Thuật giải jacobi cho hệ phương trình tuyến tính

Thuật giải Jacobi là một phương pháp số học được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp này tập trung vào việc tìm nghiệm dự đoán cho từng biến trong hệ phương trình và sau đó cập nhật nghiệm dự đoán này cho đến khi đạt được sự hội tụ.

THUẬT TỐN JACOBI CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Khoa Toán - Tin học / 46 LỜI MỞ ĐẦU Ý TƯỞNG VÍ DỤ THUẬT TỐN CODE MATLAB ƯU ĐIỂM VÀ NHƯỢC ĐIỂM ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ CÔNG THỨC SAI SỐ Khoa Toán - Tin học / 46 LỜI MỞ ĐẦU Cho hệ phương trình tuyến tính:  a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1    a x + a x + + a x = b 21 22 2n n     an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = bn Khoa Toán - Tin học / 46 LỜI MỞ ĐẦU Hệ phương trình cho ma trận:      b1 x1 a11 a12 a1n   a11 a12 a1n  x2      = b.2        xn bn a11 a12 a1n Vấn đề đặt tìm nghiệm x = (x1 , x2 , , xn ) Khoa Toán - Tin học / 46 LỜI MỞ ĐẦU Phương pháp - phương pháp trực tiếp (Cramer, Gauss, ): Đặc điểm phương pháp sau số hữu hạn bước tính Ta nhận nghiệm q trình tính khơng làm tròn số Phương pháp gần - phương pháp xấp xỉ (Jacoibi , Gauss-Seidel, ): Thông thường ta cho ẩn số giá trị ban đầu, từ giá trị tính giá trị nghiệm gần tốt theo quy tắc Q trình lặp lại nhiều lần với số điều kiện định, ta nhận nghiệm gần Khoa Toán - Tin học / 46 LỜI MỞ ĐẦU Lịch sử phương pháp lặp giải hệ pt tuyến tính - Tài liệu tham khảo sớm cách tiếp cận phương pháp lặp để giải hệ phương trình Ax = b dường chứa thư Gauss gửi cho sinh viên Gerling ngày 26 tháng 12 năm 1823, bối cảnh giải toán bình phương tối thiểu thơng qua phương trình thơng thường - Cuộc trao đổi thư việc áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu mà Gauss phát minh vào đầu năm 1800, vào ngành trắc địa Khoa Toán - Tin học / 46 LỜI MỞ ĐẦU Lịch sử phương pháp lặp giải hệ pt tuyến tính - Sau đó, năm 1845 Jacobi phát triển phương pháp lặp đơn giản riêng mình, để giải phương trình thơng thường cho tốn bình phương tối thiểu phát sinh phép tính thiên văn Trong sửa đổi khơng đưa vào hệ - Trong báo đó, ơng giới thiệu cách sửa đổi hệ thống tuyến tính cách sử dụng mà ngày gọi "phép quay Jacobi" để tăng tốc độ hội tụ lặp lại, Jacobi giới thiệu kỹ thuật sử dụng phép quay lựa chọn cách khéo léo, giới thiệu báo xuất năm sau để giải vấn đề giá trị riêng đối xứng Khoa Toán - Tin học / 46 LỜI MỞ ĐẦU Lịch sử phương pháp lặp giải hệ pt tuyến tính - Năm 1874 Người Đức, Seidel, giới thiệu phương pháp lặp riêng Ơng mơ tả phương pháp cải tiến so với phương pháp Jacobi Seidel lưu ý ẩn số không cần phải xử lý theo chu kỳ (trên thực tế, ông khun khơng nên làm vậy!); thay vì, người ta chọn cập nhật bước mà khơng biết với lượng dư lớn - Trong tài liệu sau đó, phương pháp thường gọi phương pháp Seidel Bây gọi phương pháp Gauss-Seidel - Một điểm thu hút phiên tuần hồn phép lặp Gauss-Seidel dễ dàng lập trình “cơ giới hóa” Khoa Tốn - Tin học / 46 LỜI MỞ ĐẦU Lịch sử phương pháp lặp giải hệ pt tuyến tính - Vào đầu kỷ 20, ghi nhận đóng góp quan trọng sau: Phương pháp Richardson (1910); phương pháp Liebmann (1918) Những báo đánh dấu việc sử dụng phương pháp lặp giải pháp xấp xỉ hiệu số hữu hạn cho elliptic PDEs - Phương pháp Richardson ngày biết đến nhiều coi bước tăng tốc phương pháp Jacobi nhờ yếu tố đơn giản mức Phương pháp Liebmann đề xuất lại hướng đến việc giải phương trình Poisson rời rạc Phương pháp khơng khác phương pháp Gauss-Seidel, lý này, phép lặp Gauss-Seidel áp dụng cho phương trình vi phân phần thường gọi phương pháp Liebmann Khoa Toán - Tin học / 46 Ý TƯỞNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LẶP JACOBI Đối với phương pháp lặp, mục tiêu biến hệ phương trình Ax = b dạng x = Tx + c với ma trận T vector c cố định Lúc ta chọn trước x(0) giá trị ban đầu cho vòng lặp ta tính dãy nghiệm xấp xỉ: x(k) = Tx(k−1) + c Khoa Toán - Tin học 10 / 46 detD = = a11