álgebra lineal

´ ALGEBRA LINEAL Apuntes elaborados por Juan Gonz´alez-Meneses L´opez. Curso 2008/2009 Departamento de ´ Algebra. Universidad de Sevilla. [...]... vector v depende linealmente de un conjunto de vectores {v1 , , vr } si v se puede escribir como combinaci´n lineal de v1 , , vr o Ejemplo 1.8 El vector (3, −2, 2) depende linealmente de los vectores (1, 0, 2) y (−1, 2, 2), ya que se tiene la combinaci´n lineal: o       3 1 −1  −2  = 2  0  + (−1)  2  2 2 2 Ejemplo 1.9 El vector 0, con todas sus coordenadas nulas, depende linealmente... vector 0 como combi´ naci´n lineal de estos vectores es tomando α1 = α2 = · · · = αr = 0, diremos que o el sistema S es linealmente independiente o libre La relaci´n entre esta definici´n de dependencia lineal y la anterior viene dada por el o o siguiente resultado Lema 1.11 Un sistema de vectores {v1 , , vr } es linealmente dependiente si y s´lo si o uno de ellos es combinaci´n lineal de los dem´s o a... Basta tomar todos los coeficientes 0 en la combinaci´n lineal o Ejemplo 1.10 Cualquier vector depende linealmente de un conjunto de vectores que lo contenga Basta tomar su coeficiente 1, y todos los dem´s 0 a Hay otra forma de ver la dependencia lineal: Diremos que un sistema (o conjunto) de vectores de la misma dimensi´n S = o {v1 , , vr } es linealmente dependiente, si existen r escalares α1 , ... eliminaci´n de Gausse o Jordan ´ ALGEBRA LINEAL ´ JUAN GONZALEZ-MENESES 11 Una propiedad importante de la forma reducida por filas equivalente a una matriz dada es que es unica Pero a´n no tenemos las herramientas suficientes para demostrar esto ´ u 1.3 Dependencia lineal y rango El concepto de dependencia lineal de vectores es fundamental para el estudio de matrices, sistemas lineales y, como veremos en temas... dem´s o a ´ Demostracion: Directa Si en un sistema de vectores, uno de ellos es combinaci´n lineal de los dem´s, ese vector o a “sobra”, desde el punto de vista geom´trico Es decir, si lo quitamos del sistema, el conjunto e ´ ALGEBRA LINEAL ´ JUAN GONZALEZ-MENESES 13 de vectores que se puede definir como combinaci´n lineal de los vectores del sistema sigue o siendo el mismo Podr´ ıamos, por tanto, ir eliminando... sistema, hasta que no pudi´ramos eliminar m´s; es decir, hasta que el sistema fuera linealmente independiente e a En efecto, se tiene: Teorema 1.12 Dado un sistema de r vectores S = {v1 , , vr }, no todos nulos, se verifica: 1 Existe al menos un sistema S0 ⊂ S linealmente independiente; y todos los dem´s a vectores de S dependen linealmente de los de S0 2 Todos los sistemas S0 que satisfacen la condici´n... · · + αr vr , donde α1 , , αr son escalares cualesquiera Es decir, una combinaci´n lineal de r vectores es otro vector, que resulta de cambiar el o tama˜o de cada uno de los vectores iniciales, y sumar los resultados (haciendo comenzar n cada vector en el final del vector precedente) Ejemplo 1.6 Una combinaci´n lineal de un s´lo vector, v, tiene la forma αv, o o donde α es un escalar Por tanto es... dos subsistemas libres, S1 y S2 , con distinto n´mero de vectores Si u S2 tiene m´s vectores que S1 , se demuestra que 0 puede escribirse como una combinaci´n a o lineal no trivial de los elementos de S2 , escribiendo ´stos como combinaci´n lineal de los e o de S1 , y usando que un sistema homog´neo con menos ecuaciones que inc´gnitas tiene e o soluciones no triviales, como veremos en el teorema de Rouch´-Frobenius... est´n en la parte inferior de la matriz a 2 En las filas que no sean de ceros, el primer t´rmino no nulo de una fila e est´ m´s a la izquierda del primer t´rmino no nulo de la fila siguiente a a e ´ ALGEBRA LINEAL ´ JUAN GONZALEZ-MENESES 9 Ejemplo 1.2 La siguiente matriz es escalonada por filas:   2 −1 0 3 4  0 3 −2 1 0     0 0 0 0 5     0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 Un m´todo para transformar cualquier... dimensiones adecuadas para que se puedan sumar o multiplicar (en cada caso), y si α y β son escalares, se tiene 1 α(βA) = (αβ)A 2 α(AB) = (αA)B = A(αB) 3 (α + β)A = αA + βA 4 α(A + B) = αA + αB ´ ALGEBRA LINEAL ´ JUAN GONZALEZ-MENESES 7 Terminaremos esta secci´n estudiando una ultima operaci´n de matrices, llamada o ´ o trasposici´n o Dada una matriz A ∈ Mm×n , llamamos traspuesta de A a la matriz At ∈ . para demostrar esto. 1.3. Dependencia lineal y rango. El concepto de dependencia lineal de vectores es fundamental para el estudio de matri- ces, sistemas lineales y, como veremos en temas posteriores,. coordenadas nulas, depende linealmen- te de cualquier conjunto de vectores. Basta tomar todos los coeficientes 0 en la combinaci´on lineal.     Ejemplo 1.10 Cualquier vector depende linealmente de un. combi- naci´on lineal de estos vectores es tomando α 1 = α 2 = ··· = α r = 0, diremos que el sistema S es linealmente independiente o libre. La relaci´on entre esta definici´on de dependencia lineal y