(Luận văn) sự suy giảm trong l2 của nghiệm yếu cho phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THÀNH lu an SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU va n CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2020 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THÀNH lu SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU an n va CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES tn to p ie gh Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học TS Đào Quang Khải z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2020 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học TS Đào Quang Khải Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa công bố lu an hình thức trước n va Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng số kết tác giả khác tn to có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận ie gh xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn p Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2020 d oa nl w Tác giả an lu nf va Hoàng Thành z at nh oi lm ul Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn z co l gm @ m TS Đào Quang Khải an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn tơi nhận giúp đỡ nhiệt tình người hướng dẫn, TS Đào Quang Khải Tôi muốn gửi lời cảm ơn môn Giải tích, Khoa Tốn, tạo lu điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hoàn thành tốt luận văn an va Do thời gian có hạn, thân tác giả cịn hạn chế nên luận văn có n thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây Tơi xin chân thành cảm ơn! p ie gh tn to dựng thầy cô, bạn w oa nl Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2020 Tác giả d nf va an lu z at nh oi lm ul Hoàng Thành z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục Lời cam đoan i lu an Lời cảm ơn ii Mục lục iv n va tn to Lời mở đầu ie gh Kiến thức chuẩn bị Không gian hàm hàm suy rộng p 1.1 1.1.1 w không gian hàm D(Ω) không gian hàm suy rộng oa nl 1.1.2 Một số ký hiệu d D0 (Ω) lu Không gian hàm E(Ω) không gian hàm suy rộng an 1.1.3 nf va có giá compact E (Ω) Không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) không gian lm ul 1.1.4 1.2 z at nh oi hàm tăng chậm S (Rn ) 10 Tích chập 13 Tích chập hàm Lp (Rn ), ≤ p ≤ ∞ 13 1.2.2 Tích chập hàm suy rộng hàm 14 z 1.2.1 @ Phép biến đổi Fourier S(Rn ) S (Rn ) 14 1.4 Không gian Sobolev 17 co l gm 1.3 Không gian Sobolev cấp nguyên không âm 17 1.4.2 Không gian Sobolev cấp thực 18 1.4.3 Không gian Sobolev 19 m 1.4.1 an Lu n va ac th iii si 1.5 Một số khái niệm phương trình Navier-Stokes 20 1.5.1 Phương trình Navier-Stokes 20 1.5.2 Nghiệm yếu phương trình Navier-Stokes 22 1.5.3 Nghiệm mềm 25 Sự suy giảm L2 theo thời gian nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes 27 2.1 Giới thiệu 27 2.2 Những lập luận hình thức 29 2.3 Sự suy giảm Nghiệm Leray-Hopf 36 lu an 46 Tài liệu tham khảo 48 n va Kết luận p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th iv si Lời mở đầu Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình Navier-Stokes quan trọng phương trình học chất lỏng dùng để mô tả chuyển động lu an chất lỏng chất khí Chúng sử dụng để nghiên cứu thời tiết, thiết kế hình n va dáng động học máy bay, ô tô, nghiên cứu chuyển động máu, phân tích tn to nhiễm, dự báo thời tiết, dòng chảy đại dương nhiều vấn đề khoa học gh khác Phương trình Navier-Stokes nhận quan tâm lớn mặt p ie tốn học t, chúng có vai trị đặc biệt quan trọng phát triển w lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đại Mặc dù lý thuyết phương trình oa nl đạo hàm riêng trải qua phát triển to lớn kỷ 20 số vấn d đề phương trình Navier-Stokes chưa giải quyết, tồn lu nf va an nghiệm dáng điệu nghiệm Cụ thể cho giá trị thời điểm ban đầu trơn phương trình Navier-Stokes có tiếp tục trơn lm ul theo tất thời gian sau không, câu hỏi nêu vào năm 1934 z at nh oi J Leray chưa có câu trả lời khẳng định phủ định Tính nghiệm yếu tốn vấn câu hỏi mở Nội dung đề tài z @ Mục đích đề tài nghiên cứu dáng điệu nghiệm toán gm m co l Cauchy cho phương trình Navier-Stokes khơng nén không gian ba an Lu n va ac th si chiều     ut = ∆u − u · ∇u − ∇p + f ∇·u=0    u(x, 0) = u (x) f giả thiết tiến tới t → ∞ Luận văn trình bày vài kết nghiên cứu suy giảm nghiệm yếu Leray-Hopf L2 theo thời gian thời gian tiến vô cùng, dựa báo Maria Elena Schonbek [2] lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Luận văn gồm lời mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Cụ thể là: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Sự suy giảm L2 nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu Các mục 1.1, 1.2 1.3 chương tham khảo tài liệu [1], an mục 1.4 1.5 tham khảo tài liệu [3] [5] n va Không gian hàm hàm suy rộng ie gh tn to 1.1 Một số ký hiệu p 1.1.1 w d oa nl Cho Ω tập mở Rn ta định nghĩa sau: an lu C k (Ω) = {u : Ω → C|u khả vi liên tục đến cấp k}, nf va C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω)| supp u tập compact}, lm ul k ∞ ∞ k C ∞ (Ω) = ∩∞ k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), z at nh oi supp u = {x ∈ Ω|u(x) 6= 0} Ký hiệu: Lp (Ω) = {u : Ω → C|u đo được, R Ω |u(x)|p dx < ∞} với ≤ p < ∞ z L∞ (Ω) = {u : Ω → C|ess sup |u(x)| < ∞} @ x∈Ω l gm ET = {f ∈ S (Rn ) et∆ t ∈ ET } m co Chúng ta đạt kết sau n ac th 25 va toán tử B song tuyến tính liên tục (ET )d Thì an Lu Định lý 1.37 (Nguyên lý co Picar) Cho ET ⊆ L2uloc,x L2T ((0, T ) × Rn ) thỏa mãn si (i) Nếu u ∈ ETn nghiệm yếu phương trình Navier-Stokes giá trị ban đầu u0 thuộc ETn (ii) Ngược lại tồn số dương C > cho với u0 ∈ ETn thỏa mãn ∇ · u = ket∆ u0 kET < C , phương trình Navier-Stokes có nghiệm u ∈ (ET )n với giá trị ban đầu u0 thỏa mãn u = et∆ u0 − Zt e(t−s)∆ P∇ · (u ⊗ u)ds lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 26 si Chương Sự suy giảm L2 theo thời gian nghiệm yếu cho phương trình lu an n va Navier-Stokes p ie gh tn to Chương trình bày nội dung dựa tài liệu [2] [4] Giới thiệu oa nl w 2.1 d Chúng ta nghiên cứu dáng điệu thời gian tiến vô nghiệm lu gian ba chiều: nf va an tốn Cauchy cho phương trình Navier-Stokes khơng nén không lm ul ∇·u=0 z at nh oi  i i i i    ut + u · ∇u − ∆u + ∇i p = f , i = 1, 2, (2.1)    u(x, 0) = u (x) z f = (f , f , f ) giả thiết tiến tới t → ∞ @ gm Ta đặt vấn đề xác định có hay không suy giảm nghiệm yếu co l phương trình (2.1) chuẩn L2 t → ∞ Trong luận văn này, ta chứng m minh nghiệm Leray-Hopf phương trình (2.1) xây dựng Caffarelli, an Lu Kohn Nirenberg [4] phương pháp hiệu chỉnh trễ, suy giảm L2 với tốc độ đại số Phần luận văn nghiệm phương n va ac th 27 si trình Navier-Stokes n chiều, n ≥ , với liệu tùy ý bị chặn L1 L2 thỏa mãn: ku(·, t)k2L2 (Rn ) ≤ C(t + 1)−n/2+1 , (2.2) với số C phụ thuộc vào chuẩn liệu L1 L2 Chứng minh dựa vào giải tích phổ tốn phi tuyến khơng cần tới tính chất tốn tử Stokes Phương pháp phát triển để nghiệm luật bảo toàn parabolic theo dạng: ut + n X ∂ j=1 ∂xj f j (u) = ∆u, lu an suy giảm L2 tốc độ đại số theo thời gian t → ∞ Phương pháp va áp dụng cho phương trình Navier-Stokes n chiều bất kì, n ≥ Theo giả thiết u n tn to bị chặn theo thời gian L1 (Rn ), tốc độ suy giảm cơng thức (2.2) có ie gh thể cải tiến với: p ku(·, t)k2L2 (Rn ) ≤ C(t + 1)−n/2 , nl w với ∀n ≥ d oa Do uN hội tụ đủ mạnh L2 (R3 × [0, T ]) với ∀T > tới nghiệm Leray- an lu Hopf phương trình Navier-Stokes (2.1), suy giảm L2 hàm uN nf va kéo theo suy giảm L2 nghiệm u Hằng số liên quan phụ thuộc vào chuẩn liệu L1 L2 Kết sau thiết lập: lm ul z at nh oi Định lý 2.1 Nếu u0 ∈ L1 (R3 ) ∩ L2 (R3 ), tồn nghiệm Leray-Hopf phương trình Navier-Stokes chiều (2.1) với f = cho: z ku(·, t)kL2 (R3 ) ≤ C(t + 1)−1/2 gm @ l số C phụ thuộc vào chuẩn liệu ban đầu L1 m co L2 an Lu Định lý với tốc độ suy giảm thu cho nghiệm (2.1) với lực f khác khơng thỏa mãn f phân kì tự suy giảm n va ac th 28 si tốc độ đại số thích hợp L2 (R3 ) Ta lưu ý suy giảm cải tiến tới (1 + t)−3/2 với giả thiết nghiệm xấp xỉ xây dựng Caffarelli, Kohn Nirenberg bị chặn L1 (R3 ) Ta mong lập luận hình thức với điều chỉnh thích hợp dùng để thiết lập suy giảm L2 cho nghiệm Leray-Hopf tùy ý Sự suy giảm tốc độ đại số thích hợp với số suy giảm C phụ thuộc vào chuẩn liệu ban đầu L1 L2 Đó lý dẫn thảo luận đến phần "những lập luận hình thức" lu 2.2 Những lập luận hình thức an n va Ta nêu lập luận hình thức để thiết lập suy giảm nghiệm tn to L2 tốn Cauchy n-chiều cho phương trình Navier-Stokes, với n = 3: ie gh  i i i i    ut + u · ∇u − ∆u + ∇i p = f , i = 1, , n (2.3) p ∇ · u = 0, nl w    u(x, 0) = u (x), x ∈ Rn lu hiệu: d oa với f = (f , , f n ) suy giảm L2 với tỉ lệ thích hợp Chúng ta dùng kí an Z nf va kg(·, t)kp = p 1/p |g(x, t)| dx , p = Rn lm ul Đầu tiên, ta xét trường hợp f = z at nh oi Định lý 2.2 Cho u : Rn × R+ → Rn , p : Rn × R+ → Rn , hàm trơn với u z triệt tiêu vô cùng, cho u p thỏa mãn:     uit + u · ∇ui − ∆ui + ∇i p = f i , i = 1, , n     l gm @ (2.4) m co ∇·u=0        an Lu u(x, 0) = u0 (x) n va ac th 29 si u0 ∈ L2 (Rn ) ∩ L1 (Rn ) Khi đó: ku(·, t)k22 ≤ C(t + 1)−n/2+1 , (2.5) số C phụ thuộc vào chuẩn u0 L1 L2 n Chứng minh Chúng ta phương trình lượng quen thuộc: d dt Z Z |∇u|2 dx |u| dx = −2 Rn (2.6) Rn Để đạt phương trình (2.6) ta nhân phương trình (2.4) với u lấy tích phân lu theo khơng gian Tích phân thứ hai ba triệt tiêu ∇ · u = Ứng dụng định an lý Plancherel cho (2.6), ta được: n va tn to d dx Z Z |ξ|2 |ˆ u|2 dξ |ˆ u| dξ = −2 Rn gh Rn p ie Một phân tích miền tần số thành hai miền phụ thuộc thời gian sinh nl w bất đẳng thức vi phân thứ theo chuẩn riêng L2 biến đổi Fourier d oa nghiệm Những miền phụ thuộc thời gian hình cầu n-chiều S(t), tâm an lu gốc với bán kính phù hợp phụ thuộc vào thời gian phần bù Phân nf va tích cho phép đánh giá số hạng không bất đẳng lm ul thức vi phân tích phân |ˆ u(ξ, t)|2 S(t) Do suy giảm L2 phụ thuộc vào đánh giá biến đổi Fourier cho u theo giá trị tần số ξ ∈ S z at nh oi Từ đánh giá nhận bất đẳng thức vi phân với hệ tốc độ suy giảm L2 mong muốn sau Ta viết lại công thức (2.6) dạng: z Z Z |ˆ u| dξ = −2 |ξ| |ˆ u| dξ − S(t)c |ξ|2 |ˆ u|2 dξ, S(t) co an Lu n 2(t + 1) m S(t) hình cầu Rn với bán kính:  1/2 r(t) = Z l Rn gm @ d dt (2.7) n va ac th 30 si Do đó: d dt Z n |ˆ u| dξ ≤ − t+1 Rn Z Z S(t)c n =− t+1 |ξ|2 |ˆ u|2 dξ |ˆ u| dξ − S(t) Z Z  |ˆ u| dξ + Rn  n u|2 dξ − 2|ξ|2 |ˆ t+1 S(t) Z d dt n |ˆ u| dξ + t+1 Rn Z n |ˆ u| dξ ≤ t+1 Rn Z |ˆ u|2 dξ (2.8) S(t) Ta cần sử dụng bất đẳng thức sau lu an |ˆ u(ξ, t)| ≤ C|ξ|−1 với ξ ∈ S(t), (2.9) n va tn to số C phụ thuộc vào chuẩn u0 L1 L2 Bất đẳng thức ta chứng minh sau Kết hợp bất đẳng thức (2.9) (2.8) ta được: ie gh p d dt Z n |ˆ u| dξ + t+1 Z C |ˆ u| dξ ≤ t+1 Rn |ξ|−2 dξ S(t) nl w Rn Z d oa Nhân với thừa số tích phân (t + 1)n ta có:   Z Z d  n  n−1 (t + 1) |ˆ u| dξ ≤ C(t + 1) |ξ|−2 dξ nf va an lu dt Rn S(t) lm ul Vế phải biểu diễn dạng: z at nh oi Zr(t) Cw0 (t + 1)n−1 rn−1 r−2 dr, z (2.7) Do Z   Cw0 n |ˆ u| dξ ≤ (t + 1)n−1 n−2 2(t + 1) n/2−1 m co  d (t + 1)n dt l gm @ w0 thể tích hình cầu đơn vị n-chiều r(t) đuợc định nghĩa ≤C(t + 1)n/2 an Lu Rn n va ac th 31 si Lấy tích phân theo thời gian t, ta suy (t + 1) n Z Z |ˆ u(ξ, 0)|2 dξ + C[(t + 1)n/2+1 − 1] |ˆ u| dξ ≤ Rn Rn Do u0 ∈ L2 , từ định lý Plancherel ta có: Z |u|2 dx ≤ C(t + 1)−n/2+1 Rn Để hoàn thiện chứng minh cần thiết lập bất đẳng thức (2.9) Sử dụng biến đổi Fourier cho phương trình (2.4) ta được: lu an uˆt + |ξ|2 uˆ = G(ξ, t) (2.10) va n đó: to ie gh tn G(ξ, t) = −F(u · ∇u) + iξ F(p), p Nhân (2.10) với nhân tử e|ξ| t ta được: d oa nl w d |ξ|2 t [e u] = e|ξ| t G(ξ, t) dt an lu Lấy tích phân theo thời gian ta Zt nf va |ξ|2 t e |ξ|2 t |ˆ u(ξ, t)| ≤ e z at nh oi lm ul Do đó: e|ξ| s G(ξ, s)ds uˆ = uˆ0 + Zt uˆ0 (ξ) + e|ξ| (t−s) |G(ξ, s)|ds (2.11) z |G(ξ, t)| C|ξ|, l gm @ Giả sử vào lúc ta có đánh giá phụ trợ sau (2.12) m co an Lu đánh giá ta chứng minh sau n va ac th 32 si Kết hợp (2.11) (2.12) ta được: |ˆ u(ξ, t)| ≤ e−|ξ| t uˆ0 (ξ) + C Zt e−|ξ| (t−s) |ξ|ds (2.13) Do u0 ∈ L1 nên biến đổi Fourier nằm L∞ , nghĩa ta có: |uˆ0 (ξ)| ≤ C, (2.14) với ∀ξ số C Thực phép lấy tích phân phương trình (2.13) áp dụng (2.14) cho ta: |ˆ u(ξ, t)| ≤ Ce−|ξ| t + C (1 − e−|ξ| t ) |ξ| lu an Bất đẳng thức mong muốn (2.9) suy bán kính S(t) bị chặn va theo t Chúng ta lưu ý (2.9) thỏa mãn s ∈ K , K tập hợp compac tuỳ ý n gh tn to Để hoàn thành chứng minh cần thiết lập (2.12) Vì mục đích ta phân tích số hạng G(ξ, t) cách tách biệt bắt đầu với số hạng p ie oa nl w đối lưu Bằng cách tích phần phần để ý div u = ta có Z XZ |uj ui ||ξj |dx, |F(u · ∇u)| =