Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2020 - 2021 (Đề thi gồm 01 trang) Mơn: Tốn lớp – Vịng (Thời gian làm 150 phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài Cho (4,0 điểm) A 2x x 2x x 5x x x a) Rút gọn A b) Tìm x để A nhận giá trị số nguyên Bài (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình: (x x 1) x 10 x 1 1 1 1 2 2 b) Chứng minh rằng: Nếu a b c a b c abc ta có a b c Bài (4,0 điểm) 1- 2x 1- 2y + =1 x, y x y a) Cho số hữu tỉ khác thỏa mãn Chứng minh: M = x + y2 - xy bình phương số hữu tỷ b) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 + x + x ) = 4y(y - 1) Câu (6,0 điểm) A AB AC AH H BC Cho tam giác ABC vuông Vẽ đường cao Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH HA Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC P a) Chứng minh KAC PBC b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BHQ ∽ BPC AH BC 1 c) Tia AQ cắt BC I Chứng minh BH BI Câu (2,0 điểm) Cho a ³ b ³ c > Tìm GTNN biểu thức: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website:tailieumontoan.com L= a b c + + a +b b +c c +a HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN (2020 – 2021) Câu (4,0 điểm) 2x x 2x A x 5x x x Cho a) Rút gọn A b) Tìm x để A nhận giá trị số nguyên Lời giải a) Rút gọn A A x x 3 x 3 x x (x 2)(x 3) x2 2x A (x 2)(x 3) A x 4 x 2 (x 2)(x 3) x4 x (ĐKXĐ: x 2;3 ) b) Tìm x để A nhận giá trị số nguyên A x4 1 x x Để A nguyên x số nguyên k Đặt x (1) với k Z , k 0 (1) x 3 k 2 x 2 k k x 3 3 3 k Lại có: Vậy với Câu x 3 k với k z , k 0; A có giá trị số nguyên (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình: (x x 1) x 10 x 1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website:tailieumontoan.com 1 1 1 2 2 b) Chứng minh rằng: Nếu a b c a b c abc ta có a b c Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website:tailieumontoan.com Lời giải 2 a) Giải phương trình: (x x 1) x 10 x 1 x x 1 x x 1 0 x x 1 0 x 0 x x 0 x 5 Vậy tập nghiệm phương trình là: S 0;5 1 1 1 2 2 4 a b c ab ac bc b) Ta có: a b c 1 2(a b c) 1 2abc 2 2 4 4 a b c abc a b c abc 1 2 Vậy: a b c Câu (4,0 điểm) 1- 2x 1- 2y + =1 x, y x y a) Cho số hữu tỉ khác thỏa mãn Chứng minh: 2 M = x + y - xy bình phương số hữu tỷ b) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 + x + x ) = 4y(y - 1) Lời giải a) Ta có : 1- 2x 1- 2y + = Û ( 1- 2x ) ( 1- y) +( 1- 2y) ( 1- x ) = ( 1- x ) ( 1- y ) 1- x 1- y 3xy +1 Û 1- y - 2x + 2xy +1- x - 2y + 2xy = 1- x - x + xy Û x + y = 2 ỉ ỉ 3xy +1ư 3xy - 1ư ÷ ÷ M = x + y - xy = ( x + y) - 3xy = ç - 3xy = ç ÷ ÷ ç ç ÷ ữ ỗ ứ ỗ ứ ố ố Ta cú: 3xy - x, y ẻ Ô Vỡ nên số hữu tỷ, M bình phương số hữu tỷ b) Ta có : 2 x(1 + x + x ) = 4y(y - 1) (1) Û x+ x + x +1 = 4y - 4y +1 Û ( x +1) ( x +1) = ( 2y - 1) Gọi d = ( x +1, x +1) Ta có: 2 ( 2y - 1) số lẻ Þ d số lẻ Do x +1Md Þ ( x +1) ( x - 1) Md Þ ( x - 1) Md Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website:tailieumontoan.com Lại có: x +1Md Þ 2Md mà d số lẻ nên d = Do đó: x +1 x +1 hai số nguyên tố ( 2y - 1) số phương nên x +1 số phương Với x, y số tự nhiên 2 Lại có x +1 va x hai số phương liên tiếp Þ x = Þ x = Thay x = vào phương trình (1) ta tìm y = y = ( 0;0) ;( 0;1) Vậy cặp số tự nhiên (x, y) Câu (6,0 điểm) A AB AC AH H BC Cho tam giác ABC vuông Vẽ đường cao Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH HA Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC P a) Chứng minh KAC PBC b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BHQ ∽ BPC AH BC 1 c) Tia AQ cắt BC I Chứng minh BH BI Lời giải P A Q I K B H C a) Chứng minh KAC PBC Hai tam giác CKP CAB có CKP CAB 90 ACB chung nên CKP ∽ CAB CK CA Do suy CP CB Đến ta lại có CAK ∽ CBP nên KAC PBC b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BHQ ∽ BPC Ta có AKH vng cân H nên AKH 90 Do từ CAK ∽ CBP ta AKH CPB 45 Suy BAP vuông cân A nên BP AB BH AB Ta có BHA ∽ BAC nên BA AC Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN Website:tailieumontoan.com BH AB BH AB BH BP BH BQ BQ BC BP BC BP BC BC AB Suy AB BC Do BHQ ∽ BPC AH BC 1 c) Tia AQ cắt BC I Chứng minh BH BI Ta có BAP vng cân A với AQ đường trung tuyến nên AQ phân giác Do AI phân giác ngồi ABC IB AB Suy IC AC AB HB Lại có BHA ∽ BAC nên AC HA Kết hợp kết lại ta IC HA IB BC HA BC HA AH BC 1 1 IB HB IB HB IB HB BH BI Câu (2 điểm) Cho a ³ b ³ c > Tìm GTNN biểu thức: L= a b c + + a +b b +c c +a Lời giải ỉ ỉ ỉ a b c 1ư ÷ ÷ ç ç A- =ç - ÷ + + ÷ ÷ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ è ø è ø è ø a + b b + c c + a Ta có a- b b- c c- a = + + ( a + b) ( b + c) ( c + a) = ( b - a) +( a - c ) a- b c- a + + ( a + b) ( b + c) ( c + a) = ö a- c ỉ a- b ỉ 1 ÷ ữ ỗ ỗ + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ça + b b + c ø çb + c c + a ø è è = a- b c- a a- c a- b + ( a + b) ( b + c ) ( b + c) ( c + a) ö ( a - b) ( a - c ) æ - 1 ữ ỗ + ữ ỗ ữ ỗ èa + b c + a ø ( b + c) ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) = ³ ( b + c) ( b + c ) ( c + a ) (Do a ³ b ³ c > ) = Dấu " = " xảy a = b = c A= a = b = c Vậy GTNN HẾT Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TRAN MINH TUAN