Lý thuyết và các dạng bài tập trong toạ độ phẳng

Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG I Tóm tắt lí thuyết Véc-tơ phương đường thẳng → − − − − Định nghĩa Véc-tơ → u gọi véc-tơ phương đường thẳng ∆ → u 6= giá → u song song trùng với ∆ Phương trình tham số đường thẳng → − Định nghĩa Cho ß đường thẳng ∆ qua M0 (x0 ; y0 ) có véc-tơ phương u = (u1 ; u2 ) Phương trình x = x0 + tu1 tham số ∆ : (1) (t tham số) y = y0 + tu2 ß tu1 ! Nhận xét: M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃t ∈ R : yx == yx00 ++ tu Phương trình tắc đường thẳng − Định nghĩa Cho đường thẳng ∆ qua M0 (x0 ; y0 ) có véc-tơ phương → u = (u1 ; u2 ), u1 u2 6= Phương trình tắc đường thẳng ∆ x − x0 y − y0 = a b Véc-tơ pháp tuyến đường thẳng → − − − − Định nghĩa Véc-tơ → n gọi véc-tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ → n 6= giá → n vng góc với ∆ Phương trình tổng quát đường thẳng Định nghĩa Phương trình Ax + By + C = (với A2 + B2 6= 0) gọi phương trình tổng quát đường thẳng ! Nhận xét: − • Nếu đường thẳng ∆ có phương tình Ax + By = C đường thẳng ∆ có véc-tơ pháp tuyến → n = (A; B), → − → − véc-tơ phương u = (B; −A) u = (−B; A) 171 172 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ − • Nếu đường thẳng ∆ qua M (x0 ; y0 ) có véc-tơ pháp tuyến → n = (A; B) phương trình đường thẳng ∆ : A (x − x0 ) + B (y − y0 ) = • Đường thẳng ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (với a.b 6= 0) phương trình đường thẳng ∆ có dạng: x y + = Đây gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn a b • Đường thẳng ∆ qua điểm M (x0 ; y0 ) có hệ số góc k phương trình đường thẳng ∆ là: y − y0 = k (x − x0 ) Đây phương trình đường thẳng theo hệ số góc u2 − • Nếu đường thẳng ∆ có véc-tơ phương → u = (u1 ; u2 ) có hệ số góc k = Ngược lại, u1 a → − đường thẳng ∆ có hệ số góc k = véc-tơ phương u = (1; k) b II Các dạng tốn Dạng Viết phương trình tham số đường thẳng Để lập phương trình tham số đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm M (x0 ; y0 ) ∈ ∆ − véc-tơ phương → u = (u1 ; u2 ) ß x = x0 + tu1 Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆ : y = y0 + tu2 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số đường thẳng ∆ biết ∆ qua M(1; 2) có − vec-tơ phương → u = (−1; 3) ß Lời giải Phương trình tham số đường thẳng ∆: x = 1−t y = + 3t Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua A (1; 2) , B (3; 1) Viết phương trình tham số đường thẳng d − → Lời giải Đường thẳng d qua A (1; 2) nhận ß AB = (2; −1) làm véc-tơ phương x = + 2t Vậy phương trình tham số đường thẳng d: y = 2−t Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua M(−2; 3) song song với đường thẳng EF Biết E(0; −1), F(−3; 0).Viết phương trình đường thẳng d −→ Lời giải EF = (−3; 1) ß Phương trình tham số đường thẳng d: x = −2 − 3t y = 3+t BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3; −4), B(0, 6) Viết phương trình tham số đường thẳng AB − → Lời giải Ta có: AB = (−3; 10) − → Đường thẳng (AB) qua A(3; −4) nhận ß AB = (−3; 10) làm véc-tơ phương x = − 3t Vậy phương trình đường thẳng (AB): y = −4 + 10t PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 173 Bài Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A(1; −4) có − véc-tơ phương → u = (5; 1) ß x = − 4t Lời giải Phương trình đường thẳng (d): y = 5+t Bài Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M(1; −1) có − véc-tơ phương → u = (0; 1) ß x=1 Lời giải Phương trình đường thẳng (d): y = −1 + t Bài Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình ß tham số đường thẳng d qua điểm A(0; −4) song song x = 2017 + 2t với đường thẳng ∆ có phương trình tham số y = 2018 − t − Lời giải Đường thẳng ∆ : có véc-tơ phương → u = (2; −1) − Vì đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên d nhận → u = (2; −1) làm ß véc-tơ phương x = 2m Lại có d qua điểm A(0; −4) nên phương trình tham số đường thẳng d : y = −4 − m Dạng Viết phương trình tổng quát đường thẳng Để lập phương trình tổng quát đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm M (x0 ; y0 ) ∈ ∆ − véc-tơ pháp tuyến → n = (A; B) Vậy phương trình đường thẳng ∆ : A (x − x0 ) + B (y − y0 ) = Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆: Ax + By = C với C = − (Ax0 + By0 ) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ qua điểm M(−1; 5) − có véc-tơ pháp tuyến → n = (−2; 3) Lời giải Phương trình đường thẳng ∆ : −2(x + 1) + 3(y − 5) = ⇔ −2x + 3y − 17 = Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆ : −2x + 3y − 17 = Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ qua điểm N(2; 3) vng góc với đường thẳng AB với A(1; 3), B(2; 1) − → Lời giải Ta có: AB = (1; −2) − → Đường thẳng ∆ qua N(2; 3) nhận AB = (1; −2) làm véc-tơ pháp tuyến Phương trình đường thẳng ∆: (x − 2) − 2(y − 3) = ⇔ x − 2y + = Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆ : x − 2y + = Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua A(−1; 2) vng góc với đường thẳng M: 2x − y + = Lời giải Cách 1: Phương trình đường thẳng d có dạng: x + 2y +C = Vì d qua A(−1; 2) nên ta có phương trình: −1 + 2.2 + C = ⇔ C = −3 Vậy phương trình tổng quát đường thẳng đường thẳng d: x + 2y − = Cách 2: − Đường thẳng M có véc-tơ phương → u = (1; 2) → − Vì d vng góc với M nên d nhận u = (1; 2) làm véc-tơ pháp tuyến Phương trình đường thẳng d: (x + 1) + 2(y − 2) = ⇔ x + 2y − = 174 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ® Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x = −2t ∆0 : y = 1+t trình tham ® số đường thẳng®d đối xứng với ∆ qua ∆.® x=l x = 22 − 7l x = −6 + 3l A d : B C y = 22 − 7l y=l y=4 ® x = −2 − t Viết phương y = t0 ® D x = −6 + 7l y = 4+l Lời giải Chọn đáp án B Gọi M = ∆ ∩ ∆0 ⇒ M(−6; 4) Có A(−2; 0) ∈ ∆0 khác M ã −6 ; Tìm tọa độ hình chiếu A lên ∆ H 5 ã Å 16 Tọa độ điểm đối xứng A qua ∆ A0 − ; 5 ® x = 22 − 7l Vậy đường thẳng cần tìm y=l Å BÀI TẬP TỰ LUYỆN ® Bài Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số: x = + 2t y = −3 − t a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ b) Viết phương trình tổng quát đường thẳng l qua điểm N (4; 2) vuông góc với ∆ − − Lời giải a) Đường thẳng ∆ có vecto phương → u = (2; −1) nên có véc-tơ pháp tuyến → n = (1; 2) Chọn tham số t = ta có điểm A (1; −3) nằm ∆ Phương trình tổng quát đường thẳng ∆ là: (x − 1) + [y − (−3)] = ⇔ x + 2y − = − b) Đường thẳng l vng góc với ∆ nên có vecto pháp tuyến → nl = (2; −1) Phương trình tổng quát đường thẳng l là: (x − 4) − (y − 2) = ⇔ 2x − y − = Bài Trong mặt phảng Oxy, cho đường thẳng d có hệ số góc −3 A (1; 2) nằm d Lập phương trình tổng quát đường thẳng d Lời giải Đường thẳng dcó hệ số góc −3 nên có vec-tơ pháp tuyến (3; 1) Đường thẳng d qua điểm A (1; 2) có vec-tơ pháp tuyến (3; 1) nên có phương trình tổng qt là: (x − 1) + (y − 2) = ⇔ 3x + y − = Bài Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua A (2; −5) tạo với trục Ox góc 60◦ √ Lời giải Hệ số góc đường thẳng d k = tan 60◦ = 33 √ √ √ Phương trình đường thẳng d là: y = (x − 2) − ⇔ 3x − 3y − 15 − = Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : y = 2x + 1, viết phương trình đường thẳng d qua điểm B điểm đối xứng điểm A (0; −5) qua đường thẳng d song song với đường thẳng y = −3x + Lời giải Đường thẳng AB vng góc với đường thẳng d nên ta có: kAB = −1 ⇔ kAB = − 1 Phương trình đường thẳng AB là: y = − (x − 0) − ⇔ y = − x − 2 Vì A B đối xứng qua đường thẳng d nên trung điểm N chúng giao điểm hai đường thẳng d AB  ã Å y = 2x + 12 19 Suy tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình: ⇒ N − ;− Từ ta tính y = − x − 5 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 175 ã Å 24 13 Đường thẳng d song song với đường thẳng y = −3x + nên kd = −3 A − ; − 5 Å ã 24 13 Phương trình đường thẳng d là: y = −3 x + − ⇔ y = −3x − 17 5 Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − 3y + = điểm A (−1; 3).Viết phương trình đường thẳng d qua A cách điểm B (2; 5) khoảng cách Lời giải Phương trình d có dạng: ax + by = c = Do A ∈ d nên: (−1) a + 3b + c = ⇔ c = a − 3b (1) |2a + 5b + c| Hơn d (B, d ) = ⇔ √ = (2) a2 + b2  b=0 |3a + 2b|  = ⇔ 5b − 12ab = ⇔ Thay (1) vào (2) ta có: √ 12a a2 + b2 b= Với b = thay vào (1) ta có c = a ⇒ d : ax + a = ⇔ d : x + = 12a ta chọn a = 5, b = 12 thay vào (1) ta được: c = − 3.12 = −31 ⇒ d : 5x + 12y − 31 = Với b = Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm M (2; 5) cách A (−1; 2) B (5; 4)
Lời giải Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm ax + by + c = a2 + b2 6= − (1) Do M (2; 5) ∈ d nên ta có: 2a + 5b + c = ⇔ c = −2a − 5b Thay c = −2a − 5b vào (1) ta có phương trình đường thẳng d trở thành: ax + by − 2a − 5b = (2) Vì d cách hai điểm A B nên: |(−1) a + 2b − 2a − 5b| |5a + 4b − 2a − 5b| √ √ = ⇔ |3a + 3b| = |3a − b| ⇔ 9a2 + 18ab + 9b2 = 9a2 − 6ab + + b2 a2 + b2 a ñ b=0 2 b ⇔ 8b + 24ab = ⇔ b = −3a Trường hợp 1: Với b = thay vào (2) ta phương trình đường thẳng d là: ax + 0y − 2a − 5.0 = ⇔ ax − 2a = ⇔ x − = Trường hợp 2: Với b = −3a ta chọn a = 1, b = −3 thay vào (2) ta phương trình đường thẳng d là: 1x − 3y − − (−3) = ⇔ x − 3y + 13 = Dạng Vị trí tương đối góc hai đường thẳng − Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = ∆0 : A0 x + B0 y + C0 = Khi ta có → n = (A, B) → −0 0 n = (A , B ) véc-tơ pháp tuyến ∆ ∆ → − − − a) Để xét vị trí tương đối ∆ ∆0 trước hết ta dựa vào véc-tơ → n n0 Nếu véc-tơ → n → −0 → − A B − n khơng cộng tuyến ∆ ∆0 cắt Nếu véc-tơ → n n0 cộng tuyến, nghĩa = A B ∆ ∆0 hai đường thẳng song song trùng Cụ thể ta có: A B ∆ cắt ∆0 6= , AA0 + BB0 = ∆⊥∆0 A B A B C ∆ ≡ ∆ = = A B C A B C ∆ k ∆ = 6= A B C → − − b) Nếu ∆ cắt ∆0 gọi ϕ góc đường thẳng ∆, ∆0 cos ϕ = | cos(→ n n0 )| Chú ý việc xét vị trí tương đối hai đường thẳng xét qua số điểm chung ∆ ∆0 Việc xét vị trí tương đối tính góc hai đường thẳng cắt thực qua véc-tơ phương ∆ ∆0 176 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ví dụ Cho ba đường thẳng: d1 : 2x + y − = 0, d2 : x + 2y + = 0, d3 : mx − y − = Chứng minh đường thẳng d1 , d2 cắt tìm giá trị tham số m để ba đường thẳng đồng quy ® ® x=1 2x + y − = ⇔ Lời giải Ta có y = −1 x + 2y + = Từ suy d1 , d2 cắt điểm A(1; −1) Ba đường thẳng cho đồng quy d3 qua điểm A, hay A ∈ d3 , suy m.1 − (−1) − = ⇔ m = Ví dụ Cho đường thẳng ∆ : 2x + 3y − = 0, ∆0 : 3x − 2y − = điểm M(2; 3) a) Xét vị trí tương đối đường thẳng ∆ ∆0 b) Biết d đường thẳng qua điểm M tạo với đường thẳng ∆, ∆0 tam giác cân Tính góc đường thẳng ∆ d → − − Lời giải a) Ta có → n = (2, 3) n0 = (3, −2) véc-tơ pháp tuyến ∆ ∆0 → − − Ta thấy → n n0 khơng phương 6= , từ suy ∆ ∆0 đường thẳng cắt −2 → − − b) Ta có → n n0 = 2.3 + 3.(−2) = 0, ∆ ∆0 đường thẳng vng góc với Gọi A = ∆ ∩ ∆0 , B = ∆ ∩ d, C = d ∩ ∆0 Khi tam giác ABC vng A tam giác ABC cân π Bb = Cb = π Từ suy góc đường thẳng ∆ d Ví dụ 10 Cho hai đường thẳng ∆ : (m + 3)x + 3y − 2m + = ∆0 : 2x + 2y + − 3m = Tìm giá trị tham số m để a) Đường thẳng ∆ song song với ∆0 b) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆0 m+3 6= ⇔ m 6= 2 b) Theo câu a), để ∆ song song với ∆0 trước hết ta phải có m = Với m = 0, dễ dàng nhận thấy ∆ ≡ ∆0 Vậy không tồn m để ∆ k ∆0 Chú ý: Ta làm theo cách sau: ∆ song song với ∆0   m + = 6= −2m + 2 − 3m  − 3m 6= Lời giải a) ∆ cắt ∆0 Hệ vơ nghiệm, khơng tồn m để ∆ k ∆0 Ví dụ 11 Tìm giá trị k để góc đường thẳng ∆ : kx − y + = ∆0 : x − y = 60◦ → − − Lời giải Ta có → n = (k; 1) n0 = (1; −1) véc-tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ ∆0 → − |k + 1| − √ = ⇔ 2(k + 1)2 = k2 + Giải phương trình Theo ta có cos 60◦ = | cos(→ n , n0 )| ⇔ √ k +1 2 √ ñ k = −2 + √ ta k = −2 − PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 177 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11 Tìmm cho hai đường thẳng ∆ : x + 5my − = ∆0 : 2x + 3y − = song song với 5m Lời giải ∆ k ∆0 ⇔ = ⇔m= 10 Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 : 2x + y − = 0, d2 : 5x − 2y + = 0, d3 : mx + 3y − = a) Xét vị trí tương đối d1 d2 b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng đồng quy Lời giải a) Nhận thấy 6= , từ suy đường thẳng d1 , d2 cắt −2 b) Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 d2 nghiệm hệ phương trình:  ®   x = 2x + y − = ⇔  5x − 2y + = y = 26 Å ã 26 Vậy d1 d2 cắt điểm M ; 9 26 Vì d1 , d2 , d3 đồng quy nên M ∈ d3 , ta có: m + − = ⇔ m = −12 9 √ Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆1 : x + 2y − = ∆2 : x − y = Tính cơsin góc đường thẳng ∆1 ∆2 → − − Lời giải Ta có → n = (1; 2) n0 = (1; −1) véc-tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ ∆0 Gọi ϕ góc đường thẳng ∆ ∆0 Khi √ → −0 10 → − cos ϕ = | cos( n , n )| = 10 ® Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : 3x+5y+15 = ∆0 : x = 10 − 3t y = + 5t Tính góc ϕ ∆1 ∆2 − Lời giải Ta có → n = (3; 5) véc-tơ pháp tuyến ∆ → −0 → − u = (−3; 5) véc-tơ phương ∆0 , suy ∆0 có véc-tơ pháp tuyến n0 = (5; 3) → − − Do → n n0 = ⇒ ∆⊥∆0 Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : x + 2y − = 0, ∆0 : 3x + my − = Tìm m để góc hai đường thẳng ∆, ∆0 45◦ − Lời giải ∆ : x + 2y − = có véc-tơ pháp tuyến → n = (1; 2), → −0 ∆ : 3x + my − = có véc-tơ pháp tuyến n = (3; m) → −0 200 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Điều tương đương với (2y0 − x0 )m + x02 + y20 + 2x0 − = với m ® ® 2y − x = x = 2y Do (x0 ; y0 ) nghiệm hệ ⇔ x + y2 + 2x − = 5y2 + 4y − = Å ã Giải hệ ta hai nghiệm (−2; −1) ; 5Å ã Vậy (Cm ) hai điểm cố định (−2; −1) ; m thay đổi 5 ã m−2 b) Vì xI < nên I(−2; −1) Đường trịn (Cm ) có tâm J ; −m Å ã m+2 → − Véc-tơ pháp tuyến tiếp tuyến I IJ = ; −m + → − − Để tiếp tuyến I song song với (d) : x + 2y = IJ phương với → n = (1; 2), điều tương đương với Å m + −m + = ⇔ m + = −m + ⇔ m = − 2 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn điểm Cho đường trịn (C) có tâm I(a, b) bán kính R Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm M(x0 , y0 ) a) Nếu IM < R khơng có tiếp tuyến qua M b) Nếu IM = R ta giải theo dạng c) Nếu IM > R ta thực theo bước bên • Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) (C) qua M có dạng m(x − x0 ) + n(y − y0 ) = 0, m2 + n2 6= • Sử dụng điều kiện tiếp xúc tiếp tuyến với đường trịn ta có d(I, ∆) = R Giải phương trình ta tìm quan hệ a, b Ví dụ 16 Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = biết tiếp tuyến qua điểm M(3; −2) √ Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(1; 2) bán kính R = p √ Ta có IM = (3 − 1)2 + (−2 − 2)2 = Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) (C) qua M(3; −2) a(x − 3) + b(y + 2) = (a2 + b2 6= 0) |a(1 − 3) + b(2 + 2)| √ | − 2a + 4b| √ √ Ta có d(I, ∆) = = 8⇔ √ = a2 + b2 a2 + b2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 201 Phương trình tương đương với | − 2a + 4b| = p 8a2 + 8b2 ⇔(2a − 4b)2 = 8a2 + 8b2 ⇔8b2 − 16ab − 4a2 = ⇔2b2 − 4ab − a2 = √  2+ a  b= 2√ ⇔ 2− b= a √ √ 2+ a ta chọn a = ⇒ b = + • Nếu b = Khi phương trình tiếp tuyến (∆) là: √ √ √ 2(x − 3) + (2 + 6)(y + 2) = hay 2x + (2 + 6)y + − = √ √ 2− • Nếu b = a ta chọn a = ⇒ b = − Khi phương trình tiếp tuyến (∆) là: √ √ √ 2(x − 3) + (2 − 6)(y + 2) = hay 2x + (2 − 6)y − − = Ví dụ 17 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn (C1 ) : x2 + y2 − 2x + 2y + = (C2 ) : x2 + y2 + 4x − 2y + = cho (C1 )và (C2 ) nằm nửa mặt phẳng bờ tiếp tuyến (tiếp tuyến gọi tiếp tuyến chung ngồi) Lời giải Đường trịn (C1 ) có tâm I(1; −1) bán kính R1 = Đường trịn (C2 ) có tâm J(−2; 1) bán kính R2 = D J C I S Gọi S giao điểm tiếp tuyến IJ Gọi C, D tiếp điểm tiếp tuyến với đường tròn (C1 ) (C2 ) SI CI Theo định lý Thales ta có = = SJ − → − → − →DJ −−→2 − → Vì ta có SJ = SI Do OS = 2OI − OJ ⇒ S (4; −3) Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) tiếp xúc với (C1 ), (C2 ) qua S a(x − 4) + b(y + 3) = 202 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ a2 + b2 > Ta có p |2b − 3a| d(I, ∆) = √ = ⇒ |2b − 3a| = a2 + b2 a2 + b2 ⇒ 8a2 − 12ab + 3b2 = √  3+ b  a= 4√ ⇒ 3− a= b √ √ 3+ Nếu a = b ta chọn b = ⇒ a = + Khi phương trình tiếp tuyến (∆) √ √ (3 + 3)x + 4y − = √ √ 3− Nếu a = b ta chọn b = ⇒ a = − Khi phương trình tiếp tuyến (∆) √ √ (3 − 3)x + 4y + = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 12 Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) : (x − 3)2 + y2 = biết tiếp tuyến qua điểm M(3; 5) Lời giải Đường √ trịn (C) có tâm I(3; 0) bán kính R = Ta có IM = 02 + 52 = > R = Gọi tiếp tuyến (∆) đường tròn (C) qua M a(x − 3) + b(y − 5) = với a2 + b2 > Ta có | − 5b| =3 d(I, ∆) = R ⇒ √ a2 + b2 p ⇒ |5b| = a2 + b2 ⇒ b = ± a Nếu b = − a ta chọn a = 4, b = −3 Khi phương trình tiếp tuyến (∆) 4x − 3y + = Nếu b = a ta chọn a = 4, b = Khi phương trình tiếp tuyến (∆) 4x + 3y − 27 = Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) : x2 + y2 + 2x − 4y + = biết tiếp tuyến qua điểm M(−2; 5) √ Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(−1; 2) bán kính R = Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) qua điểm M(−2; 5) a(x + 2) + b(y − 5) = với a2 + b2 > Khi ta có p √ |a − 3b| d(I, ∆) = √ = ⇔ |a − 3b| = 2a2 + 2b2 a2 + b2 ⇔ a2 − 6ab + 9b2 = 2a2 + 2b2 ⇔ a2 + 6ab − 7b2 = ï a=b ⇔ a = −7b Nếu a = b ta chọn a = b = Khi phương trình tiếp tuyến ∆ x + y − = Nếu a = −7b ta chọn a = 7; b = −1 Khi phương trình tiếp tuyến ∆ 7x − y + 19 = PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 203 Bài 14 Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x − 2y − = Qua điểm A(1; 2) kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) Gọi tiếp điểm hai tiếp tuyến M, N Tính MN Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(−1; 1) bán kính R = Gọi tiếp tuyến (∆) qua A(1, 2) đường tròn (C) a(x − 1) + b(y − 2) = với a2 + b2 > Ta có | − 2a − b| d(I, ∆) = √ = ⇒ 4a2 + 4ab + b2 = 4a2 + 4b2 2 a +b ï b=0 ⇒ 4a = 3b • Nếu b = ta chọn a = Khi phương trình (∆1 ) x = Tiếp điểm (∆1 ) (C) nghiệm hệ phương trình ® x=1 x2 + y2 + 2x − 2y − = ⇔ x = 1, y = • Nếu 4a = 3b ta chọn a = 3, b = Khi phương trình (∆2 ) 3x + 4y − 11 = Tiếp điểm (∆2 ) (C) nghiệm hệ phương trình ®  Å Vậy MN = 3x + 4y − 11 = x2 + y2 + 2x − 2y − = 1− ã2  11 − 4y  x = ⇔ 130y 169 25y   − + =0 9   x = ⇔ 13  y = ã Å 13 + 1− =√ 5 Bài 15 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 − 2x + 2y + = (C2 ) : x2 + y2 + 4x − 2y + = Lời giải Đường tròn (C1 ) có tâm I(1; −1) bán kính R1 = Đường trịn (C2 ) có tâm J(−2; 1) bán kính R2 = D J S C I Gọi S giao điểm tiếp tuyến IJ C, D tiếp điểm tiếp tuyến với đường tròn (C1 ) (C2 ) SI CI Theo định lý Thales ta có = = SJ DJ Å ã → − → − − → −−→ − → Vì ta có SJ = −2 SI Do OS = 2OI + OJ ⇒ S 0; − Å ã Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) tiếp xúc với (C1 ), (C2 ) qua S ax + b y + = a2 + b2 > 204 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ta có p |a − b| d(I, ∆) = √ = ⇔ |2b − 3a| = 9a2 + 9b2 a2 + b2 ⇔ 5b2 + 12ab = ï b=0 ⇔ 5b = −12a • Nếu b = ta chọn a = Khi phương trình tiếp tuyến (∆) x = • Nếu 5b = −12a ta chọn b = −12; a = Khi phương trình tiếp tuyến (∆) ã Å = ⇔ 5x − 12y − = 5x − 12 y + Bài 16 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 + 6x − = (C2 ) : (x − 2)2 + y2 = Lời giải Đường trịn (C1 ) có tâm I(−3; 0) bán kính R1 = Đường trịn (C2 ) có tâm J(2; 0) bán kính R2 = Ta có IJ = < R1 + R2 nên hai đường trịn cắt Do chúng có hai tiếp tuyến chung C D I J S Gọi S giao điểm tiếp tuyến IJ C, D tiếp điểm tiếp tuyến với đường tròn (C1 ) (C2 ) SI CI Theo định lý Thales ta có = = SJ − → − → − →DJ −−→ − → Vì ta có SI = SI Do OS = 2OJ − OI ⇒ S(7; 0) Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) tiếp xúc với (C1 ), (C2 ) qua S a(x − 7) + by = a2 + b2 > Ta có | − 10a| d(I, ∆) = √ = ⇔ 100a2 = 16a2 + 16b2 2 a +b ⇔ 84a2 = 16b2 √ 21 ⇔b=± a 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 205 √ √ √ 21 • Nếu b = a ta chọn a = 2; b = 21 Khi phương trình tiếp tuyến (∆) 2x + 21y − 14 = √ √ √ 21 a ta chọn a = 2; b = − 21 Khi phương trình tiếp tuyến (∆) 2x− 21y−14 = • Nếu b = − Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước Cho đường trịn (C) có tâm I(a, b) bán kính R Viết phương trình tiếp tuyến (∆) (C) có phương xác định trước • Viết dạng phương trình tổng qt ∆ • Sử dụng điều kiện cho trước d(I, ∆) = R để tìm phương trình tổng quát ∆ Ví dụ 18 Tìm điều kiện tham số a để đường thẳng (∆) : x + (a − 1)y − a = tiếp xúc với đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y + = Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(1; −2) bán kính R = Để đường thẳng (∆) tiếp tuyến đường trịn (C) √ √ 12 + 22 − = |1 − 2(a − 1) − a| √ d(I, ∆) = R ⇔ p = + (a − 1)2 √ |3 − 3a| ⇔√ = a2 − 2a + p ⇔ |3 − 3a| = 3a2 − 6a + ⇔ (3 − 3a)2 = 3a2 − 6a + ⇔ 2a2 − 4a + =  a = 1+ √  ⇔ a = 1− √ 1 Vậy a = + √ a = − √ thỏa mãn đề 2 Ví dụ 19 Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đường trịn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y + = biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x + 2y + = Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(1; −2) bán kính R = Vì ∆ vng góc với đường thẳng x + 2y + = nên phương trình ∆ có dạng 2x − y + m = Vì ∆ tiếp tuyến (C) nên ta có |2 + + m| d(I, ∆) = R ⇔ √ =1 12 + 22 √ ⇔ |4 + m| = ñ √ m= √ 5−4 ⇔ m = − − √ √ Nếu m = √5 − phương trình ∆ 2x − y + √5 − = Nếu m = − phương trình ∆ 2x − y − − = 206 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ví dụ 20 Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đường trịn (C) : x2 + y2 − 2x − 4y + = biết tiếp tuyến hợp với đường thẳng (d) : x + y − = góc 45◦ √ Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(1; 2) bán kính R = 12 + 22 − = − Gọi véc-tơ pháp tuyến ∆ → n1 = (a; b) a2 + b2 6= → − Véc-tơ pháp tuyến d n2 = (1; 1) Vì (∆) tạo với d góc 60◦ nên ta có √ |a + b| → − → − √ = |cos( n1 , n2 )| = cos 45◦ ⇔ √ 2 a +b p ⇔ |a + b| = a2 + b2 ⇔ (a + b)2 = a2 + b2 ⇔ ab = ñ a=0 ⇔ b = • Với a = 0, phương trình ∆ có dạngđ y + m = |2 + m| m = −1 Có d(I, ∆) = R ⇔ =1⇔ m = −3 Khi phương trình tiếp tuyến ∆ y − = y − = • Với b = 0, phương trình ∆ có dạngđ x + m = |1 + m| m=0 Có d(I, ∆) = R ⇔ =1⇔ m = −2 Khi phương trình tiếp tuyến ∆ x = x − = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm ∆ y − = y − = x = x − = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 17 Tìm giá trị tham số m cho đường thẳng (∆) : (m − 1)y + mx − = tiếp tuyến đường tròn (C) : x2 + y2 − 6x + = Lời giải Đường tròn (C) có tâm I(3; 0) bán kính R = Để (∆) tiếp tuyến đường tròn (C) ta phải có đ m=0 |3m − 2| = ⇔ 4(2m2 − 2m + 1) = 9m2 − 12m + ⇔ m2 − 4m = ⇔ d(I, ∆) = p m = (m − 1)2 + m2 Bài 18 Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = đường thẳng d : 3x + 4y − = Viết phương trình tiếp tuyến (C) thỏa mãn: a) Song song với đường thẳng d b) Vng góc với đường thẳng d Lời giải (C) có tâm I(2; 3), bán kính R = a) Phương trình đường thẳng ∆1 song song với d có dạng: 3x + 4y + c1 = ∆1 tiếp xúc với (C) nên d(I, ∆1 ) = R ñ ñ |3.2 + 4.3 + c1 | c1 + 18 = 25 c1 = √ Hay = ⇔ |c1 + 18| = 25 ⇔ ⇔ c1 + 18 = −25 c1 = −43 32 + 42 Vậy phương trình tiếp tuyến (C) song song với d 3x + 4y + = 3x + 4y − 43 = PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 207 b) Phương trình đường thẳng ∆2 song song với d có dạng: 4x − 3y + c2 = ∆2 tiếp xúc với (C) nên d(I, ∆2 ) = R ñ ñ |4.2 − 3.3 + c2 | c2 = 26 c2 − = 25 ⇔ Hay p = ⇔ |c2 − 1| = 25 ⇔ c2 = −24 c2 − = −25 42 + (−3)2 Vậy phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với d 4x − 3y + 26 = 4x − 3y − 24 = Bài 19 Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + y2 = Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x − Lời giải Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) song song với y = 2x − y − 2x + n = Đường trịn (C) có tâm I(1; 0) bán kính R = Ta có đ √ |n − 2| n = − 3√5 d(I, ∆) = √ = ⇔ n = + 5 √ √ Phương trình tiếp tuyến (∆) y − 2x + − = y − 2x + + = Bài 20 Cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 25 Viết phương trình tiếp tuyến (∆) đường tròn (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền cạnh góc vng nằm Ox lớn cạnh góc vng nằm (Oy) Lời giải Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền cạnh góc vng nằm Ox lớn cạnh góc vng nằm (Oy) nên ta suy tiếp tuyến tạo với trục Ox góc 30◦ Đường trịn (C) có tâm O(0; 0) bán kính R = − Gọi véc-tơ pháp tuyến (∆) → n = (a, b)√với a2 + b2 > √ |a| ⇒ a2 = 3b2 ⇒ a = ± 3b = cos 30◦ = Ta có cos(∆, Ox) = √ a2 + b2 √ √ √ • Nếu a = 3b ta chọn a = 3; b = Khi phương trình tiếp tuyến (∆) có dạng 3x + y + m = Ta có ï |m| m = 10 =5⇔ d(O; ∆) = √ m = −10 3+1 √ √ Vậy phương trình tiếp tuyến (∆) trường hợp 3x + y − 10 = 3x + y + 10 = √ √ √ • Nếu a = − 3b ta chọn a = − 3; b = Khi phương trình tiếp tuyến (∆) có dạng − 3x + y + m = Ta có ï |m| m = 10 d(O; ∆) = √ =5⇔ m = −10 3+1 √ √ Vậy phương trình tiếp tuyến (∆) trường hợp − 3x + y − 10 = − 3x + y + 10 = Bài 21 Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 4y = Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn cho tiếp tuyến cắt trục tọa độ tạo thành tam giác cân √ Lời giải Phương trình đường trịn (C) có tâm I(1; 2) bán kính R = Để tiếp tuyến với trục tọa độ tạo thành tam giác cần tiếp tuyến phải có hệ số góc −1 a) Nếu tiếp tuyến có hệ số góc −1 ta giả sử phương trình tiếp tuyến (∆) x + y + m = Ta có đ √ |m + 3| √ m = −3 − √10 d(I, ∆) = √ = 5⇔ m = −3 + 10 √ √ Do phương trình tiếp tuyến x + y − − 10 = x + y − + 10 = 208 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ b) Nếu tiếp tuyến có hệ số góc ta giả sử phương trình tiếp tuyến (∆) x − y + m = Ta có đ √ |m − 1| √ m = − √10 d(I, ∆) = √ = 5⇔ m = + 10 √ √ Do phương trình tiếp tuyến x − y + − 10 = x − y + + 10 = Bài 22 Cho đường tròn (C1 ): x2 + y2 − 6x − 8y − 11 = đường tròn (C2 ): x2 + y2 − 2x − 6y − = Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1 ) (C2 ) Lời giải (C1 ) có tâm I1 (3; 4), bán kính R1 = (C2 ) có tâm I2 (1; 3), bán kính p R2 = √ Có = |R1 − R2 | < I1 I2 = (1 − 3)2 + (3 − 4)2 = < R1 + R2 = 10 Do (C1 ) (C2 ) cắt có tiếp tuyến chung 2 Phương trình tiếp tuyến chung ∆ có dạng ax ® + by + c = 0, (a + b 6= 0) (∗) d(I1 , ∆) = R1 ∆ tiếp xúc với (C1 ) (C2 ) d(I2 , ∆) = R2  |3a + 4b + c|    = (1)  √ a + b2 Hay  |a + 3b + c|   = (2)  √ a2 + b2 ⇔ 2|3a + 4b + c| = 3|a + 3b + c| ⇔ 2(3a + 4b + c) = ±3(a + 3b + c)  c = 3a − b ⇔ 9a + 17b c=− √ + Thế c = 3a − b vào (2) ta |4a + 2b| = a2 + b2 ⇔ 4a2 + 4ab + b2 = 4(a2 + b2 )  b=0 ⇔ b(3b − 4a) = ⇔  b = a Với b = c = 3a, (∗) trở thành ax + 3a = hay x + = 5 Với b = a c = a, (∗) trở thành ax + ay + a = hay 3x + 4y + = 3 3 √ 9a + 17b + Thế c = − vào (2) ta | − 4a − 2b| = 20 a2 + b2 ⇔ 4a2 + 4ab + b2 = 100(a2 + b2 ) ⇔ 96a2 − 4ab + 99b2 = (vô nghiệm) Vậy (C1 ) (C2 ) có tiếp tuyến chung x + = 3x + 4y + = Bài 23 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 + 2x − 2y − = (C2 ) : x2 + y2 − 4x − 14y + 48 = cho đường tròn nằm một√nửa mặt phẳng bờ tiếp tuyến chung Lời giải Đường trịn (C1 ) có tâm I1 (−1; 1) bán√kính R1 = Đường trịn (C2 ) có tâm I2 (2; 7) bán kính R2 = Do tiếp tuyến chung cần tìm hai đường tròn song song với đường thẳng I1 I2 −→ − Ta có I1 I2 = (3; 6) Suy véc-tơ pháp tuyến I1 I2 → n = (2; −1) Do phương trình tiếp tuyến chung cần tìm (∆) (C1 ); (C2 ) có dạng 2x − y + m = Ta có | − + m| √ √ d(I1 ; ∆) = = ⇔ |m − 3| = 5 ï m = −2 ⇔ m = PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 209 Vì phương trình tiếp tuyến chung cần tìm (C1 ) (C2 ) 2x − y − = 2x − y + = BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 24 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x = Tìm điểm đường thẳng x = mà từ điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến hợp với góc 30◦ Lời giải Gọi điểm M(4; b) thuộc đường thẳng x = 4, (b ∈ R) (C) : (x−2)2 +y2 = 4, (C) có tâm I(2; 0), bán kính R = Vì đường thẳng x = tiếp tuyến đường trịn (C),nên u cầu tốn tìm điểm đường thẳng x = cho kẻ qua điểm √ tiếp M tuyến đến (C) có hệ số góc k = ± tan 60◦ = ± O • k= √ √ 3: d đường thẳng qua M có hệ số góc k = có phương trình: y= √ √ √ 3(x − 4) + b ⇔ 3x − y − + b = √ ñ √ b = 4+2 √ d tiếp xúc với (C) ⇔ d(I, d) = R ⇔ |b − 3| = ⇔ b = −4 + √ √ • k = − 3: d đường thẳng qua M có hệ số góc k = − có phương trình: √ √ √ y = − 3(x − 4) + b ⇔ 3x + y − − b = √ ñ √ b = −4 − √ d tiếp xúc với (C) ⇔ d(I, d) = R ⇔ | − b − 3| = ⇔ b = − √ √ √ √ Vậy có điểm thỏa mãn: (4; + 3), (4; −4 + 3), (4; − 3), (4; −4 − 3) Bài 25 Cho đường tròn (C): x2 + y2 = R2 điểm M(x0 ; y0 ) nằm (C) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1 MT2 tới (C) (T1 , T2 tiếp điểm) a) Viết phương trình đường thẳng T1 T2 b) Giả sử M chạy đường thẳng d cố định không cắt (C) Chứng minh đường thẳng T1 T2 qua điểm cố định 210 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ y M T1 x O T2 Lời giải a) Giả sử T1 = (x1 ; y1 ), T2 = (x2 ; y2 ) Đường trịn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R −−→ Tiếp tuyến MT1 qua điểm T1 , có véc tơ pháp tuyến OT1 = (x1 ; y1 ) có phương trình: x1 x + y1 y = R2 Và tiếp tuyến MT2 có phương ® trình: x2 x + y2 y2= R x1 x0 + y1 y0 = R Có: M ∈ MT1 , M ∈ MT2 ⇒ x2 x0 + y2 y0 = R2 Suy (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ) nghiệm phương trình x0 x + y0 y = R2 (1) Vì M nằm ngồi (C) nên x02 + y20 > 0, (1) phương trình đường thẳng Vậy phương trình đường thẳng T1 T2 là: x0 x + y0 y − R2 = b) • Xét trường hợp đường thẳng cố định d có phương trình dạng: x = a, (|a| > R) Khi đó: M = (a; y0 ) phương trình T1 T2 ax +Çyy0 − R å = R2 ;0 Vậy đường thẳng T1 T2 ln qua điểm cố định a • Xét trường hợp đường thẳng cố định d có phương trình dạng: y = kx + m Do d khơng cắt (C) nên m 6= Ta có M = (x0 ; kx0 + m) Phương trình đường thẳng T1 T2 là: x0 x + (kx0 + m)y − R2 = hay x0 (x + ky) + my − R2 = Ç Vậy điểm cố định mà đường thẳng T1 T2 qua −kR2 R2 ; m m å PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 211 Dạng Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = đường trịn (C ) có tâm I(x0 ; y0 ), bán kính R Đường thẳng ∆ đường trịn (C ) có ba vị trí tương đối • Đường thẳng ∆ đường trịn (C ) có hai điểm chung, ta nói ∆ (C ) cắt Hệ thức liên hệ bán kính khoảng cách từ tâm đường trịn (C ) đến đường thẳng ∆: |ax0 + by0 + c| < R d(I, ∆) = √ a2 + b2 ! I R ∆ B H A • Đường thẳng ∆ đường trịn (C ) có điểm chung, ta nói ∆ tiếp xúc với (C ) Đường thẳng ∆ gọi tiếp tuyến đường tròn (C ) Hệ thức liên hệ bán kính khoảng cách từ tâm đường tròn (C ) đến đường thẳng ∆: |ax0 + by0 + c| = R d(I, ∆) = √ a2 + b2 ! I R ∆ H • Đường thẳng ∆ đường trịn (C ) khơng có điểm chung nào, ta nói ∆ (C ) không cắt Hệ thức liên hệ bán kính khoảng cách từ tâm đường trịn (C ) đến đường thẳng ∆: |ax0 + by0 + c| > R d(I, ∆) = √ a2 + b2 ! I R ∆ H ! ® Khi đường thẳng ∆ cho phương trình tham số x = x0 + at Để xét vị trí tương đường y = y0 + bt trịn (C ) ta làm hai cách: a) Từ phương trình tham số chuyển phương trình tổng qt, xét vị trí tương đối giống b) Thế phương trình tham số vào phương trình đường trịn (C ) ta phương trình bậc hai có ẩn t, kí hiệu phương trình (∗) • Phương trình (∗) vơ nghiệm Ta nói ∆ (C ) khơng cắt • Phương trình (∗) có nghiệm Ta nói ∆ tiếp xúc với (C ) • Phương trình (∗) có hai nghiệm Ta nói ∆ (C ) cắt 212 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ví dụ 21 (Lê Quốc Hiệp) [0H3B2] Cho đường thẳng ∆ : x − 2y + = đường tròn (C ) : (x − 2)2 + y2 = Xét vị trí tương đối ∆ (C ) Lời giải (C ) có tâm I(2; 0) bán √ kính R = |2 − 2.0 + 5| = > Ta có: d(I, ∆) = √ 12 + 22 Vậy ∆ (C ) không cắt ® Ví dụ 22 Cho đường thẳng ∆ : x = −5 − 2t đường tròn (C ) : x2 + y2 − 4x + 2y = Xét vị trí y=t tương đối ∆ (C ) Lời giải Thế phương trình ∆ vào phương trình (C ) ta phương trình: (−5 − 2t)2 + t − 4(−5 − 2t) + 2t = ⇔ 5t + 30t + 45 = ⇔ t = −3 Vậy ∆ tiếp xúc với (C ) ® x = 4t đường trịn (C ) : (x − 3)2 + (y − 1)2 = 10 Xét vị trí y = + 2t tương đối ∆ (C ), tìm tọa độ giao điểm có Ví dụ 23 Cho đường thẳng ∆ : Lời giải Thế phương trình ∆ vào phương trình (C ) ta phương trình: đ t =0 20t − 20t = ⇔ t = Vậy ∆ cắt (C® ) ® x=0 x=4 Với t = ⇒ t = ⇒ y=2 y = Vậy tọa độ giao điểm ∆ (C ) là: A(0; 2), B(4; 4) Ví dụ 24 Cho đường thẳng ∆ : 6x + 8y − = đường tròn (C ) : x2 + y2 − 2mx + 4y + m2 − = Tìm m để ∆ cắt (C ) Lời giải (C ) có tâm I(m; −2) bán kính R = Để ∆ cắt (C ) d(I, ∆) < R |6m + 8.(−2) − 1| 13 47 √ ⇔ < ⇔ |6m − 17| < 30 ⇔ −30 < 6m − 17 < 30 ⇔ − < m < 6 36 + 64 13 47 Vậy − < m < 6 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 26 Cho đường thẳng ∆ : 4x + 3y + = đường tròn (C ) : x2 + y2 − 6x − 8y = Xét vị trí tương đối ∆ (C ) Lời giải (C ) có tâm I(3; 4) bán kính R = |4.3 + 3.4 + 1| Ta có: d(I, ∆) = √ = = R 32 + 42 Vậy ∆ tiếp xúc với (C ) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN ® Bài 27 Cho đường thẳng ∆ : 213 x = − 4t đường tròn (C ) : (x + 3)2 + (y − 1)2 = Xét vị trí tương đối y = 2+t ∆ (C ) Lời giải Thế phương trình ∆ vào phương trình (C ) ta phương trình: (4 − 4t)2 + (1 + t)2 = ⇔ 17t − 30t + 15 = (vô nghiệm) Vậy ∆ không cắt (C ) Bài 28 Cho đường thẳng ∆ : x − y + = đường tròn (C ) : x2 + y2 + 6x − 2y − = Tìm tọa độ giao điểm ∆ (C ) Lời giải Tọa độ giao điểm của®∆ (C ) nghiệm hệ phương trình: ® ® x−y+5 = x = y−5 x = y−5 ⇔ ⇔ 2 2 x®+ y + 6x − 2y − = ® (y − 5) + y® + 6(y − 5) − 2y − = 2y2 − 6y − = x = −6 x = −1 x = y−5 ⇔ ⇔ y = −1 y=4 y = y = −1 Vậy tọa độ giao điểm ∆ (C ) là: A(−1; 4), B(−6; −1) Bài 29 Cho đường thẳng ∆ : x − 2y + m = đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = Tìm m để ∆ không cắt (C ) √ Lời giải (C ) có tâm I(1; 2) bán kính R = Để ∆ khơng cắt (C ) d(I, ∆) > R ñ ñ m−3 > m>8 |1 − 2.2 + m| √ > ⇔ |m − 3| > ⇔ ⇔ √ ⇔ m − < −5 m < −2 1+4 Vậy m < −2 m > Bài 30 Cho đường thẳng ∆ qua A(−6; 0) đường tròn (C ) : √ (x − 3)2 + (y − 2)2 = 25 Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt (C ) hai điểm E, F cho EF = F √ H E I A ∆ Lời giải (C ) có tâm I(3; 2) bán kính R = Đường thẳng ∆ qua A(−6; 0) có phương trình a(x + 6) + by = (a2 + b2 > 0) » √ √ 2 Gọi H trung điểm EF, xét tam giác IEH vng H, ta có:IH = IE − EH = 52 − (2 5)2 = √ Theo đề ta có: p |a(3 + 6) + b.2| √ √ d(I, ∆) = IH ⇔ = ⇔ |9a + 2b| = 5(a2 + b2 ) ⇔ 76a2 + 36ab − 1b2 = (∗) a2 + b2  a 2 a a a Do b = không nghiệm (∗), (∗) ⇔ 76 + 36 − = ⇔ = − = b b b b 38 Chọn ®a = ⇒ b = −2 b = 38 a=1 Với ⇒ ∆ : x − 2y + = b = −2 ® a=1 Với ⇒ ∆ : x + 38y + = b = 38 Vậy ∆ : x − 2y + = 0, ∆ : x + 38y + = 214 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 31 Cho điểm A(1; 2) đường tròn (C ) : x2 + y2 − 2x − = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C ) hai điểm M N cho tam giác AMN vuông cân A y A I O −1 N x M Lời giải √ Đường trịn (C ) có tâm I(1; 0) bán kính R = 10 Ta có IM = IN AM = AN ⇒ AI ⊥ MN, suy phương trình ∆ có dạng y = m Hồnh độ M, N nghiệm phương trình: x2 − 2x + m2 − = (1) (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 , khi: m2 − 10 < (∗) Khi ta có M(x1 ; m) N(x2 ; m) −→ −→ AM ⊥ AN ⇔ AM.AN = ⇔ (x1 − 1)(x2 − 1) + (m − 2)2 = ⇔ x1 x2 − (x1 + x2 ) + m2 − 4m + = Áp dụng Viét (1), suy ra: 2m2 − 4m − = ⇔ m = −1 m = 3, thỏa mãn (∗) Vậy phương trình ∆ : y = −1 y = Bài 32 Cho đường thẳng ∆1 : x − y + = ∆2 : x − 4y + = Viết phương trình √ đường trịn (C ) có tâm I thuộc ∆2 , cắt ∆1 hai điểm E, F cho tam giác IEF vuông I EF = F √ 2 H ∆2 E ∆1 Lời giải Gọi I(4t − 7;t) thuộc ∆2 I √ Gọi H trung điểm EF, tam giác IEF vuông cân I nên IH = EF = IE = R = 2 √ IE + IH = √ |4t − − t + 4| √ Ta có:d(I, ∆1 ) = IH ⇔ = ⇔ |3t − 3| = ⇔ t = t = 2 1+1 Với t = ⇒ I(−7; 0) ⇒ (C ) : (x + 7)2 + y2 =