(Luận văn) một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số pell và số pell liên kết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUỆ lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ LIÊN HỆ CỦA SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG VỚI SỐ PELL VÀ SỐ PELL LIÊN KẾT d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2016 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUỆ lu MỘT SỐ LIÊN HỆ CỦA SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG VỚI SỐ PELL VÀ SỐ PELL LIÊN KẾT an n va gh tn to ie Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp p Mã số: w 60 46 01 13 d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC lm ul TS NGÔ VĂN ĐỊNH z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2016 ac th si Mục lục ii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu Danh sách kí hiệu an n va Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 1.2 Số Pell số Pell liên kết 1.3 Số cân số đối cân 1.4 Số Lucas-cân số Lucas-đối cân p ie gh tn to 1.1 w Chương Một số liên hệ quan trọng oa nl 11 Một số mối liên hệ liên quan đến tổng tích 11 2.2 Một số mối liên hệ liên quan đến số Lucas-cân số d 2.1 nf va an lu Lucas-đối cân 17 Một số mối liên hệ liên quan đến hàm số học 21 z at nh oi lm ul 2.3 Chương Nghiệm số phương trình Diophant 26 Phương trình x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) 26 3.2 Phương trình + + · · · + x = y 30 3.3 Phương trình + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y 33 3.4 Một số phương trình Pythagore 35 z 3.1 39 an Lu 40 n va Tài liệu tham khảo m co l gm @ Kết luận ac th i si Danh sách kí hiệu lu an n va số cân thứ n Rn hệ số cân thứ n bn số đối cân thứ n rn hệ số đối cân thứ n Cn số Lucas-cân thứ n cn số Lucas-đối cân thứ n Pn số Pell thứ n Qn số Pell liên kết thứ n √ số vô tỷ + √ số vô tỷ − p ie gh tn to Bn d oa nl w α2 α1 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Lời mở đầu Từ xa xưa, nghiên cứu số nguồn cảm hứng bất tận nhà toán học Đã có nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu số tam giác, tức số tự nhiên có dạng lu an + + · · · + n, n va với n số tự nhiên Khi nghiên cứu phương trình Diophant to ie gh tn + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), p Behera Panda [2] phát mối liên hệ số n nghiệm (n, r) với w số tam giác phương Họ gọi n số cân r hệ số cân oa nl tương ứng Đồng thời, họ tìm nhiều tính chất đẹp thú vị số cân d Một số tính chất B số cân 8B + √ số phương ngược lại Số C = 8B + 1, với B số cân bằng, gọi nf va an lu số Lucas-cân lm ul Panda Ray [4] nghiên cứu phương trình Diophant khác z at nh oi + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) z Với nghiệm (n, r) phương trình này, họ gọi n số đối cân r hệ số đối gm @ cân tương ứng Trong nghiên cứu này, Panda Ray tìm nhiều mối liên hệ l chặt chẽ số cân với số đối cân bằng, số đối cân với m co số phương Đặc biệt, b số đối cân 8b2 + 8b + số √ phương ngược lại Số c = 8b2 + 8b + 1, với b số đối cân bằng, an Lu gọi số Lucas-đối cân Một số tính chất thú vị nói số cân n va số đối cân Hoàng Thị Hường [1] trình bày lại tiếng Việt ac th si Mục đích luận văn trình bày lại kết gần Panda Ray [5] số mối liên hệ số cân bằng, số đối cân với số Pell số Pell liên kết Đặc biệt, liên hệ loại số thể qua nghiệm số phương trình Diophant thú vị Các mối liên hệ tìm dựa công thức Binet loại số Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày thành ba chương • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình lu an bày sơ lược phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất; khái niệm n va số cân bằng, số đối cân bằng, số Pell, số Pell liên kết, số Lucas-cân số tn to Lucas-đối cân gh • Chương 2: Một số liên hệ quan trọng Trong chương này, chúng tơi trình bày p ie tính chất thể mối liên hệ chặt chẽ loại số nói Chúng tơi phân w loại tính chất trình bày thành ba mục khác nhau: số mối liên hệ liên oa nl quan đến tổng riêng phân tích thành tích; số mối liên hệ có liên quan đến d số Lucas-cân số Lucas-đối cân bằng; số mối liên hệ liên quan lu nf va an đến hàm số học trung bình cộng, ước chung lớn nhất, hàm phần nguyên • Chương 3: Nghiệm số phương trình Diophant Chương cuối lm ul chúng tơi trình bày kết Panda Ray nghiệm bốn loại phương trình chương trước z at nh oi Diophant đặc biệt biểu diễn hồn tồn thơng qua loại số trình bày Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm z luận văn l gm @ nhiệt tình thầy hướng dẫn TS Ngơ Văn Định suốt trình tác giả thực co Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng giáo sư, tiến sĩ m công tác Viện toán học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, trường Đại học Sư an Lu phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến n va thức để nâng cao trình độ Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn ac th si sâu sắc tới tất thầy, cô Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa Toán Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn Thái Nguyên, 2016 lu an Nguyễn Thị Huệ n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kiến thức sử dụng lu nội dung luận văn Cụ thể, chúng tơi nhắc lại sơ lược phương trình sai an n va phân tuyến tính cấp hai nhất; nhắc lại khái niệm số Pell, số Pell liên kết, cân số đối cân Tài liệu tham khảo chương [1], [2] gh tn to số cân số đối cân Ngồi ra, chúng tơi nhắc lại vài tính chất số p ie [4] Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai oa nl w 1.1 d Trong mục này, nhắc lại khái niệm phương trình sai phân tuyến tính lu nf va an cấp hai đặc biệt trình bày cơng thức nghiệm phương trình trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Đây z at nh oi lm ul kiến thức cần thiết cho nội dung sau Định nghĩa 1.1.1 Phương trình có dạng (1.1) un+2 = Aun+1 + Bun , n = 1, 2, , z @ l gm A, B số, gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai co m Để tìm nghiệm phương trình sai phân (1.1), xét phương trình bậc hai an Lu α2 − Aα − B = n va (1.2) ac th si Phương trình bậc hai gọi phương trình đặc trưng phương trình sai phân (1.1) Định lý sau cho cơng thức nghiệm phương trình sai phân (1.1) trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt Định lý 1.1.2 ([3, Theorem 10.1]) Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α1 α2 Khi phương trình sai phân (1.1) có nghiệm (1.3) un = C1 α1n + C2 α2n , n = 1, 2, , C1 C2 số lu Chúng ta cần ý rằng, biết điều kiện ban đầu u0 u1 số an n va C1 C2 hoàn tồn xác định Khi đó, dãy số {un }∞ n=1 xác định aα1n−1 − bα2n−1 α1 − α2 (1.4) gh tn to un = p ie α1 , α2 hai nghiệm phương trình đặc trưng (1.2) a = u2 − u1 α2 , b = w u2 − u1 α1 oa nl Ví dụ 1.1.3 Ta xét ví dụ quen thuộc dãy số Fibonacci {Fn } d xác định phương trình sai phân nf va an lu (1.5) Fn+2 = Fn+1 + Fn lm ul với điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = z at nh oi Phương trình đặc trưng phương trình (1.5) λ2 − λ − = z m co l gm @ Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt √ √ 1+ 1− λ1 = λ2 = 2 an Lu Do đó, nghiệm tổng quát phương trình (1.5) √ !n √ !n 1+ 1− Fn = C1 + C2 , n = 1, 2 n va ac th si Từ điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = ta có hệ phương trình  √ ! √ !  1+ 1−   + C2 = 1,  C1 2 √ !2 √ !2  − + 5    + C2 = C1 2 Giải hệ phương trình ta C1 = −C2 = √ Từ suy số hạng tổng quát dãy số Fibonacci " √ !n √ !n # 1+ 1− − , n = 1, 2, Fn = √ 2 lu an n va 1.2 Số Pell số Pell liên kết to ie gh tn Với n = 1, 2, , số Pell Pn số Pell liên kết Qn xác định p P1 = 1, Pn+1 = 2Pn + Pn−1 , n = 2, 3, (1.6) Q2 = 3, Qn+1 = 2Qn + Qn−1 , n = 2, 3, (1.7) oa nl w P2 = 2, d Q1 = 1, lu nf va an Như số Pell số Pell liên kết xác định phương trình sai phân với điều kiện ban đầu khác Phương trình đặc trưng phương trình z at nh oi lm ul sai phân xác định hai dãy số α2 − 2α − = Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt z √ @ α2 = − (1.8) an Lu α1n + α2n m Qn = co α1n − α2n √ , 2 l Áp dụng công thức nghiệm (1.4) ta thu Pn = √ gm α1 = + n va Các công thức gọi công thức Binet cho dãy số Pell dãy số Pell liên kết ac th si Chương Nghiệm số phương trình Diophant Trong chương này, ta xét vài phương trình mà toàn nghiệm biểu lu diễn qua số cân bằng, số đối cân bằng, số Pell số Pell liên kết an va n 3.1 Phương trình x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) gh tn to Phương trình xét tìm hai số tự nhiên cho tổng tất p ie số tự nhiên từ số bé đến số lớn tích hai số d oa nl w Định lý 3.1.1 Các nghiệm phương trình Diophant x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) nf va an lu x = Rn + y = Bn − Rn − 1, n = 1, 2, lm ul z at nh oi Chứng minh Ta biết rằng, B số cân với hệ số cân R + + · · · + (B − 1) = (B + 1) + (B + 2) + · · · + (B + R) z Do đó, gm @ l (R + 1) + (R + 2) + · · · + (B − 1) = (B + 1) + (B + 2) m co + · · · + (B + R) − (1 + + · · · + R) = RB an Lu Cộng B vào hai vế ta có n va (R + 1) + (R + 2) + · · · + B = (R + 1)B ac th 26 si Do đó, x = R + 1, x + y = B Từ suy điều cần chứng minh Chứng minh Dưới chứng minh khác định lý 3.1.1 cách sử dụng phương trình Pell: Phương trình Diophant x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) lu tương đương với an (2y + 1)2 − 2(2x − 1)2 = −1 n va tn to Đặt u = 2y + v = 2x − 1, ta thu phương trình Pell p ie gh u2 − 2v = −1 nl w Nghiệm phương trình u = v = Do đó, nghiệm tổng quát √ 2vn = (1 + √ 2)n , n = 1, 2, d oa un + √ nf va an lu Vì un − (1 + 2)n , 2)n + (1 − √ 2)n + (1 − √ 2 √ 2)n √ 2)n = Qn , = Pn l gm @ Vì un lẻ Pn lẻ n lẻ, nên ta có = P2n−1 , n = 1, 2, m co un = Q2n−1 , n = 1, 2, , z = (1 + √ √ z at nh oi un = lm ul nên 2vn = (1 − n va 2y + = Q2n−1 , 2x − = P2n−1 , an Lu Do ac th 27 si hay y= (Q2n−1 − 1) , x= (P2n−1 + 1) Áp dụng công thức Binet (1.8) (1.11) ta thu x= (P2n−1 + 1) = Rn + 1, theo Định lý 2.1.7 ta có x+y = (P2n−1 + Q2n−1 ) = Bn , từ suy kết luận định lí lu an va Định lý sau cho biểu diễn khác nghiệm phương trình n Diophant xét tn to p ie gh Định lý 3.1.2 Các nghiệm phương trình Diophant d oa nl w x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) x = Bn y = Rn+1 − Bn , n = 1, 2, an lu nf va Chứng minh Nếu b số đối cân với hệ số đối cân r lm ul + + · · · + b = (b + 1) + (b + 2) + · · · + (b + r), z at nh oi hay (r + 1) + (r + 2) + · · · + b = (b + 1) + (b + 2) z @ l gm + · · · + (b + r) − (1 + + · · · + r) = rb m x + y = Rn+1 co Do đó, x = r x+y = b Bây áp dụng Định lí 1.3.3, ta kết luận x = Bn an Lu Chứng minh Cũng định lý trước, trường hợp ta có n va chứng minh khác sử dụng phương trình Pell: ac th 28 si Phương trình Diophant x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) tương đương với (2y + 1)2 − 2(2x)2 = Đặt u = 2y + 1, v = 2x, ta thu phương trình Pell u2 − 2v = 1, u lẻ , v chẵn Nghiệm phương trình u = v = Do đó, nghiệm tổng quát lu an un + va √ √ 2vn = (3 + 2)n , n = 1, 2, √ √ 2vn = (3 − 2)n , n = 1, 2, n Điều suy tn to ie gh un − p Theo hai phương trình cuối Định lí 2.3.1 2.2.1, ta có √ √ (3 + 2)n + (3 − 2)n un = 2n 2n α + α2 = = Cn = Q2n , d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul √ √ (3 + 2)n − (3 − 2)n = 2n 2n α +α = √ = 2Bn = P2n 2 Ta thấy Q2n lẻ P2n ln chẵn Do đó, z @ 2x = 2Bn , hay x = Bn Do n 2Bn + Cn − va x+y = an Lu (Cn − 1) , m y= co l gm 2y + = Cn , ac th 29 si Nhưng theo [4, Hệ 6.4], ta có 2Bn + Cn − = Rn+1 3.2 Phương trình + + · · · + x = y Trong mục xem xét nghiệm phương trình Diophant gồm hai số mà tổng tất số tự nhiên số lớn bình phương số bé lu an Định lý cho ta trường hợp số lớn số chẵn va n Định lý 3.2.1 Các nghiệm phương trình Diophant tn to = 4Bn2 y = P2n Q2n = B2n , n = 1, 2, x = P2n oa nl w p ie gh + + · · · + 2x = y d Chứng minh Phương trình Diophant nf va an lu + + · · · + 2x = y lm ul tương đương với z at nh oi x(2x + 1) = y Vì x 2x + nguyên tố nhau, nên x 2x + phải bình phương Đặt z ta tìm m l(l + 1) co x=4· l gm @ 2x + = (2l + 1)2 , an Lu Vì x bình phương nên l(l + 1)/2 bình phương mộ số tam giác Do n = 1, 2, n va x = 4Bn2 = P2n , ac th 30 si Theo Định lý 2.1.1 ta có p x(2x + 1) p = 4Bn2 (8Bn2 + 1) p = 4Bn2 Cn2 = 2Bn Cn y= = B2n = P2n Q2n Bây ta xét trường hợp số lớn số lẻ lu an Định lý 3.2.2 Các nghiệm phương trình Diophant va n + + · · · + (2x − 1) = y tn to ie gh p x = P2n−1 y = B2n−1 , n = 1, 2, oa nl w Chứng minh Phương trình Diophant d + + · · · + (2x − 1) = y nf va an lu tương đương với lm ul x(2x − 1) = y Ta đặt z at nh oi Vì x 2x − nguyên tố nên x 2x − phải số phương 2x − = (2k + 1)2 z @ gm ta có an Lu k + (k + 1)2 = l2 m Đặt x = l2 phương trình trở thành co l x = 2k + 2k + = k + (k + 1)2 n va ac th 31 si Theo [4, trang 1199] nghiệm phương trình Diophant k = bn + rn = Bn−1 + Rn , n = 1, 2, , l= p 2k + 2k + Áp dụng công thức Binet Bn bn (1.11), ta thấy l = P2n−1 Do lu an x = P2n−1 va n Áp dụng Định lý 2.1.1 tn to nên p ie gh 2P2n−1 − = Q22n−1 , oa nl w q 2 y = P2n−1 (2P2n−1 − 1) = P2n−1 Q2n−1 = B2n−1 d Định lí chứng minh lu chế số lớn nf va an Định lý sau cho nghiệm phương trình xét mà khơng có hạn lm ul Định lý 3.2.3 Các nghiệm phương trình Diophant z at nh oi + + · · · + x = y2 z x = Bn + Rn , xấp xỉ với Q2n , y = Pn Qn = Bn an Lu n va x(x + 1) = y2, m tương đương với co + + · · · + x = y2 l gm @ Chứng minh Phương trình Diophant ac th 32 si suy y số tam giác Lấy y = Bn áp dụng công thức Binet (1.8) (1.11) ta kiểm tra x = Bn + Rn = 3.3   Q2n n lẻ,  Q2 − n n chẵn Phương trình 1+2+· · ·+(y −1)+(y +1)+· · ·+x = y Tương tự mục trước xét phương trình lu an + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y n va tn to ba trường hợp: x số chẵn; x số lẻ trường hợp tổng quát Tuy nhiên, ta ie gh xét trường hợp tổng quát định lý sau p Định lý 3.3.1 Các nghiệm phương trình Diophant an lu d oa nl w + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y nf va x = bn + rn y = bn , n = 1, 2, z at nh oi lm ul Chứng minh Phương trình Diophant + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y tương đương với z x(x + 1) = y(y + 1), gm @ m an Lu n = 1, 2, n va Định lí chứng minh co y = bn Áp dụng Định lý 1.3.3 ta có p −1 + 8b2n + 8bn + x= = bn + rn , l suy y(y + 1) số tam giác Từ suy y số đối cân Giả sử ac th 33 si Định lý 3.3.2 Phương trình Diophant + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + 2x = y khơng có nghiệm x lẻ Nếu x chẵn, nghiệm cho x= b2n + r2n y = b2n , n = 1, 2, Chứng minh Phương trình Diophant + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y lu tương đương với an x(x + 1) = y(y + 1) va n Nếu x lẻ, vế trái lẻ, vế phải chẵn Do trường hợp p ie gh tn to nghiệm khơng tồn Nếu x chẵn, giải phương trình x ta có p −1 + 8y + 8y + x= d oa nl w Vì y(y + 1) số tam giác, nên y số đối cân , tức y = bn p −(2bn + 1) + 8b2n + 8bn + rn = an lu nf va nên ta có x= lm ul bn + rn Nhưng bn + rn chẵn n chẵn Do đó, nghiệm tổng quát cho z at nh oi x= b2n + r2n , y = b2n , n = 1, 2, z l gm @ Định lý 3.3.3 Phương trình Diophant m co + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + (2x − 1) = y an Lu khơng có nghiệm x lẻ Nếu x chẵn, nghiệm cho n b2n−1 + r2n−1 + y = b2n−1 , n = 1, 2, va x= ac th 34 si Chứng minh Phương trình Diophant + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + (2x − 1) = y tương đương với x(2x − 1) = y(y + 1) Nếu x lẻ, vế trái lẻ, vế phải chẵn Do trường hợp nghiệm không tồn Nếu x chẵn, giải phương trình x ta có p + 8y + 8y + x= lu Vì y(y + 1) số tam giác, nên y số đối cân bằng, tức y = bn an va n x= bn + rn + ie gh tn to Nhưng bn + rn + chẵn n lẻ Do đó, nghiệm tổng quát cho p x= y = b2n−1 , n = 1, 2, Một số phương trình Pythagore d an lu 3.4 oa nl w b2n−1 + r2n−1 + , nf va Phương trình Diophant dạng x2 +y = z x, y, z ∈ Z+ ẩn chưa biết lm ul thường gọi phương trình Pythagore Trường hợp đặc biệt x2 + (x + 1)2 = y z at nh oi nghiên cứu [2, 4], đó, nghiệm biểu diễn qua số cân số đối cân Phương trình có dạng x2 + y = z ± gọi phương trình hầu Pythagore Trong định lý sau, ta xét số phương trình hầu Pythagore đặc z m co x2 + (x + 1)2 = y + l Định lý 3.4.1 Phương trình hầu Pythagore gm @ biệt, cụ thể phương trình dạng x2 + (x + 1)2 = y ± an Lu có nghiệm x = Bn + bn y = 2Bn = P2n , n = 1, 2, phương n va trình x2 + (x + 1)2 = y − khơng có nghiệm ac th 35 si Chứng minh Phương trình Diophant x2 + (x + 1)2 = y + tương đương với x(x + 1) y2 = , điều chứng tỏ x(x + 1) số tam giác Từ suy x(x + 1) = Bn2 lu Do y = 2Bn = P2n an n va x= −1 + p 8Bn2 + p ie gh tn to Từ định nghĩa số cân hệ số cân p −1 + 8Bn2 + , Rn = w theo Định lí 1.3.3, Rn = bn với n nên x = Bn + bn oa nl Phương trình d x2 + (x + 1)2 = y − nf va an lu tương đương với 2(x2 + x + 1) = y lm ul Do y số chẵn y chia hết cho Điều x2 + x + z at nh oi số chẵn Nhưng số x2 + x ln số chẵn nên x2 + x + số lẻ Do đó, trường hợp phương trình khơng tồn nghiệm z l gm @ Định lý 3.4.2 Phương trình Pythagore x2 + (x + 2)2 = y có nghiệm x = 2(Bn−1 + bn ) = cn − y = 2P2n+1 , n = 1, 2, an Lu n va x2 + (x + 2)2 = y m co Chứng minh Phương trình Diophant ac th 36 si tương đương với 2(x2 + 2x + 2) = y từ suy y chẵn x2 + 2x + chẵn, x chẵn Lấy x = 2u y = 2v phương trình trở thành 2u2 + 2u + = v , phương trình Pythagore u2 + (u + 1)2 = v lu an Các nghiệm phương trình xác định [4, trang 1199] n va v= p 2u2 + 2u + tn to u = bn + rn , p ie gh Áp dụng công thức Binet bn , rn Pn ta có nl w 2(bn + rn )2 + 2(bn + rn ) + = P2n+1 d oa Vì rn = Bn−1 theo Định lý 1.3.3, nên nghiệm phương trình lu nf va an u2 + (u + 1)2 = v lm ul u = Bn−1 + bn , v = P2n+1 , n = 1, 2, z at nh oi Do đó, nghiệm phương trình Diophant x2 + (x + 2)2 = y cho y = 2P2n+1 , z x = 2(Bn−1 + bn ), n = 1, 2, @ m co 2(bn + rn ) + = cn l gm Áp dụng công thức Binet bn , rn cn ta có an Lu Từ đó, x đưa cách khác x = cn −1 Định lí chứng minh n va Thay x x − định lí trên, ta có kết thú vị sau: ac th 37 si Hệ 3.4.3 Phương trình Pythagore (x − 1)2 + (x + 1)2 = y có nghiệm x = cn = Q2n−1 y = 2P2n+1 , n = 1, 2, Định lý 3.4.4 Phương trình Pythagore  x(x − 1) 2  x(x + 1) + 2 = y2 có nghiệm x = Q2n−1 = cn y = B2n−1 , n = 1, 2, Chứng minh Phương trình Pythagore  lu an x(x − 1) 2  x(x + 1) + 2 = y2 x(x + 1) = y2, n va tương đương với tn to (3.1) ie gh phương trình chứng tỏ y số tam giác, y số cân bằng, tức p y = Bn với n Bây giờ, ta giải phương trình (3.1) với x2 mối liên hệ oa nl w Bn Rn , ta có d x2 = −1 + p an lu 8Bn2 + = Bn + Rn nf va Trong chứng minh Định lý 3.2.3, ta Bn + Rn số phương  x(x − 1) 2  x(x + 1) + 2 z at nh oi lm ul n số lẻ với Q2n Do đó, nghiệm phương trình Pythagore z x = Q2n−1 y = B2n−1 , = y2 n = 1, 2, gm @ Thật vậy, theo Định lý 2.2.1 ta có Q2n−1 = cn Định lí chứng minh m co l an Lu n va ac th 38 si Kết luận Luận văn trình bày lại kết [5] Cụ thể, qua ba chương, luận văn trình bày số vấn đề sau: lu Nhắc lại khái niệm số cân bằng, số đối cân bằng, số Lucas-cân bằng, an số Lucas-đối cân bằng, số Pell số Pell liên kết; n va Trình bày nghiệm số phương trình Diophant biểu diễn thơng ie gh tn to Trình bày kết thú vị mối liên hệ số nêu trên; p qua loại số nêu d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 39 si Tài liệu tham khảo Tiếng việt [1] Hoàng Thị Hường (2015), Số cân số đối cân bằng, Luận văn thạc sĩ, lu Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên an va n Tiếng Anh gh tn to p ie [2] Behera A., Panda G.K (1999), “On the square roots of triangular numbers”, The nl w Fibonacci Quarterly 37(2), pp 98–105 oa [3] Koshy T (2001), Fibonacci and Lucas numbers with Applications, John Wiley d & Sons, Inc., Toronto an lu nf va [4] Panda G.K., Ray P.K (2005), “Cobalancing numbers and cobalancers”, Interna1200 z at nh oi lm ul tional Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 2005(8), pp 1189– [5] Panda G.K., Ray P.K (2011), “Some links of balancing and cobalancing numbers with Pell and associated Pell numbers", Bulletin of the Institute of Mather- z gm @ matics Academia Sinica 6(1), pp 41–72 m stitute of Technology Rourkela, India co l [6] Ray P.K (2009), Balancing and cobalancing numbers, PhD thesis, National In- an Lu n va ac th 40 si