(Luận văn) một vài kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU lu an n va MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM p ie gh tn to CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG lu an n va tn to Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 p ie gh Mã số: w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si i Mục lục lu Mục lục ii Danh sách ký hiệu iii an 1 n va Mở đầu Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tiền Hilbert nl Không gian Hilbert 1.1.3 Các ví dụ lu ie 1.1 p gh tn to Kiến thức chuẩn bị w 1.1.2 Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert lm ul Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 11 Hàm toàn phương 17 21 gm @ Giới thiệu toán 21 2.1.1 21 l Phát biểu toán m co Các định lí tồn nghiệm an Lu 2.2 z Bài tốn quy hoạch tồn phương 2.1 1.2.1 z at nh oi nf va 1.3 Một vài tính chất an 1.2 d oa 1.1.4 23 n va ac th si ii 2.2.1 Bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính 2.2.2 23 Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi với hữu hạn ràng buộc tồn phương lồi khơng gian Hilbert thực 37 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Danh sách ký hiệu lu an n va Tập số tự nhiên R Tập số thực Rn Không gian số thực n chiều h., i Tích vơ hướng k.k Chuẩn 0+ F Nón lùi xa tập lồi F Dưới vi phân f x gh tn to N ∂f (x) ie ε−Dưới vi phân f x0 ∇f (x) Đạo hàm f x p ∂ε f (x0 ) Không gian ma trận cấp m × n d oa nl w Rm×n AT Ma trận chuyển vị ma trận A B(x0 , ρ) Hình cầu đóng tâm x0 bán kính ρ H Không gian Hilbert thực nf va an lu Không gian ma trận đối xứng cấp n × n Rn×n S z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Quy hoạch toàn phương phận đặc biệt quy hoạch phi tuyến, có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tế Đây vấn đề nhiều nhà Toán học nghiên cứu xây dựng nên nhiều thuật toán để giải lu an Sau học kiến thức chuyên ngành Toán ứng dụng, với va n mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng tn to dụng chúng Đồng thời muốn tìm hiểu sâu kết tồn nghiệm ie gh toán quy hoạch toàn phương Tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một vài p kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương" nl w Luận văn trình bày tồn nghiệm tốn quy hoạch toàn phương d oa với ràng buộc tuyến tính Rn tốn quy hoạch tồn phương lồi với an lu ràng buộc toàn phương lồi không gian Hilbert Các kết nf va thông tin luận văn viết dựa vào báo "On the Solution Existence lm ul of Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces" Vũ Văn z at nh oi Đông Nguyễn Năng Tâm, 2016 Luận văn chia thành hai chương với nội dung sau: z Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị", chương trình bày số kiến thức gm @ sở không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi khơng gian Hilbert l Chương 2: "Bài tốn quy hoạch tồn phương", chương trình bày m co nội dung tốn quy hoạch tồn phương tồn nghiệm tốn an Lu quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính khơng gian Rn tốn quy hoạch tồn phương lồi với hữu hạn ràng buộc toàn phương lồi n va ac th si không gian Hilbert thực Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Đào Thị Thu lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức cở không gian Hilbert lu giải tích lồi Đó kết dùng cho chương sau Nội dung an n va chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [1], [2], gh tn to [3] [4] Không gian Hilbert p ie 1.1 Không gian tiền Hilbert oa nl w 1.1.1 d Định nghĩa 1.1.1 Cho H không gian trường K Tích vơ hướng H lu nf va an ánh xạ xác định sau: h., i : H × H → K, (x, y) 7→ hx, yi, thỏa mãn điều kiện sau đây: lm ul a) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H; z at nh oi b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H; c) hλx, yi = λhx, yi với x, y ∈ H; λ ∈ K; z d) hx, xi ≥ với x ∈ H hx, xi = x = @ l gm Số hx, yi gọi tích vơ hướng hai véctơ x y Cặp (H, h., i) co gọi không gian tiền Hilbert (hay cịn gọi khơng gian Unita) m Từ định nghĩa ta thấy với trường R tích vơ hướng h., i dạng an Lu song tuyến tính xác định dương H Khi H gọi khơng gian tiền n va Hilbert thực ac th si Định lí 1.1.2 Cho H không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi Dấu "=" xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.1.3 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi kxk = hx, xi, x ∈ H xác định chuẩn H 1.1.2 Không gian Hilbert lu an Một không gian tiền Hilbert xem không gian định chuẩn đầy n va đủ khơng đầy đủ gh tn to Định nghĩa 1.1.4 Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn p ie cảm sinh từ tích vơ hướng gọi không gian Hilbert nl w Cũng tương tự trường hợp không gian tiền Hilbert, với trường R d oa ta có khơng gian Hilbert thực lu Các ví dụ nf va an 1.1.3 xi yi , x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn i=1 ) ∞ 18  −1  xT = (x1 , x2 ) ∈ R2 Với ∀xT ∈ Ví dụ 1.3.3 Xét A =  −1 R2 \{0}, ta có    −1 x1   hx, Axi = xT Ax = (x1 , x2 )  −1 x2   x1 − x2  = (x1 , x2 )  −x1 + x2  = x21 − x1 x2 − x1 x2 + x22 lu an = x21 − 2x1 x2 + x22 ≥ n va gh tn to Suy A ma trận nửa xác định dương Mệnh đề 1.3.4 Cho f (x) = p ie hx, Dxi + hC, xi + α với D ∈ Rn×n S ,C ∈ Rn , α ∈ R Nếu D ma trận nửa xác định dương f (x) hàm toàn w oa nl phương lồi d Chứng minh Ta có hàm x 7→ hC, xi + α hàm lồi Thật vậy, với t ∈ nf va an lu [0; 1], x ∈ Rn = tf (x) + (1 − t)f (y) z at nh oi lm ul hC, tx + (1 − t)yi + α = thC, xi + (1 − t)hC, yi + α Tổng hai hàm lồi hàm lồi nên để chứng minh mệnh đề ta chứng z minh f (x) = hx, Dxi hàm lồi D nửa xác định dương @ co l có gm Thật vậy, D ma trận nửa xác định dương nên với u, v ∈ Rn ta m ≤ hu − v, D(u − v)i = hu, Dui − 2hv, Dui + hv, Dvi an Lu Suy n va hv, Dvi ≤ hu, Dui − 2hv, D(u − v)i (1.6) ac th si 19 Cho x, y ∈ Rn , ∀t ∈ [0; 1] Đặt z = tx + (1 − t)y Trong (1.6) thay v z ta có hz, Dzi ≤ hy, Dyi − 2hz, D(y − z)i; hz, Dzi ≤ hx, Dxi − 2hz, D(x − z)i Vì z = tx + (1 − t)y nên y − t = t(y − x), x − t = −(1 − t)(y − x) Suy hz, Dzi ≤ hy, Dyi − 2thz, D(y − x)i; hz, Dzi ≤ hx, Dxi − 2(1 − t)hz, D(y − x)i lu Vì t ∈ (0; 1) nên − t > 0; t > Suy an va n thz, Dzi + (1 − t)hz, Dzi ≤ (1 − t)hy, Dyi + thx, Dxi gh tn to hay p ie hz, Dzi ≤ thx, Dxi + (1 − t)hy, Dyi f1 (tx + (1 − t)y) ≤ tf1 (x) + (1 − t)f1 (y) d oa nl w hay hàm toàn phương lồi nf va an lu Suy f1 (x) = hx, Dxi hàm lồi Do f (x) = hx, Dxi + hC, xi + α lm ul Nhận xét: Nếu D nửa xác định âm f hàm lõm, tức ∀x, y ∈ Rn , t ∈ z at nh oi (0; 1) f (tx + (1 − t)y) ≥ tf (x) + (1 − t)f (y) gm @ z Ví dụ 1.3.5 Cho hàm toàn phương m co l f (x) = (3x21 − 4x1 x2 + 4x22 ) + 4x1 − 3x2 −     3; −2  , C =   , α = −9 Do ma trận D xác định Ta có D =  −2; dương (dùng quy tắc Jacobi) nên f hàm lồi ngặt R2 an Lu n va ac th si 20 Mệnh đề 1.3.6 (Định lí Weierstrass) Xét hàm lồi thường đóng f : Rn → (−∞, +∞] giả sử ba điều kiện sau thỏa mãn (i) dom(f ) bị chặn; (ii) tồn số thực γ cho tập mức {x| f (x) ≤ γ} khác rỗng bị chặn; (iii) f hàm Khi đó, tập cực tiểu Sol(P ) f Rn khác rỗng compact Chứng minh • Giả sử điều kiện (i) Vì f hàm thường đóng nên lu dom(f ) 6= ∅ Xét dãy {xk } ⊂ dom(f ) cho lim f (x) = infn f (x) x∈R an k→∞ n va Vì dom(f ) bị chặn nên dãy có điểm giới hạn yếu x∗ Vì f k→∞ tn to lồi, đóng nên f nửa liên tục yếu x∗ Do f (x∗ ) ≤ lim f (x) = inf f (x), suy x điểm cực tiểu f (x) ∗ gh x∈Rn p ie Như Sol(P ) 6= ∅; Sol(P ) ⊂ dom(f ) dom(f ) bị chặn nên w suy Sol(P ) bị chặn Tuy nhiên Sol(P ) giao tất tập mức oa nl {x| f (x) ≤ γ} γ > infn f (x) Vì f đóng nên tập mức x∈R d đóng, Sol(P ) đóng, suy Sol(P ) compact yếu lu nf va an • Giả sử điều kiện (ii) đúng, ta việc thay f hàm   f (x) f (x) ≤ γ e f (x) = ∞ f (x) > γ z at nh oi lm ul Miền xác định fe tập mức {x| f (x) ≤ γ} Nó bị chặn giả thiết z đóng f đóng @ co l điều phải chứng minh gm Tập cực tiểu fe tập cực tiểu f Áp dụng điều kiện (i) suy m • Giả sử điều kiện (iii) Vì f thường nên có tập mức an Lu khác tập rỗng Vì f nên tập mức khác rỗng, bị chặn hay {x| f (x) ≤ n va γ} = ∅ bị chặn, suy (ii) đóng, suy điều phải chứng minh ac th si 21 Chương Bài tốn quy hoạch tồn phương Trong chương luận văn trình bày vài kết tồn nghiệm lu toán quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính không an n va gian Hilbert thực hữu hạn chiều tốn quy hoạch tồn phương lồi với tn to hữu hạn ràng buộc tồn phương lồi khơng gian Hilbert thực Nội dung gh chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [5], [6] p ie [7] w Giới thiệu toán 2.1.1 Phát biểu toán d oa nl 2.1 nf va an lu Ta xét toán quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính Rn : lm ul z at nh oi Định nghĩa 2.1.1 Bài toán          f (x) = hx, Dxi + hc, xi + α       x ∈ Rn , Ax ≥ b z (2.1) l gm @ co D ∈ RSn×n , A ∈ Rm×n , c ∈ Rn , b ∈ Rm , α ∈ R gọi toán m quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính Rn an Lu n va Nếu D ma trận α = f hàm tuyến tính Do đó, lớp ac th si 22 tốn quy hoạch tuyến tính lớp tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính Nếu hàm mục tiêu f hàm lồi tốn (2.1) gọi tốn quy hoạch tồn phương lồi Nếu f khơng lồi (2.1) tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi Nếu ta bỏ số α công thức hàm mục tiêu f khơng làm thay đổi tập nghiệm tốn quy hoạch tồn phương ban đầu Do đó, ta cần xét tốn lu          f (x) = hx, Dxi + hc, xi   (P ) :     x ∈ Rn , Ax ≥ b an n va tn to ie gh D ∈ RSn×n , A ∈ Rm×n , c ∈ Rn , b ∈ Rm p Trong khơng gian Hilbert thực H nói chung ta xét tốn quy hoạch tồn oa nl w phương lồi sau: d Định nghĩa 2.1.2            f (x) = 2hx, T xi + hc, xi (CQP ) :       x ∈ H, gi (x) = hx, Ti xi + hci , xi + αi ≤ 0, i = 1, 2, , m nf va an lu z at nh oi lm ul T, Ti : H → H tốn tử tuyến tính tự liên hợp, nửa xác định dương z gm @ c, ci ∈ H, αi ∈ R, i = 1, 2, , m co l Nhận xét: Nếu với i = 1, 2, , m mà Ti tốn tử khơng m tốn (CQP ) tốn quy hoạch toàn phương lồi tập ràng buộc tuyến an Lu tính (QP L) n va Nếu T, Ti tốn tử khơng với i = 1, 2, , m tốn (CQP ) ac th si 23 trở thành toán quy hoạch tuyến tính lớp lớp tốn quy hoạch tuyến tính lồi ràng buộc có dạng tồn phương lồi F = {x ∈ H| gi (x) = 12 hx, Ti xi + αi ≤ 0, ∀i = 1, 2, , m} tập ràng buộc toán (CQP ), F lồi đóng bị chặn 2.2 Các định lí tồn nghiệm 2.2.1 Bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính Định lí 2.2.1 (Định lí Frank - Wolfe) Nếu θ = inf{f (x) : x ∈ ∆} số lu an thực hữu hạn tốn (P ) có nghiệm, ∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ va b} = ∆(A, b) n gh tn to Chứng minh Dùng tính chất compact mặt cầu đơn vị p ie Giả sử θ ∈ R Ta cần chứng minh tốn (P ) có nghiệm Do θ ∈ R nên ∆ 6= ∅ Lấy x0 ∈ ∆, với ρ > tùy ý Đặt ∆ρ = ∆ ∩ B(x0 , ρ) Suy ∆ρ d Xét toán oa nl w tập lồi, khác rỗng compact nf va an lu (2.2) min{f (x) : x ∈ ∆ρ } Theo định lí Weierstrass, tồn y ∈ ∆ρ cho lm ul z at nh oi f (y) = qρ := min{f (x) : x ∈ ∆ρ } Vì tập nghiệm (2.2) khác rỗng compact nên tồn yρ ∈ ∆ρ cho z ky − x0 k = min{ky − x0 k : y ∈ ∆ρ , f (y) = qρ } (2.3) m kyρ − x0 k < ρ, ∀ρ ≥ ρb co l gm @ Khi đó, tồn ρb > cho an Lu Thật vậy, giả sử trái lại ta tìm dãy tăng {ρk } ρk → +∞ cho với n va k tồn yρk ∈ ∆ρk cho f (yρk ) = qρk ; kyρk − x0 k = ρk ac th si 24 Để đơn giản cho kí hiệu ta viết y k thay cho yρk Vì y k ∈ ∆ nên Ai y k ≥ bi , ∀i = 1, 2, , m Với i = ta có dãy {A1 y k } bị chặn nên tồn dãy {k } ⊂ {k} 0 cho lim A1 y k tồn (có thể lim A1 y k = +∞) Khơng tính tổng k →+∞ k →+∞ quát ta giả sử {k } ≡ {k}, lim A1 y k tồn k→∞ Tương tự, với i = ta có lim A2 y k tồn Tiếp tục trình k→∞ với i = m ta có lim Am y tồn Khi đó, với i ∈ {1, 2, , m} ta ln k k→∞ có lim Ai y tồn k k→∞ lu Đặt I = {1, 2, , m}, I0 = {i ∈ I : lim Ai y k = bi }, I1 = I\I0 = {i ∈ an k→∞ k I : lim Ai y > bi } va k→∞ n Khi đó, tồn ε > cho lim Ai y k ≥ bi + ε, ∀i ∈ I1 Mặt khác tn to k→∞ kyk − x k = ρk , suy k y k − x0 p ie gh k = 1, ∀k ρk Vì mặt cầu đơn Rn compact nên khơng tính tổng quát ta vị trong  y k − x0  giả sử dãy hội tụ v ∈ Rn k → ∞ kvk = Vì  ρk  oa nl w d ρk → +∞ nên với i ∈ I0 ta có an lu nf va  k k→∞ lm ul = lim (Ai y − bi ) = lim  = lim Ai k→∞ y − x0 ρk  k→∞   ρk  + lim  Ai x − bi  ρk  k→∞ z gm @ = Ai v k Ai y − bi  z at nh oi  k m co l Tương tự, với i ∈ I1 ta có     k k 0 A i y − bi Ai y − Ai x Ai x − bi  = lim inf   ≤ lim inf  + k→∞ k→∞ ρk ρk ρk an Lu n va ac th si 25  k = lim Ai y − x0 ρk k→∞    + lim  Ai x − bi ρk k→∞   = Ai v Khi Ai v = 0, ∀i ∈ I0 Ai v ≥, ∀i ∈ I1 Suy v phương lùi xa tập lồi đa diện ∆ Do y + tv ∈ ∆ ∀t ≥ y ∈ ∆ (2.4) V f (y k ) = f (yρk ) = qρk = min{f (x) : x ∈ ∆ρk } = min{f (x) : x ∈ ∆ ∩ B(x0 , ρk )} lu an n va Vì dãy ρk dãy tăng ρk → +∞ nên ta có {f (y k )} dãy giảm f (y k ) → θ viết dạng ie gh tn to với k đủ lớn Ta có θ − ≥ f (y k ) ≥ θ + Sử dụng công thức hàm f ta p θ − ≤ hy k − x0 , D(y k − x0 )i + hC, y k − x0 i + hx, D(y k − x0 )i d oa nl w + hx0 , Dx0 i + hC, x0 i < θ + lu nf va an Chia vế bất đẳng thức cho ρ2k cho k → +∞ ta z at nh oi lm ul ≤ hv, Dvi ≤ ⇒ hv, Dvi = Từ (2.4) suy y + tv ∈ ∆, ∀t ≥ k ∈ N Kết hợp với điều kiện hv, Dvi = ta có z l gm @ f (y + tv) = hy k + tv, D(y k + tv)i + hc, y k + tvi k m co = hy k , Dy k i + hc, y k i + thy k , Dvi + hc, vi an Lu Suy n va hy k , Dvi + hc, vi ≥ 0, ∀k ∈ N (2.5) ac th si 26 Giả sử ngược lại hy k , Dvi+hc, vi < với k ∈ N f (y k +tv) → −∞ t → +∞ Điều trái với giả thiết θ ∈ R Do có (2.5) y k − x0 Mặt khác hv, vi = ρk * → v nên ∃k1 ∈ N cho y k − x0 + ,v ρk > 0, ∀k > k1 Cố định k ≥ k1 ta có hy k − x0 , vi > Suy lu ky k − x0 − tvk2 = ky k − x0 k2 − 2thy k − x0 , vi + t2 kvk2 ≤ ky k − x0 k2 (2.6) an n va Với t > đủ nhỏ Ta lại có Ai (y k − tv) = Ai y k ≥ bi , ∀i ∈ I0 (do với i ∈ Ik tn to ta có Ai v = 0) Mặt khác lim Ai y k ≥ bi + ε, ∀i ∈ I1 nên ∃k2 ∈ N, k2 ≥ k1 ie gh cho ε k p Ai y ≥ bi , ∀k ≥ k2 , i ∈ I1 w d oa nl ε Cố định số k ≥ k2 chọn δk > cho tAi v ≤ , ∀i ∈ I1 , t ∈ (0, δk ) Khi nf va an lu ε − tAi v ≥ bi , ∀i ∈ I1 , t ∈∈ (0, δk ) lm ul Ai (y k − tv) ≥ bi + z at nh oi Suy y k − tv ∈ ∆, ∀t ∈ (0, δk ) Kết hợp với (2.6) ta có y k − tv ∈ ∆ k(y k − tv) − x0 k = ky k − x0 − tvk ≤ ky k − x0 k = ρk z l gm @ với t ∈ (0, δk ) đủ nhỏ Từ (2.5) ta có m co f (y k − tv) = hy k , Dy k i + hc, y k i + hy k , Dv + hc, vii n va ≤ f (y k ) an Lu = f (y k ) − thy k , Dv + hc, vii ac th si 27 Do y k − tv nghiệm toán min{f (x) : x ∈ ∆ρk } Từ bất đẳng thức k(y k − tv) − x0 k < ky k − x0 k suy y k khơng phải nghiệm tốn với khoảng cách tới x0 nhỏ Điều trái với giả thiết ky k − x0 k = min{ky − x0 k : ∈ ∆ρk , f (y) = qρk } Vậy ta chứng minh tồn ρb > cho (2.3) thỏa mãn Tiếp tục, trình chứng minh ta tồn ρ > ρb cho (2.7) qρ = θ lu an n va Vì qρ = min{f (x) : ρx ∈ ∆ρ } nên kết (2.7) suy định lí chứng Ta chứng minh khẳng định (2.7) phản chứng Giả sử ngược lại ie gh tn to minh (2.8) p qρ 6= θ, ∀ρ > ρb w oa nl Chú ý qρ ≥ ρ0ρ với ρ0 ≥ ρ qρ → θ ρ → +∞ d Từ (2.8) suy tồn ρi ∈ (b ρ, +∞), (i = 1, 2) cho ρ1 < ρ2 lu nf va an qρ1 > qρ2 Vì ρ2 > ρ1 nên kết (2.3) ta có kyρ2 − x0 k < ρ2 Ta có qρ1 > qρ2 nên ρ1 < kyρ2 k Thật ρ1 ≥ kyρ2 − x0 k lm ul yρ2 ∈ ∆ρ2 f (yρ2 ) = qρ2 < qρ1 = f (yρ1 ) Điều mâu thuẫn với cách z at nh oi chọn qρ1 Đặt ρ3 = kyρ2 − x0 k ta có ρ1 < ρ3 < ρ2 Vì ρ3 < ρb ρ2 > ρb nên từ khẳng định (2.3) ta có z (2.9) co Vì ρ2 > ρ3 nên qρ3 = f (yρ3 ) ≥ f (yρ2 ) = qρ2 l gm @ kyρ3 − x0 k < ρ3 = kyρ2 − x0 k < ρ2 m Nếu f (yρ3 ) = f (yρ2 ) từ (2.9) suy yρ3 véctơ chấp nhận an Lu toán (2.10) n va min{f (x) : x ∈ ∆ρ2 } ac th si 28 Với hàm mục tiêu có giá trị tối ưu qρ2 = f (yρ2 ) mà f (yρ3 ) = f (yρ2 ) nên yρ3 nghiệm toán (2.10) Mặt khác kyρ3 − x0 k < kyρ2 − x0 k Suy yρ2 khơng phải nghiệm tốn (2.10) với khoảng cách tới x0 đủ nhỏ Điều trái với tồn yρ2 Do f (yρ3 ) > f (yρ2 ) Ta lại có kyρ2 − x0 k = ρ3 nên yρ3 điểm chấp nhận toán min{f (x) : x ∈ ∆ρ3 } Từ bất đẳng thức f (yρ3 ) > f (yρ2 ) dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện yρ3 nghiệm tối ưu toán Suy khẳng định (2.7) chứng minh Vậy tốn (P) có nghiệm lu Nhận xét: Định lý Frank - Wolfe phát biểu sau: Nếu hàm toàn an n va phương f bị chặn tập lồi đa diện khác rỗng f đạt giá trị nhỏ tn to tập p ie gh Ví dụ 2.2.2 Xét tốn quy hoạch tồn phương hai biến nl w min{f (x) = 3x21 − 4x1 x2 + 5x22 ; x1 − 2x2 ≥ 1, x2 ≥ 0} d oa Trong tốn ta có lu nf va an f (x) = 3x21 − 4x1 x2 + 5x22 = 2x21 + (x1 − 2x2 )2 + x22 ≥ lm ul với x ∈ R2 ∆ = {xT = (x1 , x2 ) ∈ R2 cho x1 − 2x2 ≥ 1, x2 ≥ 0} z at nh oi tập lồi đa diện, khác rỗng Theo định lí Frank - Wolfe tốn cho có nghiệm Có thể thấy nghiệm cực tiểu toán x∗ = (1, 0) với fmin = f (x∗ ) = z @ l gm Ví dụ 2.2.3 Xét tốn quy hoạch tồn phương hai biến n va f (x) = x21 + 8x1 x2 + 15x22 − 2x2 − an Lu Bài toán ta có m co min{f (x) = (2x21 +16x1 x2 +30x22 )−2x2 −6; x1 +5x2 ≥ 3, x1 +3x2 ≥ 4} ac th si 29 = x21 + 8x1 x2 + 16x22 − x22 − 2x2 − = (x1 + 4x2 )2 − (x2 + 1)2 − ≥ (3 + 1)(4 − 1) − = 7; ∀(x1 , x2 )T ∈ ∆ Ta có f bị chặn miền ràng buộc ∆ = {xT = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 + 5x2 ≥ 3, x1 + 3x2 ≥ 4} lu Ta có (1; 1)T ∈ ∆, suy ∆ 6= ∅ Theo định lí Frank - Wolfe tốn có  T 11 ∗  nghiệm Rõ ràng x = ; −  nghiệm fmin = f (x∗ ) = 2 an n va gh tn to Ví dụ 2.2.4 Xét tốn p ie min{f (x) = 2x2 + 1; x1 x2 − x2 ≥ 1, x2 ≥ 0, x1 ≥ 1}, nl w f (x) = 2x2 + hàm toàn phương d oa Tập ràng buộc lu nf va an ∆ = {xT = (x1 , x2 ) ∈ R2 : (x1 − 1)x2 ≥ 1, x1 ≥ 1, x2 ≥ 0} lm ul tập lồi đa diện tập ∆ 6= ∅   z at nh oi Ta có f (x) = 2x2 + ≥ 1, ∀(x1 , x2 ) ∈ ∆, suy f (x) bị chặn z Lấy {xk } = 1 + k,  ∈ ∆, k ∈ N, f (xk ) = + 1, suy lim = k→+∞ k k   lim  + 1 = 1, suy θ = inf{f (x) : x ∈ ∆} = k→+∞ k co l gm @ m Mặt khác f (x) = 2x2 + = x2 = mà (x1 , 0) ∈ / ∆ Vậy an Lu tốn vơ nghiệm n va ac th si 30 Ví dụ 2.2.5 Xét tốn     x+1 : x ∈ R, x ≥ f (x) =   x−2 Ta có f khơng hàm tồn phương Miền ràng buộc ∆ = {x ∈ R : x ≥ 3} tập lồi đa diện  ∆ 6= ∅   x+1 Ta có θ = inf f (x) = : x ∈ R, x ≥ = 1, lim f (x) = x→+∞   x−2 Rõ ràng toán min{f (x)| x ∈ ∆} trường hợp khơng có nghiệm lu an Qua Ví dụ 2.2.4 Ví dụ 2.2.5 ta thấy định lí Frank - Wolfe va n thiếu hai giả thiết hàm toàn phương miền ràng buộc tập lồi đa diện gh tn to định lí khơng cịn p ie Định lí 2.2.6 (Định lí Eaves) Bài tốn (P) có nghiệm ba điều w kiện sau thỏa mãn: oa nl (i) ∆ 6= ∅; d (ii) Nếu v ∈ Rn Av ≥ hv, Dvi ≥ 0; lu c, vi ≥ nf va an (iii) Nếu v ∈ Rn cho Av ≥ 0, hv, Dvi = Ax ≥ b hDx + lm ul z at nh oi Chứng minh Giả sử tốn (P ) có nghiệm x, ta cần chứng minh điều kiện (i), (ii), (iii) thỏa mãn Thật vậy, x nghiệm toán (P ) nên x ∈ ∆, suy ∆ 6= ∅ tức (i) thỏa mãn z gm @ Giả sử v ∈ Rn Av ≥ Ta có co l A(x + tv) = Ax + tAv ≥ b + = b, ∀t ≥ m nên x + tv ∈ ∆, ∀t ≥ Suy f (x + tv) ≥ f (x), ∀t ≥ hay an Lu n va 1 hx + tv, D(x + tv)i + hC, t + tvi ≥ hx, Dxi + hc, xi 2 ac th si 31 ⇒ t2 hv, Dvi + thDx + c, vi ≥ 0, ∀t ≥ Suy hv, Dvi ≥ (vì ngược lại hv, Dvi < ta cho t → +∞ vế trái bất đẳng thức tiến tới −∞, điều vơ lý) Do đó, điều kiện (ii) thỏa mãn Giả sử v ∈ Rn x ∈ Rn cho Av ≥ 0, hv, Dvi ≥ Ax ≥ b x + tv ∈ ∆, ∀t ≥ x nghiệm toán (P ) nên f (x + tv) ≥ f (x), ∀t ≥ Từ điều kiện hv, Dvi = suy lu thDx + c, vi + hx, Dxi + hc, xi ≥ f (x), ∀t ≥ an n va tn to Nếu hDx + c, vi < ta cho t → +∞ bất đẳng thức dẫn đến điều gh vô lý Suy ra, điều kiện (iii) thỏa mãn p ie Ngược lại, giả sử ba điều kiện (i), (ii), (iii) thỏa mãn Ta chứng minh w tốn (P ) có nghiệm Đặt θ = inf{f (x) : x ∈ Rn , Ax ≥ b} Vì ∆ 6= ∅ oa nl nên θ 6= +∞ Nếu θ ∈ R theo định lí Frank - Wolfe tốn (P ) có d nghiệm Ta chứng minh θ = −∞ không xảy lu nf va an Thật vậy, giả sử θ = −∞ Cố định x0 ∈ ∆, với ρ > ta định nghĩa ∆ρ = ∆ ∩ B(x0 , ρ) Ta xét toán min{f (x) : x ∈ ∆ρ } Gọi lm ul qρ giá trị tối ưu toán Lấy yρ ∈ ∆ρ cho f (yρ ) = qρ z at nh oi kyρ − x0 k = min{ky − x0 k : y ∈ ∆ρ , f (yρ ) = qρ } Khi đó, tồn ρb > cho kyρ − x0 k < ρ, ∀ρ ≥ ρb z Thật vậy, giả sử ngược lại ta tìm dãy tăng {ρk } : ρk → +∞ cho @ l gm k tồn yρk ∈ ∆yρk cho f (ρk ) = qρk , kyρk − x0 k = ρk m bi , ∀i = 1, 2, , m co Để đơn giản cho kí hiệu ta viết y k thay cho yρk Vì y k ∈ ∆ nên Ai y k ≥ an Lu Với i = ta có dãy A1 y k bị chặn nên tồn dãy {k } ⊂ {k} cho n k →∞ va lim A1 y k = y tồn (có thể xảy trường hợp Ak1 = 1) Không tính ac th si 32 tổng quát ta giả sử {k } = {k} Khi lim A1 y k tồn k→∞ Tương tự, với i = ta có lim A2 y k tồn Tiếp tục trình k→∞ với i = m ta có k → ∞, lim Am y tồn Khi đó, với i ∈ {1, 2, , m} k k→∞ ta có lim Ai y tồn k k→∞ Đặt I = {1, 2, , m}; I0 = {i ∈ I : lim Ai y k = b}; I1 = I\I0 = {i ∈ k→∞ k I : lim Ai y > b} k→∞ lu an n va tụ v ∈ R k → ∞ kvk = Vì ρk → +∞ nên với i ∈ I0 ta có   k Ai y − bi  = lim (Ai y k − bi ) = lim  k→∞ k→∞ ρk p ie gh tn to Khi đó, tồn δ > cho lim Ai y k ≥ bi + δ, ∀i ∈ I1 Mặt khác k→∞ k y − x n ky − x0 k = ρk , suy ρk = 1, ∀k Vì mặt cầu đơn vị R    y k − x0  hội compact nên khơng tính tổng qt ta giả sử dãy  ρ  nl w d oa y k − x0 = lim Ai ρk + lim ρk k→∞ an lu k→∞ Ai x0 − bi nf va Tương tự, với i ∈ I1 ta có   k Ai y − b  ≤ lim inf  k→∞ ρk   k A i y − b A i x − bi  = lim inf  + k→∞ ρk ρk   k Ai x0 − bi y −x  + lim = lim Ai = Ai v k→∞ k→∞ ρk ρk z at nh oi lm ul z co l gm @ m Khi Ai v = 0, ∀i ∈ I0 Ai v ≥ 0, ∀i ∈ I1 Suy v phương lùi xa n va y + tv ∈ ∆, ∀t ≥ y ∈ ∆ an Lu tập lồi đa diện ∆ Do (2.11) ac th si