LUẬN văn THẠC sĩ HAY nghiệm yếu của phương trình kiểu schrodinger kirchhoff chứa toán tử p laplace phân thứ trên rn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TOÁN TỬ P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TỐN TỬ P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Thin THÁI NGUYÊN - 2020 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Nithsavad VONGSY Vasia VAYINGTUVUE Xác nhận Trưởng khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn khoa học i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thìn Thầy tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Một lần xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy! Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ Nhiệm khoa Tốn thầy tổ Bộ mơn Giải tích tạo điều kiện cho tơi làm luận văn, quan tâm đôn đốc trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng 86 năm 2020 Nithsavad VONGSY ii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Mở đầu 1 Nghiệm yếu ca phng trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phân thứ với đại lượng nhiễu 1.1 Giới thiệu toán số kết bổ trợ 1.2 Sự tn ti nghim yu cho phng trỡnh kiu SchrăodingerKirchhoff khụng chứa toán tử p-Laplace phân thứ RN 12 Nghiệm yếu phng trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn thứ, số mũ tới hạn đại lượng Hardy 2.1 29 Phng trỡnh khụng suy bin kiu Schrăodinger-Kirchhoff dng cha toán tử p-Laplace phân thứ đại lượng Hardy 2.2 29 Phương trình suy biến kiểu Schrăodinger-Kirchhoff dng cha toỏn t p-Laplace phõn th v s mũ tới hạn 41 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Lý chọn luận văn Trong thời gian gần đây, nhà toán học dành quan tâm nghiên cứu tốn tử khơng địa phương loại elliptic ứng dụng toán tối ưu, tài chính, học lượng tử, khoa học vật liệu Toán tử Laplace thứ dạng mở rộng tốn tử Laplace, định nghĩa thơng qua tích phân kỳ dị cung cấp mơ hình đơn giản để mơ tả q trình Lévy lý thuyết xác suất Một mở rộng toán tử Laplace thứ toán từ p-Laplave phân thứ.Với s ∈ (0, 1) hàm u ∈ Ln (RN ), n > 2s, tốn tử Laplace thứ (−∆)s u định nghĩa (−∆)s u(x) = C(n, s) lim ε→0 RN \B(x,ε) u(x) − u(y) dy), |x − y|n+2s , ς = (ς1 , ς ), ς ∈ Rn+1 Ngoài định − cos ς1 dς |ς|n+2s C(n, s) = RN nghĩa trên, tốn tử Laplace thứ (−∆)s cịn định nghĩa thơng qua phép biến đổi Fourier [26], s- mở rộng điều hòa giới thiệu CaffarelliSilvestre [12] Các toán dạng Kirchhoff mô tả số tượng vật lý, cụ thể Kirchhoff nghiên cứu toán   L ∂ 2u p0 E ∂u  ∂ u ρ − + dx = 0, ∂t h 2L ∂x ∂x2 (1.1) mở rộng phương truyền sóng D’Alambert, mơ tả thay đổi độ dài dây trình dao động, ρ, p0 , h, E, L số L p0 E Phương trình chứa đại lượng không địa phương + h 2L ∂u ∂x dx, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ∂u ∂u phụ thuộc vào trung bình dx động [0, L] Hơn ∂x ∂x toán dạng (1.1) sử dụng nhiều mơ hình hệ sinh học, u mơ tả q trình Có nhiều tốn kiểu Kirchhoff nghiên cứu cho lớp tốn tử khác Có thể kể đến   L | u|2 dx ∆u = h(x, u) − a + b Ω Thời gian gần đây, nhiều tác giả nghiên cứu [4, 3, 37] mở rộng tốn cho phương trình kiu Schrăodinger RN : ()s u + V (x)u = f (x, u) RN Một mở rộng (−∆)s toán tử p-Laplace phân thứ (−∆)sp định nghĩa (sai khác số) (−∆)sp u(x) = lim ε→0 RN \B(x,ε) |u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y)) dy |x − y|n+ps Hiện toán tồn nghiệm phương trình chứa tốn tử khơng địa phương loại elliptic (trong có toán tử Laplace phân thứ p-Laplace phân thứ) thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới: Pucci (Đại học Degli Studi di Perugia, Italy), Giovanni (Đại học Mediterranea’ di Reggio Calabria, Italy), Repovˇs (Đại học Ljubljana, Slovenia), Servadei (Đại học Degli Studi di Urbino ‘Carlo Bo’, Italy), Radulescu (Viện Toán “Simion Stoilow”- Viện hàn lâm khoa học Romanian), Zhang (Đại học Heilongjiang, Trung Quốc), Ambrosio (Đại học DegliStudidiUrbino‘Carlo Bo’, Italy), Wei (Đại học British Columbia, Canada), Fazly (Đại học Alberta, Canada), Cabre (Đại học Politècnica de Catalunya, Tây Ban Nha), Tan (Đại học Técnica Federico Santa María, Chile), Barrios (Đại học Autónoma de Madrid, Tây Ban Nha), Tiếp tục hướng nghiên cứu này, tơi nghiên cứu tốn kiểu SchrăodingerKirchhoff cho phng trỡnh p-Laplace phõn th RN cú dạng:   p |u(x) − u(y)|  (−∆)sp u = λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|p∗s −2 u M dx dy |x − y|n+ps R2n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi M không suy biến, nghiên cứu tồn nghiệm toán chứa số hạng kỳ dị Hardy sau RN :   p |u(x) − u(y)| |u|p−2 u s   M dx dy (−∆)p u − γ |x − y|n+ps |x|ps R2n ∗ = λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|ps −2 u Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng nghiên cứu bản, sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến tốn tử Laplace thứ Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề luận văn Mục đích luận văn Mục đích luận văn nghiên cứu nghiệm yếu số lớp phng trỡnh Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th Nội dung luận văn Luận văn gồm chương: - Chng Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace phân thứ với đại lượng nhiễu - Chng Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff chứa toán tử p-Laplace phân thứ, số mũ tới hạn đại lượng Hardy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Nghiệm yếu phương trình kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th vi đại lượng nhiễu 1.1 Giới thiệu toán số kết bổ trợ Trong chương nghiờn cu phng trỡnh p-Laplace phõn th kiu Schrăodinger-Kirchhoff nh sau M [u]ps,p (−∆)sp u + V (x) |u|p−2 u = f (x, u) + g(x) RN , [u]ps,p |u(x) − u(y)|p−2 := R2N |x − y|N +ps (1.1) dxdy, (1.2) đó, < s < < p < ∞ với ps < N, (−∆)sp toán tử p-Laplace phân thứ định nghĩa dọc theo hàm ϕ ∈ C0∞ (RN ) (−∆)sp ϕ(x) = lim+ ε→0 |ϕ(x) − ϕ(y)|p−2 (ϕ(x) − ϕ(y)) |x − y|N +ps RN \Bε (x) dy với x ∈ RN , Bε (x) := {y ∈ RN : |x − y| < ε, xem [20, 23] tài liệu tham khảo để biết thêm chi tiết toán tử p-Laplace phân thứ Hàm g = g(x) xem số hạng nhiễu loạn Khi p = M ≡ phương trình (1.1) trở thành phương trình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Laplace phân thứ (−∆)s u + V (x)u = f (x, u) + g(x) RN , coi dạng phõn th ca phng trỡnh Schrăodinger dng c in sau −∆u + V (x)u = f (x, u) + g(x) RN Trong năm gần đây, phương trình Kirchhoff thuộc kiểu |∇u|2 dx ∆u = h(x, u) Ω, − a+b (1.3) Ω Ω ⊂ RN miền trơn nhẵn, a > 0, b u thỏa mãn số điều kiện biên nhận quan tâm lớn Bài toán (1.3) liên quan đến tương tự dừng phương trình Kirchhoff |∇u|2 dx ∆u = h(x, u), utt − a + b (1.4) Ω đề xuất Kirchhoff năm 1883 mở rộng phương trình truyền sóng D’Alembert tiếng ∂ 2u ρ − ∂t p0 E + λ 2L L ∂u dx ∂x ∂ 2u = h(x, u) ∂x2 Mơ hình Kirchhoff có tính đến thay đổi độ dài dây tạo dao động ngang Ở đây, L độ dài dây, h diện tích tiết diện ngang, E môđun Young vật liệu, ρ khối lượng riêng p0 pha ban đầu Trong [2], toán (1.4) vài mơ hình vật lý, u mơ tả q trình phụ thuộc vào mức trung bình Bài tốn khơng địa phương tìm thấy ứng dụng hệ thống sinh học Một ứng dụng khác toán (1.3) sử dụng để mơ tả tăng trưởng di chuyển loài cụ thể Chuyển động mơ hình hóa số hạng tích phân, giả định phụ thuộc lượng toàn hệ thống với u mật độ tập hợp Ngồi ra, chuyển động lồi cụ thể phải chịu ảnh hưởng mật độ dân số miền, dẫn đến phương trình kiểu ut − ψ( Ω udx)∆u = h(x, u) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com vậy, với u ∈ Ds,p (RN ), phiếm hàm u, · s,p tuyến tính liên tục Ds,p (RN ) Do đó, áp dụng (2.7), (2.13) (2.17) n → ∞ ta có o(1) = Jγ,λ (un ) − J αγ,λ (uγ,λ ), un − uγ,λ = M ([un ]ps,p )[un ]ps,p p + M (αγ,λ )[uγ,λ ]ps,p − M ([un ]ps,p ) un , uγ,λ s,p p − M (αγ,λ ) uγ,λ , un s,p w(x)(|un |p−2 un − |uγ,λ |p−2 uγ,λ )(un − uγ,λ )dx −γ RN ∗ ∗ K(x)(|un |ps −2 un − |uγ,λ |ps −2 uγ,λ )(un − uγ,λ )dx −λ RN p p = M (αγ,λ )(αγ,λ − [uγ,λ ]ps,p ) p∗ + uγ,λ ps∗s ,K + o(1) p p = M (αγ,λ )(αγ,λ − [uγ,λ ]ps,p ) − γ un p H + γ uγ,λ − γ un − uγ,λ p H p H − un p∗s p∗s ,K − un − uγ,λ p∗s p∗s ,K + o(1) Theo (2.13) ta có w(x)(|un |p−2 un − |uγ,λ |p−2 uγ,λ )(un − uγ,λ )dx = lim n→∞ RN Hơn nữa, sử dụng lại (2.13) Bổ đề Brézis - Lieb [11], ta có [u]ps,p = [u − uγ,λ ]ps,p + [uγ,λ ]ps,p + o(1), p∗s p∗s ,K un pH un p∗s p∗s + u ∗ γ,λ ps ,K p∗s ,K + o(1), uγ,λ pH + uγ,λ pH + o(1) = un − uγ,λ = un − n → ∞ Cuối cùng, [u]s,p → αγ,λ n → ∞, nên ta thu công thức p∗s p∗s ,K M (αγ,λ ) lim [un − uγ,λ ]ps,p = lim un − uγ,λ n→∞ = n→∞ p∗s γ,λ + + γ lim un − uγ,λ n→∞ p H γtpγ,λ (2.18) Khi xảy hai trường hợp sau Trường hợp K γ,λ = Rõ ràng γ,λ = (2.18) Giả sử ngược lại > Khi đó, từ (2.3) (2.18) ta có ∞ p M (αγ,λ ) lim [un − uγ,λ ]ps,p = γ lim un − uγ,λ n→∞ ≤ n→∞ p M (αγ,λ ) lim [un n→∞ p H − < aH lim un − uγ,λ n→∞ p H uγ,λ ]ps,p , 39 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com vơ lý Do đó, γ,λ γ,λ = 0, với λ > Tiếp tục sử dụng (2.18) kết = 0, ta có p H lim [un − uγ,λ ]ps,p = lim un − uγ,λ n→∞ n→∞ =0 theo (2.2) Vậy, un → uγ,λ , Ds,p (RN ) n → ∞, với λ > Trường hợp K ∞ > Theo (2.14) Bổ đề Brézis - Lieb, n → ∞, ta có 1 − ∗ q ps cγ,λ + o(1) ≥ ps∗ p∗s ,K un 1 − ∗ q ps = p∗s γ,λ + uγ,λ ps∗ p∗s ,K + o(1) Khi đó, từ bổ đề 2.1.4 bổ đề (2.16) kéo theo lim λ→∞ γ,λ = (2.19) Vì γ < aH nên tồn c ∈ [0, 1) cho γ + = c a H Do đó, (2.18) viết lại sau p p ) lim [un − uγ,λ ]ps,p + cM (αγ,λ ) lim [un − uγ,λ ]ps,p = (1 − c)M (αγ,λ n→∞ n→∞ p∗s p γ,λ + γιγ,λ Tiếp theo, với λ > 0, ta có p∗s γ,λ + γ + ιpγ,λ ≥ (1 − c)S K −p/p∗s ∞ a p γ,λ p + c a Hγ,λ (K), (2.3) (2.2), với c ∈ [0, 1) Vì γ = c a H nên p∗s γ,λ ≥ (1 − c) K −p/p∗s ∞ a p γ,λ (2.20) Vì vậy, (2.19) (2.20) kéo theo tồn λ∗ = λ∗ (γ) > cho γ,λ = với λ ≥ λ∗ Nói cách khác, lim un − uγ,λ n→∞ p∗s ,K =0 với λ ≥ λ∗ Từ đây, tiếp tục trường hợp đầu = với λ ≥ λ∗ Do đó, tiếp tục sử dụng (2.18), Ds,p (RN ) n → ∞ với λ ≥ λ∗ tiên chứng minh ta có un → uγ,λ γ,λ Định lý 2.1.6 Giả sử (2.1) khơng suy biến, nghĩa (2.2) Khi đó, với γ (−∞, κH), toán (2.1) nhận nghiệm Vượt núi không tầm thường uγ,λ với λ > uγ,λ thỏa mãn dáng điệu tiệm cận lim [uγ,λ ]s,p = 0, λ→∞ (2.21) 40 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com = Trong trường hợp K ∞ > tồn λ∗ = λ∗ (γ) > cho với λ ≥ λ∗ , toán (2.1) nhận nghiệm Vượt núi không tầm thường uγ,λ thỏa mãn (2.21) K ∞ Chứng minh Cố định γ ∈ (−∞, κH) Theo bổ đề 2.1.3 bổ đề 2.1.5, phiếm hàm Jγ,λ thỏa mãn giả thiết Định lý Vượt núi với λ > = với λ ≥ λ∗ , λ∗ = λ∗ (γ) > K ∞ > Điều đảm bảo tồn điểm tới hạn uγ,λ ∈ Ds,p (RN ) Jγ,λ cấp cγ,λ Vì Jγ,λ (uγ,λ ) = cγ,λ > = Jγ,λ (0) ta có uγ,λ = Ngồi ra, dáng điệu tiệm cận (2.21) có (2.16) K 2.2 Phng trỡnh suy bin kiu Schră odinger-Kirchhoff dng chứa toán tử p-Laplace phân thứ số mũ tới hạn Giả sử điều kiện (M) thỏa mãn Nếu tồn số t0 > 0, cho M (t0 ) > tθ0 M (t) ≥ M (t0 )tθ với t ∈ [0, t0 ] (2.22) ta có bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Giả sử M đồng không R+ (M) thỏa mãn, với θ = Khi M (0) = M0 > Chứng minh Giả sử M (1) > Theo (2.22), ta có t M (1)t ≤ M (t) = M (τ )dτ, với t ∈ [0, 1] Lấy (tn )n dãy cho tn ∈ (0, 1) với n ∈ N tn ↓ as n → ∞ Theo định lý giá trị trung bình, thu tồn dãy (τn )n , với n ∈ (0, tn ), cho M (1)tn ≤ M (τn )tn với n ∈ N (2.23) M (1) ≤ M (τn ) với n ∈ N tn > Ta thấy M (τn ) → M (0) n → ∞, τn → n → ∞ M liên tục Do đó, (2.23), cho n → ∞ ta M (0) ≥ M (1) Vậy bổ đề dược chứng minh, M (1) > theo giả thiết 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sau đây, nghiên cứu toán (2.1) trường hợp suy biến, nghĩa M (0) = inf+ M (t) = t∈R0 Cụ thể, xem xét phương trình khơng chứa số hạng Hardy ∗ M [u]ps,p (−∆)sp u = λw(x) |u|q−2 u + K(x) |u|ps −2 u RN , (2.24) (2.2) thay M (0) = (M1 ) Với τ > tồn mτ > cho M(t) ≥ mτ với t ≥ τ (M2 ) Tồn b > cho M (t) ≥ bt với t ∈ [0, 1] Trường hợp suy biến hấp dẫn trình bày báo tiếng lý thuyết Kirchhoff, [15, 30] Đặc biệt, [15], hàm Kirchhoff M giả sử Lipschitz liên tục, không đơn điệu Ngồi trường hợp suy biến có số hàm M không tăng R+ , thỏa mãn (M), (M1 ) (M2 ) Trong Vật lý, trường hợp M (0) = có nghĩa mức sở dây 0, mơ hình thực tế Định nghĩa 2.2.2 Chúng ta nói u ∈ Ds,p (RN ) nghệm (yếu) (2.24) M ([ups,p ]) u, ϕ s,p w(x) |u(x)|q−2 u(x)ϕ(x)dx =λ RN ∗ K(x) |u(x)|ps −2 u(x)ϕ(x)dx, + RN với ϕ ∈ Ds,p (RN ) Phiếm hàm lượng (2.24) Jλ : Ds,p (RN ) → R, cho λ u Jλ (u) = M ([u]ps,p ) − p q q q,w − u p∗s p∗s p∗s ,K Rõ ràng, Jλ xác định thuộc lớp C (Ds,p (RN )) Bổ đề 2.2.3 Giả sử M thỏa mãn (M1 ) (M2 ) Với λ > 0, tồn α > ρ > cho Jλ (u) ≥ α, với u ∈ Ds,p (RN ), với [u]s,p = ρ hàm e ∈ C0∞ (RN ), với [e]s,p > ρ Jλ (e) < Hàm e độc lập với λ K > hầu khắp nơi RN 42 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh Theo giả thiết, tồn t0 > cho M (tp0 ) > Cố định λ > lấy u ∈ Ds,p (RN ), với [u]s,p ≤ t0 Theo (M), (K), (2.3), (2.4) (2.22), tồn số dương SK cho λ p∗ u qq,w − ∗ u ps∗s ,K q ps λ q q p∗s ≥ m[u]θp − C [u] − S [u] K s,p , s,p q w s,p Jλ (u) ≥ m[u]θp s,p − m = M (tp0 )t−θp /p > 0, Đặt λ ∗ ηλ (t) = mtθp − Cwq tq − SK tps với t ∈ [0, t0 ], q lưu ý tồn ρ ∈ (0, t0 ] cho maxt∈[0,t0 ] ηλ (t) = ηλ (ρ) > 0, θp < q < p∗s Vì vậy, Jλ (u) ≥ α = ηλ (ρ) > 0, với u ∈ Ds,p (RN ), với [u]s,p = ρ Tiếp theo, lấy v ∈ C0∞ (RN ) cho [v]s,p = Theo (2.6), t → ∞ ta có ∗ tq tps p∗ q θp Jλ (tv) ≤ mt − λ v q,w − ∗ v ps∗s ,K → −∞, q ps θp < q < p∗s theo (w) Do đó, lấy e = τ0 v với τ0 > đủ lớn, ta thu [e]s,p > 2t0 Jλ (e) < Đặc biệt, [e]s,p > ρ e không phụ thuộc vào λ K > hầu khắp nơi RN Theo chứng minh Bổ đề 2.2.3, rõ ràng e hàm xác định số λ0 > 0, e thỏa mãn Jλ (e) < với λ ≥ λ0 [e]s,p ≥ 2t0 > ρ = ρ(λ), ρ ∈ (0, t0 ] Cố định λ > đặt cλ = inf max Jλ (ξ(t)), ξ∈Γ t∈[0,1] Γ = {ξ ∈ C([0, 1], Ds,p (RN )) : ξ(0) = 0, ξ(1) = e} Rõ ràng cλ > theo Bổ đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.4 Nếu M khơng đồng khơng lim cλ = λ→∞ 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh Lập luận chứng minh Bổ đề 2.2.3 Bổ dề 2.1.4, mặt hình thức lấy γ = 0, λ0 > 0, thay M (1) M (tp0 )/tθp (2.9) xác định Λ = {λ > λ0 : tλ [e]s,p ≥ t0 } Giả sử (un )n ⊂ Ds,p (RN ) dãy Palais-Smale Jλ cấp cλ ∈ R Khi Jλ (un ) → cλ Jλ (un ) → n → ∞ (2.25) Bổ đề 2.2.5 Giả sử (M1 ) − (M2 ) thỏa mãn giả sử ps < N < 2ps Nếu K = 0, phiếm hàm Jλ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale cấp cλ với λ > Nếu K ∞ > tồn λ∗ > cho Jλ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale cấp cλ với λ ≥ λ∗ ∞ Chứng minh Cố định λ > Giả sử (un )n ⊂ Ds,p (RN ) dãy PalaisSmale cấp cλ Ta xem xét hai tình huống: inf [un ]s,p = dλ > n∈N inf [un ]s,p = n∈N Trường hợp thứ inf [un ]s,p = dλ > Ta thấy (un )n bị chặn n∈N D (R ) Theo (M1 ), với τλ = dpλ , tồn mλ = mτλ > cho s,p N M ([un ]ps,p ) ≥ mλ với n ∈ N (2.26) Áp dụng (M), ta J (un ), un q λ 1 = M ([un ]ps,p ) − M ([un ]ps,p )[un ]ps,p + p q 1 ≥ − M ([un ]ps,p )[un ]ps,p + − θp q q Jλ (un ) − 1 − ∗ q ps un p∗s un p∗s p∗s ,K p∗s p∗s ,K (2.27) Khi đó, theo (2.25) (2.26), tồn σλ > cho n → ∞ ta có cλ + σλ [un ]s,p + o(1) ≥ mλ 1 − [un ]ps,p θp q Do đó, (un )n bị chặn Ds,p (RN ) < p < θp < q theo (M), (w) Bổ đề 2.2.1 44 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Theo (2.3) Bổ đề 2.1.1, tồn uλ ∈ Ds,p (RN ) cho bỏ qua dãy cần thiết, ta giả sử un uγ,λ Ds,p (RN ), un uγ,λ Lps (RN ), [u]s,p → αλ , ∗ un − uλ un → uλ Lq (RN , w), p∗s ,K → λ, (2.28) un → uλ hầu khắp nơi RN Đặc biệt, theo (2.27), n → ∞ ta có 1 cλ + o(1) ≥ − M ([un ]ps,p )[un ]ps,p θp q (2.29) Hơn nữa, αλ > dλ > Do M ([un ]ps,p ) → M (αλp ) > n → ∞, tính liên tục M thực tế là không điểm M theo (M1 ) Ta chứng minh lim αλ = (2.30) λ→∞ Ngược lại, giả sử lim sup αλ = α > Do đó, tồn dãy λk → ∞ λ→∞ cho αλk → α k → ∞ Khi đó, từ (2.29) Bổ đề 2.2.4, cho k → ∞ ta có 1 − M (αp )αp > θp q (M1 ) Mâu thuẫn chứng tỏ khẳng định (2.30) Hơn nữa, 0≥ [uλ ]s,p ≤ lim [uλ ]s,p = αλ , n→∞ un s,p N uλ D (R ) (K), (2.3) (2.30) kéo theo lim uλ λ→∞ p∗s ,K = lim [u]s,p = (2.31) λ→∞ Áp dụng (2.25), lập luận Bổ đề 2.1.5, ta thu M (αλp ) uλ , ϕ s,p w(x)(|uλ (x)|q−2 uλ (x)ϕ(x)dx =γ RN ∗ K(x) |uλ (x)|ps −2 uλ (x)ϕ(x)dx, + RN với ϕ ∈ Ds,p (RN ) Do đó, uλ điểm tới hạn phiếm hàm C (Ds,p (RN )) λ Jαλ (u) = M (αλp )[u]ps,p − u p q q q,w − u p∗s p∗s p∗s ,K (2.32) 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vì vậy, áp dụng (2.25), (2.28) (2.32) n → ∞, ta o(1) = Jλ (un ) − Jαλ (uλ ), un − uλ = M ([u]ps,p )[u]ps,p + M (αλp )[uλ ]ps,p − M ([u]ps,p ) un , uλ − M (αλp ) un , uλ s,p s,p w(x)(|un |q−2 un − |uλ (x)|q−2 uλ )(un − uλ )dx −γ RN ∗ = = ∗ K(x)(|un |ps −2 un − |uλ |ps −2 uλ )(un − uλ )dx − RN M (αλp )(αλp − [uλ ]ps,p ) − M (αλp )([un − uλ ]ps,p ) − p∗s p∗s ,K un + uλ p∗s p∗s ,K un − uλ p∗s p∗s ,K + o(1) + o(1) (2.33) Như vậy, thu kết p∗s p∗s ,K M (αλp ) lim [un − uλ ]ps,p = lim un − uλ n→∞ n→∞ (2.34) = Khi λ = (2.34) un → uλ Ds,p (RN ) n → ∞, với λ > M (αλp ) > Mặt khác, K ∞ = theo (2.25), (2.27), (2.28) Bổ đề Brézis - Lieb, n → ∞ ta có Giả sử K ∞ cλ + o(1) = Jλ (un ) − = J (un ), un ≥ q λ 1 − ∗ q ps p∗s λ + uλ p∗s p∗s ,K 1 − ∗ q ps un p∗s p∗s ,K + o(1) Khi đó, theo bổ đề 2.2.4 (2.31), ta có lim λ λ→∞ = (2.35) Từ (K) (2.34), n → ∞ ta có un − uλ p∗s p∗s ,K ≥S K −p/p∗s ∞ M (αλp ) un − uλ p p∗s ,K + o(1), S số Sobolev phân thứ tốt cho (2.3) Do đó, áp dụng (2.28), với λ ∈ R+ ta có p∗s λ ≥S K Vì vậy, tồn λ∗ > cho dãy λk → ∞ cho λk = λ k −p/p∗s ∞ M (αλp ) pλ (2.36) = với λ ≥ λ∗ Mặt khác, tồn > Chú ý (2.33) cho ta kết 46 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đặc biệt M (αλp )(αλp − [uλ ]ps,p ) = p∗s λ , với λ > Khi đó, ký hiệu αλk = λk uλk = uk theo (2.36) ta ( p∗s ps/N k ) = M (αkp )ps/N (αkp − [uk ]ps,p )ps/N ≥ S K −p/p∗s ∞ M (αkp ) Nhờ bất đẳng thức trên, (M2 ) (2.30), cho k đủ lớn, ta thu p2 s/N αk −p/p∗s ∞ ≥ (αkp − [uk ]ps,p )ps/N ≥ S K −p/p∗s ∞ ≥ cS K p(1−ps/N ) αλ M (αλp )1−ps/N , c = b1−ps/N Do đó, từ αk > với k ∈ N, kéo theo với k đủ lớn p(2ps/N −1) αk −p/p∗s ∞ ≥ cS K Điều mâu thuẫn với (2.30) 2ps > N theo giả thiết Do đó, với λ ≥ λ∗ lim un − uλ n→∞ p∗s ,K = Vì vậy, theo (2.34), n → ∞ un → uλ Ds,p (RN ) với λ ≥ λ∗ yêu cầu Trường hợp thứ hai inf [u]s,p = Nếu điểm tụ ([un ]s,p )n , có n∈N dãy hội tụ mạnh đến uλ = Ds,p (RN ) cλ = Jλ (uλ ) = 0, mâu thuẫn với cλ > Do đó, điểm lập với dãy thực ([un ]s,p )n Khi đó, có dãy ([unk ]s,p )k cho inf [unk ]s,p = dλ > ta k∈N tiếp tục trình Định lý 2.2.6 Cho M (0) = ps < N < 2ps Giả sử M thỏa mãn (M1 ) − (M2 ) Khi đó, tốn (2.24) nhận nghiệm Vượt núi khơng tầm thường uλ với λ > u thỏa mãn dáng tiệm cận lim [uλ ]s,p = 0, λ→∞ (2.37) = Nếu K ∞ > tồn λ∗ > cho λ ≥ λ∗ tốn (2.24) nhận nghiệm Vượt núi khơng tầm thường uλ thỏa mãn (2.37) K ∞ 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.5, phiếm hàm Jλ thỏa mãn tất giả thiết Định lý Vượt núi với λ > K = với λ > λ∗ , λ∗ > K ∞ > Điều đảm bảo tồn điểm tới hạn uλ ∈ Ds,p (RN ) cho Jλ cấp cλ Vì Jλ (uλ ) = cλ > = Jλ (0) nên ta có uλ = Ngồi ra, dáng điệu tiệm cận (2.37) theo (2.31) ∞ 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận Luận văn trình bày số kết nghiệm yếu phương trình kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th vi i lượng nhiễu, số mũ tới hạn đại lượng Hardy Các kết luận văn gồm có: - Chng Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toán tử p-Laplace phân thứ với đại lượng nhiễu - Chng Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toán tử p-Laplace phân thứ, số mũ tới hạn đại lượng Hardy • Trong Chương I, tơi trình bày số tính chất khơng gian Sobolev phân thứ, tồn hai nghiệm không tm thng ca phng trỡnh p-Laplace phõn th kiu Schrăodinger-Kirchhoff [31] cách sử dụng Dịnh lý Vượt núi Nguyên lý biến phân Ekeland tồn hai nghiệm đối xứng cầu không tầm thường ca phng trỡnh p-Laplace phõn th kiu Schrăodinger-Kirchhoff trng hợp đặc biệt V (x) ≡ f (x, u) = |u|q−2 u, với q = (θp, p∗s ) • Trong Chương II, tơi trình bày kết qu v nghim yu ca bi toỏn kiu Schrăodinger-Kirchhoff dng [13] chứa toán tử p-Laplace phân thứ, số mũ tới hạn đại lượng Hardy 49 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] Adams R.A., Fournier J.J.F (2003), Sobolev Spaces, 2nd edn, Academic Press, New York [2] Alves C.O., Corrês F.J.S.A., Ma T.F (2005), Positive solutions for a equasilinear elliptic equation of Kirchhoff type, Comput Math Appl 49, 85–93 [3] Applebaum D (2004), Lévy processes-from probability to finance quantum groups, Notices Am Math Soc 51, 1336–1347 [4] Ambrosetti A., Rabinowiz P (1973), Dual variational methods in critical point theory and applications, J Funct Anal 14, 349–381 [5] Autuori G., Fiscella A., Pucci P (2015), Stationary Kirchhoff problems involving a fractional elliptic operator and a critical nonlinearity, Nonlinear Anal 125, 699–714 [6] Autuori G., Pucci P (2013), Elliptic problems involving the fractional Laplacian in RN , J Differ Equ 255, 2340–2362 [7] Autuori G., Pucci P (2013), Existence of entire solutions for a class of quasilinear elliptic equations, Nonlinear Differ Equ Appl NoDEA 20, 977–1009 [8] Barrios B., Colorado E., De Pablo A., Sanchez U (2012), Onsome critical problems for the fractionalLaplacian operator, J Differ Equ 252, 6133–6162 [9] Bartsch T., Wang Z.Q (1995), Existence and multiplicity results for some superlinear elliptic problems on RN , Commun Partial Differ Equ 20, 1725–1741 50 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [10] Brézis H (2011), FunctionalAnalysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Universitext, Springer, New York [11] Brézis H., Lieb E (1983), Arelation between pointwise convergence of functions and convergence of functional, Proc Am Math Soc 88, 486–490 [12] Caffarelli L., Silvestre L (2007), An extension problem related to the fractional Laplacian, Commun PartialDiffer Equ 32, 1245-1260 [13] Caponi M., Pucci P (2016), Existence theorems for entire solutions of stationary Kirchhoff fractional p-Laplacian equations, Annali di Matematica Pura ed Applicata 195, 2099-2129 [14] Di Nezza E., Palatucci G., Valdinoci E (2012), Hitchhiker’s guide to the fractional Sobolev spaces, Bull Sci Math 136, 521–573 ´ Ancona P., Spagnolo S (1992), Global solvability for the degenerate [15] D Kirchhoff equation with real analytic data, Invent Math 108, 247–262 [16] Dipierro S., Palatucci G., Valdinoci, E (2013), Existence and symmetry results for a Schrăodinger type problem involving the fractional Laplacian, Matematiche 68, 201–216 [17] Ekeland L (1974), On the variational principle, J Math Anal Appl 47, 324–353 [18] Fiscella A., Valdinoci E (2014), A critical Kirchhoff type problem involving a nonlocal operator, Nonlinear Anal, 94, 156–170 [19] Fiscella A., Pucci P., On certain nonlocal Hardy–Sobolev critical elliptic Dirichlet problems Kirchhoff, Adv Differ Equ (to appear) [20] Franzina G., Palatucci G (2014), Fractional p-eigenvalues, Riv Mat Univ Parma 5, 315–328 [21] Felmer P., Quaas A., Tan J (2012), Positive solutions of the nonlinear Schrăodinger equation with the fractional Laplacian, Proc R Soc Edinb Sect A 142, 1237–1262 51 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [22] Iannizzotto A., Squassina M (2014), Weyl-type laws for fractional peigenvalue problems, Asymptotic Anal 88, 233–245 [23] Iannizzotto A., Liu S., Perera K., Squassina M (2014), Existence results for fractional p-Laplacian problems via Morse theory, Adv Calc Var doi:10.1515/acv-2014-0024 [24] Lindgren E., Lindqvist P (2014), Fractional eigenvalues, Calc Var Partial Differ Equ 49, 795–826 [25] Maz’ya V., Shaposhnikova T (2002), On the Bourgain, Brezis, and Mironescu theorem concerning limiting embeddings of fractional Sobolev spaces, J Funct Anal 195, 230–238 [26] Molica Bisci G., Radulescu V.-D, Servadei S (2016), Variational Methods for Nonlocal Fractional Equations, Encyclopedia Math Appl 162, Cambridge University Press, Cambridge [27] Metzler R., Klafter J (2004), The restaurant at the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics, J Phys A 37, 161–208 [28] Laskin N (2000), Fractional quantum mechanics and Lévy path integrals, Phys Lett A 268, 298-305 [29] Nyamoradi N (2013), Existence of three solutions for Kirchhoff nonlocal operators of elliptic type, Math Commun 18, 489–502 [30] Ono K (1997), Blowing up and global existence of solutions for some degenerate nonlinear wave equations with some dissipation, In: Proceedings of the Second World Congress of Nonlinear Analysts, Part (Athens, 1996) Nonlinear Analysts, vol 30, pp 4449–4457 [31] Pucci P., Xiang M.Q., Zhang B (2015), Multiple solutions for nonhomogeneous Schrăodinger-Kirchhoff type equations involving the fractional p-Laplacian in RN , Calc.Var Partial Differ Equ 54, 2785–2806 52 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [32] Pucci P., Xiang M.Q., Zhang B (2016), Existance andmultiplicity of entire solution for fractional p-Kirchhoff equation, Adv Npnlinear Anal 5, 27-55 [33] Pucci P., Zhang Q (2014), Existence of entire solutions for a class of variable exponent elliptic equations, J Differ Equ 257, 1529–1566 [34] Pucci P., Saldi S (2016), Critical stationary Kirchhoff equations in RN involving nonlocal operators, Rev Mat Iberoam 31, 1–22 [35] Lions P.-L (1982), Symétrie et compacité dans les espaces de Sobolev, J Funct Anal 49, 315–334 [36] Rabinowitz P.(1986), Minimax methods in critical point theory with applications to diferential equations Vol 65, CBMS Regional Conference Series in Mathematics Providence (RI): American Mathematical Society [37] Secchi S (2013), Ground state solutions for nonlinear fractional Schrăodinger in RN , J Math Phys 54, 031501 [38] Willem M (1996),Minimax Theorems, Birkhăauser, Boston [39] Xiang M.Q., Zhang B.L., Ferrara M (2015), Existence of solutions for Kirchhoff type problem involving the non-local fractional p-Laplacian, J Math Anal Appl 424, 1021–1041 53 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... [u]ps ,p + u pLp (RN ) − u qLq (RN ) − g(x)udx p q RN min{1, a} ≥ u pW s ,p (RN ) − u qLq (RN ) − g Lp (RN ) u Lp (RN ) p q min{1, a} Cq u pW s ,p (RN ) − u qW s ,p (RN )) − Cp g Lp (RN ) u ≥ p q... |x − y|n+ps Hiện toán tồn nghiệm phương trình chứa tốn tử khơng địa phương loại elliptic (trong có tốn tử Laplace phân thứ p- Laplace phân thứ) thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới: Pucci (Đại... với u ∈ Ds ,p (RN ), CN ,p số dương phụ thuộc vào N p Do đó, ph? ?p nhúng Sobolev phân thứ Ds ,p (RN ) → Lp (RN ) ph? ?p nhúng Hardy phân thứ Ds ,p (RN ) → Lp (RN , |x|−ps ) liên tục, khơng compact Tuy