Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI HSG THÀNH PHỐ VINH NĂM HỌC 2016-2017 Câu 1: a) Cho a b c 0; a, b, c 0 Rút gọn biểu thức: ab bc ca A 2 2 a b c b c a c a b2 P b) Tính giá trị biểu thức: x3 x x x x x x 1 Câu 2: x xy y 3 x y xy a) Giải hệ phương trình b) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x y 1 x x x y 105 Câu 3: a) Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn n3 2012n 2 b) Cho x, y số nguyên thỏa mãn x x 3 y y 2014 2014 1 chia hết cho Chứng minh x – y; x y 1;3 x y 1 số phương O; R đường thẳng d khơng có điểm chung với đường tròn Trên d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đườn tròn ( A, B Câu 4: Cho đường tròn O C cắt AB E tiếp điểm ) Kẻ đường kính AOC , tiếp tuyến a) Chứng minh tam giác BCM đồng dạng với tam giác BEO; b) Chứng minh CM vng góc với OE; c) Tìm giá trị nhỏ dây AB diện tích tứ giác MAOB 1 a b c 0 a b c Câu 5: Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn a, b, c 0 6 a b c abc 3 Chứng minh a b c ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI VINH NĂM 2016-2017 Câu a) Cho a b c 0; a, b, c 0 Rút gọn biểu thức: ab bc ca A 2 2 a b c b c a c a b2 b) Tính giá trị biểu thức: P x3 x x x x x x 1 Lời giải a b c a b c a) Từ 2 2 2 Bình phương hai vế ta a b 2ab c nên a b c 2ab 2 2 2 Tương tự : b c a 2bc c a b 2ac ab bc ca 1 A 2ab 2bc 2ca 2 2 Do A Vậy x 2 1 b) Ta có 3 x x x x 1 Suy hay x 3 x x Do P 3x 3x 1 x x x 3x x x x 1 x 2 x2 8x x2 x x x 1 x 2 x2 x x 3 (vì x 1 2) 3 Vậy P 2 x 1 Câu x xy y 3 x y xy a) Giải hệ phương trình x y 1 x x x y 105 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: Lời giải 2 x xy y 3 x y xy 3 x y xy 5 x y xy 5 a) Ta có : a x – y , b xy 1 Đặt Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a 3b 3 Hệ phương trình trở thành a b 5 a 3 a Giải hệ phương trình ta b b 11 Với a 3, b thay vào (1) ta x y 3 x 1 x 2 xy y y Với a 6, b 11 thay vào (1) ta x y y y 11 0 Hệ phương trình vơ nghiệm x 1 x 2 ; y y Vậy hệ phương trình có nghiệm x y 1 x x x y 105 b) x Vì 105 số lẻ nên x y 1 x x y phải số lẻ x y xy 11 Từ x y số lẻ mà x số lẻ nên 5y số chẵn suy y chẵn x x x y số lẻ mà x x x( x 1) tích hai số nguyên liên tiếp nên số x chẵn, y chẵn nên số lẻ Điều xảy x 0 Thay x 0 vào phương trình cho ta được: y 1 y 1 105 y y 104 0 y 20 y 26 y 104 0 y ( y 4) 26( y 4) 0 (5 y 26)( y 4) 0 26 y (loại) y 4 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm nguyên x; y 0; Câu 20142014 1 chia hết cho a) Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn n3 2012n 2 b) Cho x, y số nguyên thỏa mãn x x 3 y y Chứng minh x – y; x y 1;3x y 1 số phương Lời giải 20142014 1 chia hết cho n3 2012n a) Giả sử tồn số nguyên n thỏa mãn 3 Ta có n 2012n n n 2013n n(n 1)(n 1) 2013n Vì n –1, n, n ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho n n 1 n 1 3 n3 2012n 3(1) Suy mà 20133 nên 2014 2014 2014 2013 1 1 Mặt khác chia cho dư 2013 3 (2) Từ (1) (2) dẫn đến điều giả sử vơ lý, tức khơng có số ngun thỏa mãn điều kiện toán cho Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 2 2 Từ: x x 3 y y (1) x y x y y ( x y )(2 x y 1) y (2) 2 2 Mặt khác từ (1) ta có: 3x y x y x ( x y )(3x y 1) x b) ( x y ) (2 x y 1)(3x y 1) x y (2 x y 1)(3 x y 1) số phương (3) x y 1;3x y 1 d Gọi (2 x y 1)d ; (3x y 1)d x y 1 x y 1 x y d 2( x y )d (2 x y 1) 2( x y ) 1d nên d = x y 1;3x y 1 1 (4) Từ (3) (4) x y x y số phương x y x y 1 số phương nên x – y số Lại có từ (2) suy phương 2 Vậy y x 3 y y x y; x y x y số phương O; R đường thẳng d khơng có điểm chung với đường trịn Trên Câu Cho đường tròn d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đườn tròn ( A, B tiếp O C cắt AB E điểm ) Kẻ đường kính AOC , tiếp tuyến a) Chứng minh tam giác BCM đồng dạng với tam giác BEO; b) Chứng minh CM vng góc với OE; c) Tìm giá trị nhỏ dây AB diện tích tứ giác MAOB A O Q P BI E M H a) N C d Gọi Q giao điểm AB với OM Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có AM //CE (cùng vng góc với AC ) Suy BEC MAB (so le trong) Mà ABC 90 ; AQM 90 AMO OMB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AMO OMB BCE (cùng phụ với hai góc nhau) BE OB MB OB tan BCE tan OMB (1) BC MB BC BE Lại có MBA OBC (cùng phụ với ABO) Nên MBC OBE (cùng 90 OBC ) (2) Từ (1) (2) suy MBC OBE (c.g.c) b) Từ MBC OBE BCM BEO Gọi I N giao điểm OE với BC MC 900 BIE NIC ( g g ) IBE INC mà IBE Nên INC 90 Vậy CM OE c) Gọi H hình chiếu vng góc O d P giao điểm AB với OH OQ OP OHM ( g g ) OH OM Ta có OQP R2 OH O d OH Mà cố định không đổi nên OP không đổi QO.OM OP.OH OA2 R OP 2 Lại có AB 2 AQ 2 OA OQ mà OQ OP R4 2R OH R 2 OH OH Q P M H Dấu “=” xảy 2R AB OH R M H OH Vậy GTNN S AOBM AB.OM AQ.OM *) Vì MO AB nên AB 2 OA2 OP 2 R O cố định nên A1B1 khơng đổi Vẽ dây cung A1B1 vng góc với OH P, P Vì OP OQ AB A1B1 (liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) OM OH S AOBM A1B1.OH Mà (không đổi) M H Dấu “=” xảy S AOBM A1 B1.OH Vậy GTNN M H 1 a b c 0 a b c Câu Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn a, b, c 0 Chứng 6 a b c abc 3 minh a b c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải *a b c 3abc 2.3a 2b 2c 3a 2b c 2 Do a b c 3a 2b c abc 3 3abc Vậy a b c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC