(Luận văn) lý thuyết số mũ lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————————— TỐNG THU TRANG lu an n va p ie gh tn to LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2020 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————————— TỐNG THU TRANG lu an n va p ie gh tn to LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH w nl Chuyên ngành: Tốn Giải Tích d oa Mã số: 8460102 nf va an lu lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z @ m co l gm Cán hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG THẾ TUẤN an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2020 ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Lý thuyết số mũ Lyapunov cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính" khơng có chép người khác Khi viết luận văn tơi có tham khảo số tài liệu, tất có lu nguồn gốc rõ ràng hoàn thành hướng dẫn TS Hoàng Thế an Tuấn Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn va n Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 to p ie gh tn Tác giả luận văn Tống Thu Trang d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Hồng Thế Tuấn - Viện Tốn học tận tình dẫn nhiệt tình đóng góp ý kiến q báu giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến lu thầy, cô giáo khoa Sau đại học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm an - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt giúp đỡ suốt va trình học tập nghiên cứu khoa Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, n tn to thầy cô bạn trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên tạo điều kiện gh nhiệt tình đóng góp ý kiến giúp đỡ tơi hồn thành luận văn p ie Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi Những người ln u thương ủng w hộ vô điều kiện oa nl Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 d Người thực nf va an lu z at nh oi lm ul Tống Thu Trang z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 lu an 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.1.3 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Hàm Mittag-Leffler bất đẳng thức Gronwall suy rộng Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân 1.2.1 n va Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính to gh tn 1.1.4 1.2 p ie Số mũ Lyapunov hàm Phổ Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính 10 nl w 1.2.2 Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi phân oa 1.3 d phân thứ tuyến tính 11 an lu 2.1 13 nf va Lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ 13 lm ul Số mũ Lyapunov phân thứ hàm 13 2.1.2 Số mũ Lyapunov cho nghiệm phương trình vi phân z at nh oi 2.1.1 phân thứ tuyến tính 19 2.2 Cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ nghiệm xuất phát từ z 2.3 gm @ mặt cầu đơn vị không gian Euclide Rd 23 Số mũ Lyapunov phân thứ nghiệm phương trình vi l phân phân thứ tuyến tính hệ số hai chiều 27 m co Tài liệu tham khảo 32 an Lu n va ac th iii si Lời nói đầu Phép tính vi-tích phân cơng cụ lý tưởng để mơ tả q trình tiến hóa Thơng thường, q trình tiến hóa biểu diễn phương trình vi phân thường Bằng việc nghiên cứu (định tính định lượng) nghiệm lu phương trình, người ta biết trạng thái thời dự đoán an dáng điệu q khứ hay tương lai q trình Tuy nhiên, tượng va hay gặp sống có tính chất phụ thuộc vào lịch sử Đối với n tn to tượng này, việc ngoại suy dáng điệu thời điểm tương lai từ gh khứ phụ thuộc vào quan sát địa phương lẫn toàn khứ Hơn nữa, p ie phụ thuộc nói chung khơng giống tất thời điểm Phương cầu nl w trình vi phân phân thứ lý thuyết đời để đáp ứng yêu d oa Bài toán quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân an lu nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm Đối với trường hợp phương trình tuyến tính hệ số hằng, dáng điệu nghiệm mô tả đầy đủ nf va thông qua phần thực giá trị riêng ma trận hệ số bội chúng Với lm ul phương trình tuyến tính có hệ số tuần hoàn, lý thuyết Floquet z at nh oi sử dụng để mô tả cặn kẽ dáng điệu tất nghiệm, xem [1] Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số biến thiên, phương pháp số mũ đặc trưng đề xuất Lyapunov, xem [1,6], công cụ hữu hiệu Ý z @ tưởng phương pháp so sánh độ tăng trưởng hay suy giảm gm nghiệm với hàm mũ Độ tăng trưởng (suy giảm) xác định thông qua số mũ l đặc trưng (ngày gọi số mũ Lyapunov cổ điển) Người ta biết m co phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Euclide Rd có an Lu nhiều d số mũ Lyapunov phân biệt Tập tất số mũ với bội chúng gọi phổ Lyapunov Nhiều tính chất quan trọng phương n va ac th iv si trình tính ổn định, tính hyperbolic, tính rẽ nhánh, v.v, đặc trưng phổ Lyapunov Tuy nhiên, phương trình vi phân phân thứ tuyến tính, người ta chứng minh số mũ Lyapunov nghiệm không tầm thường ln khơng âm Do đó, số mũ khơng thể dùng để đặc trưng cho tốc độ tăng trưởng hay suy giảm nghiệm loại phương trình Nó dẫn đến địi hỏi phải xây dựng lý thuyết số mũ phù hợp cho phương trình phân thứ Trong năm 2014, tác giả Nguyễn Đình Cơng, Đồn Thái Sơn, Hồng Thế Tuấn Stefan Siegmund giải vấn đề nói công bố kết họ báo [3,4] Mục đích luận văn trình bày lại kết [3,4] Chúng tơi chia luận văn làm hai chương lu an Chương 1: Giới thiệu kiến thức chuẩn bị Cụ thể sau: Phần 1.1 giới n va thiệu nét sở phương trình vi phân phân thứ tuyến tính; Phần 1.2 điển; Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương gh tn to đề cập sở lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân cổ ie trình vi phân phân thứ tuyến tính p Chương 2: Trình bày lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ cho phương nl w trình vi phân phân thứ tuyến tính Chương gồm ba phân Thứ nhất, oa Phần 2.1, chúng tơi nói số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính số mũ này, d số tính chất số mũ Lyapunov phân thứ, phổ Lyapunov phân thứ lu nf va an cho phương trình phân thứ tuyến tính mối liên hệ phổ Lyapunov với tính ổn định hệ Tiếp đến, Phần 2.2, thảo luận lm ul cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị z at nh oi hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cuối cùng, chúng tơi tính số mũ Lyapunov phân thứ cho nghiệm số phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hai chiều hệ số hằng, xem Phần 2.3 z Do thời gian lực có hạn, số điểm trình bày luận văn có @ gm thể cịn thiếu xót Tác giả mong muốn nhận góp ý thầy, cô m co l bạn đồng nghiệp an Lu n va ac th v si Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức sở luận văn Nội dung chương lu an gồm ba phần Phần 1.1 giới thiệu nét sở phương trình vi phân n va phân thứ tuyến tính Phần 1.2 đề cập sở lý thuyết số mũ Lyapunov điển cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính w 1.1 p ie gh tn to cho phương trình vi phân cổ điển Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ oa nl Phần dành để giới thiệu sơ lược phương trình vi phân phân thứ d tuyến tính Nội dung gồm bốn mục Mục 1.1.1 nhắc lại khái lu an niệm tích phân phân thứ Riemann–Liouville số tính chất Mục nf va 1.1.2 nói đạo hàm Riemann–Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo tính lm ul chất Mục 1.1.3 thảo luận tồn tính nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cuối cùng, Mục 1.1.4 liên quan tới z at nh oi hàm Mittag-Leffler dáng điệu tiệm cận chúng 1.1.1 Tích phân phân thứ z @ gm Hiểu theo nghĩa đó, tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên l khái niệm tích phân lặp thơng thường Cụ thể, cho α > [a, b] ⊂ R, := Γ(α) Z t (t − τ )α−1 x(τ ) dτ a an Lu α Ia+ x(t) m co định nghĩa tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] → R với t ∈ (a, b], n va ac th si hàm Gamma Γ : (0, ∞) → R>0 có biểu diễn Z ∞ tα−1 exp(−t) dt, Γ(α) := 0 := I với I toán xem [5, Definition 2.1, p 13] Khi α = 0, quy ước Ia+ tử đồng Dễ thấy định nghĩa trên, với α ∈ (0, 1), x khả tích Rb đoạn [a, b], tức a |x(t)| dt < ∞, tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α x tồn hầu khắp nơi [a, b] Hơn nữa, thân tích phân hàm khả tích Bổ đề 1.1.1 ([5, Theorem 2.1]) Giả sử x : [a, b] → R hàm khả tích α x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, I α x [a, b] Khi đó, tích phân Ia+ a+ lu hàm khả tích [a, b] an n va Dưới tích phân số hàm đơn giản tn to Ví dụ 1.1.2 (i) Cho x(t) = t2 , t > Chúng ta có Γ(3) 2.5 t Γ(3.5) p ie gh 0.5 I0+ x(t) = w với t > oa nl (ii) Cho x(t) = exp(t) Chúng ta có d 0.5 I0+ x(t) lu = ∞ X nf va an j=0 với t > lm ul 1.1.2 t0.5+j Γ(j + 1.5) Đạo hàm phân thứ z at nh oi Cùng với tích phân phân thứ, đạo hàm phân thứ hai khái niệm quan trọng phép tính vi–tích phân phân thứ Có nhiều khái niệm đạo hàm z @ phân thứ xây dựng Tuy nhiên, đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm gm Caputo dùng rộng rãi Sau nhắc lại định nghĩa co l hai loại đạo hàm m Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Người ta định nghĩa n ac th t ∈ (a, b], va m−α α Da+ x(t) := Dm Ia+ x(t), an Lu đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] → R si m := dαe số nguyên nhỏ lớn α Dm = dm dtm đạo hàm thơng thường cấp m Trong đó, đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x(t) định nghĩa C m−α m α Da+ x(t) := Ia+ D x(t), t ∈ (a, b], xem [5, Chapter 3, p 49] Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), , xd (t))T , đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: C α α α x(t) := (C Da+ x1 (t), ,C Da+ xd (t))T Da+ Nhận xét 1.1.3 (i) Nếu α số nguyên, đạo hàm phân thứ cấp α (theo nghĩa Riemann–Liouville Caputo) đạo hàm thông thường cấp lu an (hoặc C D ) toán tử α Trong trường hợp α = 0, quy ước Da+ a+ n va đồng đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Caputo hàm tồn hầu khắp nơi [a, b], xem [5, Lemma 2.12, p 27] p ie gh tn to (ii) Nếu x hàm liên tục tuyệt đối [a, b], tức x ∈ AC ([a, b]; R), (iii) Khác với đạo hàm thơng thường, đạo hàm phân thứ khơng có tính chất nửa w oa nl nhóm Cụ thể, cho α1 , α2 số dương x hàm liên d tục tuyệt đối đoạn [a, b] Khi đó, nói chung có lu α1 α2 α2 α1 α1 +α2 Da+ Da+ x(t) 6= Da+ Da+ x(t) 6= Da+ x(t), nf va an t ∈ (a, b], xem [5, p 30] [5, Remark 3.3, p 56] lm ul Với hàm x đủ quy, đạo hàm phân thứ nghịch đảo trái tốn tử z at nh oi tích phân phân thứ Bổ đề 1.1.4 ([5, Theorem 2.14]) Cho α ≥ Khi đó, với x ∈ L1 [a, b], chúng z @ ta có l gm α α Da+ Ia+ x(t) = x(t) với hầu hết t ∈ [a, b] m co Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ nói chung khơng tốn tử nghịch đảo phải an Lu tích phân phân thứ n va ac th si dt d oa nl an lu ≤ 2M kx(t)k2 nf va Vì vậy, dkx(t)k2 /dt ≤ 2M kx(t)k2 z at nh oi Điều dẫn tới lm ul −2M ≤ −2M (t − t0 ) ≤ log kx(t)k − log kx(t0 )k ≤ 2M (t − t0 ) z Chia đại lượng cho t cho t → ∞, gm @ −M ≤ χ(kx(·)k) ≤ M l m co Định lý hồn thành an Lu Nói chung, hệ phương trình vi phân tuyến tính d-chiều có không d số mũ Lyapunov phân biệt n va ac th 10 si Định lý 1.2.7 ([1, Corollary 2.3.1]) Các nghiệm khơng tầm thường hệ tuyến tính d-chiều có khơng q d số mũ Lyapunov phân biệt Từ đây, có định nghĩa sau phổ Lyapunov hệ (1.6) Định nghĩa 1.2.2 Tập tất số mũ Lyapunov khác nghiệm (1.6) gọi phổ Lyapunov Phổ Lyapunov có vai trị quan trọng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân qua định lý đơn giản Định lý 1.2.8 Xét hệ (1.6) Nếu phổ Lyapunov hệ chứa số mũ âm hệ ổn định tiệm cận lu an Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi n va 1.3 Trong phần thảo luận số mũ Lyapunov cho nghiệm ie gh tn to phân phân thứ tuyến tính p khơng tầm thường phương trình vi phân phân thứ tuyến tính w Cho d ≥ A : [0, ∞) → Rd×d hàm liên tục nhận giá trị ma trận Xét oa nl hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính cấp α ∈ (0, 1) d C ∀t ∈ (0, ∞), (1.7) x(0) = x0 ∈ Rd (1.8) nf va an lu α D0+ x(t) = A(t)x(t), lm ul Như trên, hệ (1.7)–(1.8) có nghiệm [0, ∞) Một điều đáng ngạc nhiên báo [3] nghiệm khơng tầm z at nh oi thường tốn giá trị đầu (1.7)–(1.8) không âm Bổ đề 1.3.1 [3, Lemma 3.1] Xét hệ (1.7)–(1.8) Giả sử M := supt∈R≥0 kA(t)k < z ∞ Khi đó, nghiệm khơng tầm thường có số mũ Lyapunov khơng âm, @ với x0 ∈ Rd \ {0} co l χ(Φ(·, x0 )) ≥ gm tức là, m Chứng minh Giả sử phản chứng, tồn x0 ∈ Rd \ {0} cho t→∞ log kΦ(t, x0 )k < t an Lu λ := χ(Φ(·, x0 )) = lim sup (1.9) n va ac th 11 si Khi đó, tồn K > T > mà λ kΦ(t, x0 )k < Ke t với t ≥ T (1.10) Tuy nhiên lim supt→∞ kΦ(t, x0 )k = kx0 k, điều mâu thuẫn với (1.9) Thật vậy, từ (1.10) supt∈R≥0 kA(t)k ≤ M , ta có Z t Z t λ (t − s)α−1 A(s)Φ(s, x0 ) ds ≤ KM (t − s)α−1 e s ds T T Mặt khác, tính tốn trực tiếp ta có Z t t→∞ λ (t − s)α−1 e s ds = lim sup lu Vì an Z t (t − s)α−1 A(s)Φ(s, x0 ) ds = lim sup n va t→∞ T T Z tn to Chú ý, (t − s)α−1 A(s)φ(s, x0 )ds = lim gh t→∞ p ie Kết hợp nhận xét với biểu diễn (1.3) dẫn tới lim supt→∞ kΦ(t, x0 )k = kx0 k d oa nl w Ta có điều phải chứng minh nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 12 si Chương Lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ lu an n va Chương trình bày nội dung luận văn Nó gồm ba phần tn to Thứ nhất, Phần 2.1, chúng tơi nói số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính số mũ này, số tính chất số mũ Lyapunov phân thứ, phổ gh p ie Lyapunov phân thứ cho phương trình phân thứ tuyến tính mối liên hệ phổ Lyapunov với tính ổn định hệ Tiếp đến, Phần 2.2, nl w thảo luận cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho nghiệm xuất d oa phát từ mặt cầu đơn vị hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cuối cùng, chúng tơi tính số mũ Lyapunov phân thứ cho nghiệm số lu nf va an phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hai chiều hệ số hằng, xem Phần 2.3 Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ z at nh oi 2.1.1 lm ul 2.1 Số mũ Lyapunov phân thứ hàm Như biết Phần 1.3, số mũ Lyapunov cổ điển nghiệm khơng z tầm thường hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính ln khơng @ gm âm Điều dẫn đến nhu cầu phải xây dựng khái niệm số mũ phù hợp co l cho hệ phân thứ Mặt khác, ý định nghĩa số mũ Lyapunov cổ điển, người ta sử dụng hàm log (là hàm ngược hàm mũ) để thu tốc m an Lu độ tăng trưởng hay suy giảm so với hàm mũ hàm số cho trước Trong đó, phương trình vi phân phân thứ, hàm Mittag-Leffler tham số n va ac th 13 si đóng vai trị tương tự hàm mũ phương trình vi phân thường Điều gợi ý cho sử dụng hàm ngược hàm Mittag-Leffler thực tham số để mở rộng khái niệm số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình phân thứ Xét hàm Mittag-Leffler tham số nhận giá trị thực Eα : R → R≥0 Từ Mục 1.1.4, thấy hàm đơn điệu có hàm ngược logM α : R>0 → R Hiển nhiên logM α hàm liên tục đơn điệu tăng Bây định nghĩa số mũ Lyapunov phân thứ hàm tùy ý Định nghĩa 2.1.1 Cho f : R≥0 → Rd hàm nhận giá trị vectơ Số mũ Lyapunov phân thứ cấp α f định nghĩa lu an χα (f ) = lim sup t→∞ logM α (kf (t)k) α t (2.1) va n Sau tính giới hạn vô cực hai đại lượng liên quan gh tn to tới hàm logM α Bổ đề 2.1.1 Xét λ ∈ R \ {0} p ie (i) Nếu λ > w lim sup oa nl t→∞ 1 M λα log (e t) = λ; α tα d (ii) Nếu λ <  −λΓ(1 − α)tα  = λ nf va an lu lim sup α logM α t→∞ t Chứng minh (i) Theo Bổ đề 1.1.10, với ε1 > nhỏ tùy ý (chúng ta lm ul giả sử < ε1 < λ4 ), có T1 (ε1 ) > cho z at nh oi exp(λ α t) ≤ Eα ((λ + ε1 )tα ), ∀t ≥ T1 (ε1 ) z Từ với tính đơn điệu tăng hàm logM α suy   @ ≤ (λ + ε1 )tα co 1 logM exp(λ α t) ≤ λ + ε1 α α t   an Lu t→∞ m với t ≥ T1 (ε1 ) Vì vậy, lim sup l gm α logM exp(λ α t) ≤ logM α α (Eα ((λ + ε1 )t )) n va ac th 14 si Cho ε1 → bất đẳng thức dẫn đến   1 lim sup t→∞ exp(λ α t) ≤ λ logM α tα (2.2) Mặt khác, theo Bổ đề 1.1.10, có T2 (ε1 ) cho exp(λ α t) ≥ αEα ((λ − ε1 )tα ) ≥ exp ((λ − 2ε1 ) α t) 1 ≥ exp ((λ − 3ε1 ) α t) α ≥ Eα ((λ − 4ε1 )tα ), ∀t ≥ T2 (ε1 ) Lập luận tương tự dẫn tới lu lim sup an t→∞ 1 M α t) exp(λ log ≥ λ α tα   n va Kết hợp (2.2) (2.3) thu  to lim sup tn t→∞ (2.3)  logM exp(λ α t) = λ α tα ie gh (ii) Theo Bổ đề 1.1.10, với ε2 > tùy ý, có T3 (ε2 ) > cho p − ∀t ≥ T3 (ε2 ) d oa nl w Do ≥ Eα ((λ − ε2 )tα ), λΓ(1 − α)tα lim sup α logM α t→∞ t  −λΓ(1 − α)tα  ≥ λ − ε2 lu an Cho ε2 → bất đẳng thức dẫn tới  −λΓ(1 − α)tα nf va lim sup α logM α t→∞ t  ≥ λ (2.4) lm ul Mặt khác, có T4 (ε2 ) > cho z at nh oi − ≤ Eα ((λ + ε2 )tα ), λΓ(1 − α)tα ∀t ≥ T4 (ε2 ) Bằng lập luận tương tự −λΓ(1 − α)tα  ≤ λ (2.5) l gm @  z lim sup α logM α t→∞ t Kết hợp (2.4) (2.5) dẫn tới điều phải chứng minh co m Để thuận tiện cho việc tính tốn số mũ Lyapunov phân thứ, thiết an Lu lập mối quan hệ số mũ Lyapunov cổ điển số mũ Lyapunov phân thứ n va ac th 15 si Định lý 2.1.2 Cho hàm tùy ý f : R≥0 → Rd (i) χα (f ) > χ(f ) > Hơn nữa, 1 χα (f ) = χ(f )α = lim sup t t→∞ α log(kf (t)k) (2.6) (ii) χα (f ) < lim supt→∞ tα kf (t)k < ∞ Trong trường hợp này, χα (f ) = − Γ(1 − α) lim supt→∞ tα kf (t)k (2.7) (iii) χα (f ) = χ(f ) ≤ lim sup tα kf (t)k = ∞ t→∞ lu Chứng minh (i) Giả sử λ := χα (f ) > Chúng ta χ(f ) > đẳng thức an (2.6) Quả vậy, cho ε ∈ (0, λ) tùy ý Theo Bổ đề 2.1.1(i),   1 va n λ = lim sup logM exp(λ α t) α tn to t→∞ tα Cùng với định nghĩa χα (f ) dẫn đến ie gh lim sup p 1 α M lim sup α logM e(λ−ε) t α (kf (t)k) > lim sup α logα t→∞ t t→∞ t   d oa nl w t→∞ 1 M (λ+ε) α log (e t) > lim sup logM α α (kf (t)k) α tα t t→∞ nf va logM α , có T1 > để an lu Từ khẳng định tính đơn điệu tăng hàm Mittag-Leffler ngược αt (λ + ε) α ≥ lim sup t→∞ α Cho ε → 0, χ(f ) = χα (f ) ∀t ≥ T1 z at nh oi Do đó, α ≥ kf (t)k ≥ e(λ−ε) t , lm ul e(λ+ε) 1 log(kf (t)k) ≥ (λ − ε) α t z @ Bây chứng minh χ(f ) > χα (f ) > Quả vậy, γ m Điều với Bổ đề 2.1.1(i) cho γ
1 M t logM = α (kf (t)k) ≥ lim sup α logα e α t t t→∞ > n ac th 16  γ α va t→∞ an Lu χα (f ) = lim sup ∀t > T2 co ||f (t)|| ≥ e t , l gm đặt γ := χ(f ) > Từ định nghĩa χ(f ), có T2 > mà si