Nghiệm yếu của phương trình kiểu schrodinger kirchhoff chứa toán tử p laplace phân thứ trên rn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TOÁN TỬ P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TỐN TỬ P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Thin THÁI NGUYÊN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Nithsavad VONGSY Vasia VAYINGTUVUE Xác nhận Trưởng khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn khoa học i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thìn Thầy tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Một lần xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy! Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ Nhiệm khoa Toán thầy tổ Bộ mơn Giải tích tạo điều kiện cho làm luận văn, quan tâm đơn đốc tơi q trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng 86 năm 2020 Nithsavad VONGSY ii Mục lục Mở đầu 1 Nghiệm yếu phng trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn thứ với đại lượng nhiễu 1.1 Giới thiệu toán số kết bổ trợ 1.2 Sự tồn ti nghim yu cho phng trỡnh kiu SchrăodingerKirchhoff khụng thun chứa toán tử p-Laplace phân thứ RN 12 Nghiệm yếu phương trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th, số mũ tới hạn đại lượng Hardy 2.1 29 Phng trỡnh khụng suy bin kiu Schrăodinger-Kirchhoff dng cha toỏn tử p-Laplace phân thứ đại lượng Hardy 2.2 29 Phng trỡnh suy bin kiu Schrăodinger-Kirchhoff dừng chứa toán tử p-Laplace phân thứ số mũ tới hạn 41 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iii Mở đầu Lý chọn luận văn Trong thời gian gần đây, nhà toán học dành quan tâm nghiên cứu toán tử khơng địa phương loại elliptic ứng dụng tốn tối ưu, tài chính, học lượng tử, khoa học vật liệu Toán tử Laplace thứ dạng mở rộng tốn tử Laplace, định nghĩa thơng qua tích phân kỳ dị cung cấp mơ hình đơn giản để mơ tả q trình Lévy lý thuyết xác suất Một mở rộng toán tử Laplace thứ toán từ p-Laplave phân thứ.Với s ∈ (0, 1) hàm u ∈ Ln (RN ), n > 2s, tốn tử Laplace thứ (−∆)s u định nghĩa (−∆)s u(x) = C(n, s) lim ε→0 RN \B(x,ε) u(x) − u(y) dy), |x − y|n+2s , ς = (ς1 , ς ), ς ∈ Rn+1 Ngoài định − cos ς1 dς |ς|n+2s C(n, s) = RN nghĩa trên, tốn tử Laplace thứ (−∆)s cịn định nghĩa thơng qua phép biến đổi Fourier [26], s- mở rộng điều hòa giới thiệu CaffarelliSilvestre [12] Các toán dạng Kirchhoff mô tả số tượng vật lý, cụ thể Kirchhoff nghiên cứu toán   L ∂ 2u p0 E ∂u  ∂ u ρ − + dx = 0, ∂t h 2L ∂x ∂x2 (1.1) mở rộng phương truyền sóng D’Alambert, mô tả thay đổi độ dài dây q trình dao động, ρ, p0 , h, E, L số L p0 E Phương trình chứa đại lượng khơng địa phương + h 2L ∂u ∂x dx, ∂u ∂u phụ thuộc vào trung bình dx động [0, L] Hơn ∂x ∂x tốn dạng (1.1) sử dụng nhiều mơ hình hệ sinh học, u mơ tả q trình Có nhiều tốn kiểu Kirchhoff nghiên cứu cho lớp toán tử khác Có thể kể đến   L | u|2 dx ∆u = h(x, u) − a + b Ω Thời gian gần đây, nhiều tác giả nghiên cứu [4, 3, 37] mở rộng toán cho phng trỡnh kiu Schrăodinger RN : ()s u + V (x)u = f (x, u) RN Một mở rộng (−∆)s toán tử p-Laplace phân thứ (−∆)sp định nghĩa (sai khác số) (−∆)sp u(x) = lim ε→0 RN \B(x,ε) |u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y)) dy |x − y|n+ps Hiện toán tồn nghiệm phương trình chứa tốn tử khơng địa phương loại elliptic (trong có tốn tử Laplace phân thứ p-Laplace phân thứ) thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới: Pucci (Đại học Degli Studi di Perugia, Italy), Giovanni (Đại học Mediterranea’ di Reggio Calabria, Italy), Repovˇs (Đại học Ljubljana, Slovenia), Servadei (Đại học Degli Studi di Urbino ‘Carlo Bo’, Italy), Radulescu (Viện Toán “Simion Stoilow”- Viện hàn lâm khoa học Romanian), Zhang (Đại học Heilongjiang, Trung Quốc), Ambrosio (Đại học DegliStudidiUrbino‘Carlo Bo’, Italy), Wei (Đại học British Columbia, Canada), Fazly (Đại học Alberta, Canada), Cabre (Đại học Politècnica de Catalunya, Tây Ban Nha), Tan (Đại học Técnica Federico Santa María, Chile), Barrios (Đại học Autónoma de Madrid, Tây Ban Nha), Tiếp tục hướng nghiên cứu này, nghiên cứu bi toỏn kiu SchrăodingerKirchhoff cho phng trỡnh p-Laplace phõn th RN có dạng:   p |u(x) − u(y)|  (−∆)sp u = λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|p∗s −2 u M dx dy |x − y|n+ps R2n Khi M không suy biến, nghiên cứu tồn nghiệm toán chứa số hạng kỳ dị Hardy sau RN :   p |u(x) − u(y)| |u|p−2 u s   M dx dy (−∆)p u − γ |x − y|n+ps |x|ps R2n ∗ = λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|ps −2 u Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng nghiên cứu bản, sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến toán tử Laplace thứ Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề luận văn Mục đích luận văn Mục đích luận văn nghiên cứu nghiệm yu ca mt s lp phng trỡnh Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn tử p-Laplace phân thứ Nội dung luận văn Luận văn gồm chương: - Chương Nghiệm yếu ca phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn thứ với đại lượng nhiễu - Chương Nghiệm yếu ca phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn thứ, số mũ tới hạn đại lượng Hardy Chng Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace phân thứ với đại lượng nhiễu 1.1 Giới thiệu toán số kết bổ trợ Trong chương nghiên cứu phương trỡnh p-Laplace phõn th kiu Schrăodinger-Kirchhoff nh sau M [u]ps,p (−∆)sp u + V (x) |u|p−2 u = f (x, u) + g(x) RN , [u]ps,p |u(x) − u(y)|p−2 := R2N |x − y|N +ps (1.1) dxdy, (1.2) đó, < s < < p < ∞ với ps < N, (−∆)sp toán tử p-Laplace phân thứ định nghĩa dọc theo hàm ϕ ∈ C0∞ (RN ) (−∆)sp ϕ(x) = lim+ ε→0 |ϕ(x) − ϕ(y)|p−2 (ϕ(x) − ϕ(y)) |x − y|N +ps RN \Bε (x) dy với x ∈ RN , Bε (x) := {y ∈ RN : |x − y| < ε, xem [20, 23] tài liệu tham khảo để biết thêm chi tiết toán tử p-Laplace phân thứ Hàm g = g(x) xem số hạng nhiễu loạn Khi p = M ≡ phương trình (1.1) trở thành phương trình Laplace phân thứ (−∆)s u + V (x)u = f (x, u) + g(x) RN , coi dạng phân th ca phng trỡnh Schrăodinger dng c in sau õy −∆u + V (x)u = f (x, u) + g(x) RN Trong năm gần đây, phương trình Kirchhoff thuộc kiểu |∇u|2 dx ∆u = h(x, u) Ω, − a+b (1.3) Ω Ω ⊂ RN miền trơn nhẵn, a > 0, b u thỏa mãn số điều kiện biên nhận quan tâm lớn Bài toán (1.3) liên quan đến tương tự dừng phương trình Kirchhoff |∇u|2 dx ∆u = h(x, u), utt − a + b (1.4) Ω đề xuất Kirchhoff năm 1883 mở rộng phương trình truyền sóng D’Alembert tiếng ∂ 2u ρ − ∂t p0 E + λ 2L L ∂u dx ∂x ∂ 2u = h(x, u) ∂x2 Mơ hình Kirchhoff có tính đến thay đổi độ dài dây tạo dao động ngang Ở đây, L độ dài dây, h diện tích tiết diện ngang, E môđun Young vật liệu, ρ khối lượng riêng p0 pha ban đầu Trong [2], toán (1.4) vài mơ hình vật lý, u mơ tả trình phụ thuộc vào mức trung bình Bài tốn khơng địa phương tìm thấy ứng dụng hệ thống sinh học Một ứng dụng khác toán (1.3) sử dụng để mơ tả tăng trưởng di chuyển loài cụ thể Chuyển động mơ hình hóa số hạng tích phân, giả định phụ thuộc lượng toàn hệ thống với u mật độ tập hợp Ngồi ra, chuyển động lồi cụ thể phải chịu ảnh hưởng mật độ dân số miền, dẫn đến phương trình kiểu ut − ψ( Ω udx)∆u = h(x, u) [22] Iannizzotto A., Squassina M (2014), Weyl-type laws for fractional peigenvalue problems, Asymptotic Anal 88, 233–245 [23] Iannizzotto A., Liu S., Perera K., Squassina M (2014), Existence results for fractional p-Laplacian problems via Morse theory, Adv Calc Var doi:10.1515/acv-2014-0024 [24] Lindgren E., Lindqvist P (2014), Fractional eigenvalues, Calc Var Partial Differ Equ 49, 795–826 [25] Maz’ya V., Shaposhnikova T (2002), On the Bourgain, Brezis, and Mironescu theorem concerning limiting embeddings of fractional Sobolev spaces, J Funct Anal 195, 230–238 [26] Molica Bisci G., Radulescu V.-D, Servadei S (2016), Variational Methods for Nonlocal Fractional Equations, Encyclopedia Math Appl 162, Cambridge University Press, Cambridge [27] Metzler R., Klafter J (2004), The restaurant at the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics, J Phys A 37, 161–208 [28] Laskin N (2000), Fractional quantum mechanics and Lévy path integrals, Phys Lett A 268, 298-305 [29] Nyamoradi N (2013), Existence of three solutions for Kirchhoff nonlocal operators of elliptic type, Math Commun 18, 489–502 [30] Ono K (1997), Blowing up and global existence of solutions for some degenerate nonlinear wave equations with some dissipation, In: Proceedings of the Second World Congress of Nonlinear Analysts, Part (Athens, 1996) Nonlinear Analysts, vol 30, pp 4449–4457 [31] Pucci P., Xiang M.Q., Zhang B (2015), Multiple solutions for nonhomogeneous Schrăodinger-Kirchhoff type equations involving the fractional p-Laplacian in RN , Calc.Var Partial Differ Equ 54, 2785–2806 52 [32] Pucci P., Xiang M.Q., Zhang B (2016), Existance andmultiplicity of entire solution for fractional p-Kirchhoff equation, Adv Npnlinear Anal 5, 27-55 [33] Pucci P., Zhang Q (2014), Existence of entire solutions for a class of variable exponent elliptic equations, J Differ Equ 257, 1529–1566 [34] Pucci P., Saldi S (2016), Critical stationary Kirchhoff equations in RN involving nonlocal operators, Rev Mat Iberoam 31, 1–22 [35] Lions P.-L (1982), Symétrie et compacité dans les espaces de Sobolev, J Funct Anal 49, 315–334 [36] Rabinowitz P.(1986), Minimax methods in critical point theory with applications to diferential equations Vol 65, CBMS Regional Conference Series in Mathematics Providence (RI): American Mathematical Society [37] Secchi S (2013), Ground state solutions for nonlinear fractional Schrăodinger in RN , J Math Phys 54, 031501 [38] Willem M (1996),Minimax Theorems, Birkhăauser, Boston [39] Xiang M.Q., Zhang B.L., Ferrara M (2015), Existence of solutions for Kirchhoff type problem involving the non-local fractional p-Laplacian, J Math Anal Appl 424, 1021–1041 53 ... [u]ps ,p + u pp,V − F (x, u)dx − g(x)dx p RN RN min{1, a} u pW − ε u pLp (RN ) − Cε u qLq (RN ) − g Lp (RN ) u Lp (RN ) ≥ p min{1, a} ≥ u pW − εCpp u pW − Cε Cqq u qW − Cpp g Lp (RN ) u W p min{1,... |x − y|n+ps Hiện toán tồn nghiệm phương trình chứa tốn tử khơng địa phương loại elliptic (trong có tốn tử Laplace phân thứ p- Laplace phân thứ) thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới: Pucci (Đại... M [u]ps ,p + u pp,V − F (x, tu)dx − t g(x)udx p RN RN p ≤ M (1)t? ?p [u]? ?p u pp,V − cF tµ u µLµ (RN ) + CF u pLp (RN ) s ,p + t p −t g(x)udx RN ≤ max{1, M (1)} ? ?p t − cF tµ u p − g(x)udx → −∞ RN 17