Tán xạ hai hạt cho tương tác điện từ và tương tác yếu theo lý thuyết nhiễu loạn

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Ngƣời cam đoan Vũ Trọng Cƣờng ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người trực tiếp bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy Cô, Tập thể cán Khoa Vật lý, toàn thể người thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học q báu để em hồn thành luận Qua đây, em chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy Cô Khoa Vật lý dạy bảo tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt trình học tập hoàn thành Luận văn em Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn Luận văn có nhiều thiếu sót, em mong nhận góp ý thầy bạn Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa, ngày tháng Học viên Vũ Trọng Cƣờng năm 2017 iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ iv MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích Phương pháp nghiên cứu Bố cục Luận văn Chƣơng 1: TIẾT DIỆN TÁN XẠ 1.1 Các biến Mandelstam 1.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt Chƣơng 2: QUÁ TRÌNH TƢƠNG TÁC ĐIỆN TỪ 13 2.1 Tán xạ electron-electron e-+e-→e-+e- 13 2.2 Quá trình tán xạ electron nucleon 17 Chƣơng 3: QUÁ TRÌNH TƢƠNG TÁC ĐIỆN YẾU 23 3.1 Yếu tố ma trận 23 3.2 Tiết diện trình 28 KẾT LUẬN 35 Tài liệu tham khảo 36 Phụ lục A P1 Phụ lục B P4 Phụ lục C P10 iv DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Hình 2.1 13 Hình 2.2 17 Hình 3.1 23 Hình 3.2 Các giản đồ trình e++e-→ e++e- (trao đổi lượng tử γ-photon ảo) 24 Hình 3.3 Các giản đồ trình e++e-→ e++e- (trao đổi Z- boson ảo) 24 Hình 3.4 Quá trình e++e-→ e++e- Các hướng spin hạt đầu cuối hệ khối tâm dẫn mũi tên với hai đường 28 Hình 3.5 Sự phụ thuộc vào (cosθ) tỷ số tiết diện tán xạ e++e→ e++e- =44GeV tiết diện tính khn khổ QED Đường cong liền - tiên đốn mơ hình chuẩn sin2θw = 0,23 32 MỞ ĐẦU Tóm tắt: Chúng tơi xem xét q trình tán xạ hai hạt 2→2 lý thuyết trường lượng tử tìm biểu thức giải tích tổng qt cho tiết diện tán xạ vi phân cho trình vùng lượng cao hai hệ phòng thí nghiệm hệ khối tâm Q trình tán xạ hai hạt gây nên tương tác điện từ, hay tương tác yếu hay tổ hợp chúng mô hình tương tác điện yếu Weinberg – Salam nghiên cứu Tiết diện tán xạ dựa vào giản đồ Feynman, bậc thấp – bậc hai lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến tìm cho tương tác kể Lý chọn đề tài Vật lý hạt (cũng vật lý lượng cao) nhánh vật lý nghiên cứu tính chất hạt tạo thành vật chất xạ Mặc dù từ "hạt" xem loại vật thể nhỏ- “hạt hạt đến người ta chưa biết cấu trúc bên nó” Các hạt xếp thành thành ba loại : fecmion, lepton boson, tham gia bốn loại tương tác (tương tác điện từ, tương tác yếu, tương tác mạnh tương tác hấp dẫn) [2],[3],[6],[7],[16],[17],[21] Hiện máy gia tốc hạt mang điện Geneva, Mỹ , Nga , Nhật đạt mức lượng cao (MeV triệu electron-Vôn, GeV – cỡ vài trăm tỷ electron-Vôn, đến TeV) [2], nhiều thí nghiệm tiến hành để xem xét trình sinh hủy hạt, qua tốn tán xạ hay rã hạt thu thập số lớn số liệu chúng Các mơ hình lý thuyết hạt dựa vào lý thuyết trường lượng tử, cách giải số qua phần mềm tính tốn đại Mathematica để lý giải kết lý thuyết thực nghiệm để rõ chất hành xử hạt loại tương tác mà tham gia Các hạt tùy thuộc tính chất tham gia phần hay tổ hợp vào bốn loại tương tác kể Việc hợp tương tác thành mơ hình lý thuyết xu hướng nghiên cứu nhiều triển vọng, hợp tương tác điện - yếu Weinberg-Salam [10],[13],[14],[15],[20], sau hợp tương tác điện - yếu-mạnh –mơ hình chuẩn, cịn thống tất bốn loại tương tác điện yếu mạnh hấp dẫn, toán đặt từ lâu, hàng thập kỷ Bên cạnh ý tưởng vật lý thống tương tác, việc tìm tịi cơng cụ tính tốn định lượng mang tính định thành bại mơ hình thống nay? Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến điện động học lượng tử (QED) lý thuyết thành cơng nhất, nên coi khn mẫu, mô mở rộng để nghiên cứu mô hình thống tương tác hạt [1],[5],[8],[11],[12],[18],[19] Bài tốn tán xạ hai hạt toán nhỏ xu nêu, mục đích nghiên cứu cho luận văn Thạc sỹ Mục đích Mục đích Luận văn Thạc sỹ xét trình tán xạ hai hạt thành hai hạt (2→2) với tương tác điện từ tương tác điện yếu lý thuyết trường lượng tử Chúng ta quan tâm đến cách tiếp cận tốn học cho q trình vật lý kể trên, cho dù cấu trúc hạt thay đổi, sơ đồ tính tốn theo giản đồ Feynman lý thuyết trường lượng tổng quát hóa tương ứng Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến qua giản đồ Feynman lý thuyết trường lượng tử để tìm biên độ tán xạ tiết diện tán xạ Xuất phát từ S-ma trận khai triển nhiễu loạn theo số tương tác gần bậc hai, sau vẽ giản đồ Feynman Qua giản đồ này, ta tìm biên độ tán xạ tương ứng cho trình vật lý cụ thể Cuối ta tìm tiết diện tán xạ vi phân cho trình tán xạ (2→2) Bố cục Luận văn Bản luận văn Thạc sỹ bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục tài liệu tham khảo Chương I S-ma trận giản đồ Feynman, mục 1.1 giới thiệu Sma trận khai triển theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến dạng tổng quát Biên độ tán xạ tiết diện tán xạ (2→2) hệ khối tâm hệ phịng thí nghiệm, mà chưa cụ thể Lagrangian tương tác, trình bầy mục 1.2 Lưu ý, hai hệ hoàn toàn phù hợp với thí nghiệm thức tế Chương II Tán xạ (2→2) QED Trong mục 2.1 tính tiết diện tán xạ tán xạ hai electron (2→2) tương tác điện từ gần thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Mục 2.1 dành cho việc kể thêm cấu trúc hai hạt tán xạ giới thiệu cách tiết diện tán xạ vi phân trình tán xạ (2→2) Đồng thời chứng minh tiết diện tán xạ biểu diễn tích hai thừa số, thừa số tiết diện tán xạ đàn hồi, thừa số phụ thuộc vào hệ số dạng mà diễn tả cấu trúc hạt Chương III Quá trình tán xạ e  e  e  e mô hình điện yếu Weinberg – Salam mục 3.1 xuất phát từ Lagrangian tương tác mơ hình chuẩn điện yếu Weinberg – Salam cách tượng luận giới thiệu vắn tắt thiết kế yếu tố ma trận trình hủy cặp e  e  e  e kể thêm đóng góp dịng trung hòa lý thuyết điện yếu kể bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn Việc tính tiết diện tán xạ vi phân trình hủy cặp e  e  e  e trình bày mục 3.2 Kết luận dành cho việc liệt kê kết thu Bản luận văn Thạc sỹ phương hướng nghiên cứu thời gian tới Trong Luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử ħ = c = metric giả Euclide (metric Feynman) tất bốn thành phần véctơ 4chiều ta chọn thực A   A0 , A gồm thành phần thời gian thành phần khơng gian, số µ = (0,1,2,3),và theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ 4-chiều ký hiệu thành phần với số    A  A0 , A  A0 , A1 , A2 , A3  def  A (0.1) Các véctơ phản biến tọa độ: xµ = (x0 = t, x1 = x, x2 = y, x3 = z) = (t, ) (0.2) véctơ tọa độ hiệp biến xµ = gµvxv = (x0 = t, x1 = - x,x2 = - y, x3= - z) = (t, - ), (0.3) vectơ xung lượng pµ = (E, px, py, pz) = (E, ), (0.4) Tích vơ hướng hai véc tơ xác định AB  g  A B  A B   A0 B0  AB Tensor metric có dạng: g  1 0    1 0     g   0 1     0 1 (0.5) (0.6) Chú ý, tensor metric tensor đối xứng g  g g  g Thành phần vectơ hiệp biến xác định cách sau: Aµ = gµvAv, A0 = A0, Ak = -Ak Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến (0.7) Chƣơng 1: TIẾT DIỆN TÁN XẠ Trong lý thuyết trường lượng tử tương tác hạt mô tả Lagrangian tương tác Nếu số tương tác nhỏ, ta xây dựng S-ma trận Trước tiên ta xem xét trình p1 + p2 → p3 + p4, mà ta gọi tán xạ 2→2 Biên độ tán xạ tỷ lệ với yếu tố S-ma trận tán xạ trạng thái đầu cuối hệ Về nguyên tắc biên độ hàm số bốn biến số - hai xung lượng hai hạt đầu hai xung lượng hai hạt cuối nằm mặt khối lượng hạt Sử dụng biến bất biến - Mandelstam u, s, t trình tán xạ 2→2 giúp giảm số lượng biến số biên độ tán xạ (u, s, t) thuận tiện nghiên cứu trình vật lý vùng lượng cao Thực tế người ta xét kênh trình tương tác, biên độ tán xạ cịn hàm số hai biến số bất biến Mandelstam u, s, t Trong chương ta xem xét đại lượng bất biến cho q trình tán xạ hai hạt vơ hướng 2→2, tìm biểu thức giải tích tổng qt cho tiết diện tán xạ vi phân cho trình qua biên độ tán xạ Viết biểu thức tiết diện tán xạ vi phân hai hệ phịng thí nghiệm hệ khối tâm Việc tổng quát hóa cho q trình mà có spin khơng vấn đề khó khăn 1.1 Các biến Mandelstam Chúng ta sử dụng cho trình tán xạ hai hạt với hai hạt Các biến Mandelstam định nghĩa sau:  s = (p1 + p2)2 = (p3 + p4)2 (1.1)  t = (p1 – p3 )2 = (p2 – p4)2 (1.2)  u = (p1 – p4)2 = (p2 – p3)2 (1.3) Ở p1 p2 xung lượng chiều hạt vào p3, p4 xung lượng chiều hạt Vì vậy, hiểu bình phương khối lượng trung tâm (bất biến khối lượng) t hiểu bình phương momen xung lượng chuyển đổi Giản đồ Feynman tranh u, s, t kênh sử dụng ngôn ngữ P1 P3 t s u P2 p1 + p2 → p3 + p4 kênh s p1 + p3 → p2 + p4 kênh t p1 + p4 → p3 + p2 kênh u P4 Các kênh miêu tả giản đồ Feynman khác trình tán xạ khác nhau, tương tác trao đổi lượng tử - hạt chúng, bình phương xung lượng bốn chiều kể biểu thức u, s, t tách theo thứ tự định sẵn Ví dụ cho kênh s phù hợp với hạt 1, 2, tham gia lượng trao đổi vật chất chí bị chia cắt thành 3, 4, kênh s cách cộng hưởng hạt nhận với điều kiện thời gian sống đủ dài mà đo trực tiếp Kênh t trình bày trình hạt phát hạt tương tác cuối trở thành hạt 3, hạt nhận hạt tương tác trở thành hạt Kênh u kênh t với việc đóng với hạt tương tác 3, Các biến Mandelstam lần đưa vào nhà vật lý-Stanley Mandelstam vào năm 1938 Trong giới hạn lượng cao tương đối tính trạng thái khối lượng khơng ý, ví dụ s = (p1 + p2)2 = p12 + p22 + 2p1.p2 ≈ 2p1.p2 Bởi vì: (1.4) Trong bảng tóm tắt: s≈ 2p1.p2 ≈ 2p3.p4 t≈ -2p1.p3 ≈ -2p2.p4 u≈ -2p1.p4 ≈ -2p3.p2 Bây ta chứng minh biểu thức sau biến s, t, u 35 KẾT LUẬN Trong Bản luận văn Thạc sỹ nghiên cứu trình tán xạ hai hạt thành hai hạt số tương tác tương tác điện từ tương tác điện yếu Weinberg – Salam khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến qua giản đồ Feynman Những kết thu bao gồm: Xây dựng biểu thức giải tích chung tổng quát cho tiết diện tán xạ hai hạt hệ khối tâm hệ phịng thí nghiệm, mà chưa cụ thể Lagrangian tương tác cụ thể tương tác điện từ hay tương tác yếu Thu biểu thức giải tích cho tiết diện tán xạ hai electron tương tác điện từ gần thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Việc kể thêm cấu trúc hai hạt tán xạ, nhận tiết diện tán xạ vi phân mà biểu diễn tích hai thừa số, thừa số tiết diện tán xạ đàn hồi, thừa số phụ thuộc vào hệ số dạng diễn tả cấu trúc hạt Trong lý thuyết thống điện yếu Weinberg – Salam tính tiết diện q trình e  e  e  e bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn theo số tương tác điện yếu (kể giản đồ với việc trao đổi   lượng tử Z  boson) So sánh biểu thức nhận với thực nghiệm lĩnh vực lượng cao, đóng góp giản đồ với việc trao đổi Z  boson đáng kể Điều cho phép thu nhận thông tin số gV gA đặc trưng cho dòng trung hòa lepton trung hòa Những kết thu làm rõ cấu trúc toán học tiết diện tán xạ hai hạt, việc mở rộng kết thu cho Lagrangian tương tác với cấu trúc quark-lepton, so sánh với số liệu thực nghiệm vấn đề phức tạp song mang tính chất kỹ thuật Những vấn đề dự kiến nghiên cứu thời gian tới 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Hà Huy Bằng (2010), Lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Mậu Chung (2015), Hạt bản, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Ngọc Giao (1998), Hạt bản, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Hoàng Ngọc Long (2008), Cơ sở vật lý hạt bản, NXB Thống Kê, Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2004), Hạt bản, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh Akhiezer A.I and Beresteski V.B (1959), Quantum Electrodynamics, Moscow Bilenky S.M (1971), Introduction to Feynman Diagrams Technics, Moscow, Atomizdat (Russian) 10 Bilenky S.M (1982), Introduction to the Physics of Eletroweak Interaction, Oford, Pergamon Press 11 Bjorken J.I and Drell S D (1965), Relativistic Quantum Field, MeGraw-Hill, New York 12 Bogoliubov N N and Shirkov D.V (1976), Introduction to the Theory of Quantum Fields, Interscience Publishers, rd edition, Nauka 37 13 Cheng T.P and Li L.F (1984), Gauge Theory of Elementary Particles Physics, Oxford University Press 14 Greiner W and Joachim Reinhardt (2009), Quantum Electrodynamics, Springer George 15 Gross F (2001), Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, A Wiley – Interscience Publication 16 Mandelstam S (1958), “Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relation and Unitarity”, Physical Review 112(4)1344 17 Okun B (1980), Physics of Elementery Particles, Addison –Wesley reading, Mass 18 Okun B (1982), Leptons and Quarks, Nort-Holland Publishing Company, Amsteterdam 19 Peskin M and Schroeder D (1995), An Introduction to Quantum Field Theory, West View Press 20 Stermanm G (1993), An Introduction in Quantum Field Theory, Cambridge University press 21 Taylor, J.C (1976), Gauge Theories of Weak Intractions, Cambridge, University Press 22 Weinberg S (1974), Recent Progress in the Gauge theories of the Weak, Electromagnetic and Strong Interactions, Rev Mod Phys 46,255 P1 Phụ lục A Các loại metric Thông thường người ta sử dụng hai loại metric: metric Euclide (metric Pauli) với thành phần thứ tư ảo- không phân biệt số Ba thành phần véctơ chiều, thành phần không gian véctơ chiều, ta chọn thực, thành A  A   A1  Ax , A2  Ay , A3  Az , A4  iA0  phần thứ tư   1, 2,3,  , số ảo Ngược lại, trường hợp metric giả Euclide (metric Feynman- hay Bogoliubov /8/) tất bốn thành phần véctơ chiều ta chọn thực  A  A0 , A  gồm thành phần thời gian thành phần khơng gian, số µ = (0,1,2,3),và theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ chiều ký hiệu thành phần với số    A  A0 , A  A0 , A1 , A2 , A3  def  A (A.1) Các véctơ phản biến tọa độ x    x0  t , x1  x, x  y, x3  z   t , x  , (A.2) véctơ tọa độ hiệp biến x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  , (A.3) véctơ xung lượng p    E , px , p y , pz    E , p  (A.4) Tích vơ hướng hai véc tơ xác định AB  g  A B  A B   A0 B0  AB Tensor metric có dạng (A.5) P2 g   g  1 0    1 0     0 1     0 1  (A.6) g  g  Chú ý, tensor metric tensor đối xứng g  g  Thành phần véc tơ hiệp biến xác định cách sau A  g  A Đạo hàm hiệp biến k , A0  A , Ak   A     đạo hàm phản biến (A.7)           ,     , ,   x  t  ,  x y z  ,    A   ,    A    A x  t  div bố chiều t Sự liên hệ hàm truyền hai loại metric khác D (k )   S P ( p)    2    i  2  kP2 () D  k   g  i  2  kF2 pˆ F  m 1 ipˆ P  m i i  () S F  p    4 2 2 pˆ P  im  2  pP  m  2  pˆ F  m  2  pF  m Lưu ý kp - xung lượng với số P ký hiệu metric Pauli, kF - với số F kí hiệu metríc Feynman Matrận Dirac có liên hệ với nhau: Metric Pauli     ,   , Metric Feynman-Bogoliubov I 0 4       I  0   0   i            2      ,   ,         I 0 0     I  ,    ,  matrận Pauli           2g  I  0 I  i        i              0 4!  I 0      ,  j   j ,  5   ,  5       ,  j   j ,  5   ,  5     1 2 3             ,   4!  I P3 Sp   0, Sp       g  , Sp   0, Sp      4  , Sp                      Sp  5     Sp  0, , Sp            g  g   g  g  g  g    Sp  0, Sp      , Sp  5           4  Sp  5          4  Lấy tổng lấy trung bình theo phân Lấy tổng lấy trung bình theo phân cực hạt cực hạt u r  p  Qu r  p    r , r  u r   p  Qu r  p    r , r Sp Q  pˆ  im  Q  pˆ   im   Sp Q  pˆ  m  Q  pˆ   m  Q   4Q  Chuẩn hóa spinor tốn tử chiếu u r  p  u r  p   Q   0Q   Chuẩn hóa tốn tử chiếu u r  p  u r  p   2m r r p0 r  u  p  ur  p    r  r m u r   p  u r   p   2m r r p u r    p  u r   p   ur  p  ur  p    r  r m  u ( p)u r r r  pˆ  im  ( p)    p      2im   u ( p)u r r ( p)   F  p    pˆ  m  r  u ( p)u r r ( p)   F   p      pˆ  m  r Thay đổi cách chuẩn hóa spinor ta có  u ( p)u r r r   pˆ  im  ( p)     p      2im  2   p      p  ,   p      p     p   p    p   p  thể biểu diễn toán tử chiếu có dạng tương tự  pˆ  m    pˆ  m  F  p     , F   p     2m   2m   u ( p)u r r ( p)  2m F  p  r  u ( p)u r r r ( p)  2m F   p  P4 Phụ lục B CÁC TOÁN TỬ CHIẾU Chúng ta nhận điều kiện trực chuẩn spinơ Dirac, mà chúng mô tả trạng thái với độ xoắn xác định   rr '   u r ' ( p)u r ( p )    rr '   u r ' ( p)u r ( p )   u r ' ( p) u r ( p) (B.1) Theo điều kiện chuẩn hóa trực giao nghiệm hạt có xung lượng p xác định thỏa mãn hệ thức:  u ( p)u ( p)  u ( p) u ( p)    r r r r r 1  ,  1, 2,3, (B.2) Dấu trừ hệ thức cuối xuất điều kiện chuẩn hóa (B 1) nghiệm tương ứng với hạt lượng âm.Cần y thứ tự thừa số hệ thức tương ứng với tích trực tiếp u với u (u  u) ma trận  4.Một cách tương tự từ điều kiện trực chuẩn ta suy :  u r 1 r ( p)u ( p)  u r ( p) u r ( p)   (B.3) Với mục đích đơn giản kí hiệu spinơ đưa vào kí hiệu:  W ( p)   u1 ( p )     1   W ( p)   u ( p)  n W ( p)     W ( p)  u ( p)       W ( p)   u 1 ( p)      điều kiện trực chuẩn (B.1) viết dạng : (B.4) P5 w n ( p)w m ( p)   n nm ,( n, m  1, 2,3, 4) (B.5) Các hệ thức (B.2) (B.3) có dạng :  n W n ( p) W  n ( p)  I n 1 (B.7)  n W  n ( p) W n ( p)  n 1 (B.8) Khi tính tiết diện hiệu dụng trình với hạt spin ½ tham gia thường phải lấy tổng theo trạng thái spin trung gian cụ thể theo trạng thái trung gian,mà chúng có lượng dương,hay cách tương tự theo trạng thái với lượng âm Giả sử tổng cần quan tâm có dạng:   ( fQW s ) (W s Pg )  s 1    f s 1  ,  1  s  s Q W    W P g        1  (B.9) Trong Q P tốn tử (tích ma trận Dỉac) f g spinơ,còn tổng theo s lấy theo trạng thái W với lượng dương Trong trường hợp trạng thái với lượng âm tính hồn tồn cách tương tự Bây ta tìm tốn tử chiếu hiệp biến, mà phép chúng vào vế phải (B.9) cho phép mở rộng phép lấy tổng theo tất trạng thái W(p) thay cho trạng thái, sau biểu thức nhận được đơn giản nhờ cơng thức (B.7) Chúng ta muốn toán tử chiếu cần thiết tác dụng lên spinơ W làm khơng đổi W trạng thái với lượng dương, cho không W trạng thái với lượng âm Nếu quan tâm trạng thái hạt với lượng âm cách hồn tồn tuơng tự xác định toán tử chiếu dạng với lượng âm Toán tử xây dựng ta biết phương trình Dirac cho spinơ chúng có dạng : P6  pˆ  im u  p     pˆ  im W n ( p)  0, n 1,  pˆ  im u   p     pˆ  imW n ( p)  0, n  3, (B.10) (B.11) Các phương trình (B.9 B.10) xác định toán tử chiếu trạng thái hạt với lượng chiều p dạng : pˆ  im im  ( p)  (B.12) ( p) W n ( p)  W n ( p) hay ( p) u ( p)  u ( p)  n  1,  (B.13) ( p) W n ( p)  O( p) hay ( p) u (  p)   n  3,  (B.14)  pˆ  im  p  2im pˆ  m2 pˆ  im  ( p)      ( p)   4m im  im  Và (B.15) Vì hạt tự p2 = - m2 Chú ý hệ thức (B.7), (B.8) (B.13), có : ( p)  pˆ  im  im W n ( p)W n ( p)  n 1   u r ( p)u r ( p) r 1 (B.16) n n Thật vậy, nhân vào phía phải phương trình (B.16) với w ( p) lấy tổng theo n = 1, ta có: ( p) W n ( p)W n ( p)  n  n 1 W n ( p)W n ( p)  n n 1 (B.17) n Từ phương trình ( p)w ( p)  ; n = 3, ta có: ( p) W n ( p)W n ( p)  n  (B.18) n 3 Cộng vế (B.17) (B.18) ta nhận được: ( p) n 1 n 1   nW n ( p)W n ( p)    n W n ( p)W n ( p) Chú ý (B.7) ta nhận : (B.19) P7 ( p)  W n ( p)W n ( p) (B.20) n 1 n Đó điều phải chứng minh Ở ( p) có tính chất n tốn tử ( p) trạng thái với lượng âm   1 tác dụng tốn tử ( p) lên spinơ Wn cho khơng Điều cho phép ta viết biểu thức (A.8) dạng:    fQW  W s   fQ( p)  W s  W s Pg   ( A.6)  s s 1  s 1 s Pg  (B.21)   f Q ( p) Pg  (B.22) Như đạt mục đích đặt tính tổng theo tất trạng thái trung gian tất hạt Nếu quan tâm trạng thái hạt với lượng âm cách tương tự xác định toán tử chiếu dạng: ( p)   pˆ  im 2im (B.23) Nó có tính chất sau: ( p)W n ( p)  W n ( p); hay ( p)u ( p)  u ( p) (n  3, 4) (B.24) ( p)W n ( p)  hay ( p)u ( p)  (n 1, 2) Và  ( p)   ( p)   W n ( p)W n ( p)  n 3   u ( p)u r r 1 r ( p) (B.25) Chú ý tổng ( p) ( p) ma trận đơn vị : ( p)  ( p)  I (B.26) P8 Và tích ( p) ( p)  ( p) ( p)  (B.27) Xác suất trình tỉ lệ với bình phương biên độ |M|2 với M fi  u f Qui  W f QWi (B.28) Trong spinơ u f ui tương ứng với đường ra, vào giản đồ, Q ma trận tác dụng lên biến spin  | M fi |2  M fi Ffi*  W f Q Wi   W f Q Wi W   W Q Wf  f Q Wi  * i  (B.29) Trong đó: Q   4Q  (B.30) Trong nhiều trường hợp ta không quan tâm đến trạng thái spin cuối hạt Lúc ta cần phải lấy tổng theo hai trạng thái spin cuối Theo phương pháp trình bày phép lấy tổng thực sau thay vào toán tử chiếu thích hợp Giả sử trạng thái đầu cuối mô tả spinơ Wi = u(p) Wf(p) = u(p) tương ứng với trạng thái lượng dương Lúc cách lấy tổng theo trạng thái spin cuối ta có: Tổng |M|2 theo trạng thái spin cuối   W Q W W s f Q Wi    W Q ( p ')  s W fs W fs QWi   s 1  i s f s 1 i  Wi Q ( p ') QWi (B.31) Nếu trạng thái đầu không phân cực ta phải lấy trung bình theo trạng thái spin đầu Giá trị trung bình |M|2 theo trạng thái spin đầu tổng theo trạng thái spin cuối bằng: P9 s Wi Q ( p ')Wi s  s 1 4    Wi s   Q  ( p ') Q ( p)  Wi s   s    s 1  ,  1      Q  ( p ') Q ( p)     ,  1   Sp  Q  ( p ') Q ( p)  (B.32) P10 Phụ lục C TƢƠNG TÁC YẾU I Tóm tắt lịch sử phát triển A - Tương tác yếu Fecmi xem xét nghiên cứu   phân rã n  p  e  e Pauli giả thiết tồn neutrino để tạo thành căp electron – neutrino Sau Fecmi đưa giả thiết Hamiltonian tương tác cho   phân rã Hamiltonian tương tác fecmion boson Vào năm 1956 Vũ trình   phân rã tính chẵn lẻ khơng bảo toàn Sự phát minh dẫn đến Hamiltonian   phân rã tổng vô hướng giả vô hướng chúng đặc trưng số bậc Từ vào năm 1957, Landau, Le, Yang, Salam đưa ta giả thiết neutron hai thành phần Toán tử trường  L, R  1   ,   phân rã chi có tốn tử  L (hoăc  R ) Nguyên nhân   phân rã tính chẵn lẻ khơng bảo tồn Lagrangian cuaWeinberg Salam II Quy tắc Feynman - Xét trình tương tác điện yếu- tương tác Lepton neutrino với trường chuẩn boson (  , W , Z ) Lagrangian tương tác có dạng chung Lint  x    f   x    x  X   x  f - số tương tác;  ,  X  trường fermion trường véctơ boson tương ứng  - ma trận Dirac Đường p (vào)  m2 , p   p  m2  hạt có spin ½ với xung lượng p ứng với thừa số N pu  p  - ( N pu  p  = vào) Đường hạt spinơ với xung lượng p  p  m2  ứng với hàm truyền  2  pm p    p P11   Đường (vào) hạt véc tơ với xung lượng ( q q   q0 , q  , q0  q  m2 , m - khối lượng hạt) ứng với thừa số N q e  q  Đường photon với xung lượng k  k   ứng với hàm truyền g  2  k2 Đường hạt véctơ khối lượng với xung lượng q ( q  m2 , m - khối lượng hạt tự do) ứng với hàm truyền g  1  2  q q m2 q  m2 Đỉnh điện từ ứng với thừa số e   2    p  p  ( p p tổng xung lượng 4-chiều vào ) W - đỉnh boson tương ứng với g   1    2    p  p  2 Các đỉnh tương ứng với việc phóng Z  boson neutrino Z  boson lepton g   1    2    p  p  , 2cos W g    gV  g A  2    p  p  2cos W Trong lý thuyết thống điện yếu tiêu chuẩn gV  1  2sin W ; g A  1 Đường (đi vào ) hạt spinơ với xung lượng vật lý p với    p    p ,  p  p   p  m2 tương ứng với thừa số N pu   p  -đi ra, ( N pu   p  -đi vào) Đường đường vào phản hạt (đi ) với xung lượng P12 10 Đường (vào) hạt vô hướng (hoặc giả vô hướng ) với xung lượng q tương ứng với N p , cịn đường hạt với spin khơng, tương ứng với hàm truyền i  2  q  m2 Cần khẳng định việc chuẩn hóa mà sử dụng đây, hạt với spin không hay hạt với spin bán nguyên N p   2  2 p0