(Luận văn) nghiệm nhớt của các phương trình monge ampere phức suy biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOMKID MANYVANH lu an n va NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH p ie gh tn to MONGE - AMPERE PHỨC SUY BIẾN d oa nl w an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - Năm 2020 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— SOMKID MANYVANH lu an n va NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH p ie gh tn to MONGE - AMPERE PHỨC SUY BIẾN w d oa nl Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học TS DƯƠNG QUANG HẢI z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - Năm 2020 ac th si Lời cam đoan lu Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Dương Quang Hải Các tài liệu luận văn trung thực Các kết chích luận văn chưa cơng bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cảm đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn đẫ cảm ơn thơng tin tích dẫn luận văn rõ nguồi gốc an n va tn to p ie gh Tác giả oa nl w Somkid MANYVANH d nf va an lu Xác nhận Người hướng dẫn khoa học z at nh oi lm ul Xác nhận Khoa chuyên môn z l gm @ TS Dương Quang Hải m co TS Trần Nguyên An an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Dương Quang Hải Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tình kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hồn chỉnh Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè ln động viên, khích lệ, tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn d oa nl w nf va an lu Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn z at nh oi lm ul Somkid Manyvanh z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục lu Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu an n va p ie gh tn to Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến 1.1 Toán tử Monge-Ampère phức 1.2 Phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic 1.3 Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = v 1.4 Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = eεϕ v 13 1.5 Nguyên lý so sánh nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic 17 d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi Sự tồn nghiệm nhớt liên tục phương trình Monge Ampère phức suy biến kiểu elliptic 29 2.1 Phương pháp Preron tính liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic 29 2.2 Sự tổn nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic đa tạp Kahler compact 32 z l gm @ m co Kết luận Tài liệu tham khảo 36 37 an Lu n va ac th iii si Mở đầu lu an n va tn to Trong năm gần đây, phương trình Monge-Ampère phức suy biến đa tạp Kahler compact hữu hạn chiều quan tâm nghiên cứu cách sử dụng công cụ lý thuyết đa vị Phương pháp nghiệm nhớt giải phương trình Elliptic suy biến đa tạp compact đa tạp Riemann đầy đủ đạt kết quan trọng gần M Crandall, H Ishii, P.L Lions vào năm 1992 Một cách tự nhiên, phương pháp nghiệm nhớt áp dụng vào để nghiên cứu nghiệm phương trình Monge- Ampère kiểu elliptic dạng: p ie gh (ω + ddc ϕ)n = eϕ v, d oa nl w ω dạng Kahler nhẵn v dạng thể tích nhẵn đa tạp Kahler compact n chiều X Tuy nhiên, yêu cầu đa tạp Riemann compact đầy đủ, tensor độ cong Riemann không âm nên phương pháp nghiệm nhớt M Crandall, H Ishii, P.L Lions áp dụng vào tìm nghiệm phương trình Monge-Ampère phức suy biến trường hợp tổng quát Tính nghiệm phương trình Monge-Ampère phức suy biến chứng minh kết nghiên cứu T Aubin [2] ST Yau [12] vào năm 1978 tồn 30 năm chưa tiếp tục nghiên cứu cách kết hợp công cụ lý thuyết đa vị phương pháp nghiệm nhớt Đề tài luận văn "Nghiệm nhớt phương trình MongeAmpère phức suy biến" đặt mục đích tìm hiểu nghiên cứu nghiệm yếu phương trình Monge-Ampère đa tạp phức Bằng phương pháp xây dựng nghiệm nhớt, đề tài giới hạn nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến đa tạp Kahler compact Từ kết nghiên cứu trên, phần cuối đề tài dành cho việc nghiên cứu chứng minh lại giả thuyết Calabi tính nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge – Ampère phức suy biến kiểu Eliptic đa tạp Kahler compact trực tiếp mà không sử dụng kỹ thuật Định lý nối tiếng Aubin-Yau tính liên tục Các kết luận văn trình bày dựa vào tài liệu tham khảo số [7] Nội dung đề tài luận văn "Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến" chia làm chương Chương trình bày số kiến thức lý thuyết đa vị phức giải tích phức hàm đa điều hòa dưới, miền siêu lồi, miền giả lồi, miền giả lồi mạnh, tốn tử Monge-Ampère, phương trình Monge - Ampère phức, Từ nghiên cứu tồn nghiệm nhớt phương trình Monge – Ampère phức suy biến đa tạp phức liên thông hữu hạn chiều, nghiên cứu tồn nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic đa tạp phức compact Cuối chương, luận văn nghiên cứu điều kiện nguyên lý so sánh nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic đa tạp phức compact Chương áp dụng nguyên lý so sánh nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic chương 1, luận văn trình bày chứng minh tính liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic Cuối cùng, luận văn sử dụng nguyên lý tồn cục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic đa tạp Kahler compact hữu hạn chiều để thể xây dựng lại nghiệm nhớt phương trình chứng minh tính liên tục cách trực tiếp mà không sử dụng kết định lý Aubin-Yau tính liên tục d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến lu 1.1 Toán tử Monge-Ampère phức an n va p ie gh tn to Định nghĩa 1.1.1 (Hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới) Giả sử (Ω, d) không gian metric, hàm u : Ω → R ∪ {−∞} gọi nửa liên tục {z ∈ Ω : u (z) < r} tập mở với r ∈ R Một hàm u gọi nửa liên tục −u nửa liên tục nl w Từ định nghĩa giới hạn lim sup, có hàm u nửa liên tục với z0 ∈ Ω, ta có lim sup u (z) = u (z0 ) , d oa z→z0 lu z→z0 ε>0 nf va an lim sup u (z) = inf {sup {u (z) : z ∈ Ω, d (z, z0 ) < ε}} z at nh oi lm ul Điều có nghĩa là, với α > u(z0 ) tồn ε > cho u(z) < α với d (z, z0 ) < ε Một hàm thực liên tục vừa nửa liên tục dưới, vừa nửa liên tục z Định nghĩa 1.1.2 (Hàm điều hòa dưới) Giả sử Ω tập mở C Hàm u : X → [−∞, +∞) gọi điều hịa Ω nửa liên tục trên Ω thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với ω ∈ Ω tồn δ > cho với ≤ r ≤ δ ta có (1.1) an Lu
u ω + reit dt m Z2π co l gm @ u (ω) ≤ 2π n va ac th si Chú ý với định nghĩa hàm đồng −∞ Ω xem hàm điều hòa Ω Ký hiệu tập hợp hàm điều hòa Ω SH (Ω) Mệnh đề 1.1.3 Nếu f : Ω → C hàm chỉnh hình Ω log |f | hàm điều hòa Ω Định nghĩa 1.1.4 (Hàm đa điều hòa dưới) Giả sử Ω ⊂ Cn tập mở, u : Ω → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên, không đồng −∞ thành phần liên thông Ω Hàm u gọi đa điều hòa Ω với a ∈ Ω b ∈ Cn , hàm λ 7→ u (a + λb) điều hòa −∞ thành phần liên thông tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω} lu Ký hiệu PSH(Ω) lớp tất hàm đa điều hòa Ω Và ký hiệu PSH_ (Ω) tập hàm đa điều hòa âm Ω an n va ie gh tn to Định nghĩa 1.1.5 (Tập đa cực) Tập E ⊂ Cn gọi tập đa cực với điểm a ∈ E có lân cận V a hàm u ∈ PSH(V ) cho E ∩ V ⊂ {z ∈ V : u (z) = −∞} p Định nghĩa 1.1.6 Nếu u ∈ C (Ω) tốn tử   ∂ u (ddc u)n = 4n n!det dV, ∂zj ∂ z¯k
n z1 ∧ dz2 ∧ d¯ z2 ∧ ∧ dzn ∧ d¯ zn độ đo thể tích dV = 2i dz1 ∧ d¯ Cn gọi toán tử Monge-Ampère phức d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Tiếp theo, nhắc lại nguyên lý so sánh hàm đa điều hòa bị chặn tập giải tích Cn Cho u ∈ PSH(V ) hàm bị chặn địa phương, đa điều hịa tập giải tích V Giả sử dim V = k Khi đó, ta định nghĩa quy nạp toán tử Monge-Ampère hàm u phần quy Vr V sau
m
ddc u := ddc u(ddc u)m−1 , z gm @ E∩Vr an Lu E m co l với m k Và độ đo (ddc u) xác định V Z Z

k (ddc u := ddc u)k , n va với tập Borel E V Tiếp theo, nguyên lý so sánh sau chứng minh Bedford vào năm 80 kỷ trước ac th si Định lý 1.1.7 Cho u, v hàm đa điều hòa bị chặn V Giả sử lim (u(z) − v(z)) > Khi đó, ta có z→∂V Z
k (dd u := c u Năm 1982, theo Bedford Taylor [3] 00đã chứng minh số tính chất sau hàm ω - đa điều hòa lu Mệnh đề 1.2.2 Cho X đa tạp phức compact hữu hạn chiều ω dạng Kahler nhẵn X Nếu ϕ hàm bị chặn X tồn độ đo Radon (ω + ddc ϕ)nBT X thoản mãn tính chất sau: Nếu ϕj dãy hàm ω - đa điều hòa địa phương, nhẵn X hộ tụ giảm hàm ϕ dãy độ đo nhẵn (ω + ddc ϕj )n ) hội tụ yếu tới độ đo Radon (ω + ddc ϕ)nBT an n va Từ Mệnh đề 1.2.2 ta có định nghĩa sau p ie gh tn to Định nghĩa 1.2.3 Cho X đa tạp phức compact hữu hạn chiều ω dạng Kahler nhẵn X ϕ hàm bị chặn, v dạng thể tích nhẵn X Nếu dãy độ đo (ω + ddc ϕj )n ) hội tụ (địa phương) đến eϕ v ta có đẳng thức w (DM A)ω,v oa nl (ω + ddc ϕ)nBT = eϕ v, d theo nghĩa đa vị Phương trình (DM A)ω,v gọi phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic đa tạp Kahler compact X hữu hạn chiều nf va an lu lm ul z at nh oi Trong kết nghiên cứu Bedford Taylor [3] ϕ hàm bị chặn tồn độ đo Radon dương (ω + ddc ϕ)nBT có tính chất sau: Nếu ϕj dãy hàm nhẵn, ω - đa điều hòa mặt địa phương hội tụ giảm đến hàm ϕ Khi đó, ta có dãy độ đo nhẵn (ω + ddc ϕj )n hội tụ yếu tới độ đo (ω + ddc ϕ)nBT Nếu dãy độ đo (ω + ddc ϕj )n hội tụ địa phương đến eϕ v nói đẳng thức z m co l gm @ (ω + ddc ϕ)nBT = eε v, xảy theo nghĩa đa vị an Lu n va ac th si 1.3 Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = v Mục đích phần tìm hiểu mối quan hệ lý thuyết đa vị toán tử Monge-Ampère phức đưa Bedford-Taylor [3] năm 1982 khái niệm nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère thực lần định nghĩa P.L Lions năm 1990 Cho M = M (n) đa tạp (liên thông) phức n chiều v độ đo nửa xác định dương Ký hiệu B hình cầu đơn vị Dn ảnh B biểu diễn hệ trục tọa độ M lu Định nghĩa 1.3.1 Hàm nửa liên tục ϕ : M → R ∪ {−∞} gọi nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère an (DM A)v n va (ddc ϕ)n = v, p ie gh tn to thỏa mãn điều kiện sau: (1) ϕ|M 6≡ −∞ (2) Với x0 ∈ M với hàm q khả vi lớp C xác định lân cận điểm x0 cho hàm ϕ − q đạt giá trị cực đại địa phương điểm x0 ta có (ddc q)nx0 ≥ vx0 d oa nl w nf va an lu Khi đó, ta nói hàm ϕ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân (ddc ϕ)n ≥ v lm ul theo nghĩa nghiệm nhớt M z at nh oi Nhận xét 1.3.2 Nếu v ≥ v (ddc ϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt suy (ddc ϕ)n ≥ v Đặc biệt, điều v = z Mặt khác, lớp nghiệm ổn định với việc lấy qua supremum Cụ thể, có kết sau gm @ m co l Mệnh đề 1.3.3 Nếu hàm ϕ1 , ϕ2 nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức (ddc ϕ)n = v (1.2) an Lu n va sup(ϕ1 , ϕ2 ) nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức (1.2) ac th si Chứng minh Từ (2) Định nghĩa (1.3.1) Nhận xét (1.3.2) suy trự tiếp kết mệnh đề Kết sau tính chéo hóa ma trận Hermit Mệnh đề 1.3.4 [Bổ đề 1.4, [7]] Cho Q ma trận Hermit cho ma trân Hermit nửa xác định dương H ta có det (Q + H) ≥ Khi đó, Q ma trận nửa xác định dương Tiếp theo, hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)n > theo nghĩa nghiệm nhớt ϕ hàm đa điều hòa lu Mệnh đề 1.3.5 Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức (ddc ϕ)n = hàm đa điều hòa M an n va p ie gh tn to Chứng minh Để chứng minh khẳng định Mệnh đề 1.3.5 có tính chất địa phương nên khơng tính tổng qt ta giả sử M = B Cho ϕ nghiệm phương trình (ddc ϕ)n = Gọi x0 ∈ B cho ϕ(x0 ) 6= −∞ Gọi q ∈ C (B) cho ϕ − q đạt giá trị cực đại địa phương x0 Khi đó, ta có ma trận Q = ddc qx0 thỏa mãn det(Q) ≥ Với ma trận Hermite nửa xác định dương H , ta có det(Q + H) ≥ Đặt qH := q + H(x − x0 ) Suy hàm ϕ − qH đạt giá trị cực đại địa phương điểm x0 Theo Mệnh đề 1.3.4, ta có ma trận Hermite Q = ddc qx0 nửa xác định ¯ dương Từ suy ra, với ma trận Hermite xác định dương hij , ta có ¯ ∆H q(x0 ) := hij ∂z∂ ∂qz¯ (x0 ) ≥ Do đó, hàm ϕ nghiệm nhớt d oa nl w lm ul j nf va an lu i z at nh oi phương trình Laplace ∆Hϕ = Trong hệ tọa độ phức thích hợp, tốn tử vi phân hệ số khơng đổi tốn tử Laplace Do đó, theo Mệnh đề 3.2.10, trang 147 Hormander [10] áp dụng cho hàm ϕ ∆H − điều hòa, hàm ϕ nằm lớp hàm L1loc (B) thỏa mãn ∆Hϕ≥0 theo nghĩa phân bố Giả sử (wi ) véc tơ Cn Xét ma trận Hermite xác định dương (hij ) suy biến thành ma trận (wi w−j ) có hạng Theo tính liên tục hàm ϕ ta có z theo nghĩa phân bố Do đó, ta có ϕ đa điều hịa an Lu ∂ 2ϕ ≥ 0, ∂zi ∂ z¯j m ww −j co l gm @ i n va ac th si Ngược lại, giả sử ϕ hàm đa điều hòa Cố định x0 ∈ B, q ∈ C (B)) cho ϕ − q đạt cực đại địa phương điểm x0 Khi đó, với hình cầu đủ nhỏ B ⊂ B có tâm điểm x0 ta có Z ϕ(x0 ) − q(x0 ) ≥ (ϕ − q)dV, V (B ) B ta có V (B ) qdV − q(x0 ) ≥ V (B ) B0 Z Z ϕdV − ϕ(x0 ) ≥ B0 lu Cho bán kính B tiến tới 0, suy q hàm thuộc lớp C nên ∆qx0 ≥ Sử dụng phép thay đổi tuyến tính hệ tọa độ phức suy ∆H q(x0 ) ≥ 0, với ma trận Hermite xác định dương Vì ddc qx0 ≥ (ddc ϕ)n ≥ theo nghĩa nghiệm nhớt an n va p ie gh tn to Tiếp theo, ϕ hàm đa điều hòa bị chặn địa phương đo đo Monge - Ampère (ddc ϕ)nBT hồn tồn định nghĩa theo [3] (ddc ϕ)nBT giới hạn dãy độ đo nhẵn (ddc ϕj )n , ϕj dãy hàm đa điều hòa nhẵn hội tụ giảm đến hàm ϕ) Kết sau rõ mối liên hệ khái niệm đa vị khái niệm nghiệm nhớt oa nl w d Mệnh đề 1.3.6 Cho ϕ hàm nửa liên tục bị chặn địa phương M Khi đó, hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt đa điều hịa độ đo Monge-Ampère thỏa mãn (ddc ϕ)nBT ≥ v theo nghĩa đa vị nf va an lu lm ul z at nh oi Chứng minh Trước chứng minh, nhớ lại kết cổ điển sau nguyên lý so sánh toán tử Monge-Ampère phức hàm đa điều hòa bị chặn (Xem [3]) z Bổ đề 1.3.7 Cho u, w ∈ P SH ∩ L∞ (B) Khi đó, ta có u ≥ w lân cận ∂B (ddc u)nBT ≤ (ddc w)nBT u ≥ w B l gm @ m co Tiếp theo, giả sử ϕ ∈ P SH ∩ L∞ (B) thỏa mãn (ddc ϕ)nBT ≥ v Xét q hàm khả vi lớp C cho hàm ϕ − q đạt cực đại địa phương điểm x0 ϕ(x0 ) = q(x0 ) Vì hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)n ≥ theo nghĩa nghiệm nhớt nên theo Mệnh đề 1.3.4, ta có (ddc q)nx0 ≥ ddc qx0 ≥ Mặt khác, an Lu n va ac th si giả sử (ddc q)nx0 < vx0 Đặt q ε := q + ε kx − x0 k2 Chọn ε > đủ nhỏ, ta có bất đẳng thức sau: < (ddc qxε )n < vx0 Vì v hàm liên tục nên ta chọn hình cầu nhỏ B chứa x0 bán kính r > cho r2 q¯ε := q ε − ε ≥ ϕ, lu an n va p ie gh tn to lân cận ∂B (ddc q¯ε )nBT ≤ (ddc ϕ)nB T Áp dụng Nguyên lý so sánh (Mệnh đề 1.3.7) suy ta có q¯ε ≥ ϕ B Nhưng bất đẳng thức không điểm x0 Do đó, ta có (ddc q)nx0 ≥ vx0 ϕ nghiệm nhớt Ngược lại, giả sử ϕ nghiệm nhớt Cố định x0 ∈ B cho ϕ(x0 ) 6= −∞ q ∈ C thỏa mãn hàm ϕ − q đạt cực đại địa phương x0 Khi đó, ta có ma trận Hermit Q := ddc qx0 thỏa mãn cố định thức det(Q) ≥ vx0 Tiếp theo, áp dụng bổ để B Gaveau xem xét phương trình Monge-Ampère phức phương trình Bellmann sau d oa nl w Bổ đề 1.3.8 [8] Cho Q ma trận Hermit xác định khơng âm cấp n × n Khi đó, ta có  det(Q)1 /n = inf tr(HQ) | H ∈ Hn+ det(H) = n−n , an lu nf va dó Hn+ tập hợp ma trận Hermite xác định dương cấp n × n z at nh oi lm ul Áp dụng Mệnh đề 1.3.8 cho ma trận xác định dương (hi¯j ) với det(h) = n ∂ 2q ∆H q(x0 ) := (hi¯j ) ≥ v 1/n (x0 ), ∂zi ∂ z¯j −n z tức ta có hàm ϕ nghiệm nhớt phương trình tuyến tính ∆H ϕ ≥ v 1/n Phương trình phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số Giả sử v 1/n hàm khả vi lớp C α với α > chọn hàm khả vi lớp C nghiệm của phương trình ∆H ϕ = v 1/n lân cận điểm x0 Khi đó, ta có hàm u = ϕ − f thỏa mãn ∆H u ≥ theo nghĩa nghiệm nhớt Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 3.2.10, trang 147 [10] suy hàm u hàm ∆H - đa điều hịa dưới, ta có ∆H ϕ ≥ v 1/n theo nghĩa độ đo Radon dương m co l gm @ an Lu n va ac th 10 si Sử dụng tích chập quy hóa hàm ϕ, đặt ϕε = ϕ ∗ ρε dễ thấy ∆H ϕε ≥ (v 1/n )n Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 1.3.8 suy (ddc ϕε )n ≥ ((v 1/n )ε )n Ta có dãy hàm ϕ˜k := ϕ1/k dãy giảm hàm nhẵn hội tụ đến hàm ϕ Vì tính liên tục (ddc ϕ)nBT nên suy (ddc ϕ)nBT ≥ v Tiếp theo, xét trường hợp v > v hàm liên tục Holder Trong trường hợp v > liên tục, quan sát thấy hàm v = sup {w | w ∈ C ∞ , v ≥ w > 0} lu Ta có, nghiệm phương trình (ddc ϕ)n = v nghiệm phương trình (ddc ϕ)n = w nên v ≥ w Do đó, suy an n va (ddc ϕ)nBT ≥ v ψε (z) = ϕ(z) + ε kzk2 p ie gh tn to Trong trường hợp tổng quát, thấy hàm d oa nl w thỏa mãn (ddc ψε )n ≥ v + εn λ theo nghĩa nghiệm nhớt với λ dạng tích Euclid Do đó, ta có (ddc ψε )nBT ≥ v nf va an lu Vậy (ddc ϕ)nBT ≥ v Vậy Mệnh đề 1.3.6 chứng minh z at nh oi lm ul Tiếp theo, giả sử ϕ hàm bị chặn Mối liên hệ nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức với nghiệm đa vị kết sau z Định lý 1.3.9 Giả sử v = (ddc ρ)nBT hàm đa điều hòa ρ bị chặn Cho ϕ hàm nủa liên tục cho ϕ 6≡ −∞ thành phần liên thông Khi đó, phát biểu sau tương đương: i) Hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt; ii) Hàm ϕ hàm điều hòa với c > 0, ta có m co l gm @ (ddc sup [ϕ, ρ − c])nBT ≥ v an Lu n va Chứng minh Trước tiên, giả sử hàm ϕ nghiệm nhớt phương trình (ddc ρ)n = v Vì hàm ρ − c nghiệm phương trình ac th 11 si nên theo Mệnh đề 1.3.3 suy hàm sup(ϕ, ρ − c) nghiệm Do đó, theo Mệnh đề 1.3.6 suy
n ddc sup(ϕ, ρ − c) BT ≥ v Ngược lại, cố định điểm x0 ∈ M giả sử tính chất i) định lý Khi đó, ta có hàm ϕ bị chặn địa phương gần điểm x0 từ Mệnh đề 1.3.6 suy hàm ϕ nghiệm nhớt gần điểm x0 Giả sử hàm ϕ(x0 ) 6= −∞ ϕ không bị chặn địa phương gần x0 Cố định q ∈ C cho q ≥ ϕ gần x0 q(x0 ) = ϕ(x0 ) Khi đó, với c > đủ lớn ta có q ≥ ϕc = sup(ϕ, ρ − c) lu an q(x0 ) = ϕc (x0 ) va n Do đó, theo Mệnh đề 1.3.6 ta có to (1.3) gh tn (ddc q)nx0 ≥ vx0 p ie Cuối cùng, hàm ϕ(x0 ) = −∞ không tồn hàm q thỏa mãn bất đẳng thức vi phân (1.3) nên tính chất (ii) cho hàm q cho Vậy Định lý 1.3.9 cho chứng minh oa nl w d Chú ý theo S Kolodziej năm 1998 [11] chứng minh tính chất phát biểu Định lý 1.3.9 tính chất mang tính địa phương độ đo nửa xác định dương v viết cách địa phương dạng v = (ddc ρ)nBT , với hàm đa điều hịa bị chặt ρ Chúng ta nhận thấy, tốn tử Monge-Ampère phức khơng định nghĩa tồn khơng gian hàm đa điều hịa Tuy nhiên, tốn tử lại định nghĩa lớp hàm đa điều hòa mà toán tử Monge-Ampère phức giới hạn liên tục dãy giảm hàm đa điều hòa bị chặn nguyên lý so sánh Ta gọi tập hàm đa điều hòa miền xác định toán tử Monge-Ampère phức nf va an lu z at nh oi lm ul z co l gm @ m Định nghĩa 1.3.10 (Miều siêu lồi) Giả sử Ω miền bị chặn CN Ta nói Ω miền siêu lồi tồn hàm liên tục đa điều hòa âm ρ : Ω → (−∞, 0) cho tập {z ∈ Ω : ρ (z) < c} compact tương đối Ω, với c < Hàm ρ gọi hàm định nghĩa miền Ω an Lu n va ac th 12 si Định nghĩa 1.3.11 (Lớp lượng Cegrell) Cho Ω siêu lồi bị chặn Cn Lớp lượng Cegrell F(Ω) xác định bởi: Một hàm u ∈ F(Ω) tồn dãy hàm uj ∈ E (Ω) cho uj
n R hội tụ giảm tới hàm u, j → ∞ supj Ω ddc uj < +∞, Z
n ∞ E (Ω) := {u ∈ PSH(Ω) ∩ L (Ω) : lim u(z) = 0, ddc uj < +∞} z→∂Ω Ω Tiếp theo, ta có hệ sau lu Hệ 1.3.12 Cho Ω ⊂ Cn miền siêu lồi Khi đó, ta có hàm ϕ ∈ F(Ω) - lớp lượng Cegrell, thỏa mãn (ddc ϕ)n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt độ đo Monge - Ampère phức (ddc ϕ)nBT thỏa mãn (ddc ϕ)nBT ≥ v an n va p ie gh tn to Chứng minh Trên lớp Cegrell F(Ω) n = 2, hàm đa điều hòa ϕ thuộc ε(Ω) 5ϕ ∈ L2loc Khi đó, ta có ϕ hàm đa điều hòa thuộc vào miền xác định tốn tử Monge-Ampère phức, tính chất (ii) Định lý 1.3.9 tương đương với (ddc ϕ)nBT ≥ v theo nghĩa đa vị Theo Định lý 1.3.9 suy điều phải chứng minh w Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = eεϕ v d oa nl 1.4 an lu nf va Cho M = M (n) đa tạp (liên thông) phức n-chiều v độ đo nửa xác định dương Trước hết, có định nghĩa nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến sau z at nh oi lm ul Định nghĩa 1.4.1 Cho ε > số thực dương Khi đó, ta nói hàm nửa liên tục ϕ nghiệm nhớt phương trình MongeAmpère phức suy biến dạng z l gm @ (ddc ϕ)n = eεϕ v, m co hàm ϕ không dồng −∞ với điểm x0 ∈ M , với hàm q ∈ C (M ) lân cận điểm x0 thỏa mãn q − ϕ đạt giá trị cực đại địa phương điểm x0 ϕ(x0 ) = q(x0 ) ta có an Lu n va (ddc q(x0 ))n ≥ eεq(x0 ) v(x0 ) ac th 13 si Bổ đề 1.4.2 ([7, Mệnh đề 1.12]) Cho u hàm điều hòa bị chặn miền Ω ⊂ Cn v = f βn dạng thể tích liên tục với hàm trù mật liên tục f ≥ Giả sử hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)nBT ≥ eϕ f βn , theo nghĩa đa vị miền Ω Khi đó, ta có với δ > đủ nhỏ, hàm quy hóa ϕδ := ϕ ? χδ thỏa mãn (ddc ϕδ )nBT ≥ eϕδ fδ βn , với fδ (x) := inf{|f (y)| ; |y − x| ≤ δ, lu miền Ωδ an n va tn to Mệnh đề 1.4.3 Cho ϕ : M → R hàm nửa liên tục trên, bị chặn Khi đó, ta có (ddc ϕ)n ≥ eεϕ v theo nghĩa nghiệm nhớt ϕ đa điều hòa (ddc ϕ)n ≥ eεϕ v theo nghĩa đa vị p ie gh Chứng minh Nếu ϕ hàm liên tục cho eεϕ v áp dụng Mệnh đề 1.3.6 ta có điều phải chứng minh Vì vậy, để chứng minh Mệnh đề 1.4.3, ta cần xét trường hợp hàm ϕ khơng liên tục Và tốn trở nên phức tạp Thật vậy, khơng tính tổng quát, ta giả sử ε = M = Ω miền Cn Giả sử hàm ϕ nghiệm nhớt Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.3 ϕ hàm đa điều hòa Đặt v := f βn , f > hàm trù mật liên tục dạng thể tích Euclid Cn Chúng ta xấp xỉ hàm ϕ hàm:   ϕδ (x) := sup ϕ(y) − |x − y|2 , x ∈ Ωδ , 2δ y d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul với δ > đủ nhỏ z @ gm Ωδ := {x ∈ Ω; dist(x, ∂Ω) > Aδ} m co l A > số đủ lớn cho A2 > 2oscΩ ϕ Họ hàm bán lồi ϕδ hội tụ giảm đến hàm ϕ δ hội tụ giảm đến Hơn nữa, hàm ϕδ thỏa mãn bất đẳng thức sau nghĩa nghiệm nhớt miền Ωδ an Lu δ ac th 14 n va (ddc ϕδ )n ≥ eϕ fδ βn , fδ (x) = inf {f (y)/ |y − x| ≤ Aδ} , si nên theo Mệnh đề 1.1.3, ta có hàm ϕδ hàm đa điều hòa Vì ϕδ liên tục nên áp dụng Mệnh đề 1.3.6 suy δ (ddc ϕδ )n ≥ eϕ fδ βn ≥ eϕ fδ βn , theo nghĩa đa vị Vì tốn tử Monge-Ampère phức liên tục dọc theo dãy giảm hàm đa điều hòa bị chặn fδ hội tụ tăng đến hàm f nên ta có (ddc ϕ)n ≥ eϕ v theo nghĩa đa vị Tiếp theo, xét trường hợp khác Đặt ϕ hàm đa điều hòa thỏa mãn bất đẳng thức (ddc )n ≥ eϕ v, (1.4) lu an n va p ie gh tn to theo nghĩa đa vị Ω Chúng ta hàm ϕ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân (1.7) theo nghĩa nghiệm nhớt Ω Thật vậy, ϕ hàm liên tục, ta có kết cách áp dụng Mệnh đề 1.3.6 Do đó, xét trường hợp với ϕ không thiết phải hàm liên tục Gọi f hàm xấp xỉ quy hóa tích chập ϕδ := ϕ ? χδ miền Ωδ Khi đó, theo Bổ đề 1.4.2 suy bất đẳng thức theo điểm miền Ωδ w nl (ddc ϕδ )n ≥ eϕδ fδ βn , với fδ (x) := inf {f (y); |y − x| ≤ δ} d oa (1.5) nf va an lu Cho x0 ∈ Ω, q dạng toàn phương đa thức cho ϕ(x0 ) = q(x0 ) ϕ ≤ q lân cận điểm (x0 ), gọi hình cầu 2B , B := B(x0 , r) b Ω Vì ϕ hàm đa điều hòa miền Ω nên theo Mệnh đề 1.3.6 hàm ϕ thỏa mãn (ddc ϕ)n ≥ theo nghĩa nghiệm nhớt Ω Do đó, theo Bổ đề 1.3.4 suy ddc q(x0 ) ≥ Thay hàm q hàm q(x) + ε |x − x0 |2 lấy r > đủ nhỏ Chúng ta giả sử q hàm đa điều hịa hình cầu 2B Tiếp theo, cần chứng minh (ddc q(x0 ))n ≥ eϕ(x0 ) f (x0 )βn z at nh oi lm ul z gm @ co l Thật vậy, với ε > đặt m q ε (x) := q(x) + 2ε(|x − x0 |2 − r2 ) + εr2 an Lu n va Quan sát ϕ ≤ q hình cầu 2B , ta có - Nếu x ∈ ∂B, ϕδ (x) − q ε (x) = ϕδ (x) − q(x) − εr2 ac th 15 si - Nếu x = x0 , ϕδ (x0 ) − q ε (x0 ) = ϕδ (x0 ) − q(x0 ) + εr2 Vì ϕδ (x0 ) − q(x0 ) → ϕ(x0 ) − q(x0 ) = δ → 0, nên với δ đủ nhỏ ta ¯ điểm có hàm ϕδ (x) − q ε (x) đạt giá trị cực đại hình cầu đóng B bên xδ ∈ B giá trị cực đại thỏa mãn bất đẳng thức lim max(ϕδ − q ε ) = lim(ϕδ (xδ ) − q ε (xδ )) ≥ εr2 ¯ B δ→0 (1.6) δ→0 Tiếp theo, ta chứng minh xδ → x0 Thật vậy, ta có ϕδ (xδ ) − q ε (xδ ) = ϕδ (xδ ) − q(xδ ) − 2ε(|xδ − x0 |2 − r2 ) − εr2 = o(1) − 2ε |xδ − x0 |2 + εr2 lu an n va gh tn to ¯ , hàm Nếu x0 điểm giới hạn dãy điểm (xδ ) B maxB¯ (ϕδ − q ε ) hội tụ đến hàm −2ε |x00 − x0 |2 + εr2 Theo bất đẳng thức (1.9), giới hạn ≥ εr2 Vì vậy, ta có −2ε |x00 − x0 |2 ≥ 0, x00 = x0 Suy điều phải chứng minh Từ tính chất trên, kết luận p ie ddc ϕδ (xδ ) ≤ ddc q ε (xδ ), theo bất đẳng thức (1.8) với δ > đủ nhỏ ta có nl w ε (xδ ) q ε (xδ ) e fδ (xδ )βn d oa (ddc q ε (xδ ))n ≥ eϕδ (xδ ) fδ βn = eϕδ (xδ )−q an lu Vì ϕδ − q ε = (ϕδ − q) + (q − q ε ) theo Bổ đề Dini ta có nf va lim sup max(ϕδ − q) = max(ϕ − q) = δ→0 ¯ B lm ul Do ¯ B limδ→0 (ϕδ (xδ ) − q ε (xδ )) ≥ limδ→0 min(q − q ε ) z at nh oi ¯ B = min(−2ε |x − x0 |2 + εr2 ) ¯ B = −εr2 z gm @ Vì dãy {q ε } hội tụ C - chuẩn đến hàm q nên suy co l (ddc q ε (x0 ))n ≥ eq(x0 )−2εr f (x0 )βn m Bằng cách lập luận tương tự, ε → suy bất đẳng thức yêu cầu (ddc q(x0 ))n ≥ eϕ(x0 ) f (x0 )βn , an Lu va n q(x0 ) = ϕ(x0 ) Vậy Mệnh đề 1.4.3 hoàn toàn chứng minh ac th 16 si 1.5 Nguyên lý so sánh nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic Cho X đa tạp phức liên thông n-chiều, cho ω (1,1) - dạng vi phân thực đóng X v dạng thể tích khơng âm X Cho ε ∈ R+ Cho ϕ hàm ω - đa diều hòa xác định tập compact X Xét phương trình Monge - Ampère phức (DM Aεv ) (w + ddc ϕ)n = eεϕ v Định nghĩa 1.5.1 Phương trình (DM Aεv ) gọi phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic lu Trong luận văn, phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) viết lại dạng: an n va eεϕ v − (w + ddc ϕ)n = tn to (DM Aεv ) p ie gh Tiếp theo, cho x ∈ X Nếu κ ∈ ∧1,1 Tx X (1,1) - dạng vi phân X , ta định nghĩa κ+ κn κ ≥ trường hợp cịn lại Khi đó, để nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình (DM Aεv ), biến đối nhỏ phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic Cụ thể, nghiên cứu phương trình sau d oa nl w lu eεϕ v − (w + ddc ϕ)n+ = nf va an (DM Aεv )+ z at nh oi lm ul Ký hiệu P SH(X, w) tập hợp tất hàm w-đa điều hòa X (sau gọi tắt w -đa điều hòa dưới) Khi đó, tồn hàm nửa liên tục khả tích ϕ : X → R ∪ {−∞} cho ddc ϕ ≥ −w, z theo nghĩa dòng Cho ε > v > Năm 1992, nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng cấp 2, M Crandall, H Ishii P.L Lions [5] chứng minh kết sau phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv )+ m co l gm @ an Lu n va Bổ đề 1.5.2 [5] Cho Ω ⊂ tập mở z : Ω → Cn hệ tọa độ chỉnh hình Gọi h vị địa phương nhẵn w xác định Ω ac th 17 si Khi đó, phương trình DM Aεv rút gọn tọa độ chỉnh hình thành phương trình vơ hướng (DM Aεv\z ) eεu W − det(uz z¯) = 0, −1 u = (ϕ + h) |Ω ◦z −1 , z∗ v = eεh|Ω ◦z W dλ λ độ đo Lebesgue z(Ω) Mặt khác, phương trình (DM Aεv )+ rút gọn thành phương trình vơ hướng (DM Aεv\z )+ eεu W − det(uz z¯)+ = lu Từ Bổ đề 1.5.2, [5] định nghĩa nghiệm phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv )+ (DM Aεv ) sau an (2) n va tn to Định nghĩa 1.5.3 Cho ϕx khai triển Taylor bậc hai điểm x ∈ X hàm giá trị thực ϕ khả vi lớp C Đặt (2) ie gh ε F+ (ϕ+ ) = F+,v (ϕx ) = eεϕ(x) vx − (wx + ddc ϕx )n+ p Một nghiệm phương trình (DM Aεv )+ hàm nửa liên tục ϕ : X → R ∪ {−∞} cho ϕ 6≡ −∞ tính chất sau đươc thỏa mãn: Nếu x0 ∈ X q ∈ C xác định lân cận điểm x0 cho ϕ(x0 ) = q(x0 ) d oa nl w đạt cực đại địa phương điểm x0 , nf va (2) lm ul F+ (qx0 ) ≤ an lu ϕ−q z at nh oi Tuy nhiên, định nghĩa với ε = v = khái niệm nghiệm khơng xác định hàm nửa liên tục nghiệm nhớt phương trình (ddc ϕ)n+ = Do đó, đề tài luận văn ta xét trường hợp v > Tiếp theo, tương tự có định nghĩa sau nghiệm phương trình (DM Aεv ) z gm @ (2) m co l Định nghĩa 1.5.4 Cho ϕx khai triển Taylor bậc hai điểm x ∈ X hàm giá trị thực ϕ khả vi lớp C Đặt  eεϕ(x) u − (w + ddc ϕ )n w + ddc ϕx ≥ x x x (2) ε F (ϕx ) = Fv (ϕx ) = +∞ trường hợp lại an Lu n va ac th 18 si Một nghiệm phương trình (DM Aεv ) hàm nửa liên tục ϕ : X → R ∪ {−∞} cho ϕ 6≡ −∞ tính chất sau thỏa mãn: x0 ∈ X q ∈ C , xác định lân cận điểm x0 cho ϕδ(x0 ) = q(x0 ) ϕ−q đạt cực đại địa phương điểm x0 , (2) F (qx0 ) ≤ Để so sánh nghiệm phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) (DM Aεv )+ , có kết sau lu an n va p ie gh tn to Mệnh đề 1.5.5 [6, Bổ đề 2.5] Mọi nghiệm ϕ phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) nghiệm phương trình (DM Aεv )+ , hàm w-đa điều hòa Một hàm nửa liên tục trên, bị chặn địa phương w-đa điều hòa thỏa mãn (w + ddc ϕ)nBT ≥ eεϕ v nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) Nếu v > thi nghiệm phương trình (DM Aεv )+ nghiệm phương trình (DM Aεv ) d oa nl w Chứng minh Chọn vị địa phương ρ cho ddc ρ = w đặt ϕ0 = ϕ + ρ, v = eερ v Khi đó, khẳng định mệnh đề hệ trực tiếp Định nghĩa 1.5.3, Định nghĩa 1.5.4, Định lý 1.3.9 Mệnh đề 1.4.3 Điều phải chứng minh nf va an lu z at nh oi lm ul Định nghĩa 1.5.6 Nghiệm phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) nghiệm phương trình (DM Aεv )+ , tức hàm liên tục ϕ : X → R ∪ {+∞} cho ϕ 6≡ +∞ tính chất sau thỏa mãn: Nếu x0 ∈ X q ∈ C hàm định nghĩa lân cận điểm x0 cho ϕ(x0 ) = q(x0 ) ϕ − q có cực (2) tiểu địa phương x0 ta có F+ (qx0 ) ≥ z @ m co l gm Định nghĩa 1.5.7 Một nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) vừa nghiệm nghiệm Một nghiệm đa vị phương trình (DM Aεv ) hàm nửa liên tục ϕ ∈ L∞ ∩ P SH(X, ω) cho an Lu n ac th 19 va (ω + ddc ϕ)nBT = eεϕ v si Nhận xét 1.5.8 Từ Định nghĩa 1.5.7, ta có nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic liên tục Các nghiệm nghiệm cổ điển phương trình (DM Aεv ) nghiệm nhớt nghiệm nhớt khả vi lớp C Tiếp theo, có khái niệm nguyên lý so sánh địa phương nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic lu Định nghĩa 1.5.9 1) Định nghĩa nguyên lý so sánh địa phương nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) điều kiện sau thỏa mãn: Cho Ω ⊂ X ¯ song chỉnh hình với miền giả lồi mạnh, nhẵn, tập mở cho Ω bị chặn Cn ; Cho u (tương ứng u) nghiệm bị chặn (tương ứng nghiệm bị chặn) phương trình (DM Aεv ) Ω thỏa mãn an n va tn to gh lim sup[u(z) − u(z)] ≤ z→∂Ω ie p Khi đó, ta có u ≤ u 2) Định nghĩa nguyên lý so sánh toàn cục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) X compact điều kiện sau thỏa mãn: Cho u (tương ứng u) nghiệm bị chặn (tương ứng nghiệm bị chặn) phương trình (DM Aεv ) X Khi đó, ta có u ≤ u d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Nhận xét 1.5.10 Định nghĩa nguyên lý so sánh (toàn cục) nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic tương tự với (DM Aεv )+ hồn tồn tương tự phương trình (DM Aεv ) Định nghĩa 1.5.9 Vì phương trình (DM Aεv )+ có vơ số nghiệm nên từ nguyên lý so sánh phương trình (DM Aεv )+ suy nguyên lý so sánh phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) Mặt khác, hàm nửa liên tục nghiệm nên nguyên lý so sánh địa phương nghiệm không áp dụng phương trình (DM Aεv )+ z m co l gm @ an Lu n va Định nghĩa 1.5.11 Một hàm có giá trị thực u định nghĩa tập mở Ω ⊂ Cn khả vi hai điểm z0 ∈ Ω lần hầu khắp nơi ac th 20 si với điểm z0 ∈ Ω bên tập Borel có độ đo Lebesgue Ω, tồn dạng toàn phương Qz0 u R2n mà có dạng cực song tuyến đối xứng, ký hiệu D2 u(z0 ), thỏa mãn với ξ ∈ R2n với |ξ| v > lu an n va p ie gh tn to Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử ε = Gọi u nghiệm bị chặn u nghiệm bị chặn phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) tập mở, giả lồi mạnh, trơn bị chặn Ω, cho u ≤ u biên ∂Ω Trước hết, thay u, u u, u,bởi u − δ, u + δ tương ứng, ta giả sử u ≤ u lân cận nhỏ cuả biên ∂Ω Như chứng minh Mệnh đề 1.4.3, sử dụng tích chập cận u tích chập cận u Vì hàm u, u bị chặn, sai khác số nhỏ nên giả sử với α > đủ nhỏ x ∈ Ωα , ta có     1 2 uα (x) := sup u(y) − |y − x| = sup u(y) − |y − x| 2α 2α y∈Ω |y−x≤α| d oa nl w  y∈Ωα u(y) + |y − x|2 2α  lm ul uα (x) := inf nf va an lu  = inf |y−x|≤α u(y) + |y − x|2 2α  z at nh oi Do đó, với α > đủ nhỏ, ta có uα (x) ≤ uα (x) lân cận biên Ωα Đặt Mα := supΩα [uα − uα ] Suy Ω gm @ α→0 z lim inf Mα ≥ sup [u − u] + m co l Bằng chứng minh phản chứng, giả sử supΩ [u − u] > đó, với α > đủ nhỏ, cận Mα dương đạt điểm xα ∈ Ωα Tiếp theo, hàm uα nửa lồi uα nửa lõm Đặc biệt, theo Định lý Alexandrov [1], ta có uα uα hàm khả vi hai lần hầu khắp nơi Ωα an Lu n va ac th 21 si Trước tiên, uα uα hàm khả vi hai lần điểm xα Khi đó, theo nguyên lý cực đại cố điểm ta có D2 uα (xα ) ≤ D2 uα (xα ), theo nghĩa dạng toàn phương R2 Áp dụng bất đẳng thức cho véc tơ có dạng (Z, Z) (iZ, iZ), nhận bất đẳng thức tương tự dạng Levi Cn , tức ta có bất đẳng thức ≤ ddc uα (xα ) ≤ ddc uα (xα ), lu bất đẳng thức có hàm uα đa điều hịa đưới Ωα (vì hàm u đa điều hòa đưới Ωα ) Từ bất đẳng thức dạng Hermit không âm Cn , suy bất đẳng thức tương tự định thức chúng tức có bất đẳng thức sau an va n (ddc uα )n (xα ) ≤ (ddc uα )n (xα ) gh tn to Vì p ie (ddc uα )n (xα ) ≤ euα (xα ) f α (xα )βn , fα tăng khúc tới hàm f , với v = f βn , w α (xα ) fα (xα )βn , oa nl (ddc uα )n (xα ) ≥ eu d f α giảm khúc tới hàm f Do đó, với α đủ nhỏ α (xα ) fα (xα ) ≤ euα (xα ) f α (xα ) (1.8) nf va an lu eu lm ul Từ bất đẳng thức này, suy Ω z at nh oi sup [u − u] ≤ limα→0 Mα ≤ = lim log α→0 f α (x0 ) fα (xα ) z Điều mâu thuẫn với giả thiết supΩ [u − u] > Khi uα , uα hàm không khả vi hai lần điểm xα với giá trị a > cố định đủ nhỏ, rằng bất đẳng thức (1.8) cách xấp xỉ xα dãy điểm mà hàm uα , uα khả vi hai lần đạt giá trị cực đại Thật vậy, với k ∈ N∗ , hàm nửa lồi m co l gm @ an Lu uα − uα − (1/2k) |x − xα |2 , n va đạt giá trị cực đại điểm xα Do đó, theo Bổ đề Jensen ([Jen], tồn dãy (pk )k≥1 véc tơ hội tụ đến Rn dãy điểm ac th 22 si (yk ) hội tụ đến xα Ωα cho hàm uα uα hai lần khả vi điểm yk và, đặt qk (x) = (1/2k) |x − xα |2 + < pk , x >, suy hàm uα − uα − qk đạt giá trị cực đại Ωα điểm yk Áp dụng nguyên lý cực đại cổ điển với α cố định điểm yk , ta nhận D2 uα (yk ) ≤ D2 uα (yk ) + (1/k)In , theo nghĩa dạng tồn phương R2n Vì hàm uα đa điều hòa Ωα nên nhận bất đẳng thức tương tự dạng Levi sau lu ≤ ddc uα (yk ) ≤ ddc uα (yk ) + (1/k)ddc |x|2 , an (1.9) n va tn to theo nghĩa dạng hermitian xác định dương Cn Từ bất đẳng thức (1.9) suy bất đẳng thức định thức chúng (1.10) ie gh (ddc uα (yk ))n ≤ (ddc uα (yk ) + (1/k)ddc |x|2 )n p Mặt khác, hàm uα − (1/2α2 ) |x|2 lõm Ωα nên ta có oa nl w D2 uα (yk ) ≤ (1/2α2 )In , d theo nghĩa dạng toàn phương R2n Do đó, ta có ddc uα (yk ) ≤ (1/2α2 )ddc x2 lu nf va an (1.11) Từ bất đẳng thức (1.9) (1.11) α cố định, ta có lm ul (ddc uα (yk ) + (1/k)ddc |x|2 )n = (ddc uα (yk ))n + O(1/k) (1.12) z at nh oi Theo định nghĩa nghiệm nghiệm phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ), suy (yk ) fα (yk )βn , (ddc uα (yk ))n ≤ euα (yk ) f α (yk )βn z α (1.13) gm @ (ddc uα (yk ))n ≥ eu Do đó, từ bất đẳng thức (1.10), (1.12) (1.13), với k ≥ ta có fα (yk ) ≤ euα (yk ) f α (yk ) + O(1/k), m co (yk ) l α eu an Lu mà kéo theo bất đẳng thức (1.8) ta cho k → +∞ Lập luận tương tự suy điều mâu thuẫn Vậy Mệnh đề 1.5.12 chứng minh n va ac th 23 si Tiếp theo, thiết lập điều kiện để tồn nguyên lý so sánh nhớt toàn cục phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) chứng minh trực tiếp mà không cần sử dụng kết nghiên cứu T Aubin S.T Yau [2], [12] Định lý sau kết đề tài luận văn Định lý 1.5.13 Cho X đa tạp phức compact, ω (1, 1) - dạng, thực, đóng, liên tục với vị địa phương lớp C , v > dạng thể tích dương cho ε > Khi đó, ta có nguyên lý so sánh nhớt tồn cục phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) lu an n va p ie gh tn to Chứng minh Giả sử ε = Đặt u∗ nghiệm bị chặn u∗ nghiệm bị chặn phương trình (DM Aεv )+ Chọn C > cho hai nghiệm u∗ u∗ có L∞ - chuẩn thỏa mãn ≤ C/1000 Vì u∗ − u∗ hàm nửa liên tục đa tạp compact M Suy u∗ − u∗ đạt giá trị cực đại điểm x ˆ1 ∈ M Chọn hệ tọa độ phức (z , .z n ) lận cận điểm xˆ1 đồng song chỉnh hình lân cận mở điểm xˆ1 với hình cầu phức B(0, 4) bán kính 4, ánh xạ điểm xˆ1 thành tâm hình cầu Sử dụng phép phân hoạch đơn vị, xây dựng metric Riemann đa P √−1 k tạp phức M đồng với metric Kahler k dz ∧ dz k hình cầu tâm bán kính Cho điểm (x, y) ∈ M × M , định nghĩa d(x, y) hàm khoảng cách Riemann Hàm d2 liên tục thuộc lớp c2 lân cận đường chéo ∆ dương (> 0) bên ngồi đường chéo ∆ ⊂ M × M Tiếp theo, xây dựng hàm khơng âm ϕ1 nhẵn M × M cơng thức sau d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul n X i z (x) − z i (y)2n , ϕ1 (x, y) = χ(x, y) i=1 z m co l gm @ χ hàm khơng âm, nhẵn thỏa mãn ≥ χ ≥ 0, χ ≡ hình cầu B(0, 2)2 χ = lân cận biên ∂B(0, 3)2 Cuối cùng, xét hàm trơn thứ hai M × M thỏa mãn ϕ2 B(0,1)2 < −1, ϕ2 M −B(0,2)2 > 3C an Lu Chọn  η > cho −η giá trị chung ϕ2 ϕ2 |∆ n va ac th 24 si lu Lấy tích chập hàm (ξ, ξ ) 7→ max(ξ, ξ ) hàm ρ nủa xác định dương, nhẵn cho BR2 (0, η) = {ρ > 0} nhận hàm nhẵn maxη R2 cho: • maxη (ξ, ξ ) = max(ξ, ξ )nếu |ξ − ξ | ≥ η • maxη (ξ, ξ ) > max(ξ, ξ )nếu |ξ − ξ | < η Định nghĩa hàm ϕ3 ∈ C ∞ (M , R) ϕ3 = maxη (ϕ1 , ϕ2 ) Khi đó, ta có • ϕ3 ≥ 0, • ϕ−1 (0 = ∆ ∩ {ϕ2 ≤ −η}), • ϕ3 |M −B(0,2)2 > 3C Định nghĩa hàm hω ∈ C (B(0, 4), R) vị địa phương nhẵn lên biên ω mở rộng thành hàm nhẵn toàn M Khơng tính tổng qt, ta giả sử hω ∞ < C/10 Đặc biệt, ddc hω = ω w∗ = u∗ + hω nghiệm nhớt phương trình an n va tn to (ddc ϕ)n = eϕ W hình cầu B(0, 4), p ie gh với W dương liên tục Mặt khác, ta có w∗ = u∗ + hω nghiệm nhớt phương trình Cố định α > Xét điểm (xα , yα ) ∈ M cho nl w w∗ (x) − w∗ (y) − ϕ3 (x, y) − αd2 (x, y) 2 (x,y)∈B(0,4) sup d oa Mα = w∗ (xα ) − w∗ (yα ) − ϕ3 (xα , yα ) − αd2 (xα , yα ) nf va an lu = z at nh oi lm ul Cận sup xác định tính cực đại hàm nửa liên tục Vì ∅3 (ˆ x1 , xˆ1 ) = nên ta có bất đẳng thức 2C + C/5 ≥ Mα ≥ w∗ (ˆ x)1 − w∗ (ˆ x)1 ≥ z Theo cách dây dựng, ta có điểm (xα , yα ) ∈ B(0, 2)2 Để tiếp tục chứng minh định lý, cần đến kết sau gm @ α→∞ m co l Bổ đề 1.5.14 [5, Mệnh đề 3.7] Ta có lim αd2 (xα , yα ) = Với điểm an Lu n va ac th 25 si giới hạn (ˆ x, yˆ) dãy (xα , yα ) thỏa mãn xˆ = yˆ, xˆ ∈ ∆ ∩ {ϕ2 − η} w∗ (ˆ x) − w∗ (ˆ x) = u∗ (ˆ x) − u∗ (ˆ x) = max w∗ (x) − w∗ (x) − ϕ3 (x, x) x∈B(0,4) = max2 u∗ (x) − u∗ (x) − ϕ3 (x, x) x∈M = u∗ (ˆ x1 ) − u∗ (ˆ x1 ) = w∗ (ˆ x1 ) − w∗ (ˆ x1 ) lim inf w∗ (xα ) − w∗ (yα ) ≥ w∗ (ˆ x1 ) − w∗ (ˆ x1 ) α→+∞ lu an n va tn to Tiếp theo, sử dụng [5, Định lý 3.2] với hàm u1 = w∗ , u2 = −w∗ , ϕ = 2 αd + ϕ3 Với α  1, địa phương hóa hình cầu B(0, 2) cho d trở thành hàm khoảng cách Euclide Sử dụng công thức đạo hàm thứ thứ hai cho bình phương hàm u1 , u2 , ϕ, nhận kết sau p ie gh Bổ đề 1.5.15 Với ε > 0, tồn điểm (p∗ X∗ ), (p∗ X ∗ ) ∈ Cn × Sym2R (Cn ) cho (1) (p∗ , X∗ ) ∈ J 2+ w∗ (xα ), (2) (−p∗ , −X ∗ ) ∈ J 2− w∗ (yα ), (3) Ma trận đường chéo khối với phần tử (X∗ − X ∗ ) thỏa mãn: ! X∗ −(ε−1 + kAk)I ≤ ≤ A + εA2 , ∗ −X d oa nl w nf va an lu I −I −I I ! + D2 ϕ3 (xα , yα ) z at nh oi A=α lm ul A = D2 ϕ(xα , yα ), tức z kAk bán kính phổ ma trận A (giá trị lớn giá trị tuyệt đối giá trị riêng ma trận đối xứng A) gm @ m co l Theo cách xây dựng, ta có chuỗi Taylor hàm ϕ3 điểm ∆ ∩ {ϕ2 < −η} triệt tiêu đến bậc 2n Bẳng cách biến đổi tính tốn trực tiếp, ta có ∆ ∩ {ϕ2 < −η} trù mật ∆ ∩ {ϕ2 ≤ −η} chuỗi Taylor hàm ϕ3 triệt tiêu đến bậc 2n ∆ ∩ {ϕ2 ≤ −η} Đặc biệt, ta có D2 ϕ3 (xα , yα ) = O(d(xα , yα )2n ) = o(α−n ) an Lu n va ac th 26 si Suy kAk ' α Chọn α−1 = ε suy ! ! X∗ I −I −(2α)I ≤ ≤ 3α + o(α−n ) ∗ −X −I I lu an n va gh tn to Từ suy giá trị riêng X∗ , X ∗ O(α) giá trị riêng X∗ , −X ∗ o(α−n ) Tiếp theo, cổ định X ∈ Sym2R (Cn ) ký hiệu X 1,1 (1; 1)- dạng Nó ma trận Hermite Rõ ràng giá trị riêng ma trận X∗1,1 , X ∗1,1 O(α) giá trị riêng ma trận X∗1,1 − X ∗1,1 o(α−n ) Vì (p∗ , X∗ ) ∈ J 2+ w∗ (xα ) nên từ định nghĩa nghiệm nhớt suy X 1,1∗ xác định dương tích n giá trị riêng thỏa mãn ≥ c > theo α Đặc biệt, giá trị riêng nhỏ X 1,1∗ thỏa mãn ≥ cα−n+1 Từ bất đẳng thức X∗1,1 + o(α−n ) ≤ X ∗1,1 suy X ∗1,1 > det(X ∗1,1 )/ det(X∗1,1 ) ≥ + o(α−1 ) Cuối cùng, (p∗ , X∗ ) ∈ J 2+ w∗ (xα ) (−p∗ , −X ∗ ) ∈ J 2− w∗ (yα ), theo định nghĩa nghiệm nhớt, ta có ∗ p ie det(X ∗1,1 ) ew (yα ) W (yα ) ≤ w (x ) e ∗ α W (xα ) det(X∗1,1 ) w ∗ d oa nl Lấy giới hạn α → +∞, ta ≤ elim sup w (yα )−w∗ (x∗ ) Áp dụng Bổ đề 1.5.14 cho trường hợp w∗ (ˆ x) ≥ w∗ (ˆ x), suy u∗ (ˆ x) ≥ u∗ (ˆ x) Vậy Định lý 1.5.13 chứng minh nf va an lu z at nh oi lm ul Vì v > nên nghiệm phương trình (DM Aεv )+ nghiệm phương trình (DM Aεv ) Do đó, ta cần chứng minh nguyên lý so sánh nhớt toàn cục phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv )+ z Định nghĩa 1.5.16 Một đa tạp phức compact X gọi thuộc lớp Fujiki X tồn hàm ϕ ω - đa điều hòa bị chặn địa phương thỏa mãn phương trình m co l gm @ (w + ddc ϕ)nBT = eϕ v, an Lu theo nghĩa đa vị n va Hệ 1.5.17 Giả sử X đa tạp phức compact, ω (1, 1) - dạng, thực, đóng, liên tục với vị địa phương lớp C , v > dạng thể tích ac th 27 si R R nửa xác định dương thỏa mãn X v > Nếu w ≥ X w ≥ tồn nghiệm nhớt ϕ ∈ C (X) phương trình Monge - Ampère phức (DM A)w,v : (ω + ddc ϕ)n = eϕ v Nếu X đa tạp phức compact thuộc lớp Fujiki nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức (DM A)w,v đồng với hàm w-đa điều hòa ϕ X thỏa mãn phương trình (w + ddc ϕ)nBT = eϕ v, theo nghĩa đa vị lu Chứng minh Sử dụng cách xây dựng nghiệm yếu phương trình phương trình Monge - Ampère phức suy biến trường hợp v > dạng thể R tích nửa xác định dương thỏa mãn X v > áp dụng Định lý 1.5.13 an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 28 si Chương Sự tồn nghiệm nhớt liên tục phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic lu an n va p ie gh tn to Cho X đa tạp Kahler compact n- chiều, v > dạng thể tích nửa xác định dương với trù mật liên tục, ε ≥ cho ω (1, 1) dạng đóng, thực, nhẵn có lớp đối đồng điều nửa xác định dương thỏa mãn {ω}n > Phương pháp Preron tính liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic d oa nl w 2.1 an lu nf va Bằng cách kết hợp phương pháp nghiệm nhớt kỹ thuật lý thuyết đa vị để tìm nghiệm phương trình Monge-Ampère phức suy biến có dạng (ω + ddc ϕ)n = eεϕ v, z at nh oi lm ul z với ε ≥ Ở đây, cách sử dụng cách xây dựng cận nghiệm nhớt nghiệm theo nghĩa đa vị, nguyên lý so sánh toàn cục nghiệm nhớt kỹ thuật đa vị Kolodziej [11, 6], hồn tồn tiếp cận cách tìm nhiệm phương trình Monge-Ampère phức suy biến độc lập thay cho cách giải S.T Yau [12] giả thuyết Calabi tính liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge - m co l gm @ an Lu n va ac th 29 si Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Av ) sau (ω + ddc ϕ)n = eεϕ v Trong trường hợp ε = 1, nguyên lý so sánh nhớt toàn cục áp dụng phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A1v ), ta chứng minh tính liên tục nghiệm nhớt (hay nghiệm vị) phương trình (DM A1v ) phương pháp Perron Cụ thể, có định lý sau lu Định lý 2.1.1 (Phương pháp Preron) Giả sử nguyên lý so sánh nhớt tồn cục áp dụng phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A1v ) phương trình (DM A1v ) có nghiệm bị chặn u nghiệm nhớt bị chặn u Khi đó, ta có hàm  ϕ = sup w | u ≤ w ≤ u w nghiệm nhớt (DM A1v ) an n va p ie gh tn to nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v ) Đặc biệt, hàm ϕ hàm w-đa điều hòa dưới, liên tục ϕ nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v ) theo nghĩa đa vị w d oa nl Chứng minh Thật vậy, theo [5, Bổ đề 4.2 ] suy cận ϕ nghiệm nhớt phương trình (DM A1v ) nghiệm nhớt (DM A1v ) hàm nửa liên tục Do đó, hàm ϕ nghiệm nhớt phương trình (DM A1v )+ Ký hiệu ϕ∗ bao hàm nửa liên tục ϕ Chúng ta ϕ∗ nghiệm nhớt phương trình (DM A1v ) Bằng phương pháp chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại ϕ∗ khơng nghiệm nhớt phương trình (DM A1v ) Cố định x0 ∈ X hàm q khả vi lớp C (2) cho ϕ∗ − q đạt giá cực tiểu địa phương điểm x0 F+ (qx ) < Do đó, ta có vx0 > Chúng ta xây dựng nghiệm nhớt U cho U (x1 ) > ϕ(x1 ) với x1 ∈ X Điều mâu thuẫn dẫn đến hàm ϕ∗ nghiệm nhớt theo nguyên lý so sánh nhớt ta có ϕ∗ ≥ ϕ Vì ϕ = ϕ∗ ≥ ϕ∗ nên ϕ = ϕ∗ = ϕ∗ nghiệm nhớt liên tục Và ta có điều phải chứng minh Xây dựng nghiệm nhớt U sau: Đặt (z , .z n ) hệ tọa độ với tâm x0 cho đồng phôi địa phương với hình cầu đơn vị phức nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 30 si giả sử v > hình cầu phức Khi đó, với γ, δ, r > đủ nhỏ ta có (2) qγ , δ = q + δ − γ kzk2 thỏa mãn F+ (qγ,δ ) < với kz(x)k ≤ r Chọn δ = (γr2 )/8, r > đủ nhỏ Vì ϕ∗ (x) − q(x) ≥ với kz(x)k ≤ r nên ta có ϕ(x) ≥ ϕ∗ (x) > qγδ (x) r/2 ≤ kz(x)k ≤ r Khi đó, ta định nghĩa hàm U xác định bởi: U (x) = max(ϕ(x), qδ,γ (x)), lu an n va p ie gh tn to kz(x)k ≤ r U (x) = ϕ(x) trường hợp lại Suy ra, hàm U nghiệm nhớt phương trình (DM A1v )+ nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v ) giả sử v > phần có liên quan X Chọn dãy (xn ) hội tụ đến x0 cho ϕ(xn ) → ϕ∗ (x0 ) Khi đó, ta có qγ,δ(xn ) → ϕ∗ (x0 ) + δ Vì vậy, với n  ta có U (xn ) = qγ,δ (xn ) > ϕ(xn ) Cuối cùng, chứng minh hàm ϕ nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v ) theo nghĩa đa vị Nó xuất phát từ lập luận trước lý thuyết đa vị Thật vậy, ϕ nghiệm nhớt, theo Mệnh đề 1.4.3, ta có (ω + ddc ϕ)nBT ≥ eεϕ v Bằng phương pháp phản chứng, chọn B ⊂ hình cầu mà (ωd dc ϕnBT 6= eεϕ v) Nghiệm tốn Dirichlet hàm đa điều hịa liên tục ψ B với (ω + ddc ψ)nBT 6= eεψ v ψ 6= ϕ ∂B Theo nguyên lý so sánh Bedford Taylor suy ψ ≥ ϕ ψ ≥ ϕ theo giả thiết Do đó, hàm ϕ nghiệm nhớt Với t > đủ nhỏ, ta có ϕ0 = max(ϕ, ψ − t) nghiệm nhớt khác với ϕ0 > f tập mở Điều mâu thuẫn với định nghĩa bao hàm ϕ Vậy Định lý 2.1.1 chứng minh d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z Nhận xét 2.1.2 Trong trường hợp ε = 0, tức ta có (ω + ddc ϕ)n = v đa tạp Kahler compact nghiệm nghiệm phương trình khơng tồn áp dụng phương pháp chứng minh Perron việc xây dựng tính liên tục nghiệm phương trình Monge - Ampère phức (ω + ddc ϕ)n = v co l gm @ m Định lý 2.1.3 [6] Cho X đa tạp phức compact thuộc lớp Fujiki Cho v độ xác suất nửa xác định dương với Lp - trù mật, p > cố định ω ≥ (1, 1) - dạng thực, nhẵn, nửa xác định dương thỏa mãn R n X ω = Khi đó, hàm ω - đa điều hòa bị chặn địa phương an Lu n va ac th 31 si R X chuẩn hóa X ϕ = cho độ đo Monge - Ampère thỏa mãn phương trình (ω + ddc ϕ)nBT = v hàm liên tục 2.2 Sự tổn nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic đa tạp Kahler compact lu Trong phần này, nghiên cứu tính liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic đa tạp Kahler compact Giả sử X đa tạp Kahler compact v dạng thể tích nửa xác định dương, liên tục Cổ định β dạng Kahler X Xét điều kiện (∗) X sau: an ∃η > 0∃ψ ∈ L∞ ∩ P SH(X, ω) : (ω + ddc ψ)n ≥ ηβ n n va (∗) p ie gh tn to Trong [4] [6] chứng minh X đa tạp Kahler compact, R ω (1, 1)-dạng nửa xác định dương với X ω n > (X, ω) thỏa mãn điều kiện (∗) Khi đó, sử dụng nguyên lý toàn cục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic Định lý 2.1.1 xây dựng nghiệm nhớt phương trình chứng minh tính liên tục cách trực tiếp mà không sử dụng kết định lý Aubin-Yau tính liên tục [2, 12] d oa nl w an lu nf va Định lý 2.2.1 Giả sử X đa tạp Kahler compact, ω (1, 1)R dạng nửa xác định dương với X ω n > v độ đo xác suất nửa xác định dương, liên tục X Khi đó, điều kiện (∗) thỏa mãn tồn hàm ω -đa điều hòa ϕ nghiệm nhớt (tương đương nghiệm đa vị) phương trình Monge - Ampère phức suy biến z at nh oi lm ul z (ω + ddc ϕ)n = eϕ v @ m co l gm Chứng minh Tính nhất: Nếu ω dạng Kahler X điều kiện (∗) thỏa mãn, v clà đo đo dương theo [6, Mệnh đề 4.3] suy tính nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A1 v) Sự tồn tại: Trong trường hợp tổng quát, xây dựng nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A1 v) phương pháp an Lu n va ac th 32 si xấp xỉ [6] Thật vậy, trước tiên giả sử v độ đo dương X R lớp {ω} nửa xác định dương thỏa mãn X ω n > Với < ε ≤ 1, tồn hàm ω + εβ - đa điều hòa uε thỏa mãn (ω + εβ + ddc uε )n = euε v Vì dãy (uε ) dãy compact tương đối theo L1 (X) nên supX uε bị chặn ε & 0+ Mặt khác, ta có R Z n supX uε Xω = e ≥ ωn v(X) X lu an n va X X X X tn to supX uε bị chặn dưới, Đặt wε := uε − supX uε Vì wε dãy hàm compact tương đối hàm (ω + β) - đa điều hòa nên tồn R số C > cho với < ε ≤ ta có X wω dv ≥ −C theo [9] Từ tính lõm logarithm suy Z Z n log (ω + β) ≥ sup uε + log (ewε dv) ≥ sup uε − C p ie gh Do đó, dãy hàm supX uε bị chặn Tiếp theo, dãy (uε ) giảm ε hội tụ giảm đến 0+ Thật vậy, giả sử < ε0 ≤ ε cố định δ > Khi đó, hàm uε0 , uε đa điều hòa Theo nguyên lý so sánh ta có Z Z (ω + εβ + ddc uε0 )n ≤ (ω + εβ + ddc uε )n d oa nl w nf va an Vì (uε0 ≥uε +δ) lu (uε0 ≥uε +δ) lm ul (ω + εβ + ddc uε0 )n ≥ (ω + ε0 β + ddc uε0 )n ≥ eδ (ω + εβ + ddc uε )n z at nh oi tập hợp (uε0 ) ≥ uε + δ có độ đo Lebesgue Vì δ > tùy ý suy uε0 ≤ uε Đặt u = limε→0 uε giới hạn giảm hàm uε Theo cách xây dựng, u hàm ω - đa điều hòa Nó theo [6, Mệnh đề 1.2, Định lý 2.1 Mệnh đề 3.1] suy u bị chặn nghiệm (đa vị) phương trình Monge-Ampère phức z m co l gm @ (ω + ddc u)n = eu v an Lu Từ đó, suy điều kiện (∗) thỏa mãn Theo Hệ 3.2, suy hàm u liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức (ω + ddc u)n = eu v n va ac th 33 si Ta cịn phải tính xác định dương v Vì {ω} nửa xác định R dương thỏa mãn X ω n > v độ đo xác suất nửa xác định dương, liên tục nên phương trình Monge-Ampère phức giải (ω + ddc ϕε )n = eϕε [v + εβ n ] , ϕε hàm ω - đa điều hòa dưới, liên tục < ε ≤ Vì R n supX ϕε XRω e ≥ + X βn lu an n va tn to nên ta có supX ϕε bị chặn Từ tính chất lõm logarit nên Mε := supX ϕε bị chặn Thật vậy, đặt ψε := ϕε −Mε Khi đó, ta có (ψε ) dãy compact tương đối hàm ω R đa điều hòa Do đó, tồn số C > cho X ψε (v +β n ) ≥ −C Vì Z Z Z n  n v + εβ v + εβ log eψε R ≥ ψε R ≥ ψε (v + β n ) ≥ −C n n X v + εβ X v + εβ gh nên suy  ie Z ω n ≥ Mε + log + ε p log Z X  β n − C X d oa nl w Do đó, dãy (Mε ) bị chặn Cuối cùng, ta chứng minh dãy (ϕε ) compact tương đối L1 (X) Thật vậy, theo [6, Mệnh đề 2.6 Mệnh đề 3.1] suy hàm ϕε bị chặn ε hội tụ giảm xuống tới Từ [6, Bổ đề 2.3] với tính bị chặn dãy (ϕε ) suy với < δ