > Trước vào nghiên cứu kết chính, nhắc lại số ký hiệu sử dụng phần Định nghĩa 1.1.1 Không gian Sobolev phân thứ W s,p (RN ) xác định  W s,p (RN ) = u ∈ Lp (RN ) : [u]s,p < ∞ , [u]s,p ký hiệu chuẩn Galiarlo cho (1.2), nghĩa !1/p ZZ p |u(x) − u(y)| [u]s,p = , dxdy N +ps R2N |x − y| W s,p (RN ) trang bị chuẩn 1/p  p p kukW s,p (RN ) = kukLp (RN ) + [u]s,p

Như biết, W s,p RN = (W s,p RN , k·kW s,p (RN ) ) không gian Banach lồi Định nghĩa 1.1.2 Gọi W bao đóng C0∞ (RN ), với chuẩn Z 1/p  p p p V (x) |u(x)|p dx kukW = [u]s,p + [u]p,V , kukp,V = (1.5) RN Hiển nhiên W không gian Banach lồi Định nghĩa 1.1.3 Phần tử u ∈ W gọi nghiệm (yếu) toán (1.1) M ([u]ps,p ) ZZ = |u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y))(ϕ(x) − ϕ(y)) |x − y|N +ps R2N + Z Z V (x) |u(x)|p−2 u(x)ϕ(x)dx RN Z g(x)ϕ(x)dx f (x, u)ϕ(x)dx + RN RN với ϕ ∈ W dxdy Trước hết,tôi phát biểu chứng minh số tính chất khơng gian Sobolev phân thứ sử dụng luận văn Cho < s < < p < ∞ số thực, với sp < N, p∗s số mũ tới hạn Sobolev thứ xác định p∗s = N p/(N − sp) Khi đó, phép nhúng W s,p (RN ) ֒→ Lν (RN ) liên tục với ν ∈ [p, p∗s ] theo Định lý 6.7 [14] Bổ đề 1.1.4 Giả sử (V1 ) thỏa mãn Nếu ν ∈ [p, p∗s ] phép nhúng W ֒→ W s,p (RN ) ֒→ Lν (RN ) liên tục, ta có min{1, V0 } kukpW s,p (RN ) ≤ kukpW với u ∈ W Đặc biệt, tồn số Cν > cho kukLν (RN ) ≤ Cν kukW với u ∈ W (1.6) Nếu ν ∈ [1, p∗s ) phép nhúng W ֒→֒→ Lν (BR ) compact với R > Chứng minh Rõ ràng phép nhúng W ֒→ W s,p (RN ) ֒→ Lν (RN ) liên tục bất đẳng thức min{1, V0 } kukpW s,p (RN ) ≤ kukpW với u ∈ W Điều dễ dàng suy từ định nghĩa k·kW (V1 ) Do đó, (1.6) Cố định R > lưu ý kukpLp (BR ) + ZZ |u(x) − u(y)| p |x − y|N +ps BR ×BR dxdy !1/p chuẩn W s,p (BR ) phép nhúng W ֒→ W s,p (BR ) liên tục Theo [14, Hệ 7.2], phép nhúng W s,p (BR ) ֒→֒→ Lν (BR ) compact Do đó, ta có phép nhúng W ֒→֒→ Lν (BR ) compact theo phần đầu tiền bổ đề Định lý 1.1.5 Giả sử (V1 ) − (V2 ) thỏa mãn Cho ν ∈ [p, p∗s ) giả sử {vj }j dãy bị chặn W Khi tồn v ∈ W ∩ Lν (RN ) cho với j ta có vj → v mạnh Lν (RN ) j → ∞ Chứng minh Cố định c > đặt Ac (y) := {x ∈ RN : V (x) ≤ c} ∩ Bh (y), h > số độc lập c cho (V2 ) Đầu tiên xét trường hợp ν = p Vì {vj }j dãy bị chặn W với j, tồn số dương C v ∈ W cho vj ⇀ v yếu W kvj kW + kvkW ≤ C Hơn nữa, theo Bổ đề 1.1.4 ta có kvj kLp∗s (RN ) ≤ Cp∗s C Theo định lý nhúng miền bị chặn, vj → Zv mạnh Lp (BR ) với R > 0, xem [14, Hệ 7.2] Để uớc lượng RN \BR ∞ [ tiên chọn {yj }j ⊂ RN cho RN = bị phủ nhiều N i=1 |vj (x) − v(x)|p dx, đầu Bh (yi ) x ∈ RN hình cầu Đặt Ch (yi ) := {x ∈ RN : V (x) > c} ∩ Bh (yi ), ta có Z |vj (x) − v(x)|p dx ≤ RN \BR = Z ∞ X |yi |≥R−h Bh (yi ) Z ∞ X |yi |≥R−h |vj (x) − v(x)|p dx Ch (yi ) |vj (x) − v(x)|p dx