Lý thuyết các dạng toán và bài tập thống kê

Chương THỐNG KÊ §1 BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT I Tóm tắt lí thuyết Bảng phân bố tần số tần suất Giả sử dãy n số liệu thống kê cho có k giá trị khác (k ≤ n) Gọi xi giá trị k giá trị đó, ta có: • Số lần xuất giá trị xi dãy số liệu cho gọi tần số giá trị đó, kí hiệu ni • Số fi = ni gọi tần suất giá trị xi n Bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp Giả sử dãy n số liệu thống kê cho phân vào k lớp (k < n) Xét lớp thứ i (i = 1, 2, , k) k lớp đó, ta có: • Số ni số liệu thống kê thuộc lớp thứ i gọi tần số lớp • Số fi = ! ni gọi tần suất lớp thứ i n Trong bảng phân bố tần suất, tần suất tính dạng tỉ số phần trăm 343 344 II CHƯƠNG THỐNG KÊ Các dạng toán Dạng Bảng phân bố tần số tần suất Bảng phân bố tần số gồm hai dòng (hoặc hai cột) Dòng (cột) đầu ghi giá trị khác mẫu số liệu Dòng (cột) thứ hai ghi tần số (số lần xuất giá trị số liệu thống kê) tương ứng Nếu bổ sung dòng (cột) thứ ba ghi tần suất (tỉ số % tần số tổng số liệu thống kê) ta bảng phân bố tần số tần suất Để lập bảng phân bố tần số tần suất từ bảng số liệu thống kê ban đầu, ta thực bước sau: • Sắp thứ tự giá trị số liệu thống kê; • Tính tần số ni giá trị xi cách đếm số lần xi xuất hiện; • Tính tần suất fi xi theo cơng thức fi = ni ; n • Đặt số liệu xi , ni , fi vào bảng ta thu bảng phân bố tần số tần suất Ví dụ Cho số liệu thống kê ghi bảng sau Thời gian hoàn thành sản phẩm nhóm cơng nhân (đơn vị: phút) 42 45 45 54 48 42 45 45 54 48 42 45 45 50 48 42 45 45 50 48 44 45 45 50 48 44 45 45 50 48 44 45 45 48 50 44 45 45 48 50 44 45 45 48 50 45 45 54 48 50 a) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất bảng b) Trong 50 công nhân khảo sát, cơng nhân có thời gian hồn thành sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm phần trăm Lời giải a) Bảng phân bố tần số tần suất Thời gian hoàn thành sản phẩm nhóm cơng nhân Thời gian (phút) Tần số Tần suất (%) 42 44 10 45 20 40 48 10 20 50 16 54 Cộng 50 100% b) Từ bảng phân bố tần số tần suất trên, suy 50 công nhân khảo sát, cơng nhân có thời gian hoàn thành sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm 76% BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT 345 Ví dụ Khi điều tra suất giống lúa mới, điều tra viên ghi lại suất (tạ / ha) giống lúa 40 ruộng có diện tích bảng sau: 30 40 38 40 34 32 30 40 38 40 32 40 30 38 34 34 40 40 34 30 38 34 32 34 38 36 38 30 32 38 38 36 30 32 32 36 36 30 36 32 a) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất bảng b) Trong 40 ruộng khảo sát, cho biết ruộng có suất cao chiếm phần trăm Lời giải a) Bảng phân bố tần số tần suất Năng suất giống lúa 40 ruộng Năng suất (tạ / ha) Tần số Tần suất (%) 30 17, 32 17, 34 15, 36 12, 38 20, 40 17, Cộng 40 100% b) Từ bảng phân bố tần số tần suất trên, suy 40 ruộng khảo sát, ruộng có suất cao chiếm 17, 5% BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Điều tra tuổi nghề 30 công nhân chọn từ 150 công nhân nhà máy A Người ta thu bảng số liệu ban đầu sau: 4 14 7 10 4 Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất bảng Lời giải Bảng phân bố tần số tần suất Tuổi nghề 30 công nhân nhà máy A Tuổi nghề (năm) Tần số Tần suất (%) 1 3, 3 10 6, 20 5 16, 3, 16, 10 6, 10 3, Bài Cho bảng số liệu thống kê suất lúa hè thu (tạ / ha) 30 tỉnh sau: 25 30 35 30 30 35 25 40 40 30 25 40 35 45 30 35 45 35 40 35 35 a) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất bảng b) Nhận xét xu hướng tập trung số liệu thống kê Lời giải 40 25 35 45 35 40 25 40 30 14 3, Cộng 30 100% 346 CHƯƠNG THỐNG KÊ a) Bảng phân bố tần số tần suất Năng suất lúa hè thu 30 tỉnh Năng suất (tạ / ha) 25 30 35 40 45 Cộng Tần số 30 Tần suất (%) 16, 20 30 23, 10 100% b) Từ bảng phân bố tần số tần suất trên, ta thấy suất 35 tạ / có tần suất cao 30% nên ta nói số liệu thống kê có xu hướng tập trung vào 35 tạ / Bài Thống kê số gia đình 60 gia đình quận cho bảng sau: 2 6 5 3 4 5 2 2 3 3 4 2 a) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất bảng b) Nhận xét xu hướng tập trung số liệu thống kê Lời giải a) Bảng phân bố tần số tần suất Số 60 gia đình quận Số Cộng Tần số 17 13 10 3 60 Tần suất (%) 1, 10 28, 21, 16, 11, 5 100% b) Từ bảng phân bố tần số tần suất trên, ta thấy số có tần suất cao nên ta nói số liệu thống kê có xu hướng tập trung vào Dạng Lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp • Tần số giá trị xi (hay lớp đó) số lần xuất ni xi • Tần suất giá trị xi (hay lớp đó) tỉ số xi Σxi BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT 347 Ví dụ Nhiệt độ trung bình (đơn vị: ◦ C) tháng 10 địa phương D từ năm 1971 đến 2000 cho bảng sau 27,1 26,9 28,5 27,4 29,1 27,0 27,1 27,4 28,0 28,6 28,1 27,4 27,4 26,5 27,8 28,2 27,6 28,7 27,3 26,8 26,8 26,7 29,0 28,4 28,3 27,4 27,0 27,0 28,3 25,9 Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp bảng số liệu cho? Lời giải Bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp tính bảng sau: Lớp [25; 27) [27; 29) [29; 31] Cộng Tần số 22 n = 30 Tần suất (%) 20 73.33 6.67 100 Ví dụ Kết điểm thi mơn Toán lớp 10A1 10A2 cho bảng số liệu sau Lớp 10A1 Điểm thi 10 Cộng Tần số 26 4 45 Lớp 10A2 Điểm thi 10 Cộng Tần số 15 47 Hãy lập bảng phân bố tần suất kết điểm thi mơn Tốn hai lớp 10A1 10A2 Tìm lớp có điểm chiếm tỉ lệ 50% Lời giải Tần suất kết điểm thi mơn Tốn hai lớp 10A1 10A2 tính theo bảng đây: Lớp 10A1 Điểm thi 10 Cộng Tần số 26 4 45 Tần suất (%) 11,11 8,89 4,44 57,78 8,89 8,89 100 Lớp 10A2 Điểm thi 10 Cộng Tần số 15 47 Tần suất (%) 14,89 10,64 12,77 31,91 8,51 2,12 100 Dựa vào bảng phân bố tần suất lập trên, ta thấy lớp có điểm chiến tỉ lệ 50% BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong kì thi học sinh giỏi tốn (thang điểm 20), kết cho bảng sau: Điểm Tần số 10 11 12 13 14 13 15 19 16 24 17 14 18 10 19 Lập bảng phân bố tần suất dựa vào số liệu bảng Hỏi có phần trăm thí sinh chọn vào vịng biết điều kiện để vào vòng phải 16 điểm? Lời giải Điểm Tần số Tần suất (%) 1 10 1 11 3 12 5 13 8 14 13 13 15 19 19 16 24 24 17 14 14 18 10 10 19 2 348 CHƯƠNG THỐNG KÊ Điều kiện để vào vịng phải 16 điểm, nên thí sinh có số điểm 17, 18, 19 vào vịng Vậy số phần trăm thí sinh vào vòng 14 + 10 + = 26% Bài Trong sổ theo dõi bán hàng cửa hàng bán xe máy có bảng sau: Số xe bán ngày Tần số 13 15 12 Biết xe bán cửa hàng có lãi triệu đồng, ngày cửa hàng triệu đồng chi phí thuê nhân viên sở vật chất Hỏi khoảng thời gian cửa hàng lãi (hay lỗ) bao nhiêu? Lời giải Số tiền lãi thu nhờ bán xe khoảng thời gian là: · (0 · + · 13 + · 15 + · 12 + · + · 3) = 610 Chi phí thuê nhân viên sở vật chất thời gian là: · (2 + 13 + 15 + 12 + + 3) = 104 Vậy khoảng thời gian cửa hàng có lãi 610 − 104 = 506 triệu đồng Bài Điều tra số tiền mua sách (đơn vị: nghìn đồng) năm 50 sinh viên, người ta thu bảng số liệu thống kê sau 203 425 608 498 98 37 141 27 72 302 703 968 350 552 101 43 87 68 57 612 55 215 149 75 333 303 358 327 503 451 252 521 127 712 901 758 863 125 440 875 321 284 489 185 789 123 279 234 404 202 Từ bảng số liệu thống kê trên, người ta lập bảng phân bố tần số ghép lớp sau Lớp [0; 99] [100; 199] [200; 299] [300; 399] [400; 499] [500; 599] [600; 699] [700; 799] [800; 899] [900; 999] Cộng Tần số 10 7 2 n = 50 Xét tốp 20% sinh viên dùng nhiều tiền để mua sách Người mua nhóm mua hết tiền? Lời giải Xét tốp 20% số sinh viên mua nhiều tiền Nhóm có 50.20% = 10 sinh viên Có 10 sinh viên tiêu từ 600 nghìn đồng trở lên Do tốn hỏi người mua nên ta xét nhóm [600; 699] Nhóm có hai người mua hết 608 nghìn đồng 612 nghìn đồng Do đó, người mua 618 nghìn đồng Bài Một học sinh ghi lại bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp mẫu số liệu sau Lớp Tần số Tần suất (%) [1; 9] 12,5 [10; 19] 0,0 [20; 29] 50,0 [30; 39] 25,0 [40; 49] 12,5 n= 100 BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT 349 Tuy nhiên, em qn ghi kích thước mẫu n Biết n số có chữ số chữ số tận Tìm giá trị nhỏ n n Lời giải Hai lớp [1; 9] [40; 49] có tần số n.12, 5% = n Lớp [20; 29] có tần số n.50% = n Lớp [30; 39] có tần số n.25% = Vì tần số số nguyên dương nên n phải chia hết cho 8; 4; Mà n số có chữ số, chữ số tận nhỏ nên n = 128 Bài Một cảnh sát giao thông ghi tốc độ (đơn vị: km/h) 30 xe qua trạm sau 53 63 47 42 59 55 66 63 36 48 69 75 83 60 77 58 42 80 57 44 51 59 60 60 78 75 63 49 46 63 Hãy lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp gồm lớp với độ dài đoạn lớp Lời giải Lớp [36; 43] [44; 51] [52; 59] [60; 67] [68; 75] [76; 83] Cộng Tần số 10 7 n = 30 Tần suất (%) 10 20 20 26,7 10 13,3 100 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Điều tra thời gian hoàn thành sản phẩm 20 công nhân, người ta thu mẫu số liệu sau (thời gian tính phút) 10 23 12 21 13 15 15 17 11 16 13 15 16 20 18 13 19 16 21 11 Kích thước mẫu bao nhiêu? Lời giải Kích thước mẫu 20 Bài Điểm kiểm tra học kì mơn Tốn học sinh lớp 10A cho bảng Điểm Tần số 5 8 10 10 Hỏi lớp 10A có học sinh? Lời giải Lớp 10A có 41 học sinh Bài Dưới bảng phân bố tần số - tần suất đại lượng X Trong bảng hai số chưa biết x y Tìm x y Dấu hiệu Tần số Tần suất (%) Lời giải Ta có x = 3.50 15.4 = 10; y = = 20 15 10 10 12 15 15 x 50 16 y 350 CHƯƠNG THỐNG KÊ Bài Cho bảng phân bố tần số ghép lớp mẫu số liệu mà số liệu xếp từ nhỏ đến lớn bên Hãy tính tần suất (%) lớp chứa số liệu thứ mẫu số liệu Lớp [0; 3] [4; 7] [7; 10] [8; 11] Tần số = 20% 10 Bài Cho bảng số liệu khối lượng 30 củ khoai tây thu hoạch từ ruộng Lời giải Số liệu thứ thuộc lớp [7; 10] Do đó, tần suất cần tìm Lớp khối lượng (gam) [70; 80) [80; 90) [90; 100) [100; 110) [110; 120] Cộng Tần số 12 30 Tần suất lớp [100; 110) bao nhiêu? · 100% = 20% 30 Bài Kết khảo sát 43 tỉnh (đơn vị: %) ghi lại số phần trăm trẻ em sinh có trọng lượng 2500 gam cho bảng phân bố tần số ghép lớp bên Lời giải Tần suất ghép lớp [100; 110) Lớp Tần số [4, 5; 5, 4] [5, 5; 6, 4] [6, 5; 7, 4] 17 [7, 5; 8, 4] [8, 5; 9, 4] Cộng n = 43 Tính tỷ lệ phần trăm số tỉnh có số phần trăm trẻ em sinh có trọng lượng 2500 gam khơng vượt q 7, 4% (làm trịn chữ số thập phân) Lời giải Tỷ lệ phần trăm số tỉnh có số phần trăm trẻ em sinh có trọng lượng 2500 gam + + 17 ≈ 74, 41% không vượt 7, 4% 35 Bài Người ta thống kê số phần trăm trẻ em sinh có trọng lượng 2, kg Lớp Tần suất (%) 43 tỉnh thành bảng phân bố tần suất ghép lớp sau Có tỉnh có [4, 5; 5, 5) tỉ lệ phần trăm trẻ có trọng lượng 2, kg 7, 5% ? [5, 5; 6, 5) [6, 5; 7, 5) 17 [7, 5; 8, 5) [8, 5; 9, 5) Lời giải Chưa đủ giả thiết đề kết luận Bài Một học sinh ghi lại bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp mẫu số liệu sau Lớp Tần số Tần suất (%) [1; 9] 12,5 [10; 19] 0,0 [20; 29] 50,0 [30; 39] 25,0 Tuy nhiên, em quên ghi kích thước mẫu n Tìm giá trị nhỏ n n Lời giải Lớp [1; 9] có tần số n.12, 5% = n Lớp [20; 29] có tần số n.50% = n Lớp [30; 39] có tần số n.25% = [40; 49] 12,5 n= 100 BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT 351 n Lớp [40; 49] có tần số n.12, 5% = Vì tần số số nguyên dương nên n phải chia hết cho 8; 4; Do đó, số n nhỏ thỏa có giá trị 352 CHƯƠNG THỐNG KÊ §2 I Tóm tắt lí thuyết Biểu đồ tần suất hình cột BIỂU ĐỒ Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp Lớp x Tần suất (%) [x0 ; x1 ) f1 [x1 ; x2 ) f2 [x2 ; x3 ) f3 [x3 ; x4 ] f4 Cộng 100 % Ta mơ tả bảng phân bố tần suất ghép lớp qua biểu đồ tần suất hình cột hình vẽ sau Tần suất f2 f3 f4 f1 O ! x0 x1 x2 x3 x4 x Tương tự, ta vẽ biểu đồ hình cột mơ tả cho bảng phân bố tần suất, tần số tần số ghép lớp Đường gấp khúc tần suất Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp Lớp x Tần suất (%) [x0 ; x1 ) f1 [x1 ; x2 ) f2 [x2 ; x3 ) f3 Ta mơ tả bảng tần suất ghép lớp đường gấp khúc qua bước sau: - Trên mặt phẳng tọa độ ta xác định điểm (ci ; fi ), i = 1, 2, 3, 4, ci trung bình cộng hai đầu nút lớp i (ta gọi ci giá trị đại diện lớp i) - Nối điểm (ci ; fi ) với (ci+1 ; fi+1 ), i = 1, 2, 3, 4, ta thu đường gấp khúc, gọi đường gấp khúc tần suất [x3 ; x4 ) f4 [x4 ; x5 ] f5 Cộng 100 % Tần suất f3 f4 f2 f5 f1 O c1 c2 c3 c4 c5 x Ta mơ tả bảng tần suất, tần số tần số ghép lớp cách vẽ biểu đồ hình cột đường gấp khúc Ở ta cần thay cột tần suất cột tần số ! Biểu đồ hình quạt Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp Lớp x Tần suất (%) [x0 ; x1 ) f1 [x1 ; x2 ) f2 [x2 ; x3 ) f3 [x3 ; x4 ] f4 Cộng 100 % Ta mơ tả bảng phân bố tần suất ghép lớp thơng qua biểu đồ hình quạt sau PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN 379 Ví dụ Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau Chiều cao 35 bạch đàn Lớp chiều cao (m) Tần suất (%) [6, 5; 7, 0) 5,7 [7, 0; 7, 5) 11,4 [7, 5; 8, 0) 25,7 [8, 0; 8, 5) 31,4 [8, 5; 9, 0) 17,2 [9, 0; 9, 5] 8,6 Cộng 100 Tính phương sai độ lệch chuẩn bảng phân bố tần suất ghép lớp cho Lời giải Trước hết ta tính giá trị fi ci , cuối bảng có x, từ tính fi (ci − x)2 , cuối bảng có s2x Lớp chiều cao (m) [6, 5; 7, 0) [7, 0; 7, 5) [7, 5; 8, 0) [8, 0; 8, 5) [8, 5; 9, 0) [9, 0; 9, 5] Cộng Tần suất (%) 5,7 11,4 25,7 31,4 17,2 8,6 100 fi ci 0,38475 0,8265 1,99175 2,5905 1,505 0,7955 8,094 fi (ci − x)2 0,102961 0,081206 0,030412 0,007642 0,074018 0,114925 0,411164 Như ta phương sai s2x = 0, 411164, suy sx ≈ 0, 641221 Ví dụ sau sử dụng hỗ trợ máy tính f x − 570ESPLUS để tính phương sai độ lệch chuẩn Ví dụ Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau Khối lượng nhóm 20 cá mè Lớp khối lượng (kg) [0, 6; 0, 8) [0, 8; 1, 0) [1, 0; 1, 2) Tần số 6 [1, 2, 1, 4] Cộng 20 Tính phương sai độ lệch chuẩn bảng Lời giải Trước hết, ta chọn shift mode O để dùng chế độ thống kê với đối tượng thống kê Sau ta vào mode để vào chế độ thống kê chọn để nhập liệu Nhập giá trị đại diện cột X hình Sau nhập xong, chuyển qua cột FREQ phím nhập tần số tương ứng với giá trị đại diện Nhập xong bấm AC Để tính độ lệch chuẩn, ta bấm shift = , kết sx = 0, 2049390153, ta tính phương sai cách bình phương giá trị trên, bấm tiếp x2 = , ta s2x = 0, 042 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Nhiệt độ trung bình tháng thành phố đo 30 năm cho bảng sau Lớp nhiệt độ (◦ C) [12; 14) [14; 16) [16; 18) [18; 20) [20; 22] Cộng Tần số 12 30 Tần suất (%) 3,33 10,00 40,00 30,00 16,67 100 380 CHƯƠNG THỐNG KÊ Tính phương sai độ lệch chuẩn bảng phân bố cho Lời giải Sử dụng phương án tính ví dụ, ta kết quả: s2x ≈ 3, 93; sx ≈ 1, 98 Bài Tính phương sai độ lệch chuẩn bảng phân bố sau Chiều cao 36 học sinh Lớp số đo chiều cao (cm) Tần số [150; 156) [156; 162) 12 [162; 168) 13 [168; 174] Cộng 36 Lời giải Sử dụng phương án tính ví dụ, ta kết quả: s2x ≈ 30, 97; sx = 5, 57 Bài 10 Tính phương sai độ lệch chuẩn bảng phân bố sau Tiền lãi ngày bán báo khảo sát 30 ngày Lớp tiền lãi (nghìn đồng) Tần số [29, 5; 40, 5) [40, 5; 51, 5) [51, 5; 62, 5) [62, 5; 73, 5) [73, 5; 84, 5) [84, 5; 95, 5] Cộng 30 Lời giải Sử dụng phương án tính ví dụ, ta kết quả: s2x = 271, 71; sx = 16, 48 Bài 11 Trong trường THPT, cho kiểm tra toán lớp 10A 10B lập bảng tần số ghép lớp sau: Điểm thi toán lớp 10A Lớp điểm kiểm tra Tần số [0; 2) [2; 4) [4; 6) 12 [6; 8) 28 [8; 10] Cộng 50 Điểm thi toán lớp 10B Lớp điểm kiểm tra Tần số [0; 2) [2; 4) 10 [4; 6) 18 [6; 8) 14 [8; 10] Cộng 50 Tính phương sai độ lệch chuẩn hai bảng phân bố tần số ghép lớp cho kết luận Lời giải Sử dụng phương án tính ví dụ, ta kết • Lớp 10A: s2x = 3, 23; sx = 1, • Lớp 10B: s2x = 4, 65; sx = 2, 16 Từ cho thấy độ phân tán lớp 10B nhiều độ phân tán lớp 10A so với giá trị trung bình liệu PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN 381 Bài 12 Một nông dân ni cá có ao ni loại cá Ông ta bắt ao 24 cá cân Sau bảng phân bố khối lượng nhóm cá Nhóm cá thứ Lớp khối lượng (g) Tần số [630; 635) [635; 640) [640; 645) [645; 650) [650; 655] 12 Cộng Nhóm cá thứ hai Lớp khối lượng (g) Tần số [630; 635) [635; 640) [640; 645) [645; 650) [650; 655] Cộng Tính phương sai độ lệch chuẩn hai bảng phân bố tần số ghép lớp cho kết luận Lời giải Sử dụng phương án tính ví dụ, ta kết • Nhóm cá thứ nhất: s2x = 33, 16; sx = 5, 76 • Nhóm cá thứ hai: s2x = 17, 66; sx = 4, Từ cho thấy độ phân tán nhóm cá thứ hai độ phân tán nhóm cá thứ so với giá trị trung bình liệu BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 13 Một trang trại trồng hai loại táo A B Chủ trang trại phải lựa chọn loại táo có trọng lượng táo bị phân tán để xuất Sau vụ thu hoạch, ông cân trọng lượng 100 táo Các số liệu tóm tắt bảng tần số sau: Trọng lượng táo loại A Trọng lượng [80; 120) [120; 160) [160; 200) [200; 240) [240; 280) Tổng Tần số 13 15 50 Trọng lượng [80; 120) [120; 160) [160; 200) [200; 240) [240; 280) Tổng Tần số 11 12 11 50 Trọng lượng táo loại B 382 CHƯƠNG THỐNG KÊ Em cho biết chủ trang trại chọn loại táo để xuất khẩu? Lời giải Ta có xA = xB = 180 k Áp dụng công thức s2x = ∑ ni (ci − x)2 ta phương sai bảng số liệu n i=1 sA = 3072 s2B = 2752 Vì s2B < s2A nên trọng lượng táo loại B đồng loại A Do chủ trang trại chọn loại táo B để xuất Bài 14 Trên hai đường A B, trạm kiểm soát ghi lại tốc độ (km/h) 30 ô tô đường sau: Con đường A: 60 88 65 90 70 85 68 72 62 63 75 75 80 76 83 85 82 84 69 70 73 61 75 60 85 65 72 73 67 76 76 80 64 73 58 75 82 71 72 68 70 72 68 73 75 79 63 80 67 63 74 62 70 71 79 70 74 69 60 63 Con đường B: a) Tính số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn tốc độ ôtô đường A, B b) Theo em chạy xe đường an tồn hơn? Lời giải a) Trên đường A Ta có: xA ≈ 73, 63 km/h, s2A ≈ 74, 77, sA ≈ 8, 65 km/h Trên đường B Ta có: xB ≈ 70, km/h, s2B ≈ 38, 21, sB ≈ 6, 18 km/h b) Nhận xét: Trên đường B, tốc độ trung bình độ lệch chuẩn nhỏ đường A Do chạy xe đường B an toàn đường A ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG V 383 §5 I ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG V Đề số 1a Bài (3,5 điểm) Hai lớp 10A 10B trường THPT làm thi mơn Tốn, chung đề thi Kết thi trình bày hai bảng phân bố tần số sau Điểm Lớp 10A 9 12 10 Cộng 45 Điểm Lớp 10B 6 7 8 9 10 Cộng 45 a) Hãy tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn từ bảng phân bố tần số cho (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) b) Xét xem kết thi mơn Tốn lớp đồng hơn? Lời giải a) Lớp 10A: · + · + · · · + 10 · ≈ 6, 87 0,5 điểm 45 (3 − xA ) · + + (10 − xA )2 · ≈ 5, 38 0,5 điểm Phương sai sA = 45 » Độ lệch chuẩn sA = s2A ≈ 2, 32 0,5 điểm Lớp 10B: Số trung bình xB ≈ 6, 87 0,5 điểm Phương sai s2B ≈ 3, 69 0,5 điểm Độ lệch chuẩn sB ≈ 1, 92 0,5 điểm Số trung bình xA = b) Kết thi mơn Tốn lớp 10B đồng sB < sA 0,5 điểm Bài (5,0 điểm) Đo chiều cao 40 học sinh trường THPT X, ta có bảng số liệu sau 150 155 161 168 151 156 162 169 151 156 164 170 151 156 165 170 152 157 166 171 152 159 166 171 153 159 167 172 153 160 167 173 154 160 167 174 155 161 168 175 a) Hãy lập bảng phân bố tần số ghép lớp với lớp [150; 154), [155; 160), [160; 165), [165; 170), [170; 175] Từ đó, tính số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn bảng phân bố tần số ghép lớp lập (tính xác đến chữ số thập phân thứ hai) b) Hãy vẽ biểu đồ tần số hình cột chiều cao 40 học sinh trường X Lời giải a) Bảng phân bố tần số ghép lớp 384 CHƯƠNG THỐNG KÊ Lớp [150; 155) [155; 160) [160; 165) [165; 170) [170; 175] Tần số 9 n = 40 Giá trị đại diện 152, 157, 162, 167, 172, Lập cột tần số 0,5 điểm Lập cột giá trị đại diện 0,5 điểm Tính giá trị trung bình x = 162, 37 0,75 điểm Tính phương sai s2x ≈ 53, 14 0,75 điểm Tính độ lệch chuẩn sx ≈ 7, 29 .0,5 điểm b) Biểu đồ tần số hình cột chiều cao 40 học sinh trường X: Tần số O 150 155 160 170 165 175 Chiều cao Bài (1,5 điểm) Một học sinh ghi lại bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp mẫu số liệu sau Lớp Tần số Tần suất (%) [1; 9] [10; 19] 12,5 [20; 29] 0,0 [30; 39] 50,0 25,0 [40; 49] 12,5 n= 100 Tuy nhiên, em qn ghi kích thước mẫu n Biết n số có chữ số chữ số tận Tìm giá trị nhỏ n n Lời giải Hai lớp [1; 9] [40; 49] có tần số n.12, 5% = 0,25 điểm n Lớp [20; 29] có tần số n.50% = 0,25 điểm n Lớp [30; 39] có tần số n.25% = 0,25 điểm Vì tần số số nguyên dương nên n phải chia hết cho 8; 4; 0,25 điểm Mà n số có chữ số, chữ số tận nhỏ nên n = 32 0,5 điểm II Đề số 1b Bài (3,5 điểm) Hai lớp 10C 10D trường THPT làm thi môn Văn, chung đề thi Kết thi trình bày hai bảng phân bố tần số sau Điểm Lớp 10C 10 12 7 3 Cộng 45 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG V 385 Điểm Lớp 10D 10 9 6 Cộng 45 a) Hãy tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn từ bảng phân bố tần số cho (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) b) Xét xem kết thi mơn Tốn lớp đồng hơn? Lời giải a) Lớp 10C: · + · + · · · + 10 · ≈ 6, 87 0,5 điểm 45 (3 − xC )2 · + + (10 − xC )2 · Phương sai sC2 = ≈ 5, 38 0,5 điểm 45 » Độ lệch chuẩn sC = sC2 ≈ 2, 32 0,5 điểm Lớp 10D: Số trung bình xD ≈ 6, 87 0,5 điểm Phương sai s2D ≈ 3, 69 0,5 điểm Độ lệch chuẩn sD ≈ 1, 92 0,5 điểm Số trung bình xC = b) Kết thi mơn Tốn lớp 10B đồng sD < sC 0,5 điểm Bài (5,0 điểm) Đo chiều cao 40 học sinh trường THPT Y, ta có bảng số liệu sau 150 155 162 169 150 156 163 169 150 156 164 170 151 157 165 171 152 157 166 171 152 158 167 172 153 159 167 173 154 160 167 174 154 160 168 175 155 161 168 175 a) Hãy lập bảng phân bố tần số ghép lớp với lớp [150; 154), [155; 160), [160; 165), [165; 170), [170; 175] Từ đó, tính số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn bảng phân bố tần số ghép lớp lập (tính xác đến chữ số thập phân thứ hai) b) Hãy vẽ biểu đồ tần số hình cột chiều cao 40 học sinh trường Y Lời giải a) Bảng phân bố tần số ghép lớp Lớp [150; 155) [155; 160) [160; 165) [165; 170) [170; 175] Tần số 9 n = 40 Giá trị đại diện 152, 157, 162, 167, 172, Lập cột tần số 0,5 điểm Lập cột giá trị đại diện 0,5 điểm Tính giá trị trung bình x = 162, 37 0,75 điểm Tính phương sai s2x ≈ 53, 14 0,75 điểm Tính độ lệch chuẩn sx ≈ 7, 29 .0,5 điểm 386 CHƯƠNG THỐNG KÊ b) Biểu đồ tần số hình cột chiều cao 40 học sinh trường Y: Tần số O 150 155 160 170 165 175 Chiều cao Bài (1,5 điểm) Một học sinh ghi lại bảng phân bố tần số, tần suất mẫu số liệu sau Giá trị Tần số Tần suất (%) 6, 25 50, 25, 6, 25 12, n= 100 Tuy nhiên, em qn ghi kích thước mẫu n Biết n số có chữ số chữ số tận Tìm giá trị n n Lời giải Giá trị có tần số n.6, 25% = 0,25 điểm 16 n Giá trị có tần số n.50% = 0,25 điểm n Giá trị có tần số n.25% = 0,25 điểm n Giá trị có tần số n.12, 5% = 0,25 điểm Vì tần số số nguyên dương nên n phải chia hết cho 16; 8; 4; 0,25 điểm Mà n số có chữ số, chữ số tận nên n = 64 0,25 điểm III Đề số 2a Bài Điểm kiểm tra mơn Tốn cuối học kỳ nhóm 16 học sinh là: 8, 9, 7, 0, 2, 7, 9, 10, 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, Tìm mốt số trung vị số liệu thống kê cho Lời giải Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 0, 2, 4, 5, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10 Suy ra, • Phần tử có tần số lớn Do mốt MO = 1,0 điểm • Trung vị Me = 7+8 = 7,5 1,0 điểm Bài Tiền thưởng 35 nhân viên công ti thống kê bảng tần số ghép lớp sau (đơn vị: triệu đồng) ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG V Lớp Tần số 387 [20; 24] [25; 29] [30; 34] 15 [35; 39] [40; 44] Cộng n = 35 Tính số trung bình độ lệch chuẩn (kết làm tròn đến hàng phần trăm) Lời giải • Số trung bình x = · 22 + · 27 + 15 · 32 + · 37 + · 42 = 32,43 1,0 điểm 35 • Phương sai Å ã · 222 + · 272 + 15 · 322 + · 372 + · 422 · 22 + · 27 + 15 · 32 + · 37 + · 42 = − 35 35 √ Do độ lệch chuẩn sx = s2 = 4,98 1,0 điểm s2x Bài Điều tra chiều cao học sinh (đơn vị: cm) trường THPT, người ta thu bảng số liệu thống kê sau: 160 165 164 163 161 166 166 170 165 162 171 167 164 164 161 167 172 168 165 162 164 169 167 174 163 173 165 167 169 168 171 164 163 168 166 161 a) Lập bảng phân bố tần số ghép lớp, sử dụng lớp sau: [160; 163), [163; 166), [166; 169), [169; 172), [172; 175) b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột Lời giải a) Bảng phân bố tần số ghép lớp: Lớp Tần số [160; 163) [163; 166) 12 [166; 169) 10 [169; 172) [172; 175) Cộng n = 36 1,0 điểm b) Biểu đồ tần số hình cột: Tần số 12 10 O 160 163 166 169 172 175 Chiều cao 2,0 điểm 388 CHƯƠNG THỐNG KÊ Bài Biểu đồ tần suất hình quạt hình bên mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp liệu điểm thi 20 học sinh kì thi Tiếng Anh (thang điểm 100) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp liệu 30% [60; 70) [70; 80) 30% 15% 25% [80; 90) [90; 100] Lời giải Bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp: Lớp Tần số Tần suất (%) [60; 70) 30 [70; 80) 30 [80; 90) 25 [90; 100] 15 Cộng n = 20 100 (%) 2,0 điểm Bài Điểm kiểm tra môn Toán 35 học sinh lớp 10A thống kê bảng phân bố tần số sau (thang điểm 10): Điểm Tần số 1 2 x y 10 Cộng n = 35 Biết mẫu số liệu có mốt Hãy tìm x y Lời giải Tổng số học sinh 35 nên x + y = 12, suy có hai số x y khơng nhỏ Vì mẫu số liệu có mốt nên x = y = thỏa mãn 1,0 điểm IV Đề số 2b Bài Điểm kiểm tra mơn Tốn cuối học kỳ nhóm 17 học sinh là: 8, 9, 7, 0, 2, 7, 9, 10, 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 8, Tìm mốt số trung vị số liệu thống kê cho Lời giải Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 0, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10 Suy ra, • Phần tử có tần số lớn Do mốt MO = 1,0 điểm • Trung vị Me = 1,0 điểm Bài Tiền thưởng 35 nhân viên công ti thống kê bảng tần số ghép lớp sau (đơn vị: triệu đồng) Lớp Tần số [20; 24] [25; 29] [30; 34] 15 [35; 39] [40; 44] Cộng n = 35 Tính số trung bình độ lệch chuẩn (kết làm tròn đến hàng phần trăm) Lời giải • Số trung bình x = · 22 + · 27 + 15 · 32 + · 37 + · 42 = 32,43 1,0 điểm 35 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG V 389 • Phương sai Å ã · 222 + · 272 + 15 · 322 + · 372 + · 422 · 22 + · 27 + 15 · 32 + · 37 + · 42 = − 35 35 √ Do độ lệch chuẩn sx = s2 = 4,98 1,0 điểm s2x Bài Điều tra cân nặng cá (đơn vị: kg) ao nuôi, người ta thu bảng số liệu thống kê sau: 3,5 6,8 7,1 6,1 9,0 8,5 4,2 6,0 3,8 6,0 6,5 7,3 7,6 6,2 7,5 5,5 5,7 4,0 6,6 3,6 4,5 8,0 6,1 6,3 6,1 5,6 5,9 6,7 6,4 6,0 9,5 3,6 6,3 7,5 5,4 5,9 7,8 6,9 3,9 6,4 7,5 6,4 6,2 7,5 9,2 3,8 7,9 7,7 6,0 4,7 a) Lập bảng phân bố tần số ghép lớp, sử dụng lớp sau: [3,5; 5,0), [5,0; 6,5), [6,5; 8,0), [8,0; 10] b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột Lời giải a) Bảng phân bố tần số ghép lớp: Lớp Tần số [3,5; 5,0) 10 [5,0; 6,5) 20 [6,5; 8,0) 15 [8,0; 10] Cộng n = 50 1,0 điểm b) Biểu đồ tần số hình quạt: 20% [3,5; 5,0) [5,0; 6,5) 40% 10% 30% [6,5; 8,0) [8,0; 10] 2,0 điểm 390 CHƯƠNG THỐNG KÊ Bài Cho biểu đồ đường gấp khúc tần số hình bên mô tả khối lượng 30 củ khoai tây sau thu hoạch (đơn vị: gam) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp liệu đó, sử dụng lớp sau: [70; 80), [80; 90), [90; 100), [100; 110), [110; 120] Tần số 12 10 O 75 85 95 105 115 Khối lượng (gam) Lời giải Bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp: Lớp Tần số Tần suất (%) [70; 80) 6,7 [80; 90) 20,0 [90; 100] 12 40,0 [100; 110) 20,0 [110; 120] 13,3 Cộng n = 30 100 (%) 2,0 điểm Bài Điểm kiểm tra mơn Tốn 40 học sinh lớp 10B thống kê bảng phân bố tần số sau (thang điểm 10): Điểm Tần số 1 2 x 7 y 10 Cộng n = 40 Biết mẫu số liệu có mốt Hãy tìm x y Lời giải Tổng số học sinh 45 nên x + y = 16, suy có hai số x y khơng nhỏ Vì mẫu số liệu có mốt nên x = y = thỏa mãn 1,0 điểm V Đề số 3a Bài (2,0 điểm) Cho bảng phân bố tần số ghép lớp: Lớp giá trị x Tần số ni [8; 10) 15 [10; 12) 30 [12; 14] 55 Cộng 100 Hãy tìm số trung bình giá trị bảng + 10 Lời giải Giá trị đại diện lớp [8; 10): c1 = = 10 + 12 Giá trị đại diện lớp [10; 12): c2 = = 11 12 + 14 Giá trị đại diện lớp [12; 14): c3 = = 13 9.15 + 11.30 + 13.55 59 Số trung bình cộng: x = = 15 + 30 + 55 Bài (2,0 điểm) Độ dài 60 dương xỉ trưởng thành cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau Số TT Lớp độ dài (cm) [10; 20) [20; 30) [30; 40) [40; 50) Cộng Hãy tính phương sai bảng số liệu thống kê Lời giải Lập thêm cột giá trị đại diện lớp: Tần số 18 10 24 60 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG V 391 Số TT Ta có độ dài trung bình x¯ = Lớp độ dài (cm) [10; 20) [20; 30) [30; 40) [40; 50) Cộng Giá trị đại diện 15 25 35 45 Tần số 18 10 24 60 95 Vậy phương sai cần tìm Å ã Å ã Å ã Å ã 95 95 95 95 18 15 − + 25 − + 10 35 − + 24 45 − 1460 3 3 s2x = = 60 Bài (2,0 điểm) Cho bảng phân bố tần số sau Giá trị Tần số x1 x2 x3 n+6 x4 20 − n x5 Trong n số tự nhiên giá trị x4 mốt bảng số liệu thống kê cho Hãy tìm số n? Lời ® giải Từ giả thiết®x4 mốt bảng số liệu thống kê ta có 20 − n > n < 11 ⇔ ⇔ n < 20 − n > n + n4 n > 16 n < −4 ⇔ ñ ⇔  n>5 n 6n −    n>5 Vì n số tự nhiên nên giá trị n thỏa mãn là: n > Bài (2,0 điểm) Cho biểu đồ tần suất hình cột số đồng hồ bán cửa hàng tỉnh X 30 ngày hình vẽ Tần suất m n 20 10 O 19 21 23 25 27 Số đồng hồ Tìm giá trị m n biết m2 − 15m − 250 = Lời giải Ta có: m2 − 15m − 250 = ⇔ m = 25 Dựa vào biểu đồ ta có: 10 + 20 + m + n = 100 ⇒ m + n = 70 ⇒ n = 45 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG V 393 Bài (2,0 điểm) Sau kì thi học sinh giỏi Tốn, người ta thống kê kết (thang điểm 20) thu bảng tần số sau Lớp điểm Tần số [6; 10] 22 [11; 15] 12 [16; 20] Cộng 40 Nếu học sinh cần đạt điểm trung bình bảng điểm nhận Giấy Khen ban tổ chức, số học sinh nhận Giấy Khen bao nhiêu? Lời giải Ta lập lại bảng với thêm dòng giá trị đại diện: Lớp điểm Giá trị đại diện Tần số [6; 10] 22 [11; 15] 13 12 22.8 + 12.13 + 6.18 = 11 40 Số học sinh nhận thưởng là: 12 + = 18 (học sinh) Điểm trung bình là: x¯ = [16; 20] 18 Cộng 40