(Luận văn) tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic với hệ số bmo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn lu an n va TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA p ie gh tn to PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn lu an n va TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA p ie gh tn to PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO w : 8460102 d Mã số oa nl Chun ngành : Tốn Giải tích nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: z m co l gm @ TS NGUYỄN THÀNH NHÂN an Lu n va Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Thành Nhân, luận văn chun ngành Tốn Giải Tích với đề tài: “Tính quy nghiệm phương trình elliptic với hệ số BMO” thực nhìn nhận tìm hiểu thân tơi Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, tơi thừa kế kết báo, luận văn nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan nội dung kết luận văn trích lu an dẫn liệt kê đầy đủ tài liệu tham khảo n va tn to Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 03 năm2019 p ie gh Học viên thực nl w d oa Nguyễn Thị Tuyết Mẫn nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn thạc sĩ khơng nhờ vào nỗ lực, cố gắng thân mà cịn nhờ nhiều vào hướng dẫn nhiệt tình Thầy, Cô; ủng hộ, giúp đỡ, động viên từ gia đình bạn bè Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thành Nhân, người giới thiệu cho tơi đề tài trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành tốt luận lu an văn n va Bên cạnh tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tồn thể tn to q Thầy, Cơ khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ gh Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức quý báu cho tơi suốt p ie khóa học Tơi xin cảm ơn ban lãnh đạo chuyên viên Phòng sau đại học, w Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh d lu oa nl tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập hồn thành nghiên cứu nf va an Cuối cùng, xin cảm ơn đến gia đình ln bên, động viên, ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập, nghiên cứu z at nh oi lm ul hoàn thành luận văn z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence lu an 1.2 Một số khái niệm n va 1.2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood số kết Lp 1.2.3 Định nghĩa không gian BMO ie gh tn to 1.2.2 Bổ đề phủ Vitali p 1.2.4 Một số định nghĩa kết liên quan đến biên Lipschitz nl w 1.2.5 Bổ đề 1.6 oa Chương PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCE d VỚI HỆ SỐ KHÔNG LIÊN TỤC lu nf va an 2.1 Bổ đề phủ Vitali 2.2 Các định nghĩa bổ đề lm ul 2.3 Tính quy 19 z at nh oi Chương BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN LIPSCHITZ 22 z 3.1 Bổ đề phủ Vitali 22 @ gm 3.2 Các định nghĩa bổ đề 24 m co l 3.3 Tính quy 37 an Lu n va ac th si Chương BÀI TOÁN NEUMANN VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN LIPSCHITZ 42 4.1 Các định nghĩa bổ đề 42 4.2 Tính quy nghiệm 53 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU an n va Rn   x  R n : xn  0 Không gian R n với điểm có xn  Br   y  Rn : y  r Quả cầu mở R n với tâm O, bán kính r Br  x   Br  x Quả cầu mở có thêm x Br  Br   xn  0 Nửa cầu Br  x   Br  x Nửa cầu có thêm x Tr  Br  xn  0 Quả cầu mở Br với điểm có xn  c Br  Br  xn  0 Biên Br mà điểm có xn  A  aij  Ma trận A cấp n  n u:  R Hàm u với u  x   u  x1, , xn   x   f :   Rn Hàm f với f  x    f  x  , , f n  x    x   tn to Một điểm điển hình R n gh lu x   x ', xn  p ie  f  x dx Giá trị trung bình f Br oa Br d Br nl w f Br  lu   divf  x     f  x   xi Divergence f Không gian hàm u  C     có giá compact z at nh oi C0    i lm ul i 1 Gradient u nf va n an u  u x1 , , u xn z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Bài toán tính quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng nhà khoa học quan tâm nghiên cứu nhiều năm Gần số kết tốn cho phương trình với hệ số BMO nghiên cứu phương pháp sử dụng Bổ đề phủ Vitali cơng cụ giải tích điều hòa Luận văn tập trung khảo sát số đánh giá tính quy nghiệm lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với hệ số không liên tục Cụ thể khảo sát tính quy nghiệm phương trình lu elliptic với ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO nhỏ Tài liệu nghiên cứu an va [1], [3], [5], [8] n Nội dung tập trung khảo sát tính quy nghiệm phương trình gh tn to dạng divergence Từ ứng dụng vào tốn cụ thể với điều kiện biên p ie Dirichlet điều kiện biên Neumann Nội dung luận văn gồm bốn chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Bước đầu giới thiệu phương trình oa nl w elliptic dạng divergence, định nghĩa bổ đề quan trọng để bổ trợ cho chương sau d an lu Chương 2: Bàn luận tính quy cho gradient nghiệm phương nf va trình elliptic dạng divergence với hệ số khơng liên tục Cơng cụ lm ul Bổ đề phủ Vitali Và phương pháp đánh giá tính quy nghiệm z at nh oi chương tảng cho phương pháp hai chương sau Chương 3: Mở rộng đánh giá chương trước để nghiên cứu tính trơn nghiệm yếu lên biên toán Dirichlet với hệ số BMO z @ miền Lipschitz l gm Chương 4: Bài toán Neumann với hệ số BMO miền Lipschitz m chương từ Bổ đề 3.1 Chương co Chương mở rộng đánh giá chương trước Kỹ thuật an Lu n va ac th si Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, bước đầu giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence, số định nghĩa bổ đề cần thiết để nghiên cứu chương sau Tài liệu tham khảo chương chủ yếu từ [1], [2], [3], [5] [9] 1.1 Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence Phương trình elliptic dạng divergence:  Lu   aij u x j  xi   div  Au   divf   f i  miền bị chặn   Rn (1.1) x i lu Giả thiết hệ số phương trình elliptic, A  aij  , thuộc an  ABMO  supsup n va không gian John-Nirenberg BMO (xem.[5]) với nửa chuẩn BMO nhỏ: to A  y   ABr  x  dy  Br  x  (1.2) gh tn r 0 x Br p ie 1.2 Một số khái niệm w 1.2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood số kết Lp oa nl Định nghĩa hàm cực đại Hardy-Littlewood d Cho f hàm khả tích địa phương Khi đó, hàm cực đại lu nf va an Hardy-Littlewood f là: lm ul f  x   sup r 0 Br f  y  dy  Br  x  z at nh oi Định lý hàm cực đại Hardy-Littlewood   f  Lp  R n  Hơn nữa, (i) Nếu f  Lp R n với p  , đó: (1.3) C (1.4) an Lu  p f dx m f  x     co : Lp l n C f gm x  R Lp @   (ii) Nếu f  L1 R n , đó: z f n va ac th si (1.3) gọi mạnh loại p  p (1.4) gọi yếu loại  Bổ đề 1.1 Với  p   Khi đó, ta có: (i) f  L1    f  L1    , (ii) f  Lp    f p  L1    Bổ đề 1.2 Với   f  Lp   1  p    Khi đó, ta có: x  : f  x     1  (i) p lu an  n va (ii)   p f dx,    f dx  p   p 1 x  : f  x    d p tn to Bổ đề 1.3 gh Cho p  Giả sử tồn p số thực với p ie     p   nhỏ cho: nl w A  In    d oa Khi đó, tất nghiệm u  H phương trình div  Au   lu 1.2.2 nf va an miền bị chặn   Rn thỏa mãn u  W1, p Bổ đề phủ Vitali lm ul Cho A tập đo Giả sử lớp cầu B phủ A z at nh oi A  B Bán kính B bị chặn Và tồn cầu rời   B  cho: i co l A  5Bi , gm @ i i 1 z B  m với 5Bi cầu với bán kính gấp năm lần bán kính Bi Khi đó, ta an Lu có: n va ac th si 43 Nếu h  H  B1  nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann T1 div  Ah   divf B1   h   c B1 , tồn số C  C     cho:  h dx  C   f dx B1 B1 Chứng minh Vì h  H  B1  với h  B1  xn  0 , nên theo định nghĩa nghiệm yếu, ta có:  Ah.hdx   fhdx B1 B1 lu an Khi đó, theo Bất đẳng thức Cauchy với  điều kiện elliptic đều: va  1   h dx    Ah.hdx n to B1 B1 tn     fhdx gh B1 ie     h dx  p w B1  B1 f dx , ta được: 2 d oa nl Lấy   4 lu   B1 nf va an h dx  C   f dx B1 Bổ đề 4.4 lm ul Giả sử u nghiệm yếu div  Au   divf B1 với điều kiện Khi đó: B1  u dx  C   B1  f dx    u  dx , 2 z  z at nh oi biên Neumann T1 lấy   C0  B1  hàm cắt tiêu chuẩn mà    B1 @ Chứng minh co l gm đó, số C phụ thuộc vào hệ số A m Vì  2u  H  B1  với  2u  c B1 , nên theo định nghĩa nghiệm an Lu yếu, ta có điều sau: n va ac th si 44  B1 Au.  2u  dx    f  2u  dx B1 Ta viết lại đẳng thức sau: I1  I  I , với I1     Au.udx, B1  2uf   fu dx, I   B1 I     2uAu.dx B1 lu Đánh giá I1 Theo điều kiện elliptic đều, ta được: an va I1     Au.udx n B1   1    u dx tn to B1 p ie gh Đánh giá I Áp dụng Bất đẳng thức Cauvhy với  , ta được:   f u   f u dx d oa B1  2uf   fu dx B1 nl w I   nf va an lu 2 2 2      f  u    u   f dx B1 4    2 2   1      f dx    u  dx      u dx B1 B1  4  B1 lm ul z at nh oi Đánh giá I Từ điều kiện A  L Bất đẳng thức Cauchy với  : I     2uAu.dx  A B1 L  B1 u u dx z  C    u dx  gm @ B1 C   u  dx B1 m co l Cuối cùng, từ đánh giá Ii  i  1,2,3 , ta có: an Lu n va ac th si 45  1    u dx  I1  I  I B1  2 2   1      f dx    u  dx      u dx  B1 B1  4  B1 C 2  C    u dx    u  dx  B1 B1  2 2   C  C    u  1      f  1     u  B1  4  B1    B1 Chọn   , ta nhận được: 2C  lu   u dx  C an B1    f dx    u  dx 2 B1 2 B1  n va Bổ đề 4.5 tn to Với   , tồn       nhỏ cho nghiệm yếu p ie gh u  H  B5  với điều kiện biên Neumann T5 div  Au   divf w B5 mà nl B5 oa  u dx  d B5 B5  B5  f  A  AB5 2  dx   (4.2) lu nf va an Khi đó, tồn nghiệm trơn v với điều kiện biên Neumann T4   div AB4 v  B4 z at nh oi lm ul cho:  B4 (4.3) z Chứng minh u  v dx   gm @ Ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại, nghĩa tồn   ,  Ak k 1 , uk k 1 fk k 1    co l m cho uk nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann T5 an Lu div  Ak uk   divfk B5 (4.4) n va ac th si 46 với B5  B5 B5 uk dx   B5  fk  Ak  Ak B5  dx  (4.5) k2 Nhưng  uk  vk dx   02 B4 (4.6) với nghiệm vk với điều kiện biên Neumann T4    div Ak B4 vk  B4  lu Theo Bổ đề 4.4 (4.4), uk  uk an    k 1 (4.7) bị chặn H  B4  Do  n va có dãy con, mà ta kí hiệu uk  uk , cho:    Vì Ak B4 bị chặn nên có dãy mà ta kí hiệu Ak B4 p ie gh tn to uk  uk ⇀ u0 H  B4  uk  uk  u0 L2  B4   (4.8)  k 1 , cho: (4.9) oa nl w Ak B4  A0 k   d Nhưng đó, theo (4.5), ta có: (4.10) nf va an lu Ak  A0 L2  B4  Bây giờ, ta chứng tỏ u0 nghiệm yếu với điều kiện biên lm ul Neumann T4  z at nh oi   div A0u0  B4 (4.11) z Để vậy, lấy   H  B4  với   c B4 Bây giờ, ta mở B5 B4 B4 Ak uk  dx    fk  dx B4 an Lu  B5 m hay Ak uk  dx    Ak uk  dx    fk  dx    fk  dx; co B4 l  gm @ rộng  tới B5 ngồi B4 Khi đó, theo (4.4) ta có: (4.12) n va ac th si 47 Vì uk ⇀ u0 Ak  A0 L2  B4  , nên Ak uk ⇀ A0u0 L2  B4  Khi đó, cho k   (4.12), ta có  B4 A0u0  dx  0, ta có (4.11) Chú ý rằng:     div   A     A  u  B div Ak B4 u0  div  Ak B4  A0  u0  div A0u0 k B4  Lấy hk nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann T4      lu div A h  div A  A u B   k B4 k k B4 0  hk   c B4 (4.13) an va n Khi đó, u0  hk nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann T4 to  tn (4.14) Với   H  B4  mà   c B4 , theo (4.11) (4.14), ta có p ie gh  div Ak B4   u0  hk   B4 nl w điều sau: k B4 k k B4 B4 nf va 0  B4 0 Ak B4 hk  dx B4 0 k B4 B4 z at nh oi lm ul k B4 k B4 B4 an B4 lu B4 k B4 d B4 oa  A   u  h . dx   A u  dx     A u  dx    A  A  u  dx    A  A  u    A u     A   A0 u0  Từ đó, ta có (4.14) Hơn nữa, theo Bổ đề 4.3: hk      C Ak B  A0 u0 L  B  L2 B4   z  C Ak B4  A0 , m co thế, ta có:   L2 B4 l gm @  C Ak B4  A0 u0 an Lu n va ac th si 48 uk   u0  hk    L2 B4  u k  u0 L2 B4    hk L  B   uk  u0 L2 B4     C Ak B  A0  Từ đánh giá này, (4.8) (4.9): uk   u0  hk    L2 B4  k   Nhưng điều mâu thuẫn với (4.6) (4.14)  Mục tiêu ta u  v đủ nhỏ H với điều kiện thích hợp A f Hệ 4.6 lu Cho   , tồn       nhỏ cho nghiệm yếu u với điều an n va   gh tn to kiện biên Neumann T5 div  Au   divf B5 mà 1 2   u dx  f  A  A dx   , (4.15) B     B B B5 B5 p ie tồn nghiệm trơn v với điều kiện biên Neumann T4   nl w div AB4 v  B4 d oa thỏa   u  v  dx   lu  (4.16) nf va an B2 Chứng minh  lm ul Theo Bổ đề 4.5 (4.15), tồn nghiệm trơn v với điều kiện biên  B4 với B5  B5  f  A  AB5 z  u  v dx z at nh oi Neumann T4  div AB4 v  divf B4 cho:  dx (4.17) @ kiện biên Neumann T4   co   l gm Đầu tiên, ta chứng minh   u  v nghiệm yếu với điều div  A   div f  A  AB4 v B4 m (4.18) an Lu n va ac th si 49 Để có điều đó, ta chọn   H  B4  với   c B4 Khi đó, từ định nghĩa nghiệm yếu, ta có:  B4 A. dx    Au. dx  B4     B4 B4   B4  Av. dx B4   A  A  v. dx     A  A  v. dx f dx  B4 B4 f dx  B4 AB4 v. dx B4 B4 f +  A  A  v  dx, B4 từ đó, ta có (4.18) lu Theo Bổ đề 4.4, ta có đánh giá sau: an  n va B2   2  dx  C    f  A  AB4 v dx     dx  B3  B3   B4 v Trong đó, ta sử dụng p    u  v  dx  C  nl w Do đó, ta có oa B2 f dx   B4 ie gh tn to C    L B  A  AB4 dx     dx B4  C  f dx    A  AB4 dx    u  v dx  B4 B4 B4 Vậy từ đánh giá này, (4.17) (4.15) ta có điều cần chứng minh d  nf va an lu Bổ đề 4.7     x   1  x   :  f   x       2 z gm 2    B1 (4.20) m an Lu x  :  u  x   N   B co l đó: Chứng minh (4.19) @ B  x   : u   và A  AB5    , L  B5   z at nh oi lm ul Cho số N1  0, với   , tồn       nhỏ u nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann  div  Au   divf   B7 với n va ac th si 50 Theo (4.19), tồn điểm x0  B1 cho: Br  u dx  Br  x0  Br  f dx   với r  Br  x0  (4.21) Từ B5    B6  x0  theo (4.21), ta có: B5  B5 B5 f dx   0  B6  x0  f dx n 6 B6  x0  f dx     ; B = B5 B6 lu đó, an n n va to B5 6 B5 0 f dx     B5 6 B5 0 u dx    (4.22) p ie gh tn Tương tự, ta có: n (4.23) oa nl w Theo Hệ 4.6, (4.22), (4.23) (4.19), tồn nghiệm trơn v với d điều kiện biên Neumann T4  nf va an lu   div A B4 v  divf B4 cho: với B5  B5  f  A  AB5 2 z at nh oi B2 lm ul    u  v  dx (4.24)  dx (4.25) Tồn số N cho:    N0 (4.26) gm @ L B3 z v l Ta đặt N12  max 4 N02 ;2n  chứng minh: 2  (4.27) an Lu Để kiểm tra điều này, ta giả sử rằng: m  co x  B :  u  x   N   x  B :   u  v   x   N  n va ac th si 51   x1  x  B1 :  u  v    x   N  2 (4.28) Với r  , Br  x1   B3 theo (4.28), (4.26), ta có: Br  Br u dx  Br  x1   Br  x1    u  v   v  dx  4N (4.29) Với r  , x0  Br  x1   B2r  x0  theo (4.21), ta có: Br  u dx  Br  x1  Br  u dx  B2r  x0  2n B2 r  B2r u dx  2n  x0  (4.30) Khi đó, từ (4.29) (4.30) ta có: lu an   u   x   N  n va x1  x  B1 : 2 (4.31) Theo (4.27) yếu loại  1: p ie gh tn to Từ (4.28) (4.31) ta có khẳng định (4.27)  x  B :  u   N    x  B :    u  v    N   2  w C   u  v  dx B  N0 d oa nl  nf va an lu Theo đánh giá này, (4.25), (4.22) (4.19) ta có kết luận (4.20)  Phần chương gần giống chương trước nên nêu lm ul rõ điều sau mà không chứng minh, ngoại trừ Định lý 4.11 z at nh oi Kể từ giờ, ta giả sử B7r     B7 r  B7r u  T7 r Hệ 4.8 z Giả sử u  H  B7r  nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann T7 r  2 r   Br , an Lu  u   N   B m  x  B7r : co Khi đó, có tính chất sau: l B5r A  AB5r dx   gm B5r @ div  Au   divf B7r với n va ac th si 52   u   1  x  B Br  x  B7r :  7r  f     : Bổ đề sau quan trọng mục tiêu ta Bổ đề 4.9 Nếu u nghiệm yếu div  Au   divf B1   Au  f   N  T1 có tính chất sau:   u   x   N  mà với x  x  B1 : 2 lu an x  B :  u   N   B  x    B , n va  2 r r tn to   u   1    f     2 p ie gh Br  x   B1  Các cầu để phủ Bổ đề phủ Vitali lựa chọn cẩn thận nl w Bổ đề 4.10 d oa Giả sử u  H  B7  nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann T7 lu div  Au   divf B7 nf va an với lm ul z at nh oi  A  A B5 dx      B  B5   x  B : u  N12  B1   B1       z n gm @ Cho k số nguyên dương 1  10  Khi đó, ta có: x  B :  u   N    x  B :  f    N    x  B :  u   1 2 2 k i  k  an Lu  m i 1 i 2k co k l  n va ac th si 53 4.2 Tính quy nghiệm Đầu tiên ta cần tồn nghiệm yếu Định lý 4.11 Phương trình (4.1) có nghiệm yếu sai khác số Chứng minh Ta chứng minh Bổ đề Lax-Milgram Trước hết, ta định nghĩa dạng song tuyến:     u, v   Au. dx  u, v  H    H    :           dx  0  lu Khi đó, tồn số  ,  >0 cho: an n va  u , v    u    u H 1      H 1   v H 1    u, v  H  Vậy f ,v    fvdx, v  H hàm tuyến tính bị chặn H Ta ie gh tn to u , v   u  H  p  w dùng Bổ đề Lax-Milgram để tìm hàm u  H thỏa mãn: f ,v , v  H d oa nl u , v   an lu Khi đó, ta kết luận u nghiệm yếu (4.1) Thật vậy, với nf va   H    ,ta có:    Au. dx   Au.    dx    u ,      f ,     z at nh oi lm ul       f    dx  z    f dx  m co l Định lý 4.12 [1] gm Hoàn thành chứng minh @  an Lu Cho p số thực với  p   Tồn     p   nhỏ cho với A thỏa n va ac th si 54 B5  B5 A  AB5 dx   ; f thỏa f  Lp  B7 ; R n  Nếu u nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann T7 div  Au   divf B7 u thuộc Lp  B1  với đánh giá  u dx  C p lu B1   u  f dx , p B7 p an Cuối cùng, ta có định lý chương n va đó, số C độc lập với u f gh tn to Định lý 4.13 [1] p ie Cho số thực p với  p   Tồn     p   cho với A thỏa  ABMO   L elliptic đều; w oa nl với  thỏa d  :  ,1  Lipschitz , an lu với f thỏa nf va f  Lp  ; R n  lm ul Nếu u nghiệm yếu với điều kiện biên Neumann  u  W1, p    với đánh giá Lp    , m co Chứng minh  f l đó, số C độc lập với u f Lp    gm  C u @ Lp    z u z at nh oi div  Au   divf , an Lu n va ac th si 55 Trường hợp p  suy từ Định lý 4.11 Trường hợp p  suy từ Định lý 4.12 đánh giá phần (xem Chương 2) với phép đổi biến, vị tự,… Trường hợp  p  có ta lấy đối ngẫu lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 56 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày cách chi tiết đánh giá tính quy nghiệm lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với hệ số khơng liên tục, cụ thể phương trình với ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO nhỏ Đồng thời đạt mục tiêu tìm hiểu việc khảo sát tính quy nghiệm phương trình dạng divergence đạt được: Mục tiêu thứ nhất: Tìm hiểu kỹ thuật quy nghiệm sử dụng Bổ lu đề phủ Vitali Byun an n va Mục tiêu thứ hai: Tìm hiểu kết tính quy nghiệm cho tn to phương trình elliptic dạng divergence với hệ số khơng liên tục có chuẩn gh BMO nhỏ p ie Tuy nhiên, mục tiêu thứ ba: Định hướng quy nghiệm cho phương w trình Stokes, chưa đạt thời gian chưa cho phép oa nl Tác giả mong muốn sau nghiên cứu thêm để hoàn thiện d đề tài mà theo đuổi nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sun-Sig Byun (May 2003) Optimal W 1,p Regularity Theory Of [1] Elliptic And Parabolic Equations University of Iowa, Iowa city, Iowa [2] L A Caffareli and X Cabre (1995) Fully nonlinear elliptic equations, volume 43 of American Mathermatical Society Colloquium Publication American Mathermatical Society, Providence, RI L A Caffareli and I Peral (1998) On W1,p estimaties for elliptic [3] lu equations in divergence form Comm Pure Appl Math, 51(1):1-21 an G Di Fazio (1996) Lp estimates for divergence form elliptic n va [4] tn to equations with discontinuous coefficients Boll Un Mat Ital A(7), 10(2): 409-420 F John and L Nirenberg (1961) On function of Bounded mean p ie gh [5] Juba Kinnunen and Shulin Zhou (1999) A local estimates for oa nl [6] w oscillation Comm Pure Appl Math, 14:415-426 d nonlinear equations with discontinuous coefficients Comm Partial lu [7] nf va an Differential Equations, 24:2043-2068 Norman G Meyers (1963) An Lp estimate for the gradient of lm ul solutions of second order elliptic divergence equations Ann Scuola [8] z at nh oi Norm Sup Pisa(3), 17:189-206 Lihe Wang A geometric approach to the Calderon-Zygmund estimates Acta Mathematica Sinica, 2:381-396, 2003 Enghlish z gm D S Jerison, C.E Kenig (1981) The Neumann problem on Lipschitz m co domains Bull Amer Math Soc, 4:203-207 l [9] @ Series an Lu n va ac th si