Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GD ĐT NGHỆ AN THPT KIM LIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2020 2021 Môn Toán Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điểm) a Tìm tất cả các nghiệm thuộc khoảng của phương trình b Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu Bài 2 (6,0 điểm) a Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật Chứng minh rằng b Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng , độ dà.
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN THPT KIM LIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2020-2021 Môn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài (4,0 điểm) a Tìm tất nghiệm thuộc khoảng 0; phương trình: cos x sin x cos x b Từ hộp chứa 12 cầu, có màu đỏ, màu xanh màu vàng, lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để lấy cầu có hai màu Bài (6,0 điểm) uuu r uuu r uur uuu r2 a.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Chứng minh SA SC SB SD b Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có cạnh đáy , độ dài đường chéo mặt bên Tính góc hai mặt phẳng A1 BC ABC Bài (2,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAD tam giác mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, P trung điểm SB, CD Chứng minh AM BP Bài (4,0 điểm) 3n 1 10 a Tìm hệ số chứa x khai triển x x 1 x với n số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 4 n2 An Cn 14n ( x 2021) x 2021 x x 0 x b Tìm giới hạn: lim Bài (4,0 điểm) u1 2021 a Cho dãy số (un) xác định 3n 9n un 1 n 5n un , n 3n lim Tính giới hạn un n sin x sin y b Cho x, y 0; thỏa cos x cos y 2sin x y Tìm giá trị nhỏ P y x 2 …………… Hết …………… Họ tên thí sinh…………………………………………… Số báo danh…………………… Đáp án: Bài a Tìm tất nghiệm thuộc khoảng 0; phương trình: cos x sin x cos x Hướng dẫn giải x k cos 3x sin x cos x cos 3x cos x 4 x k 16 Ta có: Vì x 0; nên nhận x k ¢ 7 9 , x , x 16 16 b.Từ hộp chứa 12 cầu, có màu đỏ, màu xanh màu vàng, lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để lấy cầu có hai màu Lời giải Số phần tử không gian mẫu là: n C12 220 Gọi A biến cố: “Lấy cầu có hai màu” - Trường hợp 1: Lấy màu vàng màu đỏ có: C8 28 cách - Trường hợp 2: Lấy màu vàng màu xanh có: C3 cách - Trường hợp 3: Lấy màu đỏ màu xanh có: C8 C3 24 cách - Trường hợp 4: Lấy màu xanh màu đỏ có: C3 C8 84 cách Số kết thuận lợi biến cố A là: n A 28 24 84 139 cách Xác suất cần tìm là: P A n A 139 n 220 Bài a.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Chứng minh uuu r uuu r uur uuu r2 SA SC SB SD Lời giải: Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD uuur uuur uuur uuur Ta có OA OB OC OD uuu r uuu r uuur SA SO OA uuu r uuu r uuur SC SO OC uuu r uuur uuu r uuur SO OA 2SO.OA (1) uuu r uuur uuu r uuur SO OC 2SO.OC (2) Từ 1 2 suy uuu r uuu r2 uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur SA SC 2SO OA OC 2SO OA OC uuur uuur r uuu r uuur uuur ( OA OC 0) 2SO OA OC uur uuu r2 uuu r uuur2 uuur Tương tự SB SD 2SO OB OD uuu r uuu r uur uuu r2 Từ suy SA SC SB SD b Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có cạnh đáy , độ dài đường chéo mặt bên Tính góc hai mặt phẳng A1BC ABC Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H trung điểm BC , tam giác ABC nên AH BC ta có BC AHA ·A BC , ABC ·AH , A H ·AHA 1 2 Xét tam giác vuông A1 AB có AA1 A1B AB Mặt khác AH đường cao tam giác ABC cạnh AB nên AH AA1 Xét tam giác vuông AA1 H có tan ·AHA1 ·AHA1 30 AH Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAD tam giác mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, P trung điểm SB, CD Chứng minh AM BP LỜI GIẢI: Gọi N trung điểm BC a Hạ SH AD H Vì SAD tam giác nên SH Vì mặt phẳng (SAD) vng góc mặt phẳng (ABCD) có AD giao tuyến Suy SH mp ABCD Ta có AN PHC, MN PSC AM ,MN (AMN) (AMN) P(SHC) HC,SC (SHC) ả P 900 C ả P µ 900 CH PB µ C ¶ mà B Trong hình vng ABCD có BCP CDH c.g.c nên B 1 1 1 BP CH Ta có BP SH BP SHC BP AMN BP AM ỉ1 3n n số tự nhiên thỏa mãn ÷ Bài a Tìm hệ số chứa x10 khai trin f ( x) = ỗỗỗ x2 + x +1÷ ÷( x + 2) với è4 n n- n hệ thức A +C = 14n ø ® n = Lời giải Từ phương trình An3 +Cnn- = 14n ¾¾ ỉ1 1 3n 15 19 ÷( x + 2) = ( x + 2) ( x + 2) = ( x + 2) Với ta có f ( x) = ỗỗỗ x2 + x +1ữ ữ ố4 ứ 16 16 1 19 k k 19- k 19 Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có f ( x) = ( x + 2) = å C19.2 x 16 16 k=0 Số hạng chứa x10 khai triển tương ứng với 19- k = 10 Û k = Vậy hệ số số hạng chứa x10 khai triển C1910 29 = 25C1910 16 n= 5, b.Tìm giới hạn: lim (x 2021)3 2x 2021 4x x 0 x 2x 4x 2021 Ta có L Lim x 2x 2021 x0 x x Lim x 2x x 0 Lim x 0 Lim x 0 2x 2x 2 2` Lim Lim x 0 x x( (1 2x) 2x 1) x 0 ( (1 2x) 2x 1) 4x 4x Lim Lim 2 x 0 x( 4x 1) x 0 x 4x 16168 2 Vậy L 2021 2021.2 u1 2021 Bài a Cho dãy số (un) xác định 3n 9n un 1 n 5n un , n 3n lim Tính giới hạn un n un 1 ( n 1) 3(n 1) un un Ta có un 1 2 n 3n (n 1) 3( n 1) n 3n u u 2021 1 Đặt n 1 (vn) cấp số nhân có cơng bội q số hạng đầu v1 n 3n 3 4 n 1 n 1 2021 2021 un n 3n 3 3 n 2021 3n 3n n 3n Khi lim un lim n n 3 6063 n 3n 6063 6063 lim lim 1 n 4 n sin x sin y b Cho x, y 0; thỏa cos x cos y 2sin x y Tìm giá trị nhỏ P y x 2 Lờigiải cos x cos y 2sin x y sin x sin y sin x y Tacó: Suyra: x y 2 a b Ápdụngbđt: a b m n mn sin Suyra: P Dođó: P x sin y x y 2 Đẳngthứcxảyra x y ... triển C1910 29 = 25C1910 16 n= 5, b.Tìm giới hạn: lim (x 2021) 3 2x 2021 4x x 0 x 2x 4x 2021 Ta có L Lim x 2x 2021 x0 x x Lim x 2x x 0 Lim x 0 Lim x... 1) n 3n u u 2021 1 Đặt n 1 (vn) cấp số nhân có cơng bội q số hạng đầu v1 n 3n 3 4 n 1 n 1 2021 2021 un n 3n 3 3 n 2021 3n ... 4x 4x Lim Lim 2 x 0 x( 4x 1) x 0 x 4x 16168 2 Vậy L 2021? ?? 2021. 2 u1 2021 Bài a Cho dãy số (un) xác định 3n 9n un 1 n 5n un , n