Tư duy logic tìm tòi lời giải hệ phương trình

Trang 1

ĐÀO VĂN CHUNG – DƯƠNG VĂN SƠN K2P.NET.VN

Dành cho học sinh khối THPT

Dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia Tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên

Trang 2

CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I PHƯƠNG PHÁP THẾ ĐẠI SỐ 3

II PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ 36

III PHƯƠNG PHÁP TẠO NHÂN TỬ BẰNG KỶ THUẬT CỘNG, TRỪ, NHÂN CHÉO 193

IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ HĨA 229

1 Ẩn phụ hĩa với hệ hữu tỷ 229

2 Ẩn phụ hĩa với hệ chứa căn thức 270

V HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 296

VI HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 357

CHƯƠNG II SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG KỸ NĂNG ĐẶC BIỆT HĨA A TÌM MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN TRÊN MỘT PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỆ 413

B HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CĨ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN TRÊN MỘT PHƯƠNG TRÌNH 457

CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP A MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG 470

Trang 78

 Hệ phương trình cĩ chứa một phương trình hoặc cả hai phương trình cĩ thể sử dụng hằng đẳng thức trực tiếp hoặc gián tiếp bằng phép nâng lũy thừa để cĩ nhân tử chung

Đặc điểm nhận dạng thường gặp của hệ này là khi chúng ta biến đổi một hoặc cả hai phương trình chúng ta sẽ gặp một hằng đẳng thức quen thuộc

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 22x y 2 x y 1 05x 11 3y 5 5y 10x 1           x, y 

Phân tích : Với hệ này, ta nhận thấy phương trình thứ nhất cĩ hình thức nhẹ nhàng

nên ta sẽ bắt đầu từ phương trình này vì cấu trúc phương trình hai khơng cho nghỉ đến phép biến đổi nào bắt đầu từ đĩ để tìm mối liên quan giữa hai biến Cụ thể ta cĩ phương trình thứ nhất được biến đổi thành :

22x y 2xy 2x 2y 1 0     1 Khơng khĩ để nhận ra  1 là hằng đẳng thức của 2x y 1  Do đĩ từ  1 ta cĩ : 2x y 1          0 x y 1 0 y x 1 Như vậy xem như bài tốn được giải quyết

Lời giải : Điều kiện : 5y210x 1 0 

Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :

22

x y 2xy 2x 2y 1 0    2

x y 1 0 x y 1 0 y x 1

          

Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình :

225x 11 3 x 1   5 5 x 1 10x 9225x 11 5x 4 3x 2       2 Từ  2 ta cĩ : 5x2 11 5x2 4 3x 2 0 x 23        Xét hàm số f x  5x211 5x2 4 3x 2 , x 23  Ta cĩ :  22225x 5x 1 1f ' x 3 5x 3 05x 11 5x 4 5x 11 5x 4              ,2x3  Do đĩ ta cĩ hàm số f x luơn đồng biến với   x 2

3

 nên f x  nếu cĩ 0nghiệm thì nghiệm đĩ là duy nhất

Trang 79

Bình luận: Bài tốn trên là một bài tốn cơ bản nếu thuần thục hằng đẳng thức về

cách nhìn và nhận biết thì sẽ khơng cĩ khĩ khăn trong lúc giải

Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình 223224 3xy 2 6y 3x x1 4 3 13 y y 12x 5 87 15 1x x x x                                x, y Phân tích :

Với hệ đang xét, khơng cần phải suy tính điều gì mà bắt đầu ngay với phương trình thứ nhất trong hệ

Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi trở thành phương trình :

2 2  2212 9 3 3xy 2 6y 0 xy 2 2 xy 2 0x x x x              23xy 2 0x      23xy 23 xxy 2 02 3x yx x         

Ở đây chúng ta suy nghỉ rút như vậy là vì trong phương trình thứ hai trong hệ chứa cả y,xy

Và như vậy ta xem như nút thắt của bài tốn đã được giải quyết Giờ ta vào giải bài tốn trực tiếp

Lời giải :

Điều kiện x 0

2 2  2212 9 3 3xy 2 6y 0 xy 2 2 xy 2 0x x x x              23xy 2 0x      23xy 23 xxy 2 02 3x yx x         

Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta được phương trình :

Trang 80

34221 3 8 12 13 21 5 1x x x x x                    Đặt t 1x , ta cĩ   trở thành phương trình :  4 2   2 33 t 3t 8t 12t 21 5 t 1  1

Ta biến đổi  1 thành phương trình :  2 2 2  2 33 t 3 t  1 2 3 t 5 t 1   2322223 t 3 t 3 t 3 t3 2 5 2 3 5 0t 1 t 1 t 1 t 1                                  22223 t 3 t 3 t1 2 2 5 0t 1 t 1 t 1                        23 t1t 1  vì 2223 t 3 t2 2 5 0, tt 1 t 1                 21 x 1 y 51t 1 xt t 2 0 1t 2 1 2 x y 82x                       

Đối chiếu điều kiện ta cĩ nghiệm của hệ phương trình là

  x, y 1; 5 ; 1; 82         

Bình luận : Ở cách giải ở phương trình thứ hai nếu ta cứ mặc nhiên khai triển thì

sẽ gặp phương trình bậc 6 với nghiệm đẹp ta hồn tồn cĩ thể giải được Tuy nhiên, nếu gặp nghiệm “khơng đẹp” thì chắc cũng khĩ khăn Cách giải trên dựa trên tính tinh tế của các đại lượng mà ta chú ý trong bài đĩ là 3 t,t 2 và 1bằng hệ số bất định ta cần tách :

2  2

422

3x 8x 12x 21 m 3 t   n t 1

Cân bằng hệ số hai vế phương trình này ta sẽ tìm được m 2,n 3  và cĩ lời giải như trên

Trang 81

Phân tích : Với hệ này, do cấu trúc quá phức tạp của phương trình thứ hai nên

chúng ta chuyển qua phương trình thứ nhất trong hệ cĩ cấu trúc đơn giản hơn Phương trình thứ nhất trong hệ được biên đổi thành phương trình :



22222

4x y  9 2 3y y 6x 2xy 4x y  9 4xy 12x 6y 0   Và chúng ta nhận thấy đẳng thức cuối cùng mang dáng dấp của hằng đẳng thức Thật vậy, ta cĩ :  222 2 2 24x y 9 4xy 12x 6y2x y 3 2 2x y 2 2x 3 2 y 3 2x y 3                   Và như vậy ta sẽ cĩ : 22x y 3   0 2x y 3 0    y 2x 3 Bài tốn đã được giải quyết

Lời giải : Điều kiện : y22x29x 7 0 

222224x y  9 2 3y y 6x 2xy 4x y  9 4xy 12x 6y 0   22x y 3 0 2x y 3 0 y 2x 3          

Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta cĩ phương trình :

2 3 222 2 222x x 2x 1 2x x 3 x x 3 2x 4x 2x 21 x 1 xx 2 2x 3 2x 9x 7 x 2 2x 3x 2                    3222x x 3 2x 4x 2x 21 x 2x 2 2x 3x 2         22222x 3x 2 x 22x 2 2x 3x 2        2 Đặt 22222x 3x 2 1 x 2t , t 0tx 2 2x 3x 2        vì 22223 72 x2x 3x 2 4 8 0x 2 x 2           Lúc đĩ ta cĩ:   2 221 2x 3x 22 t 2 t 2t 1 0 t 1 1t x 2            x2 3x 0 x 0 y 3x 3 y 3           

Đối chiếu điều kiện ta cĩ nghiệm của hệ phương trình là

Trang 82

Bình luận : Ở cách giải phương trình  2 các bạn cĩ thể thực hiện phép quy đồng và nhân phân phối ra hết thì cũng cĩ kết quả như vậy

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình24 x y x y 3216 9xyxyx y xyx y 3 x 1 y 2                x, y 

Phân tích : Với hệ này ta thấy phương trình thứ nhất cĩ cấu trúc khá phức tạp,

phương trình thứ hai chứa căn thức khá nhiều nhưng lại là phương trình căn thức cơ bản nên trước tiên ta sẽ nâng lũy thừa ở phương trình thứ hai để làm giảm căn thức của phương trình thứ hai cộng với việc khử bớt đại lượng y cĩ ở vế sau và tạo được thêm đại lượng 3x cĩ trong căn thức sau khi nâng lũy thừa ở vế trái

Cụ thể ta cĩ phương trình thứ hai được biến đổi thành phương trình :



x y 3 2 x y 3    xy 2x y 2   x y 3   2 x y 3    1 0 Phép biến đổi cuối cho ta được một hằng đẳng thức 2

xy 3x 1   0 Tới đây ta sẽ cĩ mối quan hệ giữa hai biến x, y là xy 3x 1  Nếu để vậy thế

vào phương trình thứ nhất trong hệ ta vẫn giải được nhưng khá phức tạp và khĩ khăn trong việc khai triển tính tốn

Do đĩ ta chọn lựa phương án biến đổi tiếp phương trình thứ nhất trong hệ để được hình thức gọn gàng hơn

Ta cĩ phương trình thứ nhất được viết lại là :

 1 1 3224 x y 16 9xyx y xy       

Với phương trình này ta khơng khĩ nhận ra cái đại lượng sau đây sắp xếp lại sẽ được một hằng đẳng thức, đĩ là : 21 1 32 1 2 1 1 116 16 16x y xy x xy y x y                         

Do đĩ ta biến đổi tiếp phương trình thứ nhất về phương trình :

221 124 x y 16 9xy 0x yx y16 24 x y 9xy 0xy                 

Trang 83

2x y4 3 xy 0xy             4 x y3xy16 x y   xy9x y2 2

Lúc này kết hợp với kết quả thu được ở phương trình thứ hai ta thực hiện phép thế sẽ đơn giản hơn

Lời giải : Điều kiện : x 0

y 3 



Phương trình thứ hai trong hệ được biến đổi thành phương trình :

x y 3 2 x y 3    xy 2x y 2   x y 3   2 x y 3    1 02 xy 3x 1xy 3x 1 0 xy 3x 1 0 xy 3x 1 0 1y 3x                  1 Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :

Trang 84

Đối chiếu điều kiện ta cĩ nghiệm của hệ là    x, y  1;4

Bình luận : Bài tốn là sự phối hợp cả hai phương trình đều được về hằng đẳng

thức Nĩi cách khác thì kỉ thuật nhân tử chung bằng hằng đẳng thức là một bài tốn mà ở đĩ chúng ta hay bắt gặp nhân tử chung cĩ được ở dạng f2 x, y  0hoặc f2 x, y g x, y2  hoặc là 0 f2 x, y g x, y2  0Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  242 y 3 2x 1 y 3 2x 1y x 2 15 2x 6 x 2 y x 3              x, y 

Phân tích: Khơng quá khĩ để nhận ra hệ này chúng ta khơng khai thác được gì từ

phương trình thứ hai Phương trình thứ nhất buộc lịng cần quan tâm Trước tiên ta sẽ chuyển vế và dùng phép nâng lũy thừa để giảm bớt căn thức rồi sau đĩ sẽ tiến hành tiếp các phép biến đổi cần thiết và nhận định về phép biến đổi cuối cùng ta cĩ được

Cụ thể ta cĩ phương trình thứ nhất được biến đổi thành :

 2 y 3 2x 1  3 2x 1  y4 y 6x 3  9 2x 1 6 y 2x 1  y24x 4y 12 18x y 9 6 y 2x 1 2x 1 2 y 2x 1 y 0              22x 1 y 0 2x 1 y y 2x 1         

Như vậy xem như đã cĩ gỡ được nút thắt quan trọng của bài tốn Vậy xem như bài tốn được giải quyết

Lời giải : Điều kiện :

y 3 2x 1 0y 01x2y x 3 0       

Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta cĩ phương trình sau :

 2 y 3 2x 1  3 2x 1  y4 y 6x 3  9 2x 1 6 y 2x 1  y24x 4y 12 18x y 9 6 y 2x 1 2x 1 2 y 2x 1 y 0              22x 1 y 0 2x 1 y y 2x 1         

 24

Trang 85

3222x 2x 15x 9 16 8x x x 4         3222x 2x 11x 7 4x 2x 1 2 x 4 0          2222x 4x 7x 1 2x 4x 7 4x 02x 1 2 x 4             2 24x2x 4x 7 x 1 02x 1 2 x 4            1

Với điều kiện x 2 ta luơn cĩ :

24xx 1 02x 1 2 x 4     Do đĩ từ  1 ta cĩ : 22 3 2x22x 4x 7 02 3 2x2      Vì x 2 nên 2 3 2 x y 3 1 22   

Đối chiếu điều kiện (*) ta cĩ nghiệm của hệ phương trình là

 x, y 2 3 2;3 3 22

  

  

 

Bình luận: Thơng qua bài tốn này, chúng tơi muốn lưu ý các bạn nếu trong hệ

chứa một phương trình gây quá nhiều khĩ khăn để tìm mối quan hệ mà trong hệ lại cĩ một phương trình cĩ hình thức nhẹ nhàng hơn và chứa dạng phương trình cơ bản thì cứ thử tư duy logic việc nâng lũy thừa để làm giảm căn thức và tìm hiểu sâu vào các phép biến đổi tiếp theo cĩ giúp gì cho chúng ta Đĩ là việc tư duy cho bài tốn, tuy nhiên tùy vào bài tốn mà ta sẽ cĩ cách chọn lựa phương pháp thích hợp Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình : 2222 2 2326x x 1 4xy 1 2 x 1 x y y 1x y 4 x 4 7x y 3x 112y 12x x 16               x, y 

Phân tích : Về cấu trúc bài hệ thì từ phương trình thứ hai trong hệ cĩ biến đổi thì

cũng khơng thu được kết quả nào khả quan

Trang 86



222

6x 6x 4xy 1 2 x 1 x     y y 2y 1 0 

Ở phương trình này chúng ta nhận thấy cĩ đại lượng 2 x 1 x   2 làm ta yliên tưởng tới hằng đẳng thức 2

a b

Mặt khác nhận thấy rằng nếu cho y 2x 1   x2 y x22x 1 x 1   Và với y 2x 1  thì ta thấy phương trình này nghiệm đúng

Như vậy cĩ khả năng đại lượng 2 x 1 x   2 cĩ được xuất phát từ hằng yđẳng thức này chăng ? Đĩ là :  2

2

x  y x 1  Và như thế ta thử tách 0phương trình thứ nhất theo chiều hướng này xem sao ?

Cụ thể ta cĩ :

2

2222

x  y 2 x 1 x  y x 1 4x 4x 4xy y  2y 1 0 

Tới đây ta để ý thấy được : 2 2 2

4x y  1 4xy 2y 4x   2x y 1 

Và như vậy phương trình thứ nhất được biến đổi gọn lại thành phương trình :

 2 2 2 x2 y x 1 x 1 0x y x 1 2x y 1 0y 2x 1y 2x 1                  

Như vậy xem như nút thắt của bài tốn đã được giải quyết

Lời giải : Điều kiện :

232x y 02x x 16 0y 1        

Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình

22222x  y 2 x 1 x  y x 1 4x 4x 4xy y  2y 1 0   2 2 2 x2 y x 1 x 1x y x 1 2x y 1 0y 2x 1y 2x 1                   

Trang 87

Ta cĩ nhận xét : 32232322222x 5x 16 a 4x14x 10x 112 7 2x x 16 3x 7a 3x            Do đĩ ta cĩ  1 trở thành phương trình :  222222a 4x 7a 3x2x a 4x a 7a 3xa 2x     32322

8x 3ax 2ax 7a 0 x a 8x 5ax 7a 0

          x a  vì 8x25ax 7a 2 032322x 02x x 16 x x 2 y 52x x 16 x          

Đối chiếu điều kiện (*) ta cĩ nghiệm của hệ phương trình là    x, y  2;5

Bình luận : Trong lời giải phân tích các bạn sẽ cĩ thắc mắc là căn cứ vào điều gì

mà chúng tơi lại cho y 2x 1  Câu trả lời đĩ chính là sự dự đốn của chúng ta về hằng đẳng thức Nếu hằng đẳng thức này đúng thì nghiệm xảy ra tại dấu bằng phải thỏa phương trình Và điều đĩ đã đúng nên hướng tiếp cận tiếp theo là biến đổi để thu được một đại lượng hằng đẳng thức tiếp theo dựa vào biểu thức cịn lại cĩ các đại lượng cho phép cĩ thể biến đổi theo ý tưởng đĩ Một ý tưởng cĩ thể khơi được sự thành cơng, nhưng khơng ý tưởng nào sẽ chắc chắn sẽ dẫn tới một thất bại Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  22 4y 5 3x 1 12x 2 x 2 y 25x y 2 2 2 1 4x 10x 3            x, y

Phân tích: Với hệ này, ta rõ ràng nhận thấy mối liên quan giữa hai phương trình

với đại lượng y 2 nhưng sẽ rất khĩ biến đổi từ phương trình thứ hai

Ở phương trình thứ nhất ta cĩ thể ẩn phụ hĩa căn thức để đưa về phương trình bậc hai theo y nhưng nếu ta tinh ý ta sẽ cĩ biến đổi sau :