(Luận văn) năng lượng exciton trong bán dẫn đơn lớp ws2 với sự có mặt của từ trường và thế màn chắn cudazzo hiệu chỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hữu Phước lu an n va p ie gh tn to NĂNG LƯỢNG EXCITON TRONG BÁN DẪN ĐƠN LỚP WS2 VỚI SỰ CÓ MẶT CỦA TỪ TRƯỜNG VÀ THẾ MÀN CHẮN CUDAZZO HIỆU CHỈNH d oa nl w an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT z at nh oi lm ul z @ m co l gm Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 an Lu n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hữu Phước lu NĂNG LƯỢNG EXCITON TRONG BÁN DẪN ĐƠN LỚP WS2 VỚI SỰ CÓ MẶT CỦA TỪ TRƯỜNG VÀ THẾ MÀN CHẮN CUDAZZO HIỆU CHỈNH an n va ie gh tn to p Chuyên ngành : Vật lý nguyên tử : 8440106 d oa nl w Mã số lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: z at nh oi TS HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM z l gm @ m co Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 an Lu n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Chúng xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn hoàn toàn trung thực chưa sử dụng cơng trình tên tác giả khác Mọi số liệu đối chiếu, hình vẽ minh họa, sử dụng luận văn trích dẫn đầy đủ phần tài liệu tham khảo luận văn Tác giả lu an n va tn to p ie gh Nguyễn Hữu Phước d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn bên cạnh nỗ lực cố gắng thân, suốt thời gian qua nhận tận tình giúp đỡ hướng dẫn từ thầy cơ, gia đình, bạn bè Trước hết, tơi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến giáo viên hướng dẫn TS Hồng Đỗ Ngọc Trầm Cơ ln quan tâm, nhiệt tình hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để giúp tơi hồn thành luận văn lu Bên cạnh đó, tơi xin cảm ơn tất thầy, khoa Vật lý, Trường Đại học an Sư Phạm Tp HCM truyền thụ kiến thức khoa học, giúp đỡ, giải đáp thắc n va mắc suốt q trình tơi tham gia học tập thực luận văn tn to Tôi xin cảm ơn thầy, phịng Vật lý tính tốn, Trường Đại học Sư ie gh phạm Tp HCM tạo điều kiện thuận lợi, giải đáp thắc mắc giúp đỡ để p tập trung cho luận văn nl w Xin cảm ơn bạn Trần Đình Bảo Trân học viên cao học trường Đại học Khoa d oa học Tự nhiên Tp HCM giúp đỡ hỗ trợ thời gian thực luận văn an lu Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học – Trường Đại học Sư phạm Tp nf va HCM tận tình tạo điều kiện, hỗ trợ trình học tập làm luận văn z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục bảng Danh mục hình vẽ, đồ thị MỞ ĐẦU Chương TỔNG QUAN VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Exciton lu an Tổng quan exciton 1.1.2 Các mơ hình exciton thành tựu 1.1.3 Phân loại tính chất 10 n va 1.1.1 tn to Phổ lượng exciton 12 ie gh 1.1.4 p 1.2 Transition metal dichalcogenides – TMDs 13 w Tổng quan TMDs 14 1.2.2 Bán dẫn đơn lớp TMDs 15 1.2.3 Ứng dụng TMDs 17 d oa nl 1.2.1 nf va an lu 1.3 Phương pháp toán tử FK 19 lm ul Chương THẾ MÀN CHẮN CUDAZZO HIỆU CHỈNH VÀ BÀI TOÁN z at nh oi EXCITON HAI CHIỀU TRONG TỪ TRƯỜNG 24 2.1 Thế chắn Cudazzo hiệu chỉnh 24 z 2.2 Phép biến đổi Levi-Civita 28 @ l gm 2.3 Phương pháp toán tử FK tốn exciton từ trường 31 Tính toán đại số 31 2.3.2 Tính tốn giải tích 34 2.3.3 Yếu tố ma trận cho toán exciton hai chiều từ trường 36 m co 2.3.1 an Lu n va ac th si Chương KẾT QUẢ TÍNH TỐN 42 3.1 Xác định khoảng cách chắn r0 42 3.2 Năng lượng liên kết exciton WS2 từ trường 44 3.3 Tham số c chắn Cudazzo hiệu chỉnh 46 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 PHỤ LỤC lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Khối lượng electron lỗ trống số vật liệu khác thuộc dòng TMDs [71] 42 Bảng 3.2 Khoảng cách chắn r0 , lượng liên kết exciton (B = T) ứng với giá trị tham số c = 0.01 số vật liệu thuộc dòng TMDs 43 Bảng 3.3 Năng lượng liên kết exciton WS2 ( B = 10 T B = 20 T) ứng với giá trị tham số c = 0.01 45 Bảng 3.4 Năng lượng liên kết exciton WS2 ( B = 10 T B = 20 T) 45 Bảng 3.5 Năng lượng liên kết exciton số vật liệu thuộc dòng TMDs lu với cường độ từ trường 10 T 20 T 48 an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1 Các trạng thái liên kết exciton (electron: đỏ, lỗ trống: xanh biển) a) Exciton trung hòa b) Exciton âm c) Exciton dương d) Biexciton Hình 1.2 a) Exciton Mott – Wannier b) Exciton Frenkel 10 Hình 1.3 Phổ lượng exciton thực nghiệm (hệ số hấp thụ  ) [17] 12 Hình 1.4 Minh họa mức lượng exciton [17] 13 Hình 1.5 Minh họa cấu trúc điển hình dịng vật liệu TMDs [54] 14 Hình 1.6 Cấu trúc vùng lượng MoS2 số lớp giảm dần 16 Hình 1.7 Hiệu ứng chắn giảm chuyển từ trạng thái 3D sang 2D [12] 17 lu Hình 1.8 Ứng dụng TMDs chế tạo linh kiện điện tử [61] 18 an Hình 2.1 Sự tương thích dáng điệu Cudazzo (nét gạch đứt) va n Keldysh (nét liền) 26 to tn Hình 2.2 Sự tương thích dáng điệu Cudazzo hiệu chỉnh (nét liền) với p ie gh (a) Cudazzo gốc (nét gạch đứt), (b) Keldysh (nét chấm gạch) ứng với giá trị c = 0.01 27 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Tính chất vật liệu khác phụ thuộc mạnh vào thành phần cấu trúc nguyên tử, phân tử cấu tạo nên chúng Tuy nhiên, với cấu trúc nguyên tử, phân tử số chiều không gian vật liệu thay đổi (từ ba chiều sang hai chiều, chiều hay không chiều) làm cho tính chất vật liệu thay đổi rõ rệt Ngày nay, vật liệu chế tạo ngày mỏng dần vào đến cỡ bậc bước sóng de Broglie electron hiệu ứng lượng tử (quantum size effects) thể rõ hơn, điều thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học [1], [2] Để tìm hiểu sâu hiệu ứng người ta nghiên cứu chế lu tạo cấu trúc, trạng thái “giả hai chiều”: mơ hình electron chuyển động bề an mặt dung dịch heli [3], màng mỏng (thin films) điển hình màng Bi [4], cấu trúc n va MOS (metal-oxide-semiconductor) SiO2 TiO2 [1], [2], cấu trúc dị thể tn to (heterostructure) GaAs/AlAs [5] hay InAs/GaSb [6], … Năm 2004 đánh dấu ie gh cột mốc quan trọng lịch sử khoa học vật liệu graphene (các nguyên tử p carbon tồn dạng lớp) – vật liệu tuyệt đối hai chiều chế tạo thành w công [7] Với cấu trúc tinh thể đặc biệt so với vật liệu đương thời, graphene thể oa nl tính chất vượt trội độ dẫn điện, dẫn nhiệt, độ cứng, v.v… [8], [9], d graphene minh chứng rõ ràng cho việc số chiều không gian ảnh hưởng mạnh đến lu an tính chất vật liệu Graphene thể tính chất kim loại khơng có nf va khe cấm lượng [10], vật liệu gặp hạn chế ứng dụng bán lm ul dẫn, phần lớn linh kiện điện tử ngày hoạt động sở vật z at nh oi liệu bán dẫn Dòng vật liệu đơn lớp TMDs - Transition Metal Dichalcogenides – hệ vật liệu hai chiều tiếp nối từ thành công graphene, với khe cấm lượng vào cỡ – eV [11], [12] ứng cử viên tuyệt vời thay cho graphene việc z phát triển công nghệ bán dẫn đại, đối tượng lý tưởng việc l gm @ nghiên cứu hệ thấp chiều co Cấu trúc khơng gian hai chiều TMDs đem đến cho dịng vật liệu m tính chất đặc biệt lượng liên kết hạt dẫn tăng [12], khe cấm an Lu lượng gián tiếp bán dẫn khối chuyển thành trực tiếp bán dẫn đơn lớp [13], n va ac th si giảm hiệu ứng chắn từ điện mơi [14], … tính chất tạo điều kiện cho hình thành exciton chiếm ưu chuyển dịch quang học vật liệu [15] Exciton trạng thái liên kết electron lỗ trống, thường xuất vật liệu bán dẫn điện mơi Dự đốn tồn exciton Frenkel đưa vào năm 1936 [16], sau Gross cộng phát phổ exciton thực nghiệm quan sát tinh thể Cu2O [17] Căn vào vật liệu người ta chia exciton thành hai loại phổ biến exciton Frenkel (hay exciton phân tử) tồn chất cách điện exciton Mott – Wannier (hay exciton dạng nguyên tử hydro) tồn bán dẫn Xét phương diện điện tích exciton lại chia thành exciton trung hòa, exciton âm, exciton dương Trong nội dung luận văn, thực lu an với đối tượng exciton trung hòa vật liệu bán dẫn (exciton Mott – Wannier) Với n va việc chiếm ưu chuyển dịch quang học đơn lớp TMDs, exciton tn to định mạnh đến tính chất vật liệu chế hoạt động thiết bị gh quang điện tử [18], [19] Bên cạnh exciton xuất hiệu ứng vật p ie lý hiệu ứng Coulomb Brag [20], hiệu ứng Hall lượng tử phân số [21], tượng w ngưng tụ Bose – Einstein [22], Trên sở đó, việc tìm hiểu, nghiên cứu exciton oa nl trích xuất thơng tin từ phổ lượng có ý nghĩa quan trọng d việc xây dựng lý thuyết vật liệu bán dẫn đơn lớp TMDs đóng góp nf va an lu hoàn thiện lý thuyết hiệu ứng vật lý thú vị Đã có nhiều cơng trình tiến hành đo đạc thực nghiệm [12], [23] – [25], lm ul tính tốn lý thuyết [12], [15], [26], [27] phổ lượng exciton Trong z at nh oi cơng trình [28], [29] lượng exciton cịn tính từ trường, nguyên nhân đặt áp từ trường vào hệ làm tăng tương tác electron lỗ trống, lúc phổ exciton trở nên rõ nét [30], [31] Tuy nhiên có sai khác z @ lý thuyết thực nghiệm cơng trình nêu Ngun nhân đưa l gm q trình tính tốn lý thuyết tác giả chưa xét đến đầy đủ ảnh hưởng electron khác, ảnh hưởng từ môi trường đến đối tượng cặp co m electron lỗ trống xét, bên cạnh thực tế đơn lớp TMDs an Lu không nằm độc lập mà nằm chất nền, điều có ảnh hưởng định n va ac th si 56 [55] J A Robinson et al., “Transition metal dichalcogenides and beyond: Synthesis, properties, and applications of single- and few-layer nanosheets”, Accounts of Chemical Research, 48, pp 56–64, 2015 [56] C D English et al., “Improved contacts to MoS2 transistors by ultra-high vacuum metal deposition”, Nano Letters, 16, pp 3824–3830, 2016 [57] B Hinnemann et al., “Biomimetic hydrogen evolution: MoS2 nanoparticles as catalyst for hydrogen evolution”, Journal of the American Chemical Society, 127, pp 5308–5309, 2005 [58] J Chen et al., “Electrochemical hydrogen storage in MoS2 nanotubes”, Journal lu an of the American Chemical Society, 123, pp 11813–11814, 2001 n va [59] C Zhu et al., “Single-layer MoS2-based nanoprobes for homogeneous pp 5998–6001, 2013 ie gh tn to detection of biomolecules”, Journal of the American Chemical Society, 135, p [60] X Bai et al., “Ultrasmall WS2 quantum dots with visible fluorescence for nl w protection of cells and animal models from radiation-induced damages”, ACS d oa Biomaterials Science & Engineering, 3(3), pp 460–470, 2017 an lu [61] Q H Wang et al., “Electronics and optoelectronics of two-dimensional transition metal dichalcogenides”, Nature nanotechnology, 7, pp 699-712, nf va 2012 lm ul [62] N Kumar et al., “Valley and spin dynamics in MoSe2 two-dimensional z at nh oi crystals”, Nanoscale, 4, 2014 [63] D J Griffiths, “Introduction to quantum mechanics 2nd” Pearson Prentice z Hall, 2014 @ l gm [64] O. D Skoromnik et al., “Regularization of ultraviolet divergence for a particle interacting with a scalar quantum field”, Physical Review Letters D, 92, 2015 co m [65] I D Feranchuk, “Mathematical and Theoretical, Physical background for an Lu parameters of the quantum Rabi model”, Journal of Physics A, 49 (45), 2016 n va ac th si 57 [66] I D Feranchuk et al., “Non-perturbative Description of Quantum Systems” Springer, 2015 [67] Le Van-Hoang, “Algebraic method with the use of many-particle Coulomb Green function for atomic calculations”, pp 231-249, 2004 [68] G Doetsch, “Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation” Springer, 1974 [69] R Bracewell, ‘The Fourier transform and its applications” Mcgraw-Hill College, 1986 lu [70] N S Rytova, “Coulomb interaction of electrons in thin films” Soviet Physics an Doklady, 1966 n va [71] M V Donck et al., “Excitons, trions, and biexcitons in transition-metal 105408, 2018 p ie gh tn to dichalcogenides: Magnetic-field dependence”, Physical Review B, 15, pp d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si PL1 PHỤ LỤC Phụ lục 1: TÍNH TỐN CÁC TÁC DỤNG aˆ aˆ n(m) (n m)!(n aˆ aˆ (aˆ ) m)! (n m)!(n (aˆ ) m)! (n m)!(n n ( m) (bˆ ) n m 0( ) n aˆ (1 aˆ a )(aˆ ) m)! (n m)!(n n m n m m)! (bˆ ) (bˆ ) m n m 0( ) (aˆ ) aˆ (aˆ ) 0( ) (aˆ ) aˆ (aˆ ) n m (bˆ ) n m n m n m (bˆ ) n m 0( ) 0( ) lu an (n m)!(n i n ( m) n va m)! n (aˆ )i aˆ (aˆ ) (n m)!(n tn to ( n m) n ( m) m)! (aˆ ) n m i m (bˆ ) n aˆ (aˆ ) n m 0( ) , imax m (n m) (bˆ ) n m n m 0( ) ie gh ( n m) n ( m) p (PL1.2) Nˆ n(m) bˆ bˆ) oa nl w (aˆ aˆ d (n m n (n m) m)!(n m)! (n m)! n m (aˆ ) (bˆ ) n m n m 0( ) (bˆ ) n m (PL1.3) 0( ) an lu m)!(n (aˆ ) n( m) aˆ bˆ (n m)!(n lm ul Mˆ nf va n n( m) m)! (n m)!(n m)! (aˆ ) (n n m (bˆ ) n (bˆ ) n m 0( ) 0( ) (PL1.4) m 1)!(n m 1)! n 1(m) m co l gm @ m n 1(m) m z (n 1) m z at nh oi (n m)!(n m)! (aˆ ) n an Lu n va ac th si PL2 (n m)!(n ˆˆ ab Mˆ n(m) (n m)!(n (n m)!(n m)! m)! m)! (aˆ ) n m aˆ (aˆ ) n m (bˆ ) n m bˆ(bˆ ) n (1 aˆ aˆ )(aˆ ) n ˆ ˆ bˆ) (1 bˆ bˆ aˆ aˆ aˆ ab n (aˆ ) (n m)!(n m)! 0( ) m m m 0( ) (1 bˆ bˆ)(bˆ ) n (bˆ ) n m ˆ ˆ bˆ) (1 bˆ bˆ aˆ aˆ aˆ ab (n m 1)!(n (n m)!(n m)! (n m 1) (n m 1) lu an 2n n va n (n m)!(n tn to n2 m2 ie gh (n m)!(n p n2 m)! 0( ) m 1) m)! nm n mn m 0( ) m 1)! n m (n m 1)(n (n m)!(n m m n m m)! n 1m n 1m n 1m m n 1(m) d oa nl w (PL1.5) nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si PL3 Phụ lục 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THỨ NGUN Phương trình Schrưdinger cho tốn exciton hai chiều từ trường với chắn Cudazzo hiệu chỉnh có dạng sau: 2 * 2m x 2 y ie B x 2m* y e2 y r x r0 r ln 0 e2 B 2 x 8m c y2 ln r exp r0 r r0 c Ψ x, y EΨ x, y (PL2.1) lu Để đưa dạng không thứ nguyên ta tiến hành đặt an n va x a x; y a y; E b ;B (PL2.2) c , tn to a, b c mang ý nghĩa thứ nguyên đại lượng,  x ,  y ,  ,  mang ý ie gh nghĩa độ lớn đại lượng Ta viết lại phương trình Schrưdinger theo cách đặt p * 2m a 2 ie c 2m* x nl w y e2 ln a r0 oa r0 y y r c d r x x ln exp r0 e2 8m* r c c a2 Ψ( x, y ) r0 x y b Ψ( x, y ) an lu (PL2.3) nf va Thực biến đổi đưa phương trình (PL2.3) dạng 2 x e2 m r0 y a ln r0 r c x y r r0 y c e a4 z at nh oi i c e a h lm ul exp x ln c r 2 x y b ma Ψ( x, y ) r0 Ψ( x, y) z @ (PL2.4) gm m co l Để đưa không thứ nguyên ta chọn hệ số a , b c (PL2.4) thỏa an Lu n va ac th si PL4 e m*2 16 2 ce e2 m*a bm*a 2 , (PL2.5) 1, 1, suy c e3 m*2 , 16 2 h3 lu a m* e m*e b 16 2 an a0* , (PL2.6) n va Ry * tn to ie gh Trong đó, a0* R y * lượt bán kính Borh hiệu dụng số Rydberg hiệu p dụng Như đơn vị độ dài trường hợp lúc bán kính Borh hiệu dụng đơn vị lượng hai lần số Rydberg nl w d oa Do biến số mang ý nghĩa mặt hình thức nên ta đưa phương trình không thứ nguyên y2 i x y r0 r x c x2 y2 z at nh oi ln r0 y lm ul x2 nf va an lu trở lại biến số ban đầu nhiên biến số lúc đại diện cho đại lượng r exp r0 ln c r r0 Ψ x, y EΨ x , y z (PL2.7) m co l gm @ an Lu n va ac th si PL5 Phụ lục 3: ĐƯA VỀ DẠNG CHUẨN CHO HÀM E MŨ  ln   ˆ  ˆ ˆ Hˆ S  c exp   M  M  N 1 r c      (PL3.1) Trong phần trình bày quy trình đưa [68] nhằm đưa toán tử Hˆ S dạng chuẩn (toán tử sinh nằm bên trái, tốn tử trung hịa giữa, toán tử hủy nằm bên phải) Ta nhắc lại kết nêu phần luận văn Ba toán tử Mˆ , Mˆ  Nˆ tạo thành đại số kín với kết giao hốn hai tốn tử cho kết lu an [ Mˆ , Mˆ  ]  Nˆ  1,  Mˆ , Nˆ  1  2Mˆ , [ Nˆ  1, Mˆ  ]  2Mˆ  (PL3.2) n va tn to Giả sử Hˆ S viết dạng tích hàm e mũ thành phần có dạng   p ie gh Hˆ S  exp  (Mˆ   Mˆ  Nˆ  1)   exp  f ( )Mˆ   exp  g ( ) Nˆ   exp h    Mˆ  ,   (PL3.3) oa nl w   (ln   ) / r0c , hàm f ( ), g ( ) h(  ) thỏa điều kiện biên d f (0)  g    h    (PL3.4) lu bước sau: nf va an Để xác định biểu thức f ( ), g ( ) h(  ) ta thực quy trình gồm lm ul  Xác định đạo hàm Hˆ S z at nh oi  Xác định biểu thức toán tử nghịch đảo Hˆ S  thông qua công thức Hˆ S Hˆ S   z  Xác định tích đạo hàm Hˆ S Hˆ S  @ m Đầu tiên ta xác định biểu thức đạo hàm toán tử Hˆ S co Hˆ S  l gm  Đồng hai vế phương trình thu từ tích hai tốn tử Hˆ S an Lu n va ac th si PL6 ( Mˆ   Mˆ  Nˆ  1) exp    ( Mˆ   Mˆ  Nˆ  1)       f '(  ) Mˆ  exp  f (  ) Mˆ   exp  g (  ) Nˆ   exp  h    Mˆ     g '    exp  f (  ) Mˆ   Nˆ  exp  g (  ) Nˆ   exp  h    Mˆ     h '    exp  f (  ) Mˆ   exp  g (  ) Nˆ   Mˆ exp  h    Mˆ        (PL3.5) Tiếp đến ta xác định biểu thức toán tử nghịch đảo Hˆ S    Hˆ S      exp   Mˆ   Mˆ  Nˆ      exp  h    Mˆ  exp   g    Nˆ   exp   f    Mˆ     lu  (PL3.6) an  n va Xét tích đạo hàm Hˆ S Hˆ S  to tn ( Mˆ   Mˆ  Nˆ  1)   ie gh  f '(  ) Mˆ   g '    exp  f (  ) Mˆ   Nˆ  exp   f (  ) Mˆ    h '    exp  f (  ) Mˆ   exp  g (  ) Nˆ   Mˆ exp   g    Nˆ   exp   f    Mˆ       p    w  oa nl (PL3.7) d Tới ta sử dụng công thức an lu ˆ ˆ  Aˆ  Bˆ   Aˆ , Bˆ    Aˆ ,  Aˆ , Bˆ     Aˆ ,  Aˆ ,  Aˆ , Bˆ     e A Be   2!     3!       nf va (PL3.8) lm ul tính tốn giao hốn tử kín công thức (PL3.2) để xác định tác dụng   z at nh oi số hạng phương (PL3.8) Ta nhận số kết tính tốn sau z exp  f (  ) Mˆ   Nˆ  exp   f (  ) Mˆ    Nˆ    Mˆ  , Nˆ  1 f      Mˆ  ,  Mˆ  , Nˆ  1  f     2!    Mˆ  ,  Mˆ  ,  Mˆ  , Nˆ  1   f       3!   Nˆ   2Mˆ  f    m co l gm @ an Lu (PL3.9) n va ac th si PL7     exp  g (  ) Nˆ   Mˆ exp   g (  ) Nˆ        Mˆ   Nˆ  1, Mˆ  g   )    Nˆ  1,  Nˆ  1, Mˆ   g     2!    Nˆ  1,  Nˆ  1,  Nˆ  1, Mˆ    g       3!  1  Mˆ  Mˆ g     Mˆ  g      Mˆ  g      2! 3!  Mˆ exp   g     (PL3.10) exp  f (  ) Mˆ   Mˆ exp   f (  ) Mˆ   lu an  Mˆ   Mˆ  , Mˆ  f      Mˆ  ,  Mˆ  , Mˆ   f     2!  va n    Mˆ  Nˆ  f     Mˆ  f    ie gh tn to   ˆ   ˆ  ˆ  ˆ  M , M ,  M , M  g       3!  p (PL3.11) nl w Thay giá trị vừa tính tốn từ (PL3.9) đến (PL3.11) vào (PL3.7) oa ( Mˆ   Mˆ  Nˆ  1)  f '(  ) Mˆ   d  g '    Nˆ   Mˆ  f    an lu      nf va ˆ ˆ ˆ  h '    exp   g     M  N  f     M f    , hay  z at nh oi lm ul (PL3.12)   ˆ ( Mˆ   Mˆ  Nˆ  1)  f '(  )  g '    f     h '    exp   g     f    M    l gm @ ˆ  h '    exp   g     M z ˆ  g '     h '    exp   g     f    N  (PL3.13) m co Tiến hành đồng hai vế phương trình (PL3.13) ta an Lu n va ac th si PL8  f '(  )  g '    f     h '    exp   g     f     1,  g '     h '    exp 2 g     f     1,   h '    exp    g      1 (PL3.14) Từ thực giải hệ phương trình vi phân kết hợp với điều kiện biên (PL3.4) thu biểu thức f ( ), g ( ) h(  ) sau lu    f ( )    ,      g     ln  ,         h    1  (PL3.15) an n va Như lúc đưa dạng chuẩn tốn tử Hˆ S có dạng p ie gh tn to     ˆ    ˆ  ˆ Hˆ S  exp  M  exp  ln ( N  1)  exp  M  (PL3.16)       1         d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si PL9 Phụ lục 4: HÀM SÓNG GIẢI TÍCH Chúng tơi tiến hành xây dựng hàm sở dạng giải tích khơng gian tọa độ cực (  , ) theo tiêu chí :  Hàm sóng bảo tồn hình chiếu moment động lượng Lˆz  Hàm sóng giải tích liên hệ với hàm sóng đại số theo cơng thức (2.26) Với tọa độ cực (  ,  ) định nghĩa u   cos  ,  v   sin  (PL4.1) lu Toán tử Lˆ z chuyển từ không gian (u , v ) an n va i    Lˆz    u  v  ,  v u  (PL4.2) tn to ie gh sang khơng gian tọa độ cực có dạng p i  Lˆz    w (PL4.3) d oa nl Với biểu thức (PL4.3) hàm riêng Lˆ z ứng với trị riêng m có dạng (PL4.4) an lu   Ce2im lm ul dạng nf va Tới đây, theo tiêu chí xây dựng hàm sóng ta viết hàm sóng cần tìm  (  ,  )  f n ,m    exp  2im  z at nh oi (PL4.5) Để xác định biểu thức f n ,m    ta dựa vào tiêu chí thứ bˆ bˆ  f n,m    exp  2im     n  m  f n ,m    exp  2im  , z (PL4.6) l gm @ hay m co     2  4m       n      f n ,m    exp  2im   (PL4.7)  4         4 an Lu Ta thực biến đổi phương trình (PL4.7) phép đặt n va ac th si PL10 j   , (PL4.8) giả sử hàm f n ,m    có dạng  j f  j   e j hn, m  j  m (PL4.9) Với biến đổi phương trình (PL4.7) đưa dạng jh ''n, m   m   j  h 'n, m   n  m  hn , m  0, (PL4.10) phương trình (PL4.10) có tên riêng phương trình Kummer, với nghiệm hn , m hàm siêu bội suy biến F1   n  m , m  1, j (confluent hypergeometric lu an function) va n m  (1) n hn, m  j   tn to k 0  n  m ! m ! j  n  m  k ! m  k ! k ! k k (PL4.11) p ie gh Với biểu thức hn , m ta nhận biểu thức hàm có dạng  (  ,  )  CL  je  j j exp  2im  , m (PL4.12) nl w 2m n m d oa L2nmm  j  hàm Laguerre, liên hệ với hàm F1   n  m , m  1, j an lu sau 2m  n  m ! F n  m , m  1, j    n  m ! m ! nf va lm ul Ln  m  j   (PL4.13) 1  e x z at nh oi Thực chuẩn hóa (PL4.12) sử dụng tính chất hàm Laguerre x k Lkn ( x) Lkm ( x)dx  (PL4.14) z (n  k )!  nm , n! (PL4.15) m  n  m  !  n  m ! co   l C gm @ thu an Lu n va ac th si PL11 Đưa trở lại hai biến   thu hàm sóng giải tích chuẩn hóa khơng gian tọa độ cực có dạng   n,m   ,      n  m !L  e        n  m ! 2m n m  2 2 m e 2im (PL4.16) lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si PL12 Phụ lục 5: THÀNH PHẦN MA TRẬN CHO HÀM E MŨ Xét tốn tử Aˆ có dạng    ˆ      ˆ Aˆ  exp  M  exp ( Nˆ  1) ln  M  (PL5.17)  exp    1   1     1    Yếu tố ma trận toán tử Aˆ xác định theo công thức An s ,n  n  s Aˆ n , (PL5.18) với s = 0, 1, 2, … Để xác định dạng tường minh biểu thức (PL5.2) ta tiến hành khai triển hàm e mũ có biểu thức Aˆ sau lu an n va An  s ,n  n  s    h 0 j 0      j !h !     jh  Mˆ   j    ˆ exp ( Nˆ  1) ln   M 1       n to gh tn (PL5.19)   p ie Xét tác dụng Mˆ n h n , sử dụng công thức tác dụng biểu thức (2.27) ta có   m   n  1  m 2   n  2     m  n  h  1  m n  h oa nl n  w h  Mˆ  h  n  m  n  m  n   m  n   m   n  h   m  n  h   m    n  m  n   m   n  h   m  n  m  n   m   n  h   m    n  m ! n  m !  n  h  m !(n  h  m)! d  nh nf va an lu nh lm ul nh z at nh oi (PL5.20) Lúc ta có nhận xét h khơng thể lớn mà phải thỏa gm ta thu kết tác dụng giới hạn giá trị m co l j j @   Tương tự, xét n  s Mˆ  (PL5.21) z h n m an Lu n va ac th si PL13   n  s Mˆ  j   n  s  m ! n  s  m !  n  s  j  m !(n  s  j  m)! ns j , (PL5.22) j  ns m (PL5.23) Lúc (PL5.3) viết lại sau An  s ,n  n  s n m n s  m   h 0 j 0      j !h !     jh   Mˆ  j    ˆ exp ( Nˆ  1) ln   M 1       h n (PL5.24) Thay (PL5.4) (PL5.6) vào (PL5.8) thu kết   lu   exp ( Nˆ  1) ln  1     Mˆ  an n  s Mˆ  n va  h   n  m ! n  m !    n  h  m !(n  h  m)!      2( n  h ) 1 n  n  s  m ! n  s  m !   n  s  j  m !(n  s  j  m)! n s  j ,nh gh tn to  j ie (PL5.25) p Như ta có nhận xét thấy s  j  h hay h  j  s biểu d oa nl w thức nhận giá trị khác Như dạng tường minh yếu tố ma trận lúc nf va j s 2 js     j  s ! j ! 1    s  n1 an  lu An ,n  s  n s  m  n  m ! n  m ! n  s  m ! n  s  m !  n  m   j  s   ! n  m   j  s  ! lm ul (PL5.26) z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si