álgebra lineal y geometría

´ Algebra lineal y geometr´ıa para la ingenier´ıa Mar´ıa Isabel Ga rc´ıa Planas Primera edici´on: Enero 2011 Editor: la autora ISBN: 978-84- 614-8386-0 Dep´osito legal: B-13 522-2011 c  M a ¯ Isabel Garc´ıa Planas, Est´a rigurosamente prohibido, sin autorizaci´on escrita del titular del copyright, bajo sanciones establecidas por la ley, la reproducci´on total o parcial de esta obra por cualquier procedimiento, incluido la reprograf´ıa y el tratamiento inform´atico. La Geometr´ıa es el arte de pensar bien, y dibujar mal. Henri Poincar´e (Francia, 1854–1912) ∗ A mis hijos Presentaci´on Este libro recoge el material preparado para estudiantes de la asignatura de geometr´ıa de los cursos de grado de ingenier´ıa en tecnolog´ıas industriales, ingenier´ıa qu´ımica y grado de ingenier´ıa de materiales de la ETSEIB-UPC. Se trata de un libro con contenidos b´asicos de esta materia. El n´ucleo b´asico est´a constituido por los temas cl´asicos en un libro de ´algebra lineal que estudia espacios vectoriales dotados de un producto escalar y sus aplicaciones a la geometr´ıa. Este texto incluye tambi´en dos cap´ıtulos dedicados al estudio a nivel de intro- duci´on de variedades impl´ıcitas y al estudio elemental de curvas y superficies diferenciables de R 3 . Por ser un libro de estudio recomendado a los estudiantes, cada cap´ıtulo cons- ta de una amplia colecci´on de ejercicios, con las soluciones correspo ndientes. La intenci´on de la autora es ofrecer a los estudiantes un texto completo de ´algebra lineal b´asica a plicada a la g eometr´ıa que les permita alcanzar un cierto grado de soltura en la resoluci´on de los ejercicios y, al mismo tiempo, 7 8 introducirse en la abstracci´on de les demostraciones. La autora Barcelona, 31 de Enero de 2011. ´ Indice general Presentaci´on 7 1. Espacio vectorial eucl´ıdeo 13 1.1. Producto escalar. Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Bases ortonormales. El m´etodo de Gram-Schmidt . . . . . . . 16 1.3. El Teorema de la proyecci´on ortogonal . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Producto vectorial en R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5. Sistemas sobredeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6. Endomorfismos ortogonales y sim´etricos . . . . . . . . . . . . 22 1.6.1. Aplicaci´on lineal adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6.2. Endomorfismos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.3. Endomorfismos sim´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7. Espacios vectoriales eucl´ıdeos de dimensi´on infinita . . . . . . 34 1.8. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2. Formas bilineales y cuadr´aticas 65 2.1. Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.1.1. Expresi´on matricial de una forma bilineal . . . . . . . . 66 2.1.2. Equivalencia de formas bilineales . . . . . . . . . . . . 67 2.2. Formas cuadr´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.1. Expresi´on matricial de una forma cuadr´atica. Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.2. Reducci´on de formas cuadr´aticas . . . . . . . . . . . . 71 2.3. Ley de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.4. Valores extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 9 10 ´ INDICE GENERAL 3. Variedades lineales 93 3.1. Definiciones y ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas . . . . . . 93 3.1.1. Posiciones relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2.1. Cambio de sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . 96 3.3. Distancias entre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.4. ´ Angulos entre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4.1. ´ Angulos en R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.5. ´ Areas y vol´umenes. El determinante de Gram . . . . . . . . . 99 3.5.1. Volumen de un pa ralelep´ıpedo . . . . . . . . . . . . . . 99 3.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4. Movimientos 119 4.1. Aplicaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.2. Isometr´ıas en R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.2.1. Giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.2.2. Simetr´ıas resp ecto a rectas . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.3. Isometr´ıas en R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.3.1. Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.3.2. Simetr´ıa respecto un plano . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.4. ´ Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 28 4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5. C´onicas y cu´adricas 135 5.1. Cu´adricas en R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.1.1. Clasificaci´on de c´onicas y cu´adricas de R 3 . . . . . . . 137 5.2. Forma reducida de una c´onica y de una cu´adrica . . . . . . . . 138 5.3. Estudio particular de c´onicas y cu´adricas . . . . . . . . . . . . 142 5.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6. Variedades impl´ıcitas. Extremos ligados 173 6.1. Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.2. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.3. El espacio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.4. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.4.1. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 [...]... Sea E = R3 el espacio vectorial eucl´ ıdeo natural Probar que x +y 2 + x y 2 =2 x 2 + 2 y 2 Soluci´n: o x + y 2 + x − y 2 =< x + y, x + y > + < x − y, x − y >2 = < x, x > +2 < x, y > + < y, y > + < x, x > −2 < x, y > + < y, y >= = 2 < x, x > +2 < y, y >= 2 x 2 + 2 y 2 2 En R4 , espacio eucl´ ıdeo natural, determinar el subespacio ortogonal y complementario de F = [w1 = (1, 1, 1, 1), w2 = (3, 3, −1, −1)]... + + xn un , v = y1 u1 + + yn un podemos definir la aplicaci´n o E × E −→ R (1.1) (u, v) −→ u, v = x1 y1 + + xn yn No es dif´ probar que se verifican todas las propiedades del producto esıcil calar Otro producto escalar en E es el que viene definido de la forma siguiente: u, v = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + + x1 yn + xn y1 + 2x2 y2 + x2 y3 + +x3 y2 + + x2 yn + xn y2 + 2xn yn Dada una base {e1... se tiene f (x), y = x, f ′ (y) , ya que: f (x), y = (a11 x1 + + a1n xn )y1 + + (am1 x1 + + amn xn )ym = x, f ′ (y) = (a11 y1 + + am1 ym )x1 + + (a1n y1 + + amn ym )xn Definici´n 1.6.1 Dada una aplicaci´n lineal f : Rn −→ Rm , se define la o o ′ m n aplicaci´n f : R −→ R se denomina aplicaci´n adjunta de f , como la o o unica aplicaci´n que verifica ´ o f (x), y = x, f ′ (y) Si escribimos... 0 ∀u ∈ E y u, u = 0 si, y s´lo si u = 0 o Ejemplo 1.1.1 Consideremos en R2 , para toda pareja de vectores u = (x1 , x2 ), v = (y1 , y2 ), la aplicaci´n que viene definida por: o u, v = x1 y1 + x2 y2 Claramente se verifican las propiedades del producto escalar 13 14 CAP´ ITULO 1 ESPACIO VECTORIAL EUCL´ IDEO En general, en Rn la aplicaci´n o (x1 , , xn ), (y1 , , yn ) = x1 y1 + + xn yn es un producto... si, y s´lo si, u = 0 o ii) λu = |λ| u ∀u ∈ E, ∀λ ∈ R iii) | u, u | ≤ u v ∀u, v ∈ E (desigualdad de Cauchy-Schwartz) iv) u + v ≤ u + v ∀u, v ∈ E (desigualdad triangular) Observaci´n 1.1.1 Observar que, dado un vector u ∈ E, no nulo, el vector o u es un vector unitario (de norma 1) u Ejemplo 1.1.2 A R3 , con el producto escalar que viene definido per (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ... ortogonales y los sim´tricos e ´ 1.6 ENDOMORFISMOS ORTOGONALES Y SIMETRICOS 1.6.1 23 Aplicaci´n lineal adjunta o Sea  a11  A=  a1n   am1 amn la matriz de una aplicaci´n lineal f : Rn −→ Rm en las bases can´nicas o o Consideremos la matriz traspuesta At , que representa la matriz de una aplicaci´n lineal f ′ : Rm −→ Rn Observamos que dados x = (x1 , , xn ) ∈ Rn e o y = (y1 , , ym )... Observaci´n 1.2.3 La matriz G del producto escalar en bases ortonormales o es la identidad Por lo que si {e1 , , en } es una base ortonormal y si las coordenadas de x e y en esta base son (x1 , , xn ) e (y1 , , yn ) respectivamente, entonces < x, y >= x1 y1 + + xn yn Dado un vector u = 0 cualquiera del espacio vectorial eucl´ ıdeo E podemos considerar el conjunto de vectores perpendiculares a este... Observaci´n 1.2.4 Tambi´n es f´cil probar que F ⊥ es un subespacio vectorial o e a F ⊥ recibe el nombre de complemento ortogonal de F Ejemplo 1.2.2 En R3 , y con el producto escalar definido por (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 si F = [(2, 1, −1), (0, 2, 3)], entonces: F ⊥ = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | 2x1 + x2 − x3 = 2x2 + 3x3 = 0} = [(−5, 6, −4)] Proposici´n 1.2.1 Si F es un subespacio... vectors y los ´ngulos Es a decir, g(x) = x , f (x) = x , f (x), f (y) = x, y g(x), g (y) = x, y para un par de vectores x, y ∈ R3 cualesquiera Obviamente esto no pasa siempre Por ejemplo, si consideramos la aplicaci´n o 3 3 3 h : R −→ R , definida de la forma h(x) = 4x para todo x ∈ R , vemos que h(x) = 4 x , ∀x ∈ R3 Estamos interesados en ver que endomorfismos de Rn conservan el producto escalar y, por... Entonces, f es ortogonal si, y s´lo si, esta matriz es ortogonal: o A−1 = At (1.5) ´ 1.6 ENDOMORFISMOS ORTOGONALES Y SIMETRICOS 25 Demostraci´n En efecto Si u es la base ortonormal considerada en  eno E,  x1 . tonces dados dos vectores x, y ∈ E cualesquiera, ponemos X =  , xn   y1 . Y =   a las matrices columna formadas con las componentes de los yn vectores x, y en la base u, respectivamente . de la forma siguiente: u, v = 2x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + . . . + x 1 y n + x n y 1 + 2x 2 y 2 + x 2 y 3 + +x 3 y 2 + . . . + x 2 y n + x n y 2 + 2x n y n Dada una base {e 1 , . . . , e n }. una base ortonormal y si las coor- denadas de x e y en esta base son (x 1 , . . . , x n ) e (y 1 , . . . , y n ) respectivamente, entonces < x, y >= x 1 y 1 + . . . + x n y n . Dado un vector. complemento o rtogonal de F . Ejemplo 1.2.2. En R 3 , y con el producto escalar definido por (x 1 , x 2 , x 3 ), (y 1 , y 2 , y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 si F = [(2, 1, −1), (0, 2, 3)], entonces: F ⊥ =