[...]...16 Algebra Lineal Problemas resueltos resulta 32 ;10 = k( ;5 + 64 ; 32 + c) 3 10 = k( 32 ; 64 + 32 + c) 5 3 y resolviendo el sistema tenemos 75 15 25 c = 0 k = 128 y P (x) = 128 x5 ; 16 x3 + 75 x 8 Otro metodo: De: tenemos: P (x)... para x = 2i se tiene 1 = 4mi ) m = ; 1 i , y la descomposicion es 4 1 3 + 5 + ;3 + ; 1 i + 4 i 4 x ; 1 (x ; 1)2 x ; 3 x ; 2i x + 2i © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 18 Algebra Lineal Problemas resueltos 8 Descomponer en fracciones simples sobre C, R y Q la fraccion racional siguiente t6 + t4 ; t2 ; 1 = Q(t): t3 (t2 ; 2t ; 1) Solucion: Puesto que el grado del numerador es mayor que el del denominador,... Taylor en el punto x = 3, hasta el orden 8, obteniendo 8 (3) 0 (3) F (x) = F (3) + F 1! (x ; 3) + : : : + F 8! (x ; 3)8 + G(x)(x ; 3)9 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 20 Algebra Lineal Problemas resueltos siendo G(x) una funcion racional que esta de nida para x = 3 usando este desarrollo tenemos 0 8 1 = F (3) 9 + F (3) 8 + : : : + F (3) + G(x) (x ; 3)9 (x ; 5)9 (x ; 3) (x ; 3) 8!(x ; 3) Por la... y z) (x1 y1 z1) 2 R0 R0 R0 (x y z ) (x1 y1 z1 ) = (x x1 y y1 z z1 ) = (x1 x y1 y z1 z ) = = (x1 y1 z1 ) (x y z ) Elemento neutro © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 24 Algebra Lineal Problemas resueltos 8(x y z) 2 R0 R0 R0 (1 1 1) (x y z ) = (1 x 1 y 1 z ) = (x y z ) Elemento simetrico 8(x y z) 2 R0 R0 R0 9(1=x 1=y 1=z) 2 R0 R0 R0 tal que (x y z ) (1=x 1=y 1=z ) = (x 1=x y 1=y:z 1=z ) = (1 1... 8n 2 N es un espacio vectorial Solucion: Primero, probaremos que la operacion (interna) + dota a E de estructura de grupo abeliano © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 26 Algebra Lineal Problemas resueltos Asociatividad u + (v + w) = (un + (v + w)n) = (un + (vn + wn )) (1) = = ((un + vn ) + wn ) = ((u + v )n + wn ) = (u + v ) + w (1) R tiene estructura de grupo, con la operacion + Conmutatividad... solo si k = 0 , por lo tanto W es subespacio vectorial si y solo si k = 0 4 Sea fe1 e2 e3g una base del R-espacio vectorial R3 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 28 Algebra Lineal Problemas resueltos >Determinan los vectores ae1 + be2 ce2 + de3 ee3 + fe1 , con a b c d e f no nulos, una base de E ? escalares Aplicar el resultado a las familias de vectores a) b) (1 1 0) (0 1 1) (1 0 ;1) (3... ahora que generan ER Si u 2 ER , entonces u 2 EC y por lo tanto j = n+j = 0 u = 1 u1 + : : : + nun con j 2 C j = 1 ::: n © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 30 es decir, Algebra Lineal Problemas resueltos j = aj + bj i j = 1 : : : n con aj bj 2 R luego u = (a1 + b1i)u1 + : : : + (an + bn i)un = = a1 u1 + b1 i)u1 + : : : + an un + bniun = = a1 u1 + : : : + an un + b1 iu1 + : : : + bniun luego,... subespacios de E estos forman suma directa si y solo si F \ G = f0g Si F y G forman suma directa y ademas se veri ca que F +G = E © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 32 Algebra Lineal Problemas resueltos diremos que E es suma directa de estos dos subespacios y lo notaremos por F G Si E es de dimension nita y F y G forman suma directa, para que F + G = E basta comprobar que dim F + dim G = dim... ; 2x + 1 x3 ; 2x2 + x , ya que x + (x2 ; 2x + 1) + (x3 ; 2x2 + x) = 0 ) x3 + ( ; 2 )x2 + ( ; 2 + )x + + = 0 1+ de donde = = = =0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 34 Algebra Lineal Problemas resueltos luego G = 1 x] es un subespacio complementario de F 10 Sean A = fa1 a2 a3g , B = fb1 b2 b3g dos bases del espacio vectorial R3 relacionadas mediante: 8 a = b ; 3b + 4b >1 1 2 3 < > a2 = b2 +... que equivale a que 0 1 1 1 D = ;2 2 1 ;1 1 +2 3+2 3+0 3;1 3 = 4 4 4 4 = = = = 1 2 0 2 0 0 6= 0 1 ;1 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 2 = 9 0> > 0= 0> > 0 3 = 4 =0 36 Algebra Lineal Problemas resueltos D = ;8 6= 0 , luego, en efecto, son base Observamos que, para ver si n vectores de un espacio vectorial de dimension n , forman base basta calcular el determinante de la matriz, formada por los