Phương trình vô tỷ đưa về dạng tích

Trang 1

PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ ĐƢA VỀ DẠNG TÍCH KĨ NĂNG TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP HOẶC NHÂN TỬ

CỦA PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ

Vũ Hồng Phong GV THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

BẢN CHÍNH THỨC Lƣu ý trƣớc khi sử dụng tài liệu

+Bài viết gồm 5 chuyên đề: Chun đề 1 là các phƣơng trình khơng dùng Casio Chuyên đề 2 và 3 là các thí dụ dùng máytính Casio có hƣớng dẫn sơ lƣợc, chun đề 4 và 5 là lí thuyết hƣớng dẫn chi tiết cách dùng máy tính Caiso tìm biểu thứcliên hợp hoặc tìm nhân tử cần xuất hiện trong phƣơng trình của chuyên đề 2 và 3 Trong đó có chuyên đề phụ một cáchtạo ra một phƣơng trình tích từ các biểu thức phù hợp

+Do có nhiều phƣơng trình mới lạ và phức tạp nên bài viết không là tài liệu để ơn tập cho các kì thi+Các PT trong bài viết có nghiệm là nghiệm của PT bậc 3,bậc 4 nên nó phức tạp hơn các dạng PT khác+Các phƣơng trình chƣa đƣợc sắp xếp thành hệ thống hợp lí và có thể có sai sót

+Tài liệu cung cấp một số ý tƣởng để tạo ra các phƣơng trình vơ tỷ đƣa về dạng tích

Chun đề 1 PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ KHÔNG DÙNG CASIO HỖ TRỢ

Chuyên đề này gồm các PT có nghiệm đẹp ta hồn tồn nhẩm được Dù vất vả trong việc nhẩm và tính tốn nhưng giúp chúng ta tiến bộ khi học mơn Tốn

A.Các Phƣơng trình tìm biểu thức liên hợp khơng dùng Casio

Một số ví dụ ngồi cách nhân liên hợp có thể làm theo hướng đưa về tích hoặc tìm tổng và hiệu các căn rồi tìm từng căn theo x

Thí dụ 1 Giải phƣơng trình 322122126x2 x  x2x  x2 xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Trang 2

Do 0;1;3là nghiệm PT nên ta có hệ 73931caacbac111cbaBiểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x22x1

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x22 2x2x1012221261 2 2 22           xxxxxxxxPTPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

Nâng cấp: Giải phƣơng trình

233212211261) 2 xxxxxxxxxa237512231262) 2 xxxxxxxxxb

PTcó 2 nghiệm x0; x1(lƣu ý coi t  x 3 là nghiệm ngoại lai)

Trang 3

Hƣớng dẫn 2)1(2121221 2222xxxxxxxxPT2112212212222xxxxxxxx 1 2 22 1 21( 2  2) 2  22 2 2  1( 2 1)0 xxxxxxxxxxx

Nhân liên hợp suy ra PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

Chú ý: biểu thức liên hợp cần tìm là x2x22 2x2x1

biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x21 x1 2x22x1

21242222) 22342  xxxxxxxxhHƣớng dẫn 22122422222234xxxxxxxxPT

Biến đổi tƣơng tự bài trƣớc và nhân liên hợp suy ra PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

3162126)222    xxxxxxkHƣớng dẫn  6 2 1 1 3 2 6( 1) 03 2   2    2  2   xxxxxxxxPT

nhân liên hợp suy ra PTcó 2 nghiệm x1;x3

4412613102) 2 22xxxxxxxpHƣớng dẫn Nhận thấy x4 2 10 13 4  1 2 6( 4) 0)4( 2  2     2   2    xxxxxxxxxxPT

Trang 4

4332812126) 2222xxxxxxxxqHƣớng dẫn 433)12126)(12126(212126 2222222xxxxxxxxxxxxxxPT(*)433122126201212622222xxxxxxxxxxPT

Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x22x1

biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x22 2x2x1

PT đã cho có 4 nghiệm41;3;1;0    xxxx(*)3212623122) x2 x  x  x2  x x  xsHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 2 2x2 x13x2(axb)

Do 0;1là nghiệm PT nên ta có hệ 32bab21baBiểu thức liên hợp cần tìm là 2 2x2 x13x2(x2)

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 6x2 2x1x(x1)

Trang 5

Do

231 

 x suy raVP(*)2x31

Vì vậy PT(*) có nghiệm x1Khi đó 6x2 2x1x (x1)00)2(23122 x2 x  x  x 02)1(1261)2(122(*)2222MSxxxxMSxxxxPT

Nhân liên hợp lần nữa kết hợp điều kiện ta suy ra PT đã cho có 2 nghiệmx0;x11077102121231262) 2222xxxxxxxxtHƣớng dẫn 1077)1231262)(1231262(212312622222222xxxxxxxxxxxxxxPT(*)107712612640123126222222xxxxxxxxxxPT

Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x22x1

biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x22 2x2x1

PT đã cho có 4 nghiệm65;3;1;0    xxxx

*Một cách tạo ra phƣơng trình từ 2 biểu thức liên hợp

Trang 6

Nhân liên hợp ta sẽ giải quyết đƣợc PT đã cho Thí dụ minh họa Giải phƣơng trình

122121262222xxxxxxxxHƣớng dẫn 2 2 1 2 2  6 2 1 1( 2) 0126 2  2   2   2   2  2   xxxxxxxxxxxxPT

Nhân liên hợp PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

Thí dụ 2 Giải phƣơng trình5441221263 x2 x  x2x  x2 xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc 6x22x1

Do 0;1;3là nghiệm PT nên ta có hệ 73931caacbac111cbaBiểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x2x1

Trang 7

nên đkxđ:xR 3 51262)2(126124 222222    xxxxxxxxxxpt533124126 2   2   2  xxxxxxTa nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x22 2x2x1

0]1222[21261 2 2 22           xxxxxxxxPTPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Thí dụ 4 Giải phƣơng trình 24126115122 2222    xxxxxxxxHƣớng dẫn  4 21261)1(126.3122 222222    xxxxxxxxxxpt5441221263 2   2   2  xxxxxxTa nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Trang 8

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x22 2x2x101222]1261[3 2   2   2   2   xxxxxxxxPTPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Thí dụ 5 Giải phƣơng trình 79412612512666 22222xxxxxxxxxxxxHƣớng dẫn  4 9 7126)(1262122)2(122.3 222222222 xxxxxxxxxxxxxxpt5441221263 2   2   2  xxxxxxTa nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Trang 9

Thí dụ 6 Giải phƣơng trình76391274852 x2 x  x2 x  x2 xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc 5x28x4

Do 0;1;2là nghiệm PT nên ta có hệ 53912caacbac221cbaBiểu thức liên hợp cần tìm là x22x2 5x28x4

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x22x3 7x212x90912732)48522(2 2   2   2   2   xxxxxxxxPTPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

235229127124851) 2 xxxxxxxxxa237329127224851) 2 xxxxxxxxxbPTcó 3 nghiệm x0; x1;x9c)912732224852222xxxxxxxxHƣớng dẫn  5 8 4 2 2  7 12 9 2 3( 2 2) 09127 2  2   2   2   2  2   xxxxxxxxxxxxPT

Trang 10

7637201391274852) 2222xxxxxxxxdHƣớng dẫn 763)91279852)(91279852(912748522222222xxxxxxxxxxxxxxPT0912748520912748522222xxxxxxxxPTPT đã cho có 4 nghiệm137;3;1;0    xxxx(*)3216912714485) x2  x  x  x2  x  x  xeHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 5x2 8x44x1(axb)

Do 0;1;3là nghiệm PT nên ta có hệ 4311babab21baBiểu thức liên hợp cần tìm là 5x28x44x1(x1)

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 7x2 12x96x1(x2)

Trang 11

02)32(91271)22(885(*)2222MSxxxxMSxxxxPT

Nhân liên hợp lần nữa kết hợp điều kiện ta suy ra PT đã cho có 2 nghiệmx0;x1;x3Thí dụ 7 Giải phƣơng trình3610491273284852222    xxxxxxxxxHƣớng dẫn 36104)912732(3)329127)(329127(48522222    xxxxxxxxxxxxxpt361043329127485222           xxxxxxxTa nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Trang 12

3944)912732(3)329127)(329127(12485)12485)(12485(2222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxpt3944332912712485222             xxxxxxxxTa nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x22x3 7x212x90912732)48522(3 2   2   2   2   xxxxxxxxPTPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Thí dụ 9 Giải phƣơng trình 622810184614x2 x  x2 x  x2 xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1;2;4

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc 14x26x4

Trang 13

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x4 18x210x8081018446142 2 2 22           xxxxxxxxPTPTcó 4 nghiệm x2;x1;x4Nâng cấp:810184246142222xxxxxxxx 14 6 4 2  18 10 8 4( 2) 081018 2  2   2   2   2  2   xxxxxxxxxxxxPTPTcó 4 nghiệm x2;x1;x4Thí dụ 10 Giải phƣơng trình 7738101814718246142 2222    xxxxxxxxxHƣớng dẫn 7738101814)1481018)(1481018(46142 22222    xxxxxxxxxxxxxPTTa nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1;2;4

Do 1;2là nghiệm PT nên ta có hệ 82442caacbacba211cbaBiểu thức liên hợp cần tìm là x2x2 14x26x4

Trang 14

Thí dụ 11 Giải phƣơng trình 10448101846143 x2 x  x2 x  x2 xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1;2;4

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x4 18x210x80810184]46142[3 2   2   2   2   xxxxxxxxPTPTcó 4 nghiệm x2;x1;x4Thí dụ 12 Giải phƣơng trình 723148101814444614135125 22222xxxxxxxxxxxxHƣớng dẫn 7231481018)1481018)(1481018(.2461413)134614)(134614(2222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxPTTa nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1;2;4

Trang 15

Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x2 14x26x4

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x4 18x210x80]810184[246142 2 2 22           xxxxxxxxPTPTcó 4 nghiệm x1;x2;x3Thí dụ 13 Giải phƣơng trình 742283213212811x2 x  x2 x  x2 xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1;2;3

Do1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ 11243242caacbacba321cbaBiểu thức liên hợp cần tìm là x22x3 11x228x21

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x22x4 13x232x2802832134221281132 2 2 22           xxxxxxxxPTPTcó 4 nghiệm x1;x2;x3

Trang 18

Hƣớng dẫn xxxxxxxPT 4 6 6 9 8 8 5 2 2222        Do 5x22x20 nên x0

Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là

21;1Biểu thức cần tìm là 2x2x1 4x46x36x2 và 3x22x1 9x48x38x2PTcó 2 nghiệm x1;21xThí dụ 21 Giải phƣơng trình 3378896642 2   2    xxxxxxHƣớng dẫn xxxxxxxPT 4 6 6 9 8 8 7 3 3222        Do 7x23x30 nên x0

Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là

Trang 19

Thí dụ 22 Giải phƣơng trình xxxxxxx 5 10 3 6 3 2 44222        Hƣớng dẫn Do 3x22x40 nên x0

Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là 1;2

Biểu thức cần tìm là 2x2x2 4x45x310x2 và x2x2 x43x36x2PTcó 2 nghiệm x1;x2Thí dụ 23 Giải phƣơng trình xxxxxxx 5 10 3 3 6 5 4 84222        Hƣớng dẫn Do 3x22x40 nên x0

Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là 1;2

Trang 21

Thí dụ 28 Giải phƣơng trình 31454 3 2 234x   x  x  x x xxHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;4Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x2 x4x34và 1 x35x24x1PTcó 3 nghiệm x0;x1;x4Thí dụ 29 Giải phƣơng trình 2)15(44 3 234 x   x  x x   xxHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;4Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x2 x4x34và 5x x34xPTcó 3 nghiệm x0;x1;x4Thí dụ 30 Giải phƣơng trình 52)15(5144 3 234 x   x  x x   x xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;4Với x1 thìx314x51145100

Do đó nghiệm PT phải thỏa mãn x1x10

Trang 22

1)1)(42(1)(  4 2    2  2   fxxxxxxxPTTa nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0,112424214312)('232243 xxxxxxxxxxxf

Ta có f'(1)0nên PT có nghiệm bội x1 (tính f''(1)0 Pt có nghiệm képx1)Các ví dụ kiểm tra chính xác là nghiệm kép xin dành cho bạn đọc)

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc x4x21

Lấy đạo hàm đƣợc biêu thức

122)(243xxxxbaxxPDo1;0 là nghiệm PT nên ta có hệ (*)11ccba321cba

Trang 23

Suy ra x1x10

Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là x0,x1và dùng đạo hàm thấy x1là nghiệm kép Biểu thức cần tìm là 2x22x2(x1) 4x2x4 và 2x1 2x36x1PTcó 2 nghiệm x0;x1Thí dụ 33 Giải phƣơng trình 221621)1(x x2x  x3  x x2  xHƣớng dẫn Nếu x1thì 2x36x126170Suy ra x1x10Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là x0,x1

và dùng đạo hàm thấy x1là nghiệm kép

Biểu thức cần tìm là x2x1(x1) x2x1 và 2x1 2x36x1PTcó 2 nghiệm x0;x1Thí dụ 34 Giải phƣơng trình 23122131 2   2    2 xxxxxHƣớng dẫn

Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là x0,x1và đều là nghiệm kép

Trang 24

ĐK :

32

x .Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là

32;2,1   xxx

Trang 25

Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc 3 nghiệm đẹp của PT là x1,x2;x1Biểu thức cần tìm là x22x2 x412x12 và x23 8x213x6Chú ýx2;3 8x213x6khơng đồng thời bằng 0 PTcó 3 nghiệm x1,x2;x1PT có 3 nghiệm là x1,x2;x1Thí dụ 39 Giải phƣơng trình 333101236 3 2 24 x  x  x  x  xxHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là x1,x4

Với x1là nghiệm bội(bài này nghiệm kép)

Trang 26

PHẦN BỔ XUNG CÁCH TÌM NGHIỆM NGOẠI LAI KIỂU MỚIThí dụ 41 Giải phƣơng trình  6 2 8 1 3 2485x2  x xx  x  x2 xHƣớng dẫn Điều kiện31xTa nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là x1,x3

Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi nay ta để ý x 6x2 8x1 có nhân tử là x Thay x=0 vào PT với qui ƣớc tạm thời x 6x2 8x10thấy thỏa mãn Các biểu thức cần tìm là x22x2 5x28x4 và x2xx 6x2và x22xx 8x`1 Lƣu ý:Chỉ cần tìm x1 6x2 và x2 8x`1 có 2 nghiệm x1,x3Nghiệm của PT là x1,x3Thí dụ 42 Giải phƣơng trình  6 2 3 8 2 4 2485x2  x xx  x2  x  x2 Hƣớng dẫn Điều kiện31xTa nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là x1,x3

Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi này ta để ý x 6x2 3x2 8x2 có nhân tử là x Thay x=0 vào PT với qui ƣớc tạm thời x 6x2 8x10thấy thỏa mãn

Các biểu thức cần tìm là x22x2 5x28x4

và x2xx 6x2

và 2x2xx 3x28x2

Trang 27

Thí dụ 43 Giải phƣơng trình  xxxxxxx 12 8 2 2 ( 2) 1 2 2 3 25 2      2  2   Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là x1,x1

Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi này ta để ý (x2)21 x22x2 32x

có nhân tử là x2

Thay x=2 vào PT với qui ƣớc tạm thời (x2)21 x2 2x2 32x0

thấy thỏa mãn 5x212x82x20Các biểu thức cần tìm là x22x2 5x212x8 và x22x2 32x Nghiệm của PT là x1,x1Thí dụ 44 Giải phƣơng trình 222)2(8125x2 x  x 2 x2  xTa nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là x1,x1

Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi này ta để ý 22

2)2

(x x

có nhân tử là x2

Thay x=2 vào PT với qui ƣớc tạm thời 22

Trang 28

Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là x1,x3

Trang 29

Hƣớng dẫn Điều kiện31xTa nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là x1,x3

Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi nay ta để ý (x1) 6x2 8x1 có nhân tử là x+1 Thay x=-1 vào PT với qui ƣớc tạm thời (x1) 6x2 8x10thấy thỏa mãn Các biểu thức cần tìm là x2x1 7x24x2 và x22x1(x1) 6x2và x23x2(x1) 8x`1 Lƣu ý:Có thể chỉ cần tìm x1 6x2 và x2 8x`1 có 2 nghiệm x1,x3Nghiệm của PT là x1,x3Thí dụ 49 Giải phƣơng trình  6 2 3 8 2 4 4 3)1(247x2  x  x x  x2  x  x2  xHƣớng dẫn Điều kiện31xTa nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là x1,x3

Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi nay ta để ý (x1) 6x2 3x2 8x2 có nhân tử là x+1

Trang 32

Thí dụ 57 Giải phƣơng trình 19135)1(453 x2 x  x 2 x2 x x2 xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc 3 nghiệm đẹp của PT là x1;x4Các biểu thức cần tìm là2x23x43 5x24x nhận nghiệm là x1;x4và 3 x2 5x13 nhận nghiệm là x1;x4Nghiệm của PT là x1;x4Thí dụ 58 Giải phƣơng trình 3555)1(453 x2 x  x 2 x2  x x2  xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc 3 nghiệm đẹp của PT là x1;x4Các biểu thức cần tìm là2x23x43 5x24x nhận nghiệm là x1;x4và 1 x2 5x8 nhận nghiệm là x1;x4Nghiệm của PT là x1;x4Thí dụ 59 Giải phƣơng trình121221126 2      2     xxxxxxxHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Trang 33

Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x2x1

Suy ra x 6x2 2x1 tƣơng ứng với xx2x1 (x1)2  x1

1221 2   xxx tƣơng ứng với x1x2x2  (x1)2  x10112211126 2       2      xxxxxxxxPTPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Thí dụ 60 Giải phƣơng trình151281145126173x2  x  x2 x  x2  x  x2 x  xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Suy ra 3x2 7x1 6x22x1 tƣơng ứng với 2x1

Trang 34

Thí dụ 61 Giải phƣơng trình3211221126458x  x2 x  x  x2 x  x  xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Suy ra 8x54 6x2 2x1 tƣơng ứng với 8x54x2 4x4 (2x3)2  2x3

1221 2   xxx tƣơng ứng với x1x2x2  (x1)2  x101122132126458   2       2     xxxxxxxxPTPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Thí dụ 62 Giải phƣơng trình32312818126152133 2 22  x  x  x  x  x x  xxHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Trang 35

Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x2x1

Suy ra x2 33x2115 6x22x1 tƣơng ứng với 22x3

12818x  x2 x tƣơng ứng với 2x33212818322126152133 2 22               xxxxxxxxxPTPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x22x3 7x212x9

01429127262485 3 2 232   2           xxxxxxxxPTPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Thí dụ 63 Giải phƣơng trình112261628 3 2 23 x2 x  x2 x  x x  x x Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Trang 36

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x22 2x2x102122631628 3 2 232    2            xxxxxxxxPTPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Thí dụ 64 Giải phƣơng trình31223165 2 2 22 x  x x  x x  x x xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Trang 37

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc 6x22x1Do 0;1;3là nghiệm PT nên ta có hệ 73931caacbac111cbaBiểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x2x1

03122112165 2 2 22              xxxxxxxxPtPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Thí dụ 66 Giải phƣơng trình 6 1  10 2 2 1 7322322x x x  x x  x x xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Trang 38

Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

3 6 1  (2 3 3) 6 2 1 1 (2 2 3 5) 02222222                xxxxxxxxxxPtPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Thí dụ 68 Giải phƣơng trình171142912734853 x2  x x2 x  x2  x x2   x2 xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x22x3 7x212x9

Trang 39

Thí dụ 69 Giải phƣơng trình 93381018146143 x2  x x2   x2  x x  x2 xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 1;2;4

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x4 18x210x8

3 14 6 4 1 (2 3 5)  18 10 8  ( 2 4) 0222222              xxxxxxxxxPtPTcó 4 nghiệm x1;x2;x3Thí dụ 70 Giải phƣơng trình2112212632 3 2 23 x3  x2 x  x x x x xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Trang 40

011122112632 3 2233   2            xxxxxxxxptPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Thí dụ 71 Giải phƣơng trình1212212632 3 2 3 23 x3  x2  x  x x x x x Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

02122112632 3 2 3 233  2             xxxxxxxxxxptPTcó 3 nghiệm x0;x1;x3Thí dụ 72 Giải phƣơng trình1242.126x2 x x23 x2 x x2xHƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x22x1

Tƣơng tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 3 2x24x22