ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Hữu Đạt ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TU[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Hữu Đạt ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Hữu Đạt ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Hoàng Quốc Tồn Khoa Tốn - Cơ - Tin, Đại học KHTN, ĐHQG Hà Nội Hà Nội - 2014 z Lời nói đầu Các phương pháp giải tích phi tuyến có vai trị quan trọng việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng khơng tuyến tính Trong luận văn này, tác giả trình bày số áp dụng định lý điểm bất động vào toán biên lớp phương trình elliptic khơng tuyến tính Luận văn gồm hai chương: Nội dung chủ yếu chương trình bày định lý điểm bất động không gian Banach, bao gồm: Định lý ánh xạ co Banach, Nguyên lý điểm bất động Brouwer - Schauder, Định lý điểm bất động Leray - Schauder - Schaefer Trong chương trình bày số áp dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder để nghiên cứu tồn nghiệm yếu khơng tầm thường tốn Dirichlet toán Neumann lớp phương trình elliptic cấp nửa tuyến tính, với phần toán tử Laplace, dạng: −∆u = g(x, u) miền bị chặn Ω với biên trơn ∂Ω Rn Trong trình viết luận văn, tác giả nhận hướng dẫn, bảo tận tình PGS TS Hoàng Quốc Toàn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại i z học Quốc gia Hà Nội, dạy bảo, giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn thời hạn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới người thân, gia đình, ban bè đồng nghiệp, động viên, ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, năm 2014 Học viên Vũ Hữu Đạt ii z Bảng ký hiệu Rn không gian thực n chiều Ω miền bị chặn có biên trơn Rn ∂Ω biên Ω α = (α1 , , αn ), αi ∈ N(i = 1, , n) gọi đa số |α| = α1 + + αn gọi cấp đa số α kukX chuẩn u ∈ X, X không gian Hilbert hu, vi: tích u v khơng gian Hilbert ∂ |α| u Dα u = α1 α2 ∂x1 ∂x2 ∂xαnn Dk u ={Dα u : |α| = k} ∂u ∂u ∂u ; ; ; ∇u = ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆u = + + + ∂x1 ∂x2 ∂xn Các không gian hàm: C k (Ω) = {u : Ω → R khả vi liên tục đến cấp k} ∞ T ∞ C (Ω) = C k (Ω) : hàm khả vi vô hạn Ω k=0 k ∞ C0 (Ω), C0 (Ω) 1,p kí hiệu hàm C k (Ω), C ∞ (Ω) với giá compact W (Ω) = {u ∈ Lp (Ω)|Du ∈ Lp (Ω)}với chuẩn kukW 1,p = kukLp (Ω) + k∇ukLp (Ω) W01,p (Ω) = {u ∈ W 1,p (Ω)|u = ∂Ω} với chuẩn kukW01,p = k∇ukLp (Ω) 1 W −1;q (Ω)không gian đối ngẫu W01,p (Ω), + = p q 1,p H0 (Ω) : không gian hàm W0 (Ω) với p = H −1 (Ω) : không gian W −1,q (Ω) với p = q = iii z Mục lục Cơ 1.1 1.2 1.3 sở toán học Sự hội tụ yếu không gian Banach Sự hội tụ đơn điệu hội tụ trội Không gian Holder Không gian Sobolev 1.3.1 Không gian Holder 1.3.2 Không gian Sobolev 1.3.3 Bất đẳng thức Poincare 1.4 Toán tử −∆ 1.5 Một số định lý điểm bất động 1.5.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 1.5.2 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng yếu 1.5.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng mạnh 1.5.4 Định lý điểm bất động Schauder 1.5.5 Định lý điểm bất động Leray-Schauder-Schaefer Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng 2.1 Ứng dụng định lý điểm bất động Banach toán Dirichlet cho lớp phương trình elliptic cấp phi tuyến 2.2 Ứng dụng định lý Leray-Schaefer để giải toán giá trị biên lớp phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính 2.3 Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho toán Dirichlet lớp phương trình elliptic cấp phi tuyến iv z 1 3 12 13 15 16 18 21 23 23 28 32 MỤC LỤC 2.4 Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho toán Neumann lớp phương trình elliptic cấp phi tuyến Tài liệu tham khảo 38 45 v z Chương Cơ sở toán học 1.1 Sự hội tụ yếu không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian Banach, {un } ⊂ X Dãy {un } gọi hội tụ yếu đến u ∈ X lim (u∗ , un ) = (u∗ , u), ∀u∗ ∈ X ∗ n→∞ (1.1) Kí hiệu un * u Nhận xét 1.1.2 i) Nếu un → u un * u; ii) Một dãy hội tụ yếu bị chặn iii) Nếu un * u ||u|| ≤ lim inf ||un || n→∞ Định lý 1.1.3 Cho X không gian Banach phản xạ dãy {un } bị chặn X Khi tồn dãy {unk } {un } u ∈ X cho dãy {unk } hội tụ yếu đến u X Nhận xét 1.1.4 z Chương Cơ sở toán học Mọi dãy bị chặn không gian Hilbert chứa dãy hội tụ yếu 1 + = Một phiếm hàm p q tuyến tính f Lp (Ω) biểu diễn dạng Z f 7−→ f gdx, ∀g ∈ Lq (Ω) Xét X = Lp (Ω), ta có X ∗ = Lq (Ω) với Ω Từ fn * f ∈ Lp (Ω) có nghĩa Z Z fn gdx −→ f gdx, ∀g ∈ Lq (Ω) Ω (1.2) Ω Vì Lp (Ω) khơng gian đối ngẫu Lq (Ω) nên Lp (Ω) không gian phản xạ < q < +∞ Vậy từ dãy bị chặn Lp (Ω) tách dãy hội tụ yếu thỏa mãn 1.2 Khẳng định quan trọng tính compact Định lý 1.1.5 Giả sử dãy hàm {fn } Lp (Ω) thỏa mãn ||fn − f ||Lp (Ω) −→ 0(n → ∞) Khi tồn dãy {fnk } dãy {fn } cho: i) fnk −→ f h.k.n Ω ii) |fnk (x)| ≤ h(x), ∀k h.k.n Ω, h ∈ Lp (Ω) 1.2 Sự hội tụ đơn điệu hội tụ trội Định lý 1.2.1 Bổ đề Fatou Giả sử {fm } khả tổng, không âm fm −→ f h.k.n Khi Z Z f dx ≤ lim inf fm dx m→∞ Rn Rn z Chương Cơ sở toán học Định lý 1.2.2 Định lý hội tụ đơn điệu Giả sử dãy hàm {fm } đo khơng giảm Khi f1 ≥ f1 khả tổng Z Z fm dx lim fm dx = lim m→∞ m→∞ Rn Rn Định lý 1.2.3 Định lý hội tụ trội Giả sử {fm } khả tích, |fm | ≤ g fm −→ f h.k.n với g hàm khả tổng Khi Z Z fm dx f dx = lim m→∞ Rn Rn Sau ta xét không gian Holder không gian Sobolev không gian thường đề cập nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng 1.3 1.3.1 Không gian Holder Không gian Sobolev Không gian Holder Định nghĩa 1.3.1 i) Hàm số u : Ω −→ R gọi liên tục Holder bậc γ tồn số C > cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , ∀x, y ∈ Ω Khi γ = u liên tục Lipschitz ii) Nếu u : Ω −→ R liên tục bị chặn Ω ta định nghĩa ||u||C(Ω) = sup |u(x)| Ω iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ u : Ω −→ R [u]C0γ (Ω) = |u(x) − u(y)| |x − y|γ x,y∈Ω,x6=y sup z ... Đạt ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN... việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng khơng tuyến tính Trong luận văn này, tác giả trình bày số áp dụng định lý điểm bất động vào tốn biên lớp phương trình elliptic khơng tuyến tính Luận văn. .. chương trình bày số áp dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder để nghiên cứu tồn nghiệm yếu không tầm thường toán Dirichlet toán Neumann lớp phương trình elliptic cấp nửa tuyến tính, với phần