(Luận văn) số cân bằng và số đối cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HƯỜNG lu an n va SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HƯỜNG SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG lu an n va tn to Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp 60 46 01 13 p ie gh Mã số: d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi lm ul TS NGÔ VĂN ĐỊNH z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si i Mục lục lu an iii Danh sách ký hiệu iv Mở đầu 1 n va Lời cảm ơn Khái niệm số cân Một số cơng thức tìm số cân ie 1.1 p gh tn to Số cân oa 1.4 Hàm sinh 1.5 Một công thức không đệ quy khác 1.6 Một số tính chất khác 1.7 Một áp dụng số cân vào phương trình Diophantus 21 d nf va an lu 10 11 13 Số đối cân z at nh oi lm ul Một số công thức truy hồi nl 1.3 w 1.2 23 Khái niệm số đối cân 2.2 Một số công thức tìm số đối cân 2.3 Một số công thức truy hồi 26 2.4 Hàm sinh 28 2.5 Mối liên hệ số cân số đối cân 2.6 Một áp dụng số đối cân vào phương trình Diophantus 35 z 2.1 23 m co l gm @ 25 an Lu 30 n va ac th si ii Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Ngô Văn Định Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn lu an khoa học mình, TS Ngơ Văn Định, người đưa đề tài dành nhiều va n thời gian tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc em suốt Em xin trân trọng cảm ơn thầy giảng dạy Phịng Đào tạo thuộc ie gh tn to trình nghiên cứu Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy p Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt nl w để em theo học lớp học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập d oa thể lớp Cao học Tốn D khóa 1/2014 - 1/2016 động viên giúp đỡ tơi an lu q trình học tập làm luận văn nf va Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Dương, Ban Giám lm ul hiệu đồng nghiệp Trường THPT Cẩm Giàng II - Cẩm Giàng - Hải z at nh oi Dương tạo điều kiện cho học tập hồn thành kế hoạch học tập Tơi cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ tơi suốt q z trình học tập làm luận văn Hoàng Thị Hường m co l gm @ Thái Nguyên, 2015 Học viên Cao học Tốn lớp D khóa 01/2014 - 01/2016, an Lu Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên n va ac th si iv Danh sách ký hiệu lu an n va Tổ hợp chập k n phần tử [x] Phần nguyên số x Fn Số Fibonacci thứ n Ln Số Lucas thứ n Bn Số cân thứ n Số đối cân thứ n gh tn to   n   k bn p ie d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Số nguyên dương n gọi số cân bằng, tương ứng số đối cân lu + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), an n va tương ứng to gh tn + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), p ie với số nguyên dương r Các số cân số đối cân w có nhiều tính chất đẹp thú vị, chẳng hạn như: Nếu n số cân oa nl số nguyên dương r tương ứng số đối cân ngược lại, d n số đối cân r số cân bằng; có số phương trình lu đối cân nf va an Diophantus có nghiệm biểu diễn dạng số cân số lm ul Nội dung luận văn trình bày lại kết thú vị theo z Cấu trúc luận văn z at nh oi tài liệu tham khảo [3], [4] [5] @ l gm Nội dung luận văn trình bày thành chương: co • Chương 1: Số cân Trong chương này, trình bày khái m niệm, tính chất số cân bằng, cơng thức tìm số cân bằng, số cơng thức an Lu truy hồi, hàm sinh, số công thức không đệ quy áp dụng số cân n va vào giải phương trình Diophantus ac th si • Chương 2: Số đối cân Chương trình bày khái niệm, tính chất số đối cân bằng, cơng thức tìm số đối cân bằng, số công thức truy hồi, hàm sinh, mối liên hệ số cân số đối cân áp dụng số đối cân vào giải phương trình Diophantus lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Số cân Trong chương này, chúng tơi trình bày lại nội dung báo [3] lu [4] Cụ thể, chúng tơi trình bày khái niệm số cân bằng, số tính chất an n va liên quan đến số cân Trong đó, đặc biệt chúng tơi trình bày số gh tn to hàm sinh số cân áp dụng vào giải phương trình Diophantus Khái niệm số cân p ie 1.1 oa nl w Định nghĩa 1.1.1 Số nguyên dương n gọi số cân (1.1) d + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), an lu lm ul với số cân n nf va với số nguyên dương r Ở r gọi hệ số cân ứng z at nh oi Ví dụ 1.1.1 Các số 6, 35 204 số cân với hệ số cân 2, 14 84 z gm @ Mệnh đề 1.1.1 Nếu n số cân với số hệ số cân tương ứng r l (n + r)(n + r + 1) n = 8n2 + (1.3) n va √ an Lu − (2n + 1) + (1.2) m r= , co ac th si Chứng minh Từ (1.1), ta có + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) ⇒ (n − 1)n r(r + 1) = rn + ⇒ n −n = 2rn + r + r ⇒ 2n2 = n2 + 2rn + r2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)(n + r + 1) ⇒ n2 = 2 (∗) lu an (n + r)(n + r + 1) n va r2 + (2n + 1)r − n2 + n = gh tn to Từ (*) suy p ie Ta có ∆ = 8n2 + > 0, suy nl w − (2n + 1) ± 8n2 + d oa r= √ nf va an lu Vì r nguyên dương nên − (2n + 1) + Mệnh đề chứng minh 8n2 + z at nh oi lm ul r= √ z Định nghĩa 1.1.2 [3] Số tam giác số có dạng + + · · · + n với n ∈ Z+ @ l gm Nhận xét 1.1.1 Nếu n2 số tam giác n số cân co 8n2 + số phương n số cân Do đó, từ (1.2) m ta thấy n số cân n2 số tam giác từ (1.3) an Lu ta thấy n số cân 8n2 + phương n va ac th si 20 Chứng minh Nếu m = n chứng minh tầm thường Ta xét trường hợp m 6= n Khơng làm tính tổng qt ta giả sử m < n Theo bổ đề chia hết Euclide, tồn số nguyên q1 r1 cho q1 ≥ 0, ≤ r1 < m n = q1 m + r1 Theo Định lý 1.6.4 ta có (Bm , Bn ) = (Bm , Bq1 m+r1 ) = (Bm , Bq1 m Cr1 + Cq1 m Br1 ) Vì Bm chia hết Bq1 m theo Bổ đề 1.6.2 (Bm , Cq1 m ) = theo Bổ đề 1.6.3 lu suy (Bm , Bn ) = (Bm , Br1 ) (m, n) = (m, q1 m + r1 ) = (m, r1 ) Nếu an n va r1 > tồn số nguyên q2 r2 cho q2 ≥ 1, ≤ r2 < r1 gh tn to m = q2 r1 + r2 Bây theo Định lý 1.6.4, ta có (Bm , Bn ) = (Bm , Br1 ) p ie w = (Bq2 r1 +r2 , Br1 ) oa nl = (Bq2 r1 Cr2 + Cq2 r1 Br2 , Br1 ) d = (Br2 , Br1 ) an lu nf va (m, r1 ) = (q2 r1 + r2 , r1 ) = (r2 , r1 ) Quá trình tiếp tục cho lm ul đến xuất ri Vì r1 > r2 > suy ri ≤ m − i sau z at nh oi nhiều m bước vài ri Nếu rk−1 > rk = ta có (Bm , Bn ) = (Brk−2 , Brk−1 ) = (Bqk rk−1 , Brk−1 ) = Brk−1 z m co l Brk−1 = B(m,n) chứng minh kết thúc gm @ (m, n) = (rk−2 , rk−1 ) = (qk rk−1 , rk−1 ) = rk−1 Do (Bm , Bn ) = an Lu n va ac th si 21 1.7 Một áp dụng số cân vào phương trình Diophantus Ta biết nghiệm phương trình Diophantus x2 + y = z , (1.32) (x, y, z ∈ Z+ ) có dạng x = u2 − v , y = 2uv, z = u2 + v , u, v ∈ Z+ u > v Nghiệm (x, y, z) gọi ba Pythagoras Ta xét nghiệm (1.32) dạng đặc biệt, cụ thể lu an (1.33) x2 + (x + 1)2 = y n va tn to Trong phần ta liên kết nghiệm (1.33) với số cân gh Giả sử (x, y) nghiệm (1.33) Khi 2y − = (2x + 1)2 Do p ie w (2y − 1)2y oa nl = y (2y − 1), d số tam giác đồng thời số phương Do an lu p B = y (2y − 1), nf va (1.34) √ z at nh oi lm ul số cân lẻ (vì y 2y − lẻ) Vì y ≥ 1, từ (1.34) suy 1+ 8B + y = z Tiếp tục, y dương theo giả thiết, ta có (1.35) p 8B + co 1+ l y= gm @ 1q √ 8B + n va 2x + 2x + = 1+ an Lu m Từ (1.34) (1.35) , ta có ac th si 22 Vì x dương, suy s √
8B + − − , x= 2 p 1q y= + 8.B + Ví dụ với B = 35 x = y = lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 23 Chương Số đối cân Trong chương thứ hai này, trình bày lại nội dung báo [5] lu Cụ thể, chúng tơi trình bày khái niệm số đối cân bằng, số tính chất liên an n va quan đến số đối cân bằng, mối liên hệ số cân số đối cân tn to Trong đó, đặc biệt chúng tơi trình bày số hàm sinh số đối cân Khái niệm số đối cân nl w 2.1 p ie gh áp dụng vào giải phương trình Diophantus d oa Định nghĩa 2.1.1 Số nguyên dương n gọi số đối cân an lu (2.1) nf va + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), z at nh oi ứng với số đối cân n lm ul với số nguyên dương r Ở r gọi hệ số đối cân Ví dụ 2.1.1 Các số 2, 14 84 số đối cân với hệ số đối cân z gm @ 1, 35 ứng r m co l Mệnh đề 2.1.1 Nếu n số đối cân với hệ số đối cân tương n(n + 1) = , an Lu (n + r)(n + r + 1) (2.2) n va ac th si 24 − (2n + 1) + r= √ 8n2 + 8n + (2.3) Chứng minh Từ (2.1), ta có + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), ⇒ n(n + 1) r(r + 1) = rn + lu an n va ⇒ n(n + 1) = 2rn + r + r ⇒ 2n(n + 1) = n(n + 1) + 2rn + r2 + r ⇒ 2n(n + 1) = (n + r)2 + n + r ⇒ 2n(n + 1) = (n + r)(n + r + 1) ⇒ n(n + 1) (∗) ie gh tn to (n + r)(n + r + 1) = p Từ (*) suy oa nl w r2 + (2n + 1)r − n2 − n = d Ta có ∆ = 8n2 + 8n + > 0, suy an lu − (2n + 1) ± nf va r= 8n2 + 8n + z at nh oi lm ul Vì r nguyên dương nên √ − (2n + 1) + r= 8n2 + 8n + z gm @ Mệnh đề chứng minh √ m n(n + 1) với n số nguyên dương co l Định nghĩa 2.1.2 Một số gọi số Pronic viết dạng an Lu Từ (2.3) suy n số đối cân 8n2 + 8n + n va số phương hay n(n+1) số tam giác Vì 8×02 +8×0+1 = ac th si 25 số phương, ta thừa nhận số đối cân giống chương ta thừa nhận số cân Từ lập luận trên, n số đối cân n(n+1) n(n+1)/2 số tam giác Do đó, nghiên cứu ta số đối cân thu hẹp tới số tam giác Pronic, tức vừa số tam giác, vừa số Pronic p Vì n < n(n + 1) < n + nên suy T số tam giác Pronic √ [ T ] phải số đối cân Ví dụ T = số tam giác Pronic √ dó [ 6] = số đối cân lu an 2.2 Một số cơng thức tìm số đối cân va n Trong phần ta giới thiệu vài hàm sinh số đối cân Cho tn to p ie gh n, m số đối cân bất kì, ta xét hàm sau: p f (n) = 3n + 8n2 + 8n + + 1, p g(n) = 17n + 8n2 + 8n + + 8, p h(n) = 8n + 8n + + (2n + 1) 8n2 + 8n + + 1, d oa nl w lu nf va an p 1h t(n, m) = 2(2n + 1)(2m + 1) + (2n + 1) 8m2 + 8m + i p p p + (2m + 1) 8n2 + 8n + + 8n2 + 8n + 8m2 + 8m + − lm ul z at nh oi Đầu tiên ta chứng minh hàm sinh số đối cân Định lí 2.2.1 Cho n, m hai số đối cân f (n), g(n), h(n) z gm @ t(n, m) số đối cân m co l Chứng minh Giả sử u = f (n) Khi n < u p n = 3u − 8u2 + 8u + + an Lu Vì n u số nguyên không âm nên 8u2 + 8u + phải số n va phương u số đối cân ac th si 26 Vì f (f (n)) = g(n) nên g(n) số đối cân Ta kiểm tra trực tiếp 8h2 (n) + 8h(n) + 8t2 (n, m) + 8t(n, m) + số phương Vì h(n) t(n, m) số đối cân Tiếp tục, ta chứng tỏ với n số đối cân f (n) khơng đơn số đối cân mà số đối cân n Định lí 2.2.2 Nếu n số đối cân số đối cân n lu an va f (n) = 3n + p 8n2 + 8n + + 1, n gh tn to số đối cân liền trước n p ie f (n) = 3n − p 8n2 + 8n + + √ 8n2 + 8n + + số đối cân
n chứng minh giống Định lý 1.2.2 Vì f f (n) = n nên suy d oa nl w Chứng minh Chứng minh f (n) = 3n + Một số công thức truy hồi lm ul 2.3 nf va an lu f (n) số đối cân lớn nhỏ n z at nh oi Cho n = 1, 2, bn số đối cân thứ n Ta đặt b1 = Hai số đối cân b2 = b3 = 14 z Chương trước ta quy ước số cân đặt B0 = 1, B1 = @ gm 6, kí hiệu Bn số cân thứ n Để chuẩn hóa kí hiệu cho bậc co l với số Fibonacci, ta đặt lại số cân bằng cách đặt B1 = 1, B2 = m 6, n p 8b2n + 8bn + + 1, va bn+1 = 3bn + an Lu Định lý 2.2.2 nói ac th si 27 bn−1 = 3bn − p 8b2n + 8bn + + Cộng vế với vế hai phương trình ta kết luận số đối cân tuân theo công thức truy hồi tuyến tính bậc hai (2.4) bn+1 = 6bn − bn−1 + Từ công thức (2.4)ta thu định lý sau: Định lí 2.3.1 Mọi số đối cân số chẵn lu Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Hai số đối cân an n va b1 = b2 = số chẵn Giả sử bn chẵn với n ≤ k Sử dụng (2.4) dễ Sử dụng công thức truy hồi (2.4), ta suy vài liên hệ thú vị ie gh tn to thấy bk+1 số chẵn p số đối cân oa nl w Định lí 2.3.2 a) (bn − 1)2 = + bn−1 bn+1 ; d b) Với n > k ≥ bn = bk + Bk bn−k+1 − Bk−1 bn−k ; lu nf va an c) b2n = Bn bn+1 − bn (Bn−1 − 1); d) b2n+1 = (Bn+1 + 1)bn+1 − Bn bn lm ul Chứng minh Từ (2.4), ta có z at nh oi bn+1 + bn−1 − bn = z = m co bn−1 l bn + bn−2 − gm @ Thay n n − 1, ta có bn+1 + bn−1 − = n bn−1 va bn bn + bn−2 − an Lu Suy ac th si 28 Suy (bn − 1)2 − bn−1 bn+1 = (bn−1 − 1)2 − bn−2 bn Do (bn − 1)2 − bn−1 bn+1 = (b2 − 1)2 − b1 b3 = (2 − 1)2 − × 14 = Chứng minh b) cần mối liên hệ số cân đối cân thiết lập phần sau Do ta hỗn lại chứng minh b) Chứng minh c) suy từ b) cách thay n 2n k n lu Tương tự chứng minh d) suy từ b) cách thay n 2n + k an n va n + Hàm sinh ie gh tn to 2.4 p Ở phần trên, ta phát triển công thức truy hồi bn+1 = 6bn − bn−1 + cho nl w số đối cân Sử dụng công thức truy hồi này, ta thu hàm sinh d oa cho số đối cân thiết lập mối liên hệ thú vị an lu số cân đối cân lm ul định nghĩa nf va Nhớ lại rằng, hàm sinh thông thường cho dãy {xn }∞ n=0 số thực x n sn z at nh oi g(s) = ∞ X n=0 Chương ta biết hàm sinh cho dãy số cân {Bn }∞ n=0 z − 6s + s2 l gm g(s) = @ co Để phù hợp với quy ước đề xuất phần trước, dễ dàng m thấy hàm sinh cho dãy số cân {Bn }∞ n=1 có dạng an Lu n − 6s + s2 va g(s) = ac th si 29 Định lí 2.4.1 Hàm sinh cho dãy số đối cân {bn }∞ n=1 2s2 f (s) = (1 − s)(1 − 6s + s2 ) với n ≥ bn = 2(B1 + B2 + · · · + Bn−1 ) Chứng minh Từ (2.4), với n = 1, 2, ta có bn+2 − 6bn+1 + bn = Nhân hai vế với sn+2 lấy tổng từ n = tới n = ∞, ta có lu ∞ X an bn+2 s n+2 − 6s va n=1 ∞ X bn+1 s n+1 +s n=1 ∞ X n bn s = 2s n=1 ∞ X sn , n=1 n ie gh tn to mà số hạng f (s) biểu diễn 2 p (f (s) − 2s ) − 6sf (s) + s f (s) = 1−s oa nl w Do 2s3 d 2s2 2s (1 − s)(1 − 6s + s2 ) = s − s − 6s + s2 nf va an lu f (s) = 2s g(s) = 2(s + s2 + )g(s) 1−s lm ul = z at nh oi Bây cho n ≥ 2, hệ số sn f (s) thu cách tập hợp hệ số sr từ g(s) hệ số sn−r từ 2(s + s2 + ) với z r = 1, 2, , n − Trong hệ số sr g(s) Br , hệ số l gm @ sn−r 2(s + s2 + ) Do m co bn = 2(B1 + B2 + · · · + Bn−1 ) an Lu Điều kết thúc chứng minh n va Hệ sau Định lý 2.3.2 hệ trực tiếp Định lý 2.4.1 ac th si 30 Hệ 2.4.1 Cho n số nguyên dương Bn = (bn+1 − bn )/2 Bây chứng minh Định lý 2.3.2 b): Chứng minh quy nạp k Dễ thấy khẳng định với n > k = Giả sử khẳng định với n > r ≥ k ≥ tức (2.5) bn = br + Br bn−r+1 − Br−1 bn−r Ta biết số cân tuân theo công thức truy hồi lu Bn+1 = 6Bn − Bn−1 an n va Áp dụng công thức này, (2.4) Hệ 2.4.1 vào (2.5) ta có to gh tn br+1 + Br+1 bn−r − Br bn−r−1 p ie = br+1 + (6Br − Br−1 )bn−r − Br (6bn−r − bn−r−1 + 2) = br+1 − 2Br + Br bn−r+1 − Br−1 bn−r nl w d oa = br + Br bn−r+1 − Br−1 bn−r nf va an lu = bn Do khẳng định với k = r + Điều kết thúc chứng minh z at nh oi 2.5 lm ul Định lý 2.3.2 b) Mối liên hệ số cân số đối cân z Cho B số cân với hệ số cân R b số đối @ m co (b, r) thỏa mãn tính chất l gm cân với hệ số đối cân r Khi đó, theo định nghĩa cặp (B, R) (2.6) an Lu + + · · · + (B − 1) = (B + 1) + (B + 2) + · · · + (B + R), va + + · · · + b = (b + 1) + (b + 2) + · · · + (b + r) n (2.7) ac th si 31 Giải (2.6) theo B (2.7) theo b, ta (2R + 1) + B= √ 8R2 + 8R + b= (2.8) , √ (2r − 1) + 8r2 + (2.9) Từ (2.8) ta suy R hệ số cân 8R2 + 8R + phương từ (2.9) r hệ số đối cân 8r2 + phương Lập luận cho ta định lý sau: lu an Định lí 2.5.1 Mọi hệ số cân số đối cân hệ số đối va n cân số cân gh tn to Cho n = 1, 2, , cho Bn số cân thứ n bn số đối cân p ie thứ n Ta kí hiệu Rn hệ số cân tương ứng với Bn rn hệ số w đối cân tương ứng bn Kết mà ta chứng minh sau mạnh d oa nl nhiều so với Định lý 2.5.1 nf va an lu Định lí 2.5.2 Cho n = 1, 2, , Rn = bn rn+1 = Bn Chứng minh Ta biết B số cân với hệ số cân R lm ul √ − (2B + 1) + Do z at nh oi R= 8B + z q − (2Bn+1 + 1) + 8Bn+1 +1 (2.11) an Lu Theo Định lý 2.3.1 Hệ 1.2.2, ta có n 8Bn2 + va p (2.10) m co l q − (2Bn−1 + 1) + 8Bn−1 +1 Bn+1 = 2Bn + , gm Rn−1 = @ Rn+1 = (2.12) ac th si 32 Bn−1 = 2Bn − p 8Bn2 + (2.13) Thay (2.12) (2.13) vào (2.10) (2.11), ta có p 2Bn + 8Bn2 + − Rn+1 = , p − 14Bn + 8Bn2 + − Rn−1 = Cộng hai phương trình trên, ta − 12Bn + lu Rn+1 + Rn−1 = p 8Bn2 + − an va n = − (2Bn + 1) + p 8Bn2 + + = 6Rn + tn to gh Suy p ie Rn+1 = 6Rn − Rn−1 + nl w Do Rn thỏa mãn cơng thức truy hồi giống bn Hơn nữa, R1 = b1 = d oa R2 = b2 = nên suy Rn = bn với n = 1, 2, Điều chứng tỏ phần an lu thứ định lý nf va Ta chứng minh phần thứ hai định lý cách tương tự Sử dụng lm ul (2.3), ta có q − (2bn−1 + 1) + 8b2n−1 + 8bn−1 + z (2.15) 8b2n+1 + 8bn+1 + + 1, m co bn+1 = 3bn + q (2.14) l Thay , gm @ rn−1 = z at nh oi rn+1 = q − (2bn+1 + 1) + 8b2n+1 + 8bn+1 + an Lu vào (2.14) thay n va bn−1 q = 3bn − 8b2n−1 + 8bn−1 + + 1, ac th si 33 vào (2.15), ta rn+1 rn−1 q 2bn + 8b2n+1 + 8bn−1 + + , = q − 14bn + 8b2n−1 + 8bn−1 + − = Cộng hai phương trình trên, ta rn+1 + rn−1 = − 12bn + p 8b2n + 8bn + − lu an = − (2bn + 1) + p 8b2n + 8bn + n va = 6rn tn to Do rn thỏa mãn công thức truy hồi giống Bn Hơn nữa, B1 = r2 = ie gh B2 = r3 = suy Bn = rn+1 với n = 1, 2, Điều kết thúc chứng p minh định lý w d oa nl Hệ 2.5.1 Mọi hệ số cân số chẵn nf va an lu Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lý 2.3.1 Định lý 2.5.2 Hệ 2.5.2 Rn+1 = Rn + 2Bn lm ul Chứng minh Suy trực tiếp từ Hệ 2.4.1 Định lý 2.5.2 z at nh oi Bây ta chứng minh h(n) t(n, m) số đối cân khẳng z định Định lý 2.2.1 m an Lu số đối cân p 8n2 + 8n + + co h(n) = 8n2 + 8n + + (2n + 1) l gm @ Đầu tiên ta chứng tỏ n số đối cân n va ac th si 34 √ Từ Định lý 1.2.2, ta biết m số cân u = 2m 8m2 + số cân hệ số cân tương ứng với u √ p − (2u + 1) + 8u2 + R= = 8m2 − 2m 8m2 + (2.16) Nếu n hệ số cân tương ứng với số cân m từ (2.8) ta tìm (2n + 1) + m= √ 8n2 + 8n + cho lu an p 8m2 + = 24n2 + 24n + 4(2n + 1) 8n2 + 8n + +  2 p = 2(2n + 1) + 8n + 8n + (2.17) n va tn to p ie gh Thay (2.17) vào (2.16), ta d oa nl w p R = 24n2 + 24n + 4(2n + 1) 8n2 + 8n + +   √ i p 2(2n + 1) + 8n + 8n + h   −2 2(2n + 1) + 8n + 8n + p = 8n2 + 8n + + (2n + 1) 8n2 + 8n + = h(n) nf va an lu lm ul Do n hệ số cân h(n) ln hệ số cân Theo z at nh oi Định lý 2.5.1, hệ số cân số đối cân nên suy kết Tiếp tục, ta chứng minh n m số đối cân z p 1h t(n, m) = 2(2n + 1)(2m + 1) + (2n + 1) 8m2 + 8m + 1+ i p p p 2 (2m + 1) 8n + 8n + + 8n + 8n + 8m + 8m + − co l gm @ m số đối cân Từ Định lý 1.2.3, ta thấy u v số an Lu cân n va p p w = u 8v + + v 8u2 + ac th si