Versién eapađola por
ANTONIO APARICIO CORTES,
Licenciado en Ciencias Matométicas
por
EMILIANO APARICIO BERNARDO
Cendidato a Doctor ea Oieaoias Fisico-MatemAtica Por la Universidad Eatatal Íomonsov do Mosed, tor en Cieueias Matermátieas
Trang 7Indice ee Detorminantes de sogundo orden bh Detorminantes do BE Bi eliminacin 4:8 Gálculo del Eepaeio 'tridi siano do coorder das 3 5.4 Concepto de pector 8c 6 Proyecetén ‘4 Producto 5.5 Sistoma rect 5.6 Problemas oterrninantes
jeterminantes de n-Gsimo orden ‹
, Método de resolucién de un sistema imé cero y n-6simo orden do torcor orden „ ica eas tools de inosgitan sen ne rango jon Vectors ShiaBa ch de una mint Propiedades do Mộ pyEgduee de 10s vectores jar de vee số trai angular Ge coordesadas > %
eres cnelideo n-dimensional Producto Gai 6:2 Producto escalar en ol espicio real Ry cio n-dimensional Ry Phe 6.3 Producto escalar en el espacio complejo ay 6.4, Desigualdad de Buniakowsli 6.5 Desigualdad Segmentor Di Gala recta | | es se + Eeuncién ‘lila de Minkowski |
16n de un segmenio ‘en tina fazéa
‘Eeuacién dol plano en ia forma normal’ * 7
2 Eevacién del plano en la forma general -
9:8 Problemas § 10 La recta en el os} 40.1 Ecuacién
Ecuacién «seamenti
Trang 8Indice Posicién reciproca de dos planos PHBINHEE 72 se z2 bys v2 S2 1 sát, đề coordonadas „ - lonal đe soordenadad + Dor defialtoncs de producto vaeiacal T Significado geométrico dol doterminante dé sogundo orden Propiedades del producto’ vociori ‘roducto vectorial-oscalar (mixto) Sistema do yactoraslinealimento independ Oporadores lineales «= = + 8 on Ry Bases crlogdhiles én’, Propiedades invarianteS de ios productos escalar Transformac
na Teoromas do tipo Fredholin <7 11 1° : { 22 Operador autoconjugado Forms cuadrati Forma cuadrética on of ospacio bidimensional -
Gurvas do sogundo orden - Supenficie de segundo orden on ot ‘espace onsional ie
Trang 9Prĩlogo 4
El prosente libro es la primera parte de nuestra obra «Matemsticas Superiores> En 61 se exponen las cuestiones principales de la tooria do los determinantes, los elementos de la teoria do matrices, teoria de sistemas de ccuaciones linealos, Algebra vectorial También se estudian los temas fundamentales del algebra lineal: operadores
lineales transformacioncs ortogonalos, operadores autoconjugados
(hormiticos), forma cuadratica y su reduccién a la forma candnica Se incluyen los elementos de geometria analftica: la recta, el plano, la recta en el espacio y las curvas y superficies de segando orden Por regla general, los razonamiontos van acompaiiados do de- mostraciones complotas No obstante, la exposicién se hace de tal modo que puedan ser omitidas las demostraciones del caso general n-dimensional, conservando no s6lo los enunciados de Jos teoremas
sino también la explicacién detallada de lo que ocurre en cada caso
para dos o tres dimensiones Las formas canénicas de Jas curvas y superticies de segundo orden se exponen muy abreviadamente, ya que se supone que en adelante éstas se estudiarén complementariamente como problemas por los métodos del andlisis matemético La forma cuadritica so estudia por los métodos del andlisis matematico 0, mejor dicho, por los mé- todos del anáÌisis funcional
‘Aunque a oste libro lo lamamos primero de nuestra serie, en realidad, el material del mismo y el del segundo libro (dedicado al ếlenlo diferencial e integral) tienen una estrecha conexidn Es bien sabido el orden en que se debe prosontar el material contenido en ambos El libro abarea todas las cuestiones que comprenden los programas de los centros de ensefianza técnica superior (con un volumen de 400—500 horas lectivas)
Trang 10§ 1 Deferminantes de segundo
orden
Sean dados los mimeros 4,, ag, b,, by (reales o complejos) Estos deter minan un niimoro ab, — aby, que se Joma determinante de segundo orden y se escribe asi:
a aa)
by be
Los néimeros 4, ay, b1, ð; se Haran elementos del determinante Eu el determinante (1) se distinguen la primera fila a,, a, y Ja segunda fila
Uy, bay la primera columna ay, by y Ja segunda columna ay, bs Facilmente se comprueban las siguientes propiedades del determi-
nante: El valor del determinante
a) no varta al sustitutr las filas por las columnas correspondientes: = ajby—ab, @) 4, 2|_ lai |, by by | la; ða|*
b) cambia su signo al permutar tas jilas (0 las columnas): ay ay] fly = “đ đy a 4,
Đo |” let ab [ot o, al?
©) queda multiplicado por k st se multiplican los elementos de una
fila o columna por k (real 0 complejo) Por ejempl đã hức P bị Kg by jaz be
0 sea, el factor comtin a todos los elementos de una fila o una columna se
Trang 11§ 2, Determinantes
reoro y n-ésimo orden
A continuacién se intreducen Jos determinantes de tercero y, en general, de n-ésimo orden Para éstos se conservan las propiedades a), b) ©) d) ye) § 2 Determinantes de tercero y »-ésimo orden 2.1 Determinantes de tercer orden El némero À = Biilgglaa + 6ig8ạsđại TC địađạiạ; — 6ịgạađạy — m a (1) expresado en 1a forma G2 as A=|m 2z ays}, 4) đạp Ơng đạy
donde ay; son wnos nứmeros (teales 0 complejos), se lama determi-
nante de tercer orden
En el determinante (2) se distingnen la primera, segunda y tercera filas, asi como la primera, segunda y tercera columnas El nimero a, se Nama elemento del doterminanie; el primer subindice # denota el nimero de orden de la fila, mientras que el segundo subfndice È, el mimero de orden de ]a columna También diremos que el elemento ay, esta situado en la interseecién de la k-ésima fila y L-ésima columna Los elementos @3, Gay, 4s forman la diagonal principal de\ determi-
nante, y los olementos a3, deo, Gy, 1a diagonal secundaria,
‘La estructura de 1a oxpresion (|) es bastante sencilla Representa un ntimero que se caleula según los elementos a, de acuerdo con Ja clara regla_ (de Sarrus) siguiente:
formemos la tabla (de Sarrus) ~~ fe fu 8
obtenida por los elomentos del de- ` ox P.4 ff terminante (2) ađadiendo la pri-
meray segunda colummas del de-
terminante (fig 1) Vemos que hay — „⁄ „/ `,
que tomar todos jos productos 4°" "AC
posibles do los elementos borrados =
por las rectas; los tres produetos Fig 4 correspondientes a las rectas para- ‘j
lelas a Ja diagonal principal se tomian con el signo més, mientras que los otros tres productos correspondientes a las rectas paralelas a la Giagonal secundaria se toman con ol signo menos
Trang 1240 $2
rminantes de torcoro ý n-ésimo ordon
Cada uno de los productos junto con el signo sefialado se Hama término del determinante (2) Entre los elementos que figuran en un producto hay representantes de cada una de las filas y de cada una de las columnas, Estos elementos pueden colocarse en cada uno de los términos en orden de crecimicnto del primer subindice, o sea, de los números de orden de las filas a Jas que pertenecen Precisa- mente esto se ha hecho en la suma (1) En lo que s0 reficre a Jos subin- dices de las columnas a las que portenecon estos elementos, su ordena- ciớn viene dada a continuacién: } @) ù ) 4) Estas son todas las permutaciones postbles de los ntimeros 1, 2, 3 La permutacién Bike | CE hom PON pre 4, 2, 3 6
se ama principal Se dice que en una permutocién se ha efectuado una transposicion de dos elementos delerminados, si ostos elementos han sido intorcam- biados de sitio Después de una transposicién 1a permutacién se con- vierle en otra permutacién A su ver, en osta diltima se puede hacer tuna transposicién, obteniéndose una tercera permutacién (no se 6x- cluye que resulte la primera) Por ejemplo, la permutacién 3, 2, 4 6) so ha obtenido por transposicién del [primero y terser olomontos de la permutacién (5), y a permutacién % 3, 4 @ por transposieién del primero y segundo olomentos de la permutacién 6) Es importante sefialar que, si una pormutacién se ha obtenido do la principal mediante V transposiciones y esta misma permuta~ ciơn sẽ ha obtenido de la principal de otro modo mediante NV, transpo- siciones, ontonces ambos niimeros NV y N, son simultdneamento pares ‘© impares Una permutacién de los némeros 1, 2, 3 so ama par
Trang 13§ 2 Determinantes do tercero ÿ n-6gimo orđen “
Sea dada una permutacion j = (j,, ja, fa), donde j,, Jey jy son los números 1, 2, 3, tomados en cierto orden E) niimero de transposiciones mediante los cuales se puede obtener esta permutacién a partir de la permutacién principal lo denotaremos por ¢ (j) EntoRees, la permu- tacién j es par (impar), si # (/) es un numero par (impar) Las permutaciones (3) son pares, miontras que las permutaciones
(4) son impares
Después de todo lo dicho, se puede dar otra definicién equivalente del determinante de 3-er orden
Se llama determinante de 3-er orden (2) el némero A, igual a la suma de todos los productos de 1a forma (—1)'0) a,;, a43,493,, donde 1 = Gus Jay ig) reeorro todas las pormutaciones posibles de Ie permu- taciém principal 4, 2, 3: 4-3 (9 !981,aais @ Esta definicién se generaliza a los determinantes đo m-ésimo orden
2.2, Determinantes de n-éstimo orden Se ama determinante de n-ésimo orden y se denota por
anes the ayy
A= lanl = (3)
(y2 đàm,
el némero que se calcula a pactir de unos nũmeros dados đ¿, (roales © complejos) denominados elemontos dol determinante, sogặn la
regla siguiente: A es la suma
B= 3(— 1! a15,025, tats
extendida a todas las pormutaciones distintas posibles j =
= (is - - +) Jn) de los néimeros 1, 2, 2 El valor de t (/) es igual
al nimero de transposiciones que hay quo realizar para pasar de la permutacién principal 4, 2, ., ø a la permutacién j =
m= (iv ss +s fq): El producto (1)! ay dqy, $0 Mama término
del determinante
Los determinantes de n-ésimo orden satisfacen las proptedades a), b), ©), đ), e) enunciadas en el parrafo anterior
Trang 142 § 2 Detorminantes de tercero y_n-ésimo orden determinante de tercer orden (2), tendremos: đục đạt đại 12 Gon đạn |=đánGas8aa -|Ƒ đạ\đạgđa -} đạyya6gs — đạyGa,s — lai 44s đa) mm — A En el caso general, el término general del nuevo determinante se ex- prese asi: (MO a5 152 + Binns
Reordenemos los factores del producto @j0),2 « @jgn Segiin el pri- mer subindice, para lo que tendremos que pasar de Ja permutacién 1 = (uy Ja) Ja permutacién principal 1, 2, , x Entonces habrd que realizar £ (/) transposiciones Con ello, la permutacjĩn principal de los segundos subindices se transformaré en una cierta permutaciĩn ¡ = (i¡, tp) ÿ el número £ (0) será de Ja misma pari- đad que el número t (j) Por lo tanto,
(199 ait oo dium = (— AM ag, «nin
Fécilmente so observa que a distintas permutaciones fi, in les corresponden distintas permutaciones ,, , ix Pero, entonces
3 (AYO tạ inn =F (=A) 7 44, 0s Ont
b) Intercambiemos, por ejemplo, la primera y tercera filas del determinante de tereer orden (2), Entonces obtendremos un deter-
minante que denotaremos por A’; éste serd igual a đại đạc đạy A'=lla 4a e» B19 assassin ` ` Ni nHG an Tung can
puesto que la permutacién j= (jx, fe, Js) se diferencia de la permuta- ciớn ƒ' = ay jay J) en una trapsposicion Diremos que una fila (0 columna) del determinante se ha multi plicado por un número k, si todos los elementos de esta fila (o columna) se han multiplicado por k
c) La multiplicacién de una fila (0 columna) de] determinante por un némero k se reduce ala multiplicacion de todos sus términos por k, puesto que cada uno de los términos contjene un elemento de la fila (o columna) en cuestin Pero, entonces, el valor de Ja suma de los términos queda multiplicado por &
Trang 15§ 2 Determinantos do tercero y n-ésimo or
d) Un determinante en el que los elementos de alguna fila o columna son iguales a cero, es también igual a cero, puesto que todos sus términos, evidentemonte, son iguales a cero e) El detorminanto es igual a cero si tiene dos filas o dos columnas rospectivamente iguales Esto os consecuencia de la propiedad b) (a" = —A, A’ =A, do donde A = 0) Suprimamos on el determinante de n-ésimo orden (9) la i-ésima fila y la k-6sima columna La expresién restante engendra un deter- minante de (n — 4)-ésimo orden M,,, denominado menor del elemento đụ, El valor
An =(—1* Ma,
se Hama complemento algebraico o adjunto del elemento ajy proprepan f) La suma de los productos de los elementos a,, de una fila (0 columna) del determinante por los complementos algebraicos de ‘estos elementos es igual al valor del determinante:
+7), (0)
A=anAu (=1 vết
A=À,“nÁn (w=t, 02,7) (10)
Demostremos esta propiedad para los determinantes de tercer orden en el caso de la tercera fila Se tiene
Agi + Og24y + đạn 4ạy
địa ịy Hy 2| đụ địa
=a, tas aes! nh lam aal Pa, aan = +a,
Mg, (212224 — is8na) *T đạp (8ịsđại — 8yạg) + 8ạ (Rạt8ay —y4,,) = »
Trang 16“ § 2 Determinantes de tercero y n-Ssi
Los elementos de otra fila (0 columna) es igual a cero:
Dandn= Bandy 0 (Hy
GALL} En efecto, fijemos nuestra atencién en Ja primera suma Esta = 4) 7)
no depende de Jos elementos de Ja j-ésima fila Sustituyamos en el determinante los elementos de 1a j-ésima fila por los elementos corres- pondientes de la i-ésima fila Con ello, In suma en cuestién no varia Sin embargo, ésta puede cousiderarse como el desarrollo del nuevo đeterminante por Jos elementos de la j-€sima fila, y entoncos, es igual al valor del nuevo determinante, Pero este filtimo es igual a cero segiin la propiodad e), ya que tiene dos filas iguales, la i-ésima y la i-ésima
PROPIEDAD h) Sean dados dos determinantes de n-ésimo orden A, y Ag, tales que todas sus filas (0 columnes) son iguales salvo una determi- ida La suma de tales determinantes es igual a un determinante A ésimo orden en el que Ia fila (columna) en cuestin eslá formada por la suma de los elementos correspondientes de esta fila (columna) de los
determinantes Ay y Ax Por ejemplo: tị na in đn, neững ị nai (đạn *E Đán) ny =e Guyot (Ann tbnn) En efecto, desarrollando Jos determinantes dados por los elemen- tos de la n-ésima columna, obtenemos:
Ait Dam 3 tandant+ 3 andan BY (unt an) Aan = d+ Proprepan i) Zl valor de un determinante no varia si a los elementos
de una fila (0 columna) se les anaden los elementos correspondientes de
otra fila (columna), multiplicados por un mimero k Por ejemplo, Oy Gh, natin heyy 4, n-abin ni ++ Ơn, neiƯNm n, natant han ie Gy + Gy yy Oy nar
meee aR veces |= lal +h-0= foul,
any Hg py ++ On, naan
Trang 17
§ 2 Determinantes do tercoro y n-ésimo orden 45 La aplicacién adecuada de esta propiedad reduce el céileulo de un determinante al célculo de otro determinante de orden inferior Rupwmro 3, 145) 4 4 5Ị | Á 5 23 1|=lo —s -9|l=|0 —5 —9|= 811] |8 1 1| |0 —81 —39 —5 —9|_ |5 9 +3 calls sạ|—5-39~t-81=84 EipuPto 4 214) | o1 0 -Ít# ‡Í=[—s =tl==|E; 4 § let [446] [-74 2 pe alent Evemrto 5 El determinante ta at at lay đ° sận đán đổ, engendrado por los números 4, ¿, đạ, se ama delerminante đe Vandzrmonde °)
Este determinante es igual a cero sỉ algún par đo númeFo§ đ; ÿ 2,
son iguales entre si Si todos los ay son distintos, entonces, An = (0p 04) (Oat — 44) «+ (tq — 03) *(@n— 43) (n~¡—) © + (8ạ~—= 2) Km “(6n —#a-)- (12) En efecto, para n=2, đáy iff Beas,
© sea, es valida Ja formula ($2) Supongamos que esta formula os da para n =k — 1 y demostremos que también es vilida para n = k, Aplicaremos Jas propiedades i) y ¢) del determinante Multi- pliquemos la (&— 4)-ésima columna del determinante O, por a y restémosla de la k-ésima, multipliquemos Ja (k — 2)-6sima columna
Trang 18
46 Doterminuntes de tereoro y n-Gslmo o1 también por a y restémosla de lx ( — †)-6sima, ete.; entonces ob- tondremos: 10 0 1 a;—a A;(;—đ) 0 4}~®(a—m) A= Í —ứi G8 —@) se» ah? (aq —-ay) 1 =~) (haan aa) 7 1 dy vee air?
E1 último determinante también es un determinante de Vandermonde
đe orden (k—4), engendrado por los nimeros az, ; đạ, por lo cual, sogin 1a hipétesis, se tiene:
y= (ay) (4,4 (0,04) (2
$0,442) (đạn —a-2)* ¬=
Asi pues, on virtud del do de iadueeiĩn matemática la fĩr-
mula (12) es vilida para cualquier n > 2 ProvtzpaD j) Sean
Ar=lbul, As=laml
El producto de dos determinantes de orden n con tos elementos bạ, Onn es @ su vez un determinante de orden n con los elementos vats 2) Pastas 0 sa,
A,A¿=l Ÿ ban |EA
Asf pues, el clomento y,;, portenecionte a la k-ésima fila y la
Lésima columna del determinante A, es igual, como suole docirse, al producto de la k-ésima fila del determinante A por Ia I-ésima columna del determinante A En realidad, esto os la suma de los productos do
los elementos de la k-ésima fila del determinante A, por los elementos
corrospondientes do la L-ésima columna del determinante Ay
Como en los determinantes A, y A, se pueden cambiar filas por
columnas resulta, evidentemente, que los elementos yx) del producto
4 también se puede obtener tomando el producto de la k-ésima fila
Trang 19
ear y n-ésimo ordon 7
de A, por la L-ésima fila de Az, o bien, tomando el producto de la k-ésima columna de A, por la /-ésima columna de A., o finalmente, tomando el producto de la A-Gsima columna de A; por la I-ésima fila de Ag,
DeMosmRActoN, Comprobemos la propiedad en el caso de deter-
minantes de segundo orden: Be | Đụ Đại „| =|#„ #a Thám a> 4 Tu Ta Yas Yao › donde
Tu =Ưn8u-EÐis#a+ Tia—Ưufia-Ð Ưpsgza, Tạ = Đan + Đan - Ta =Dnfap- Ưạnđạạc En virtud de las propiodades hì, e) y 6), so tiene: Đuên, Đa nese Prater past ete Đan Fax boaltae | | bay na + Dạy đa, ba by by na Me bu ~ aya Ta bat + aya, "iba bag] La, "| baa bas Ds bu oa buy ut Ki Bind A, a aad + ‘al atin + utaas Fender |b eaitae Tran ẽ can m.n En ei caso general de detorminantes do n-ésimo orden, podemos oscribirt à êm ằ, Ha Bat baa oe Deyn Page Page ++ Bạn
hĩa Nugàn Bung
Sa Sang v.v nam (—1)'9) Ay = AA
Trang 20
18 a
trices
Al caleular cada uno de los elementos de A podemos tomar cualquier subindice
de sumacion s (741 = S° enabai)s pero, para lo que sigue, resulta més eémodo
tomar para la primera fila de A ol subindice , para ]a segunda fila, el subindice đu ¥ aa sucesivamonte La segunda igualdad'so'vorifies nviriud de las propls= Je sume méltiple 3} 3) 3) seextiendea todas Ins ` permutaciones posibles Ép, sạ: ‹ sọ); dendo 4<? Cn No obstanto, si áp alguno do los sistemas {sy,"%) ty) dos componentes sy y sy son iguales entrovst (o = ty, 1-3 )), entonces ol determinante | Dyqz | = 6 Por esta Fazin, on la realidad, en la suma méltiple so pueden dejar colamente tos términos corresponden & distlatas pormutaclones (j, , 4p) de los mimeros naturales ẤẢ, mì Además, evidentemento, resuitark que el doterminante Naya dados h) y ¢); ademé —0 Ai, § 3 Matrices
Una tabla de ntimeros a; (reales » complejos) de la forma Gy San | (On Can
Am eee eee fat eee.) [lay
Crary
(iy, () m1 sec đnn
compuesta por m filas y n columnas, so llarna zmaizrjz Los números su se aman elementos de la misma Esta es una matriz rectangular, Sim =n, se lama matris cuadrada de orden n Una segunda matriz B = |j Bis || con los elementos Bj), com puesta por m filas y n columnas, se considera igual a la matriz A y sélo si, los elementos correspondientes de ambas matrices son
iguales (œ„; = Bi,) En este caso, se escribe A = B Una matsiz
Ia, || no es un numero, es una tabla, Sin embargo, para una matriz cuadrada se puede considerar un número | aj; |, el determinante en- gendrado por esta matric
‘Sea kun namero natural no superior a m y an (k <m, n) Supri-
mamos en la matriz (1) & columnas y & filas cualesquiera Los el mentos a4, situados on la interseccién de las columnas y filas supri-
midas forman una matriz cuadrada, la cual engendra un determinante
de k-ésimo orden El determinante obtenido se llama determinante de k-ésimo orden engendrado por la matriz A Se Hama rango de la matriz A al miximo néimero natural k tal para el cual existe un determinante no nulo de k-ésimo orden en- gendrado por la matriz A (vénso § 4)
Trang 21
§ 8 Matriees 49
Sien Ja matriz A se cambian las filas por las columnas del mismo orden, resulta la matriz, yy ‹ Ơng 4® ass 2 mc
denominada matriz traspuesta de la matris A Sien la matriz A se sustituyon sus elementos a4, por los complejos conjugados, entonces resulta la matriz Gye Gel — =| - |Eisu, Oar +++ Fan denominada matriz compleja conjugada de A La matric
se llama matriz conjugada de A
Si A es una matriz real, 0 sea, con elementos reales (24: = a1),
entonces, evidentemonte,
A=Z, Alea At
Las matrices de una misma dimensién, 0 sea, compuestas por el mismo mimero de filas y columnas, pueden suroarse Se llama suma de dos matrices tales A = |i az, || y B= |) By ll la matriz C = = |i vy || cuyos elementos son iguales a la suma de los elementos co-
rrespondientes de las matrices A y B: ys= ay + Bry Simbélica- mente se escribe asi
A+B=C Fécilmente se observa que
A+B=B+A, (A+B)4+C=A44(B+0)
Trang 2220 § 4 Sistema de scuacionos lineales
Segiin la definicién de suma de matrices y del producto de una matriz por un niimero, se tiene: A0 98 20 Ma (sa) P9 [mg nh +m 0 ate matuB=( oe Bm ae) § 4 Sistema de ecuaciones lineales Teoria de Kronecker—Capelli ” 4.4 Sistema de n ecuaciones lineales con 7 ineégnicas
Un sistema ordenado arbitrario de n mimeros (21, , zạ) so llama vector n-dimensional; lo denotaremos también por una'sola letra (nogrita) œ: © = (ry oe oy Zn) Los niimeros 2, (reales 0 complejos) se Haman componentes del voc tor x Pl vector 0= 0, 0) se lama vector nulo
Consideremos un sistema de 7 ecuaciones lineales con ø incĩgnitas Ont oe Fine =U ¬ (@) g3 tee + Onn tn
loos nimoros ans (coales,o, complojos), donominados coficientes del sistema (1) 50 consideran dados También se dice que el sistema (1) se determina por la matriz de sus coeficientes ei 20g - 3) -A=ll#ll= Jđna- - - #ng
A continuacién nos va a interesar ol probloma de la resolubilidad del sistoma (1) para cada vector (0 sistema de némeros)
Y= Uy oe) th)
Trang 23§ 4 Sistema cuacion: 2
Un sistema de nimeros (un vector)
w= (ty Za)
se Nama solucién del sistema de ecuaciones (4), si los némeros zy satisfacen estas ecuaciones
4.2, Férmulas de Cramer
TROREMA 1 Si el 0801380 del sistema (1) es distinto de cero: = Lay, | #0,
el sistema (A) admite sản tiniga para cualquler vector y3 esta soluciém se calcula por las leon de Cramer *
= AIA =1 n) @)
— que se obtiene del determinante A al sustituir en el mismo los ntimeros de la j-ésrma colurand por los ntimeros Ys, + + « + +s Uns Pespectivamente: ay Ai=lsee se 54 Ya Mt pene an najag nal “4 Aqyee Bn, toy Un Gn, Jie Onn Por lo tanto, + = : #=+Ð) AuM, Gat ms Si ®)
donde A,; es el adjunto del elemento a,, en el determinante A ĐEMOSTRACION Sea (z, z„) una solucién del sistema (1) Para hallar la incégnita 2 multiplicamos la primera ecuacién del sistema (1) por el adjunto Ay, !a segunda por Aq), - la n-ésima por Am y Sumamos todas las ecnaciones asi obtenidas Entonces, teniendo en cuenta que
Trang 2422 § 4, Sistoma de ecuacionos linealos
En el caso goneral, para un j arbitrario, multiplicamos la primera
ecuacién del sistema (1) por A,j, la segunda por 4;;, la n-ésima
por Any, ¥ sumamos estas ecaciones, de donde, en virtud de las propiedades f) y g), obtenemos la igualdad
By >) ayyAny= 1.2, iu — ), Any Urns © sea, aA = A', siendo a ay ee tt Ua ay aes oan wa 1, Yas — - py Bn, Ja Un Gna ste
De aqui, como A 0, se deduce la igualdad (3)
Hemos demostrado que si (z;, , z,) es una solucién dol sistema (4), entonces los números x, se determinan por las formulas (3”)
Reciprocamente, el conjunto de los nfimeros z) = £ Ay acy
+++) n) es una solucién del sistema (1) En efecto, sustituyendo z, G = 4, ., n) en el primer miembro de la -ésima ecuacién (k =
=4, ,n) del sistema (1), en virtud de las propiedades †), g) de los determinantes, se tiene: Sou Pat 5 yds edu =LS ve Sond t radars & Ất oe oe
Por lo tanto, los ntimeros (3’) verdaderamente forman una solu- cién del sistema (1) 4.3, Sistema homogéneo Un sistema de ecuaciones de la forma điên + ccc8nn#n =Ũ, to OE oe ® di +: c‹ đan#a =0
se ama homogéneo Este os un caso particular del sistema (1) para Va =.+- = yq = 0 EstA claro que el vector nulo
=0, ,% 20
Trang 25§ 4 Sistoma do ecuaciones lineales 23
Este vector se Hama entonces solucién no trivial del sistema homogénto (5), mientras que el vector nulo se lama solucién trivial del mismo TEORENA 2 Siel determinante A del sistema homogéneo (5) es distinto de cero (A 0), entonces este sistema shlo admite solucién trivial , En sfecto, en virtud de Ia propiedad d), todos los determinantes ce (4), por Yo cual, en vintad do las lgualdsdes @), Taam Sil aap deans (6) tiene soluctén no apa entonces su delerminante A necesariamente es igual a cero (A = 0) En efecto, si fueso A > 0, entonces, segiin el teorema 2, el Tiatgna () sélo tendria solucién trivial Antes habiamos estudiado el sistema lineal (1) en'el caso en que su determinante 4 # 0 Como se demostré (teorema 4), en este caso el sistema (1) admite solucién Gnica, la cual puede calcularse por las
formulas (3), para cualquier segunda miembro y = (y;, ‹ ‹ ‹+ ữa}‹
4.4 Reglas para la resolucién de un sistema de ecuaciones lineales
Estudiaremos el sistema (1) en ol caso en que su determinante A = 0 Supondremos que al menos un elemento do la matriz A (véase (2)) 6s distinto de cero y denotaromos el rango de A por ie (k = rango A) Por lo tanto, 1<k <n
Nuestro objetivo es demostrar las siguientes reglas (de una ma- ner explicita fueron enunciadas y demostradas por Kronecker ý
Capelli)
Si queremos resolver un sistema (1) del que se conoep que eÌ rango de ls matriz A es igual a k, tendremos que hallar e} rango de la matris ampliada B Opie Inn Un obtenida de la matriz A por adjuneién de la columna " wn ws [_| % | Yn Un
4) Si el rango de Ja mateiz B es mayor quo ol rango de la matriz A (rango B > rango A = &), entonees oÏ sistema (1) no admite solucio- nes Este sistema es contradictorio; no existe ningin vector &
= (ey «+ Zq) que Satisfaga simulténeamente todas las ecuaciones
Trang 263ú § 4 Sistema de ccuaciones lineales
2) Si cl rango de Ja matrix B es igual al rango de la matriz 4 (rango B = rango A = È), entonces eb sistema (S) tiene soluciones Para hallar las soluciones se deben tomar en el sistema (1) it ecnaciones
tales que la matriz de sus coeficientes sea de rango k; después se deben
resolver estas ecuaciones Este sistema de k ecuaciones puede tener infinitas solueiones, pero pueden escribirse de una forma expresiva En este caso, cualquier soluciĩn de las & ecuaciones tomadas sera también solucién de las demas n — k ceuaciones del sistema
Las reglas 4) y 2) agotan todas las situaciones posibles ya que el rango de # no puede ser menor que &, Hay que tener on cuenta que, por hipĩlesis, la matriz A engendra un delerminante no nulo de ke-6simo orden, el cual es engendrado también por la matriz 2
45 Ejemplos de aplicecién de las reglas esempro 1 El determinante del sistema ety z—y=2 es 4 4 Anh _t|=-2%0
Trang 27§ 4, Sistema de ecuaciones lineales 25
es de rango 2 Como rango B > rango A, el sistema (6) no tiene solucién Por cierto, esto esta claro sin necesidad do teoria alguna, pues un mismo niimero no puede ser igual a 1 y a2 simulténeamente, EJEMPLO 3 Bl sistema i) tiene el determinante nulo, A = 0 La matriz a2 4=|5 al tiene el rango 1, rango A = 4 La matriz ampliada É 2 2 B 338.3
también tiene el rango igual a 1 Como rango A = rango 2? tomamos una ceuacion đi (8) Qe + 9 El coeficiente de y es distinto de cero, por Jo eval, en esta ecuacion se puede despejar y: 2— (4) y
La férmula (9) proporeiona todas las soluciones de la ecuacién (8) Podemos asignar a x cualquier valor (—co <2 < oo) y caleular o| valor y segiin la formula (9) Oblendremos un sistema (un vector) (c, y) que satisface la eeuaciĩn (8) El conjunto de todos los sistemas (z, 1 — x), donde x € (—co, 00), es el conjunto de todas las solneiones de la ccuacién (8) Estas tambien son soluciones de ]a sagunda ecua- ciớn đel sistema (7), pues rango A = rango B En este caso, este resultado es trivial sin necesidad de aplicar Ja tesria de los rangos de las matrices Los coeficientes de las ecuaciones (7) junto con sus segundos miembros son proporcionales, respectivamente, por lo
Trang 28z8 § 4, Sistoma de ocuaciones linoales tiene el determinante Tas 4 43 1 112 248 esumpio 5, El determinante dol sistema e+y+ z=l1, #†w+2z=1, #++3z=2 111 đ 8 Ê if 3 es =0 La matriz 11 4 ` 118 A=
Trang 29§ 4, Sistema do ecuactones lineales 2
es de rango 3, pues ol determinante engondrado por esia matriz 144 19 1Ì=1z.0, +8 Como rango B > rango 4, øl sistema no tieno soluoiĩn EJEMPLO ¢ El determinante del sistema (10) os ££ a A=lt 1 2|=0 22 4 Es fécil comprobar que las matrices 111 4444 A=lt + 2Ï, pelt 4 24 224 2242
tidnen el mismo rango, siondo rango A=rango B=2 Tomenos en ol sistema (10) dos ecuaciones de tal modo que el rango de la matriz A’ de los coeficiontes de estas ecuaciones sea igual a 2 En este caso se pueden tomar la primera y segunda ecuaciones 0 la primera y tercera As{ pucs, consideremos ef sistema
#+ư+ ¿=1 )
#++Đz=1,
Trang 3028 § 4 Sistoma de oeuaelones li
Asi pues, la terna de niimeros (1 — y, y 0), para ý € (—eo, se), dan todas las soluciones del sistema (12), quo también son soluciones de Jn tercera ecuaciĩn del sistema (10) (esta ecuacién so obtiene de la sogunda multiplicando por 2)
4,6 Fundamentaciĩn de las reglas
TEOREMA & Si el sistema (A) es compatible o sea, que admite al menos una solucién x, entonces, necesariamente rango B = rango A
La regla 1) se basa en el teorema 4 (véase la pag 23), puesto que si rango B > rango A, entonces no se cumple la condicién necesaria de compatibilidad del sistema (1)
DENOSTRACION DEL THOREALA &, Supongamos gue el sistema (1) admite sole cién ¥ que rango A =k, Tonemon que demostrar que rango B= mo, por hipétesi ran i
tạo orden engendmdo poe la mtr 4, por coniguienty tamien {GiB Por ltanto, ogo B > No quide més que demestiar que todo detox minanto de (et f)-éslmo orden engendrado por ta matriz B, ef igual a cero, 51 tal determinants consta s6l0 de los elementos a, entonces; naturalmente, e& igual a coro, ya que también es engendrado por In-matriz A, la cual, por bipé=
tesls en de rạngo È, AsÍ pues, hay que demostrar quo cualquier determinante de (dp f}-ésime ordon ongondrado por ia matriz B y convinenle une columnna come puesta por les nmoros yy, os igual a cero Sin festringir generalidad so puede Suponer que te es el ‘dotorminante aie AAR: Ví Ghent e+ here R Uva P=
Siempre se puede reducir a este easo cualquier otro, reordenando de un modo adecuado Iss ccuaciones y las incégoitas 2 Yor hipotesis, el sistema (1) tà compatible, © sea, existe un vector # =
= (xj, + vy tq) Que satisface a las eouaciones del sistema Pero, entonces, en
particular, el vector satisface las k + 1 ecuaciones del sistema nuevamente
Feordenado.” Por consiguiento, đun + tan Ty SỐ, £ nộp 32074) 6 8112 Su co (8) Shot, Erbe he, REE A donde
ha Pot ree oe $e 0) tài, Âu ZRại cv "hp, nến — hết
Formemos el siguiente sistema con las ine6gnites 2, 23) , ther? _- ax Spies Sie Ware wai d5) Okey cb ooh One, AER 1214 =
Trang 31
§ 4 Sistoma do eouacionss lineales 29 ante dol sistoma (15) es igual a coro (véase el teorema 3), 0 sea,
`
¬— ts Matsa e+ Sheth URAL Esto ultimo se debe a que los determinantes (j de (#-+4)-€simo orden |) quo figu- fen on a suma 3} son iguals coro, ya que el ango do Ta matris A es igual ak,
(8)
Queda domostrado que cualquier determinanto de (k + 1-Gimo orlon sagondirado por In matrix 2, os igual Veamos ahora cémo so ng đa, mile 2) tất 30 Como ot mo se quorin demostrar, sel sist ) cnt 30 ecae anette baintn * ren) a austen tenner tn tengan un doterminanto no aulo: ay oe Ons +++ On El sistema reordenado (1) lo escribiremos tambiớn asÍ: a= #0
aay poe POA wigs a oust + F8hhŸh “UN — đã, kẹt hại — ©+ + —S8hn#n«
Como ol doterminante o 7:0, a cualquier sistoma de números zk+, , zạ To corresponde un sistema únÏco do nữmoros 2, » ., 7, los cuales, evidente:
mento pueden expresarse asi: * a 1 He DS Dy Wace, nether es tanta) Aare Adigrin Ex ToenTas teoaa 7 TO eee a) ok 1 ““=T= ác heiZhe unến) Ác,
donde 4,1 son Jos adjuntos de xen day en doterminanto a Por con- ‘iguonte todas Tas soluclonos dol sistame (17) so exprosan sogtn las f6rmulas (18) A shade ey Sn ‘valores arbitrarios y los valores do
Trang 32$0 § 4 Sistema do øcuacionss Iineales m
so ealeulan según las iĩmulas (I8) Vemos pues, que el sistema (17)
ˆf8tiltas eolucionesr @remos comprobar ahora que sỉ, rango 4 = rang Z = š, entonces eualgbier soluetén hallada x de las primerus ecuaciones đại sistema (1) e& simulténeamonte solucién de Ing denids ecuaciones del sistema Para preci emostremos gue es solucién de Ia (F >} 4)-ésima eeuacién Aai pucs, Tết hạ primeras + 2) ocuaciones del sistema (quo is eueribifem forma (13) Hay que demostrar.que toda solucién x de las primeras & oct (is iquldbcamentesluelớn de la (E+ “alma ooiaciớn, Sa ø vn Xactor au camp lg primera E sasinnl las ineégnitas Beran donde dy, = dy sẽ caleulan cog las lớ” ch H9) emia Ins seIaclote (5) ‘mulas (14) mediante Ins eomponentes sy:j1, "=," del vector ø ©] determic nante del sistema (15) es igual a coro, EU so ve por las ecuaciones (16) que hay ue orl, do derecho iaquenda Spin le hipotess, ol detormingnte de ia erecha es igul a cero, Pore, entnees ef sstenn (He ul Zp số Ú, Ya que ei so a
Use “ind soluclon' Ws tntorsig 7 «ag 0, entouees 24,
fnularse pus ol dotorminante @ 2:0, Perot entonces, = Oyel sistoma 2, + sass seria trivial Como el sistema (15) ea homoggaeo, = Fesulta que no s616 2,, ' 1 tya satisfacen este sistema, sino quo tambien los nữmeros (sa Z0) ‘que el sistema (18) te sol 0 tr x Hlene que = lady oe oe a alt
posoen esta misma propiedad Pero, entonces, 2{, einen el sistema do las & primoras eevacignes (18) cuyo detorminante ¢ ~ 0 Ya,sabemos que este ng dsteme sdiite ln soluclon's, scr sp pron viniod do's uiclaeds
SỈ “lu sen SỆ ” 2h
Yelvinde s lạ đhin connlfn co (), veưo% qua la tuific le núnA Hy G 1), 0 sa, que los niimeros (23, - tisfacen la (k -} 4)-4 a acide đả silen G3) y, on vitud de 3), 3 Veelor considerado 2 satis (Œ +'s)-deima eonacin del siste-
ma{h.Gon ato At Baa 2) queda Nhanh 4.7 Método de resolucién de un sistema mediante eliminacién de incégnitas
Se puede recomendar el siguiente método de resolucién de un sistema de ecuaciones lineales, que es el método de eliminacién de incdgnitas
(0 método de Gauss *), Sea dado el sistema
Oy2 + Aint = by
Omit t +++ + Anat
Multiplicando una ecuacién cualquiera del sistema (1”) por una constante y afiadiéndola a otra ecuacién del mismo sistema, obtene- mos un nuovo sistema equivalonte al anterior Bl nuevo sistema de ecuaciones tendra su matriz B’, que resulta de la matriz B mediante
Trang 334, Sistema 3t
ecuaciones Ii
consiste en que cierta fila de Ja matriz B se transforma afiadiendo a ella otra fila multiplicnda por el mdmero correspondiente Del mismo modo, moultiplicando wna ecuacién cualquiera del sistema por un mimero k + 0, dejando inalterables las demés ecu ciones, obtenemos, evidentemente, un nuevo sistema equivalente al sistema inicial 1 nuevo sistema tendré una matriz BY que serd correspondientemente transformada de la matriz B (B => B") Esta vez, la transformacién consiste en que Ja fila correspondiente a la ecvacién en cuestién se multiplica por È, ‘También surge la necesidad de permutar dos ecuaciones del siste- ma (4°), obteniendo, por lo tanto, formalmente, un nuevo sistema, pero equivalente al sistema inicial En este caso, la transformacién B => B" so reduce «Ja permutacion de dos filas de la matriz B Las tres transformacionos sefialadas B => B’ se aman transjor- maciones elementales de la matriz ồn la práctica, en lugar de escribir el nuevo sistema de ecuaciones, se limitam a escribir solamente 1a matriz correspondiente B’ Apli- cando adecuadamente operaciones elementales sobre el sistema de ecuaciones, 0 lo que es lo mismo, sobre la matriz B, siempre se puede conseguir resolver cl sistema dado (1*), 0 bien, obtener un sistema claramente contradictoriv Como este diltimo sistema es equivalente al sistema (1"), esto demuestra quel el sistema (1") es contradictorio A-continuacién se exponen ejemplos de aplicacién de este xiếtodo La operacién B = 8’ denota quo B se obliene de # mediante una © varias transformaciones elementales EJEMPLO 7 Resolver el sistema a + Qty + 3x5 + Say = 5, tq + 2x4 + Oy = 4, a 4 Bay + 4a = 2, Z + my + Sey + Or =1,
Naturalmente, segiin el teorema 1, podriamos caleular todos los cinco determinantes de cuarlo orden y hallar x, 5 #ạ, # Aqui se repelirfan muchos célculos Formemos la matriz B 12 0 1 10 1 eres 0 45 31 42 1 64
Trang 3432 § 4, Sistema do ecuaciones lineales dola a la tercera y cuarta filas, obtenemos la matrix 4286 5 0 1238 1 0-200 —3 0 —1 3 2 —4
En Ja matriz B{ los elementos de la tercora fila, que representan los cocficiontes de las incdgnitas, son todos iguales a cero, salvo uno; permutemos esta fila con 1a segunda, Entoneos, el elemento no nulo
quedará sobre la diagonal principal: 1 284 5 0-200 -3 0 128 1 0-122 4 También se puede mutliplicar la segunda fa por —1, para quo se simplifique su expresién: 4234 5 0 200 8 0 123 1ƒ 0-422 -4 Las Uransformaciones siguientes do las matrices son ovidentes: 1034 2 0200 3 B= B=) 9 9 2 3 ca | 2= 002 2 —52 108 4 2 1034 2 [920 0 8 |i, [o200 3 =100 2 3 —12 “10023 -1/2 ]> 00 0-1 ~2 00041 2 1030 ~6 1000 154 0200 0200 8 =®=|o o2 0001 o —2|®®F|o 02 2 0001 0 —32 2 De aqui, 2 = 2, 2 = —18/4, ry = 3/2, z; = 15/4
Trang 35§ 4 Sistoma do ecuacion Consideremos desde este punto de vista el ejemplo 5: nh £4 ‡ 4$ + £247 4 111 o-(1 12 s)ama(0 0 to)ene (20 to 4432 0021 0001 Por lo tanto, el sistema inicial es equivalente al sigufente; + m+ ay—4, Ont +O-ae+ 2y=0, 0-244 0-254 0-7
En la Gltima fila el término independiente es igual a la unidad, mientras que los coeficientes de Jas incdgnitas son iguales a cero, por Jo cual el sistema es incompatible Finalmente, en el ejemplo 6, /1 41 114 1111 s-[11 2 t}en=(0 0 1 0]x>z- 2242 0020 (P9 19)~5=( 2 12)~5=( 2 12) gỉ tới au —B= 0010 B= 0010 A De aqui que 2) =0, a +2, conjunto infinito de soluciones: 2, #\ s arbitrario (—o < x, < 0) 4, 0 sea, el sistema tiene un 48 Célculo del rango de una matriz
Si s6lo nos interesa averiguar el rango do Ìa matriz Z, entonces las operaciones elementales indicadas anteriormente B <>'B’ las exten- demos no solamente a las filas, sino que también a las columnas de Ja matriz Ademés, si en el proceso de estas transformaciones aparece en [a matriz una fila o una columna compuesta totalmente por ceros, entonees éstos hay que suprimirlos de la matriz, o sea, hay que considerar luego una matriz de orden inferior,
Trang 364 § 4 Sistema de ecuaciones lineales ipwnro 8, Hallar el rango de la matriz 2 onow onou 67 11 2 1 4 5 s.e= cemk + 2 0
Esta claro que el rango de la matriz B no es mayor que 4 En
este caso, a); = 140, Multiplicando le primera fila por (—1) y ađadiểndola a la tercera, obtenemos:
12 8 4 8 6 7 m|Ð 1 0 2 8 3 a
t=Í0 0 —3 -2 -4 —4 -6 00 0 0 0 4 5
Multiplicando ahora la primera columna por los nitmeros correspon- dientes y afiadiéndola a las restantes columnas, obtenemos la matriz 10 0 0 6 0 0 o4 0 4 06 4 14 0 0 =8 -2 -4 -4 -6 00 0 0 6 4 5
La segunda colusnna ya consta de ceros, salvo el elemento
Trang 37§ 4 Sistoma de ect
ionos lineales $5 EI đeterminante de cuarto orden de la matriz Ø; es distinto de 'cer0 y, por consiguiente, rango B = rango By = 4
®rMpro 9 Hallar el rango do la matriz 4244 $ đ 7 # ;-Í? 1 tiÌ>a-|* i 4 tÌ~a- 1100 0 —t —1 —t 1 0 0 0 (1000 (2 14 t}an-(0 11 t]~e- 0 -—1 <4 c4 0000 1000 1000 ọ -(5 1 ti)>5=(p 100 Al
© soa, el rango de la malriz B es igual a dos Los razonamientos en los ejemplos 8 y 9 se basan en la siguiente regla general: En una transformacién elemental B = B’ se conserva el rango de
la matriz, 0 sea, se cumple la igualdad
rango E = rango 7P, Fsta regla es evidente si la transformadiĩn elertehta] se reducø ala permutacién de files o columnas de la matriz o a Ja eliminacién de la matriz de una fila o columna compuesta de ceros Queda tn caso més que expresaremos en forma de un teorema
‘TeonEMA $ Supongamos que la matriz B se ha sometido a una trans-
formaciin B => B", que consiste en que a una de sus filas (0 columnas)
se le ha afadido alguna otra fila (0 columna), mulliplicada por un
numero ¢
Fntonees, tos rangos de las matrices B y B’ son iguales ĐEMosrRAgtớy Vamos a demostrar este teorema para las filas (para las columnas los razonamientos son similares) Sea k ol miimero de orden de la fila do la matriz Z = || bạ, || que se multiplica por el número ¢ y que se aiiade a otra fila de ÿ, cuyo niimero orden supondremos {gual a Z (por Jo tanto, la Lésima fila de
la matriz BY consta de los elementos edgy Supongamos que rango B =r, rango B’ =r’, + by 7 = 1, - n)- Es suficiente demostrar quer’ <r, ya que por analogia se demucs-
tra que r<r', de donde resulta + = 1"
Sir = 0, entonces todos los elementos de Ja matriz B son iguales a cero y, por consiguiente, también son iguales a cero todos los cle- mentos de Ia matriz B’, de donde r Sea ahora r > 0 Entonces existe una matriz A de orden z, engen- drada por la matriz 8, con el determinante distinto de cero (| A'| + 0),
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36 § 5 Espacio tridimon Vectores Sistema cart de coord mientras que todas las matrices A engendradas por Ja matrix B y de orden mayor que r tienen cl determinante igual a cero En la trans- formacién B= B’ la matriz A se transforma en ma matriz « (4 =A"), Supongamos quo la matriz A es de orden mayor que r Sĩ la /-éima fila de la matriz B no participa en la formacién de
la malriz A, entonces, evidentomente, A = A’ y0 = |A | =| A" | SỈ en la formacién do la mateiz A participan la k-ésima_y Lésima filas de la matriz B, entonces 0=|A}=|A'| En
efecto, para obtener el determinante | A’ | hay que ađadi a alguna fila del determinante | A | otra fila determinada del mismo multiplicada por cl número e, con Jo que el valor del determinante no varia Finalmente, supongamos que en la formacién de la matriz A
participa la L-ésima fila, pero no participa la k-ésima fila Esta claro
(vase la propiedad h) de los determinantes) quo
14 '1=141+e1Al (9) donde \ es una matriz de orden mayor que r, engendrada de A por sustitucion de los elementos dela D-ésima fila por los elementos corre: pondientes de la i-ésima fila de la matriz B Evidentemente, sĩ trasladamos al £-Gsimo lugar Ja fila obtenida de este modo en el Lésimo lugar, resulta una matriz de orden superior a r, engendrada por la matriz B Pero, entonees, | A | = 0 De (19) obtenemos | A’ | = 0 + 0 = 0
Hemos examinado todos los casos en que el orden de la matriz A’ es mayor que r y siempre ha resultado que | A’ | = 0 Bsto muestra que ” = tango B’ <r, como se queria demostrar § 5 Espacio tridimensional Vectores Sistema cartesiano de coordenadas » 5.1, Concepto de vector
‘En este parrafo consideraremos el espacio real El concepto de vector en el espacio real ya Jo conoce el lector por la geometria elemental
Se Nama vector (en el espacio real) a un segmento orientado AB, con el origen en el punto A y con el extremo en el punto B, que se puede trasladar paralelamente a si mismo Por lo tarito, se considera
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§ 5 Espacio tridimen Vectores Sistema cart de coord a7 =
que dos sogmentos orientados AB y AyB;, que tienen longitudes iguales (| AB | = | A,B, |) y una misma direccién, determinan un
mo vector a, y en este sentido se escribe: a = AB = A,B, (tig 2)
Se Hama longitud | AB | = |a | del vector AB =a, al némero (no negativo) que es igual a la longitud del segmento AB que une
Jos puntos A y B, También escribiremos asi: | AB | = | AB |
Fig 2
J.os vectores que estan situados sobre una misma recia o sobre reetas paralelas se Haman colineales,
Si los puntos A y # eoinciden, entonces AB = AA = 0 también
so considera como wn vector; ésto es el vector nul Su longitnd es igual a vero (/0 | = 0), y la direccién carece de sentido
Fig 3 Fig 4 Fig 5
En geometrfa se considera la suma y diferencia de vectores, ast como el producto de vectores por mimeros reales Por defiuicion, el producto aa = aa de un vector a por un numero œ, o hien, el producto del néimero & por el vector a, es un vector cuya longitud es igual a |aa |= | |-|@ | y euya direccién coincide con la de a sia >0 y es opuesta a la dea si a <0 Sia = 0 Ja longitud | 2@ | 6s igual a cero y el vector aa se convierte en el vector mulo
{en un punto), cl cual earece de direccién Un vector ese Hama unitario, si su longitud es igual a1, 0 sea, si le|=4 Sib = ae y e es un vector imilario, entonces | 6 [= =|ah ya que |b(=ja|-ie|= lait =a}
Por definicién, un wimero finito de vectores a, b, e, suman segtin Ja regla de Ja clausura de la cadona de estos vee Las figs 3 y 4 nos recnerdan como se hace esto En Ja fig 5 se muestra ademas como se restan Jos vectores
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5.2 Proyecciĩn de un veclor
Se Nama proyeccida de un punto A sobre una recta L ifig 6) al punto A’ en el que se rorta la recta Z con el plano que pasa por el punto A ¥ es perpendicular a la recta L, Tomomos una veeta orienlada L (fig 7) y un vector a
AB
Se Hama proyeecién det vector a = AB sobre la recta orientada L al vector 4’B’, donde A’ B’ son lax proyeeciones de los puntos A y
B, vespoctivamente, sobre 7: (véase la lig 7)
La proyeceién del vector a sobre la recta orientada L se denota por pra
Dada una recta orientada L, las proyecciones A’B’ de cuales-
quiera xuetores 4 sobre L estén situadas en Z y Hevan Ja misma direceion que Lo la direecién opuesta
Por cierto, si el vector AB os nulo o es perpendicular a L, enton- ces, evidentemente, su proyeccion sobre L es un vector nulo, que no tiene direceidn
Junto con la proyeccién del vector ø sobre la recta orientada L, que representa un vector, introduciremos un nuevo concepto, el de Proyeccién numérica del vector a sobre la recta orientada L Es un húmero que se donota por pry @ (sin flecha) y se define del modo siguiente
Se Hama proyeccién numérica del vector a = AB sobre la recta orientada Lal producto de la longitud del vector a = AB por et coseno del dngulo œ formado por el vector a y la direcetén de L: prra = |a|cos(a, L)=|alose 0<o <a)
Sefialemos los casos siguientes:
Sia=0 0 bien, si o =F, entonces prpa = 0: si