Mở rộng phân bậc của phạm trù

mục lục Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phạm trù 1.1.1 Ph¹m trï 1.1.2 Ph¹m trï 1.1.3 Ph¹m trï tÝch 1.1.4 Mịi tªn mono, epi, iso 1.2 Hµm tư 1.2.1 Hµm tư hiƯp biến 1.2.2 Hàm tử phản biến 1.2.3 TÝch cđa hai hµm tư 1.3 Mũi tên hàm tử 1.3.1 Mũi tên hàm tử 1.3.2 Đẳng cấu hàm tử 1.3.3 Hàm tử tương đương 8 10 10 11 11 11 12 12 12 14 14 Ch­¬ng Më rộng phân bậc phạm trù đặc trưng tập hợp phạm trù 15 2.1 Phạm trù phân bËc 2.1.1 Phạm trù G-phân bËc 2.1.2 Hàm tử phân bậc 2.1.3 Mòi tên G-hàm tử 2.2 Më réng ph©n bËc cđa ph¹m trï 2.2.1 Mở rộng G-phân bậc phạm trù 2.2.2 Mũi tên mở rộng G-phân bậc 2.3 HƯ nh©n tư 2.3.1 HƯ nh©n tư 15 16 17 19 20 20 20 21 21 2.3.2 Hệ nhân tử liên kết 2.3.3 Líp ®èi đồng điều hệ nhân tử 2.4 Đặc trưng tập hợp phạm trù 2.4.1 Tâm phạm trù 2.4.2 Đặc trưng tập hợp phạm trù 23 23 24 24 26 Chương ánh xạ cản trở Teichmuller thể đặc trưng tập hợp mở rộng phân bậc: Lý thuyết cản trở 28 3.1 ánh xạ cản trở Teichmuller 3.1.1 X©y dựng 3-đối chu trình G với hệ tử Z(C) 3.1.2 ánh xạ cản trở Teichmuller 3.2 Đặc trưng tập hợp thể 3.2.1 Đặc trưng tập hợp thể ®­ỵc 3.2.2 Điều kiện cần đủ để đặc trưng tập hợp thể 3.3 Sù phân lớp mở rộng phân bậc phạm trï Ch­¬ng C¸c vÝ dơ ¸p dơng 4.1 Më réng nhãm 4.1.1 Më réng G-ph©n bËc 4.1.2 Hệ nhân tử mở rộng tích chéo 4.1.3 Đặc trưng tập hợp 4.1.4 HƯ qu¶ 13 4.2 Më réng vÞ nhãm bëi nhãm 4.2.1 T­¬ng đẳng vị nhóm 4.2.2 Më réng Schreier cđa mét vÞ nhãm 4.2.3 Mở rộng G-phân bậc vị nhóm 4.2.4 HƯ nh©n tư 4.2.5 HÖ qu¶ 15 4.3 HÖ Clifford ph©n bËc 4.3.1 HÖ Clifford ph©n bËc 28 29 33 33 33 35 36 41 41 41 42 43 43 44 44 45 45 46 48 48 49 4.3.2 Ph¹m trï MR 4.3.3 Mở rộng G-phân bậc phạm trù MR 4.3.4 Hệ nhân tử hệ Clifford phân bËc 4.3.5 HƯ qu¶ 18 4.4 Më réng vµnh bëi nhãm 4.4.1 Më réng vµnh 4.4.2 Đặc trưng tập lớp đẳng cấu mở rộng vµnh R bëi nhãm G 4.4.3 HÖ nhân tử mở rộng vành R nhóm G 4.4.4 HƯ qu¶ 21 49 50 53 54 55 55 57 58 59 KÕt ln 61 Tµi liƯu tham khảo 62 Mở đầu Tính đến kết Jacobson nửa vành khiêm tốn, đặc biệt xét Jacobson số nửa vành cụ thể Vì chọn đề Xuất phát từ toán mở réng nhãm cña Schreier - Eilenberg - Mac Lane, mét hướng phát triển tự nhiên đặt tổng quát hóa thành toán mở rộng phạm trù nhóm Hay gọi mở rộng phân bậc phạm trù Bài toán mở rộng phạm trù nhóm, bao gồm lý thuyết cản trở, nghiên cứu nhờ hệ nhân tử bất biến đồng điều khác đà nhóm tác giả A.M.Cegarra, A.R.Garzón A.R.Grandjean trình bày báo [1] "Graded extensions of categories"(2000) Trong đó, tác giả đà nâng kết cổ điển nhóm lên cấp độ phạm trù Bài báo trình bày số vấn đề mở rộng phân bậc như: phạm trù tích chéo, đặc trưng tập hợp ánh xạ cản trở Teichmuller, thể đặc trưng tập hợp mở rộng phân bậc (lý thuyết cản trở) số ví dụ áp dụng Những vấn đề xuất phát từ toán tương tự lý thuyết nhóm Dựa vào vấn đề nêu trên, toán mở rộng phân bậc phạm trù monoidal phạm trï kiĨu (Π, A) hay ph¹m trï module víi tÝch tenxơ đà số học viên chọn làm đề tài trình bày luận văn [6], [7] Song toán tổng quát "Mở rộng phân bậc phạm trù", đặc biệt ví dụ cổ ®iĨn nh­ më réng nhãm, më réng vÞ nhãm, hƯ Clifford phân bậc mở rộng vành nhóm chưa khai thác Luận văn trình bày cách chi tiết hệ thống hầu hết vấn đề báo "Graded extensions of categories" A.M.Cegarra, A.R.Garzón A.R.Grandjean Đặc biệt ứng dụng lý thuyết mở rộng phân bậc phạm trù vào toán cổ điển thấy rõ kết đà biết Đồng thời luận văn bổ sung thêm số ví dụ phạm trù phân bậc, hàm tử phân bậc, dựa công trình nghiên cứu PGS-TS Nguyễn Tiến Quang [8] Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm chương Chương trình bày số kiến thức phạm trù Đó khái niệm, tính chất ví dụ phạm trù, hàm tử, mũi tên hàm tử, Nội dung chương viết dựa theo giảng chuyên đề PGS-TS Nguyễn TiÕn Quang NÕu G lµ mét nhãm vµ C lµ phạm trù mở rộng C G định nghĩa phạm trù G-phân bậc ổn định theo nghĩa Frohlich Wall [4], cho phạm trù bao gồm tất mũi tên bậc đẳng cấu với C Cấu trúc mở rộng phân tích Chương luận văn, giải thích lý thuyết hệ nhân tử chúng Đó là, hƯ nh©n tư cđa mét më réng nh­ vËy bao gồm họ tương đương phạm trù Fx, x G từ C vào đẳng cÊu tù nhiªn αx,y : FxFy → Fxy , x, y G thỏa mÃn điều kiện đối chu trình (tính khớp) Một hệ nhân tử dẫn đến mở rộng tích chéo mở rộng đẳng cấu với mở rộng tích chéo hệ nhân tử Chúng tổng kết kết song ¸nh Ext(G, C) =∼ H 2(G, C) Nã cho ta cách tìm tất lớp đẳng cấu mở rộng cặp (G, C) cho trước theo lớp đối đồng điều không abel 2-đối chu trình (hay hệ nhân tử) G với hệ tử C Tuy nhiên, khuôn khổ luận văn nên kết chương nêu mà không chứng minh Mỗi mở rộng phạm trù C nhóm G thể đặc trưng tập hợp G C , nghĩa là, đồng cấu nhóm : G Out(C) từ G vào nhóm lớp đẳng cấu tự nhiên tương đương phạm trù từ C vào Và điều dẫn đến toán cản trở tồn mở rộng đại diện phần tử Ext(G, C) ⊆ Ext(G, C), tËp cđa tËp c¸c líp më rộng thể đặc trưng tập hợp đà cho Nội dung lý thuyết cản trở trình bày Chương Trong đó, đặc trưng tập hợp : G Out(C) xác định đặc trưng : G → Aut(Z(C)∗) cđa nhãm G nhãm abel c¸c phần tử khả nghịch vị nhóm tâm phạm trù C Và cách ký hiệu Hn(G, Z(C)) nhóm đối đồng điều thứ n G víi hƯ tư G-module Z(C)∗ ta sÏ chØ cách mà đặc trưng tập hợp có bÊt biÕn mét líp ®èi ®ång ®iỊu chiỊu k(Φ) ∈ HΦ3 (G, Z(C)∗) liªn kÕt víi nã - ë gọi cản trở Teichmuller Sau ®ã chøng minh: "TËp ExtΦ(G, C) 6= ∅ vµ cản trở triệt tiêu" "Nếu k() = Ext(G, C) không gian nhÊt thùc sù theo nhãm abel HΦ(G, Z(C)∗)" C¸c kÕt chương trình bày chứng minh cách chi tiết Chương chương cuối luận văn, trình bày ví dụ cụ thể mở rộng phân bậc phạm trù Trước hết, cách kiểm tra định nghĩa, cách xây dựng xem nhóm phạm trù ta lại thấy rõ kết đà lý thuyÕt më réng nhãm cña Schreier - Eilenberg - MacLane [5] Trong vÝ dơ thø hai, "më réng vÞ nhóm nhóm", mục tiêu phân lớp mở rộng Schreier hoàn thiện vị nhóm nhóm Cũng nhóm, vị nhóm xem phạm trù với vật cách làm mở rộng vị nhóm nhóm đựợc suy từ mở rộng phạm trù tổng quát Trong ví dụ thứ ba, trước hết nhắc lại kết hệ Clifford phân bậc phạm trù module vành Đồng thời hệ Clifford phân bậc tương ứng song ánh cách tự nhiên với mở rộng phân bậc phạm trù module vành Do hoàn thành mục tiêu phân lớp hệ Clifford phân bậc Trong ví dụ cuối cùng, tập trung vào vành ®· biÕt ®ã lµ vµnh nhãm tÝch chÐo Tr­íc hÕt mối quan hệ mở rộng vành R nhóm G hệ Clifford phân bậc Tiếp đến, phân lớp mở rộng vành mà tích chéo tương đương với mở rộng phạm trù R-module phải G thể đặc trưng tập hợp, phân tích qua đơn cấu tắc Out(R) , P ic(R) Khi đó, kết mở rộng vành nhóm suy từ lý thuyết tổng quát mở rộng phân bậc phạm trù Luận văn thực hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Néi d­íi sù h­íng dÉn khoa häc cđa PGS-TS Ngun Tiến Quang Nhân đây, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy - người đà trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, động viên giúp đỡ để em hoàn thành luận văn Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán, Phòng Nghiên cứu Khoa học Trường Đại học sư phạm Hà Nội, gia đình, đồng nghiệp bạn bè đà tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2007 Tác giả Phạm Thị Cúc Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phạm trù 1.1.1 Phạm trù Định nghĩa: Một phạm trù C bao gồm: i) Một tập hợp không rỗng, ký hiệu Ob(C), mà phần tử gọi vật C ii) Với cặp vật (A, B) phạm trù C , tập hợp rỗng, ký hiệu HomC (A, B), mà phần tử gọi mũi tên từ A đến B Nếu f mũi tên từ A ®Õn B , th× ta viÕt f : A −→ B hay A f - B , ®ã A gọi nguồn B gọi đích mũi tên f iii) Với ba c¸c vËt (A, B, C) cđa C , cã mét ánh xạ: HomC (B, C) ì HomC (A, B) HomC (A, C) (g, f ) gf gọi tích hay hợp thành mũi tên C Hơn nữa, điều phải thỏa mÃn: a) Với cặp vật khác nhau: (A, B) 6= (C, D) th×: HomC (A, B) ∩ HomC (C, D) = ∅ b) Lt kÕt hỵp: NÕu f ∈ HomC (A, B), g ∈ HomC (B, C) vµ h ∈ HomC (C, D) th×: h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f c) LuËt ®ång nhất: Nếu f HomC (A, B) tồn phần tử HomC (A, A), gọi mũi tên ®ång nhÊt vµ ký hiƯu lµ idA hay 1A cho: f = f ◦ idA = idB ◦ f Nhận xét: i) Với vật A C mũi tên đồng idA ii) Để đơn giản, ta ký hiệu Hom(A, B) thay cho HomC (A, B) vµ A ∈ C thay cho A Ob(C) không sợ có nhầm lẫn Ví dụ: Phạm trù Sets tất tập hợp với vật tập hợp, mũi tên ánh xạ hai tập hợp, hợp thành mũi tên tích ánh xạ mũi tên đồng ánh xạ đồng Phạm trù Gr tất nhóm với vật nhóm, mũi tên đồng cấu nhóm hợp thành mũi tên tích đồng cấu nhóm Phạm trù M odR tất module vành giao hoán có đơn vị R với vật R-module, mũi tên R-đồng cấu module hợp thành mũi tên tích đồng cấu module Phạm trù Ab nhóm abel có vật nhóm abel, mũi tên đồng cấu nhóm hợp thành hai mũi tên tích đồng cấu nhóm Nhóm xem phạm trù: Cho nhóm G, ta có ph¹m trï C víi chØ mét vËt nhÊt ký hiệu , Ob(C) = {} Mũi tên phần tử G phép hợp thành mũi tên phép nhân G Trường hợp nhóm G xem phạm trù nhắc đến nhiều phần sau 1.1.2 Phạm trù Định nghĩa: Phạm trù D gọi phạm trù phạm trù C điều kiện sau thoả mÃn: i) Ob(D) Ob(C) ii) HomD (A, B) HomC (A, B) iii) Hợp thành mũi tên D hợp thành mũi tên C mũi tên đồng D mũi tên đồng C §Ỉc biƯt, nÕu HomD (A, B) = HomC (A, B) với cặp A, B D phạm trù D gọi phạm trù đầy phạm trù C Ví dụ: Phạm trù Ab phạm trù phạm trù Gr Hơn nữa, Ab phạm trù đầy Gr 1.1.3 Phạm trù tích Định nghĩa: Cho phạm trù C D Tích hai phạm trù C D phạm trù, ký hiệu C ì D, đó: i) Ob(C × D) = Ob(C) × Ob(D) = {(A, B)/A ∈ C, B ∈ D} ii) Mịi tªn (A, B) (A0, B 0) cặp mũi tên (f, g), với f : A A0 mũi tên cđa C vµ g : B −→ B lµ mũi tên D iii) Phép hợp thành hai mũi tên (f, g) (f 0, g0): (f 0, g0) ◦ (f, g) = (f ◦ f, g g) Hơn nữa, id(A,B) = (idA, idB ) 1.1.4 Mũi tên mono, epi, iso Cho phạm trù C mũi tên f : A B C : a) f gọi mũi tên mono (hay qui trái) giản ước bên trái, nghĩa f g = f g0 suy g = g0, víi mäi mịi tªn g, g0 : C A b) f gọi mũi tên epi (hay qui phải) giản ước bên phải, nghĩa g f = g0 ◦ f th× suy g = g0, víi mäi mịi tªn g, g0 : B −→ C c) f gọi mũi tên iso (hay đẳng cấu) tồn mũi tên g : B −→ A cho: f ◦ g = idB vµ g ◦ f = idA ∼ Chó ý: i) NÕu f : A B đẳng cấu ta ký hiƯu f : A −→ B Khi ®ã, ta nói hai vật A B đẳng cÊu vµ ký hiƯu lµ: A ' B ii) Từ định nghĩa mũi tên đẳng cấu ta suy g mũi tên đẳng cấu ta nói f g mũi tên nghịch đảo iii) Một mũi tên đẳng cấu đồng thời mũi tên mono epi, ngược lại nói chung không Ví dụ: Trong phạm trù Gr, mũi tên mono, epi, iso tương ứng đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu nhóm 10 4.2.5 Hệ 15: Từ kết tổng quát Chương Chương ta thu hệ sau phạm trù C giả sử vị nhóm N : Hệ 15 (Sự phân lớp mở rộng Schreier hoàn thiện vị nhóm nhóm đối đồng điều nhóm) Giả sử N vị nhóm G nhóm Khi đó: i) Mỗi đặc tr­ng tËp hỵp cđa G N, Φ : G Out(N ) xác định cách bất biến mét líp ®èi ®ång ®iỊu chiỊu k(Φ) ∈ HΦ3 (G, Z(N )) cđa G víi hƯ tư nhãm phần tử khả nghịch tâm phạm trù N , nghĩa nhóm phần tử khả nghịch tâm vị nhóm (theo cấu trúc G-module thu qua ) Bất biến gọi cản trở (Teichmuller) ii) Có phân hoạch tắc tập lớp tương đương mở rộng Sshreier hoàn thiƯn cđa N bëi G: Ext(G, N ) = a ExtΦ (G, N ) Φ ®ã, víi bÊt kú đặc trưng tập hợp : G Out(N ) thìExt(G, N ) tập lớp tương đương thể iii) Một đặc trưng tập hợp G N thể được, nghĩa Ext (G, N ) 6= , cản trở triệt tiêu iv) Nếu cản trở đặc trưng tập hợp triệt tiêu Ext(G, N ) không gian thực theo HΦ2 (G, Z(N )∗) 4.3 HƯ Clifford ph©n bËc Trong ví dụ này, mục tiêu phân lớp hệ Clifford phân bậc Đây xem ứng dụng đặc biệt việc nghiên cứu mở rộng phân bậc phạm trù đà trình bày chi tiết phần trước 47 4.3.1 Hệ Clifford phân bậc Trước hết ta đưa số kết tổng quát lý thuyết hệ Clifford Định nghĩa (Hệ Clifford phân bậc): Cho G nhóm Một hệ Clifford G-phân bậc S vành có đơn vị ký hiệu S với phân tích thành tổng trực tiếp nhãm céng: S = ⊕ Sx cho SxSy = Sxy víi mäi x, y ∈ G x∈G NhËn xÐt: i) Tích SxSy bao gồm tất tổng hữu hạn tích (trong vành) phần tử sx Sx, s0y ∈ Sy ii) Trong mét hÖ Clifford G-ph©n bËc S bÊt kú, nhãm R = S1 tương ứng với đơn vị G, vành S giả sử có đơn vị ta gọi S R-hệ Clifford G-phân bậc iii) Mỗi x-thành phần Sx, x G mét R-module hai phÝa cđa S VÝ dơ: i) Vành nhóm R[G] R-hệ Clifford G-phân bậc ii) TÝch chÐo cđa R vµ G cịng lµ mét R-hƯ Clifford G-phân bậc sx s0y 4.3.2 Phạm trù MR Với vành S bất kỳ, ta ký hiệu MS phạm trù mà vật S -module phải mũi tên S -đồng cấu chúng Đặc biƯt, nÕu S = x∈G ⊕ Sx lµ R-hƯ Clifford G-phân bậc ta có phạm trù MR với R = S1 Với S R-hệ Clifford G-phân bậc S -module phân bậc S module M với phân tích thành tổng trực tiếp c¸c R-module con: M = ⊕ Mx , víi Mx ∈ MR , x ∈ G cho Mx Sy ⊆ Mxy víi mäi x, y ∈ G x∈G Vµ ta có phạm trù GrMS mà vật S -module phân bậc mũi tên f : M N mũi tên MS bảo toµn bËc theo nghÜa f (Mx ) ⊆ Nx , víi mäi x ∈ G NhËn xÐt: Víi S lµ R-hệ Clifford G-phân bậc ta có: i) Hàm tö: ()1 : GrMS −→ MR M 7−→ M1 (f : M → N ) 7−→ (f1 : M1 → N1 ) 48 gọi hàm tử thu hẹp ii) Hµm tư: − ⊗R S : MR N −→ GrMS 7−→ N ⊗R S = ⊕ (N ⊗R S)x = ⊕ (N ⊗R Sx ) (f : M → N ) 7−→ x∈G x∈G (f ⊗R S : M R S N R S) gọi hàm tử cảm sinh Cả hai hàm tử tạo tương đương phạm trù MR GrMS Do đó, S -module phân bậc đẳng cấu với S -module cảm sinh Và S - đồng cấu phân bậc f : M N đẳng cấu thu hĐp cđa nã f1 : M1 → N1 lµ đẳng cấu R-module 4.3.3 Mở rộng G-phân bậc phạm trù MR Định nghĩa (Mũi tên hai hệ Clifford): Cho vµnh R vµ nhãm G NÕu S, T hai R-hệ Clifford G phân bậc mũi tên từ S vào T đồng cấu vành bảo toàn bậc : S T mà thu hẹp 1-thành phần ánh xạ đồng nhÊt NghÜa lµ Ψ(Sx ) ⊆ Tx vµ Ψ1 = idR : R → R NhËn xÐt: i) Tõ c¸c khẳng định suy ra, mũi tên hệ Clifford phân bậc đẳng cấu ii) Kí hiệu Clif f (G, R) tập hợp lớp đẳng cấu R-hệ Clifford G-phân bậc Ta có mệnh đề sau nói lên mối liên hệ R-hệ Clifford G-phân bậc mở rộng G-phân bậc phạm trù MR R-module Mệnh đề 16 Cho S = Sx R-hệ Clifford G-phân bậc Khi đó, ta có xG thể xây dựng mở rộng G-phân bậc phạm trù MR R-module từ R-hệ Clifford G-phân bậc Chứng minh Ta xây dựng phạm trù D(S) sau: i) Các vật D(S) R-module (tức D(S) MR có tËp vËt) ii) Mét mịi tªn M → N bËc x G cặp (f, x) f : M N R Sx mũi tên R-module 49 iii) Phép hợp thành hai mũi tên (f, x) : M N (g, y) : N → L lµ (g, y) · (f, x) : M L xây dựng dựa phép hợp thành Rđồng cấu sau: Với f : M −→ N ⊗R Sx, g : N = x∈G ⊕ (N ⊗R Sx ) −→ L ⊗R Sy dẫn đến dÃy đồng cấu: f g1 1m M −−→ N ⊗R Sx −−→ L ⊗R Sy ⊗R Sx −−→ L ⊗R Sxy ®ã m : Sy ⊗R Sx Sxy st st mũi tên tắc Nên ta định nghĩa: (g, y) à (f, x) = ((1 ⊗ m)(g ⊗ 1)f, xy) Ta thấy phép hợp thành có tính chất kết hợp với Rmodule M bất kỳ, mũi tên đồng tương ứng DS cặp (1M , 1) : M → M , ®ã ∼ 1M : M −→ M ⊗R R x 7−→ x⊗1 mũi tên đẳng cấu Khi D(S) phạm trù G-phân bậc ổn định với phân bậc g : D(S) G (f, x) x Hơn nữa, mũi tên bậc DS (f, 1) với f : M −→ N ⊗R S1 hay f : M −→ N ⊗R R =∼ N cịng cã thĨ xem mũi tên MR Do đó, Ker(D) đẳng cấu với phạm trù MR Vì vậy, D(S) mở rộng G-phân bậc MR Ví dụ: Nếu S = R[G] vành nhóm D(R[G]) phạm trù tích MR ì G Mạnh mệnh đề trên, ta có định lý sau hệ Clifford phân bậc mở rộng phân bậc phạm trù module 50 Định lý 17 Víi bÊt kú nhãm G vµ vµnh R, phép tương ứng S D(S) cảm sinh song ¸nh: ∼ Clif f (G, R) = Ext(G, MR ) tập lớp đẳng cấu R-hệ Clifford G-phân bậc tập lớp tương đương mở rộng G-phân bậc phạm trù MR Chứng minh Trước hÕt, ta chó ý r»ng nÕu S, T lµ hai R-hệ Clifford G-phân bậc với mũi tên mở rộng G-phân bậc : D(S) D(T ) tồn mũi tên R-hệ Clifford G-phân bậc : S T cho: (f,x) ((1⊗Ψ)f,x) Ψ(M −−→ N ) = (M N ) (dựa phép hợp thành M →f N ⊗R Sx 1⊗Ψ → N ⊗R Tx víi mũi tên (f, x) D(S)) Do đó, S T đẳng cấu D(S) D(G) tương đương Do Mệnh đề 16, ta cần xây dựng hệ Clifford phân bậc từ mở rộng phân bậc đà cho Giả sử D mở rộng G-phân bậc MR (, F ) hệ nhân tử mở rộng Khi đó, ta xây dựng R-hệ Clifford G-phân bậc S mũi tên đẳng cấu më réng G-ph©n bËc D(S) → ∆(α, F ) = D sau: Với x G ta lấy Sx = Fx(R) Ta cã Sx lµ mét R-song module tồn đẳng cấu tự nhiên R-module ph¶i δM : Fx (M ) =∼ M ⊗R ∼ Sx , M ∈ MR Khi ®ã, víi cặp x, y G ta lấy m : Sx R Sy S(yx) mũi tên đẳng cấu làm cho biểu đồ sau giao hoán: 1 −1 Fy Fx (R)   δy −1 −1 αx,y (R) −−−−→ Fxy (R)   yδ Sx−1 ⊗R Sy−1 S(yx)1 m Vì (, F ) hệ nhân tư nªn víi mäi x, y, z ∈ G ta cã m(1 ⊗ m) = m(m ⊗ 1) : Sx R Sy Sz S(zyx) ta định nghĩa phép 1 1 51 nhân S = xG Sx là: st = m(s ⊗ t) víi s ∈ Sx , t ∈ Sy Ta cã S1 = R F1 = idM suy S R-hệ Clifford G-phân bậc Cuối cùng, ta xây dựng mũi tên mở réng: Ψ : D(S) −→ ∆(α, F ) (Ψ(f ),x) b»ng c¸ch cho Ψ(M (f,x) → N ) = (M → N ) víi mäi (f, x) ∈ D(S), ®ã Ψ(f ) : Fx(M ) → N lµ R- đồng cấu xác định biểu đồ giao hoán: R Fx (M )   δy Ψ(f ) −−→ N  1⊗m y M ⊗R Sx−1 −−→ N ⊗R Sx ⊗R Sx−1 f ⊗1 ∼ ∼ VËy ta cã R-hệ Clifford G-phân bậc S mà D(S) (, F ) = D Định lý chứng minh xong Kết hợp Định lý 17 Định lý 5, ta kết ln r»ng víi nhãm G bÊt kú vµ vµnh R ta có kết phân lớp R-hệ Clifford G-phân bậc: Clif f (G, R) = H (G, MR ) (11) theo lớp đối đồng điều hệ nhân tử (hay 2-đối chu trình) không abel G với hệ tử phạm trù R-module phải 4.3.4 Hệ nhân tử hệ Clifford phân bậc Nếu xem tương đương phạm trù từ MR vào R-song module khả nghịch hệ nhân tử R-hệ Clifford G-phân bậc thiết lập nh­ sau: mét hƯ nh©n tư (α, S) gåm mét họ R-song module khả nghịch Sx, x G đẳng cấu R-song module, x,y : Sx ⊗R Sy → Sxy víi x, y ∈ G tháa mÃn điều kiện: i) S1 = R ii) 1,x(r ⊗ m) = rm; αx,1(m ⊗ r) = mr víi x ∈ G, m ∈ Sx, r ∈ R iii) Víi mäi x, y, z ∈ G biĨu ®å sau giao ho¸n: 52 1⊗αy,z Sx ⊗R Sy ⊗R Sz −−−−→ Sx ⊗R Syz    αx,yz αx,y ⊗1y y Sxy ⊗R Sz −−−→ αxy,z Sxyz Ta còng cã kÕt sau: Hai hệ nhân tử (, S) (0, S 0) đối đồng điều tồn họ đẳng cấu R-song module x : Sx → Sx0 , x ∈ G víi ϕ1 = idR cho: αx,y · (ϕx ⊗ ϕy ) = ϕxy · αx,y víi x, y ∈ G Víi R lµ vµnh bÊt kú Gäi P ic(R) lµ nhãm Picard tất lớp mũi tên đẳng cấu song module khả nghịch Khi đó, ta có nhóm Out(MR) lớp đẳng cấu tự nhiên tương đương phạm trù từ MR vào đẳng cấu víi nhãm Picard P ic(R) ([F ] → [F (R)], [J] [ R J]), luật nhóm [J] · [J 0] = [J ⊗R J 0] Do đó, đặc trưng tập hợp nhóm G MR đồng cấu nhóm : G P ic(R) Ta có ánh xạ thể : Ext(G, MR) HomGp(G, P ic(R)) hợp thành với song ¸nh Clif f (G, R) =∼ Ext(G, MR) sÏ ánh xạ : Clif f (G, R) HomGp (G, P ic(R)) thể đặc trưng tập hợp từ R-hệ Clifford G-phân bậc cho bëi: nÕu [S] ∈ Clif f (G, R) víi S = ⊕ Sx th× x∈G κ([S])(x) = κ[S] (x) = [Sx ] 4.3.5 Hệ 18 Gọi Z(MR) nhóm phần tử khả nghịch tâm MR, tức nhóm đẳng cấu tự nhiên từ idM vào nó; AutR(R) nhóm đẳng cấu R-song module từ R vào nó; Z(R) nhóm phần tử khả nghịch tâm R (tức là: Z(R) = {u ∈ R∗/ur = ru ∀r ∈ R}) Khi ®ã, ta cã: R ∼ Z(MR )∗ = AutR (R) vµ: ∼ AutR (R) −→ Z(R)∗ f 7−→ 53 f (1) Do đó: Z(MR) = Z(R) Với nhận xét từ kết tổng quát Chương Chương ta có hệ sau: Hệ 18 (Sự phân lớp hệ Clifford đối đồng điều nhóm) Giả sử G nhóm R vành Khi đó: i) Mỗi đặc trưng tập hợp : G P ic(R) xác định cách bất biến lớp đối đồng điều chiều k(Φ) ∈ HΦ3 (G, Z(R)∗) cđa G víi hƯ tư G-module Z(R) tất phần tử khả nghịch tâm R (theo G-tác động thu qua ) Bất biến gọi cản trở (Teichmuller) ii) Có phân hoạch tắc tập lớp mũi tên đẳng cấu R-hệ Clifford G-phân bËc: Clif f (G, R) = a Clif fΦ (G, R) đó, với đặc trưng tập hợp : G P ic(R) Clif f(G, R) tập lớp mũi tên đẳng cấu thể iii) Một đặc trưng tập hợp : G P ic(R) thể được, nghĩa Clif fΦ (G, R) 6= ∅, vµ chØ cản trở triệt tiêu iv) Nếu cản trở đặc trưng tập hợp : G P ic(R) triệt tiêu Clif f (G, R) không gian thực theo H2 (G, Z(R) ) 4.4 Më réng vµnh bëi nhãm Trong vÝ dơ này, tập trung vào lớp vành đà biết ®ã lµ vµnh nhãm tÝch chÐo 4.4.1 Më réng vµnh Cho vµnh R vµ nhãm G Mét më réng cđa vành R nhóm G dÃy viết d­íi d¹ng: {0, 1} → [R, R∗] → [S, N ] G {1} đó: ã R nhóm phần tử khả nghịch R 54 ã S lµ vµnh chøa R nh­ lµ mét vµnh nhóm nhóm phần tử khả nghịch S cho: tác động từ N lên S , tự đẳng cấu trong, hạn chế thành tác động từ N lên R ã N S nhóm thương N nhóm chuẩn tắc R, thỏa mÃn điều kiện sau: Với x G, đặt Nx tập phần tử N mà lớp nhóm thương G x Sx R-song module S sinh phần tử Nx S phân tích dạng tổng trực tiếp S = xG Sx ã G = N/R Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ loại mở rộng vành vừa nêu hệ Clifford phân bậc Mệnh đề 19 i) Bất kỳ mở rộng vành R nhóm G xem R-hệ Clifford G-phân bậc ii) Ngược lại, R-hệ Clifford G-phân bậc mà thành phần tồn phần tử khả nghịch xem lµ mét më réng cđa vµnh R bëi nhãm G Chøng minh i) Gi¶ sư cã mét më réng vành R nhóm G vừa định nghĩa với x G ux Nx ta cã Sx = RNxR = RuxR∗R = ux RR∗ R = ux R = Rux Do ®ã S1 = R vµ víi bÊt kú x, y ∈ G ta cã: Sx Sy = ux Ruy R = ux uy R = Sxy vµ nh­ vËy S lµ R-hệ Clifford G-phân bậc Ngoài ra, vành G-phân bậc phần tử khả nghịch nằm x-thành phần, với x G nghịch đảo nằm x1 -thành phần Vì vậy, với bÊt kú x ∈ G ta chän mét ux ∈ Nx th× S ∗ ∩ Sx = S ∗ ∩ uxR = ux (S ∗ ∩ R) = ux R∗ = Nx N = Nx = ∪x∈G (S ∗ ∩ Sx ) chÝnh lµ x∈G nhãm phần tử khả nghịch S Suy më réng cđa R bëi G lµ hoµn toàn xác định R-hệ Clifford G-phân bậc mà định nghĩa ii) Ngược lại, giả sử S = xG Sx R-hệ G-phân bậc cho víi bÊt kú 55 x ∈ G, S ∗ ∩ Sx 6= ∅ Khi ®ã, tËp N = ∪ (S ∗ ∩ Sx ) lµ nhãm cđa S ∗ x∈G Do S = x∈G ⊕ Sx nªn (S ∗ ∩ Sx ) ∩ (S ∗ ∩ Sy ) = ∅ vµ nÕu lÊy u ∈ N bÊt kú tồn S Sx u ánh xạ bậc xác định sau: N G u x toàn cấu nhóm với hạt nhân S R = R Ngoài ra, với ux S Sx, ux phần tử khả nghịch S , nghĩa uxRux1 = R nªn ta cã: uxR = Sx = Rux Vµ nh­ vËy: R(S ∗ ∩ Sx)R = R(S ∗ ∩ ux R)R = Rux (S ∗ ∩ R)R = Rux R∗ R = ux R = Sx V× vậy, ta đà xác định mở rộng R G mà rõ ràng xác định R-hệ Clifford G-phân bậc đà cho 4.4.2 Đặc trưng tập lớp đẳng cấu mở rộng vành R bëi nhãm G NÕu ký hiƯu Ext(G, R) lµ tËp tất lớp đẳng cấu mở rộng vành R nhóm G Ext(G, R) Clif f (G, R) ta đặc trưng tập nµy cđa Clif f (G, R) bëi ý nghÜa đặc trưng tập hợp sau: Đối với vành R, giả sử Aut(R) nhóm tự đẳng cấu vành R, Inn(R) nhóm tự đẳng cấu R P ic(R) nhóm lớp R-song module khả nghịch Khi đó, tồn d·y khíp c¸c nhãm: δ → Inn(R) → Aut(R) P ic(R) biến tự đẳng cÊu cđa R lµ α ∈ Aut(R) thµnh líp cđa R-song module khả nghịch R, R-module trái R với tác động phải cho x · y = xα(y), x, y ∈ R vµ Im(δ) ={[P ] ∈ P ic(R)/P =∼ R lµ R-module trái} Giả sử Out(R) = Aut(R)/Inn(R) nhóm tự đẳng cấu vành R Khi đó, tồn đơn ánh Out(R) , P ic(R) Ta có mệnh ®Ị sau: 56 MƯnh ®Ị 20 Víi bÊt kú vµnh R nhóm G tồn hình vuông §Ị-c¸c: Ext(G, R) - Clif f (G, R) κ ? ? HomGp (G, Out(R)) δ∗ HomGp (G, P ic(R)) nghÜa Ext(G, R) = 1((HomGp(G, Out(R)))) ánh xạ thể đặc trưng tập hợp Sx R-hệ Clifford G-phân bậc cho với Chứng minh Gi¶ sư S = x∈G bÊt kú x ∈ G ®Ịu tån t¹i ux ∈ S ∗ ∩ Sx, nghÜa lµ S lµ mét më réng cđa R bëi G Khi đó, phép nhân phải ux đẳng cÊu c¸c R-module tr¸i ∼ R → Rux = Sx , x G, đặc trưng tập hợp thể [S] [S] : G −→ P ic(R) x −→ [Sx ] lÊy qua Out(R) Ngược lại, giả sử S = xG Sx R-hƯ Clifford G-ph©n bËc cho κ[S] = δ∗ Φ víi Φ : G → Out(R) Khi ®ã, nÕu ta chọn tự đẳng cấu f (x) (x) Sx Nếu với x G tồn đẳng cấu R-song module x : Rf (x) → ux = ϕx (1) th× Sx = Rux = ux R Tõ Sx Sx = R = Sx Sx suy ux Rux = R = ux Rux Khi tồn a, b R cho = ux aux = ux bux nªn ux S Sx S biểu diƠn mét më réng cđa R bëi G −1 −1 −1 −1 −1 −1 4.4.3 HƯ nh©n tư cđa më réng cđa vµnh R bëi nhãm G Cã mét sè loại vành mà : Out(R) , P ic(R) đẳng cấu, chẳng hạn đại số hữu hạn chiều trường, vành địa phương giao hoán vành đa thức miền Đối với loại vành Ext(G, R) =∼ Clif f (G, R), cã nghÜa lµ mäi R-hệ Clifford G-phân bậc mở rộng R G, hay cách tương đương, tích chéo R 57 G, giải thích đây: Một đồng cấu nhóm : G Out(R) xem đặc trưng tập hợp G R Khi đó, mở rộng vành R nhóm G R-hệ Clifford G-phân bậc thể đặc trưng tập hợp G R, hệ nhân tử chúng bao gồm cặp ánh xạ (, F ) với F : G Aut(R) : G ì G R , thỏa mÃn điều kiện sau: F1 = idR , αx,1 = α1,x = víi x ∈ G Fx Fy = Cαx,y Fxy αx,y αxy,z = Fx (y,z )x,yz song ánh (11) cho ta song ¸nh: víi x, y, z ∈ G3 ∼ Ext(G, R) = H (G, R) (12) ®ã, H 2(G, R) tập thương tập 2-đối chu trình không abel quan hệ tương đương quan hệ ®èi ®ång ®iỊu, nghÜa lµ (α, F ) ∼ (α0, F 0) tồn ánh xạ : G → R∗ cho Fx0 = Cϕ Fx vµ αx,y ϕxy = ϕx Fx (ϕy )αx,y víi x, y ∈ G Ta chó ý r»ng, song ¸nh (12) nên mở rộng R G xác định hệ nhân tử (, F ) vành G-phân bậc R[G, , F ] = xG Rux , R-module trái tự với phần tử {ux, x G} sở phép nhân xác định qui tắc: ux a = Fx (a)ux víi mäi x ∈ G, a ∈ R x ux ux = αx,y uxy NghÜa lµ vành nhóm tích chéo đà biết trước 4.4.4 Hệ 21 Ta thu kết sau hệ Hệ 18: Hệ 21 (Sự phân lớp mở rộng vành nhóm đối đồng điều nhóm) Giả sử G nhóm R vành i) Mỗi đặc trưng tập hợp cđa G R, Φ : G → Out(R) ®Ịu xác định cách bất biến lớp đối đồng ®iỊu chiỊu k(Φ) ∈ HΦ3 (G, Z(R)∗) cđa G víi 58 hƯ tư G-module (qua Φ) tÊt c¶ phần tử khả nghịch tâm R Bất biến gọi cản trở (Teichmuller) ii) Có phân hoạch tắc tập lớp tương đương mở rộng R G : a Ext(G, R) = ExtΦ (G, R), Φ ®ã, với đặc trưng tập hợp : G Out(R) Ext(G, R) tập lớp đẳng cấu thể iii) Một đặc trưng tập hợp : G Out(R) thể được, nghĩa lµ ExtΦ (G, R) 6= ∅, vµ chØ cản trở triệt tiêu iv) Nếu cản trở đặc trưng tập hợp : G Out(R) triệt tiêu Ext (G, R) không gian thuÇn nhÊt thùc sù theo HΦ2 (G, Z(R)∗ ) 59 kết luận Như vậy, luận văn này, trước hết đà tóm tắt lại số kiến thức phạm trù Chương Trong Chương 2, đà xây dựng khái niệm phạm trù phân bậc mở rộng phân bậc phạm trù Đặc biệt xây dựng lý thuyết hệ nhân tử tồn mở réng ph©n bËc øng víi mét hƯ nh©n tư bÊt kỳ, mở rộng tích chéo Trong Chương 3, đà chứng minh đặc trưng tập hợp : G Out(C) liên kết bất biÕn víi mét líp ®èi ®ång ®iỊu chiỊu k(Φ) H3 (G, Z(C)), gọi cản trở Teichmuller Đồng thời chứng minh đặc trưng tập Ext(G, C) lớp tương đương mở rộng phân bậc thể đặc trưng tập hợp Định lý 10 Định lý 11 Cuối cùng, Chương trình bày ví dụ cổ điển mở rộng phân bậc phạm trù có áp dụng kết tổng quát đà trình bày Chương Chương Vì thời gian nghiên cứu có hạn nên dừng lại kết Mặc dù đà cẩn thận cố gắng trình nghiên cứu, song chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô, bạn bè người quan tâm Các khái niệm kết đà trình bày luận văn sở cho việc nghiên cứu vấn đề mở rộng phân bậc lớp phạm trù khác 60 Tài liệu tham khảo [1] A.M Cegarra, A.R.Garzón, A.R Grandjean Graded extensions of categories J.Pure Appl.Algebra 154, 2000, pp 174-141 [2] A.M Ceggara, A R Garzon and J.A Ortega Graded extensions of monoidal categories Journal of Algebra 241 (2001), 620-657 [3] A.M Cegarra, J.M Garcia - Calcines, J.A Ortega On graded categorial Groups and Equivariant Groups Extensions C©nd J Math Vol 54(5), 2002, pp.970 - 997 [4] A.Frolich and C.T.C Wall Graded monoidal categories Compositio Math 28 (1974) 229-285 [5] Mac Lane S Homology Spinger - Ver Berlin Heideiberg New York 1967 [6] Đỗ Thị Uyên Hương Mở rộng phân bậc phạm trù monoidal Luận văn thạc sỹ, Hà Nội 2005 [7] Chế Thị Kim Phụng Mở rộng phân bậc phạm trù module với tích tenxơ Luận văn thạc sỹ, Hà Nội 2006 [8] Nguyễn Tiến Quang Ann-phạm trù Luận án Tiến sĩ, Hà Nội 1988 61