Giáo trình Toán rời rạc - GS. Nguyễn Hữu Anh

GS.NGUYỄN HỮU ANH TOÁN RỜI RẠC NHÀ XUẤT BẢN LAO ĐỘNG Xà HỘI MỤC LỤC CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC §1 PHÁP TÍNH MỆNH ĐỀ §2 DẠNG MỆNH ĐỀ §3 QUY TẮC SUY DIỄN 12 §4 VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ 18 §5 NGUYÊN LÝ QUY NẠP 23 BÀI TẬP CHƯƠNG .25 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM 36 §1 TẬP HỢP 36 §2 ÁNH XẠ 38 §3 PHÉP ĐẾM 40 §4 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 45 §5 NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU 48 BÀI TẬP CHƯƠNG .50 CHƯƠNG 3: QUAN HỆ 57 §1 QUAN HỆ 57 §2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 60 §3 THỨ TỰ 62 §4 DÀN 66 §5 DÀN 69 §6 DÀN 70 BÀI TẬP CHƯƠNG .76 CHƯƠNG 4: ĐẠI SỐ BOOL VÀ HÀM BOOL 83 §1 ĐẠI SỐ BOOL 83 §2 HÀM BOOL 88 §3 MẠNG CÁC CỔNG VÀ CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU 92 §4 PHƯƠNG PHÁP BIỂU ĐỒ KARNAUGH 96 §5 PHƯƠNG PHÁP THỎA THUẬN 104 BÀI TẬP CHƯƠNG 110 GIẢI ĐÁP MỘT SỐ BÀI TẬP 114 GS Nguyễn Hữu Anh GS Nguyễn Hữu Anh CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC §1 PHÁP TÍNH MỆNH ĐỀ Trong tốn học ta quan tâm đến mệnh đề có giá trị hân lý xác định (đúng sai vừa vừa sai) Các khẳng định gọi mệnh đề Các mệnh đề nói có giá trị chân lý (hay chân trị đúng), mệnh đề sai nói có chân trị sai Ví dụ: Các khẳng định sau mệnh đề:  Mơn Tốn rời rạc mơn bắt buộc cho ngành Tin học  1+1=2  số nguyên tố Hai mệnh đề đầu có chân trị 1, mệnh đề thứ ba có chân trị Các khẳng định dạng tán than mệnh lệnh khơng phải mệnh đề khơng có chân trị xác định Khẳng định “ số nguyên tố ” mệnh đề Tuy nhiên, thay n số ngun cố định ta có mệnh đề: chẳng hạn với = ta có mệnh đề đúng, với = ta có mệnh đề sai Khẳng định gọi vị từ đối tượn khảo sát logic Ta thường ký hiệu mệnh đề chữ , , , … chân trị (sai) ký hiệu (0) Đôi ta dùng ký hiệu , để chân trị dể chân trị sai Phân tích kỹ ví dụ ta thấy mệnh đề chia làm loại:  Các mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác nhờ liên kết chúng lại liên từ(và, hay, nếu… thì… ) trạng từ “khơng” Ta nói mệnh đề mệnh đề phức hợp Ví dụ: “Nếu trời đẹp tơi dạo” mệnh đề phức hợp  Các mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác liên từ trạng từ “khơng” Ta nói mệnh đề mệnh đề ngun thủy hay sơ cấp Ví dụ: “Hơm trời đẹp”, “3 số nguyên tố” mệnh đề nguyên thủy Mục đích phép tính mệnh đề nghiên cứu chân trị mệnh đề phức hợp từ chân trị mệnh đề đơn giản phép nối mệnh đề thể qua lien từ trạng từ “không” Các phép nối: Phép phủ định: phủ định mệnh đề P ký hiệu ¬ (đọc khơng P) Chân trị ¬ chân trị ngược lại Ta có bảng sau gọi bảng chân trị phép phủ định: GS Nguyễn Hữu Anh ¬ 1 Phép nối liền: mệnh đề nối liền hai mệnh đề P, Q ký hiệu P∧Q (đọc P Q) Chân trị P∧Q P lẫn Q có chân trị Trong trường hợp khác, P∧Q có chân trị Nói cách khác phép nối liền xác định bảng chân trị sau: ∧ 0 0 1 0 1 Ví dụ: mệnh đề “Hơm trời đẹp trận bóng đá hấp dẫn” xem mệnh đề hai điều kiện “trời đẹp” “trận bóng đá hấp dẫn” xảy Ngược lại mệnh đề mệnh đề sai hai mệnh đề sai mệnh đề mệnh đề sai Phép nối rời: mệnh đề nối rời hai mệnh đề P, Q ký hiệu P∨Q (đọc P Q) Chân trị P∨Q P lẫn Q có chân trị Trong trường hợp khác, P∨Q có chân trị Nói cách khác phép nối rời xác định bảng chân trị sau: ∨ 0 0 1 1 1 Ví dụ: “Ba đọc báo hay xem tivi” mệnh đề lúc ba đọc báo, xem tivi hay vừa đọc báo vừa xem tivi (!) Ngược lại hai việc khơng xảy ra, ví dụ Ba làm việc mệnh đề mệnh đề sai Chú ý mệnh đề P∨Q, từ “hay” dung theo nghĩa bao gồm,nghĩa đồng thời Tuy nhiên theo ngôn ngữ ngày ta thường hiểu ∨ theo nghĩa loại trừ, nghĩa hay không đồng thời Để phân biệt rõ rang, trường hợp loại trừ ta sử dụng từ “hoặc”: “ ” ký hiệu ∨ ( hay không đồng thời hai) Bảng chân trị ∨ là: GS Nguyễn Hữu Anh ∨ 0 0 1 1 1 Phép kéo theo: P Q ký hiệu → (cũng đọc kéo theo , điều kiện đủ , điều kiện đủ ) Để xác định chân trị cho → ta xem ví dụ mệnh đề “nếu trời đẹp tơi dạo” Ta có trường hợp sau:  trời đẹp tác giả khẳng định dạo: hiển nhiên mệnh đề  trời đẹp tác giả ngồi nhà: mệnh đề rõ ràng sai  trời xấu tác giả dạo: mệnh đề  trời xấu tác giả ngồi nhà: trời xấu tác giả không vi phạm khẳng định nên mệnh đề phải xem Từ ta có bảng chân trị phép kéo theo sau: → 0 1 1 0 1 Chú ý: Với quy ước chân trị trên, ta cò khẳng định ngộ nghĩnh như: “nếu 2=1 Quang Trung Trần Hưng Đạo người” Cần phân biệt mệnh đề → với lệnh ℎ số ngôn ngữ lập trình ví dụ Pascal, Basic Trong → mệnh đề lệnh ℎ ℎì mệnh đề cịn dãy liên tiếp dòng lệnh thực mệnh đề P có chân trị bỏ qua P có chân trị Nhắc lại dòng lệnh mệnh lệnh mà máy phải thực nên mệnh dề theo nghĩa ta xét Dù có tương tự hai đối tượng “ → ” “ ℎ ” Hơn lợi dụng tương đương logic để thực lệnh “ ℎ ” có hiệu Trong ngơn ngữ ngày, người ta thường hay nhầm lẫn phép kéo theo với kéo theo hai chiều, chẳng hạn phát biểu ”giảng viên khoa Toán dạy nghiêm túc” mà viết theo phép nối “nếu anh giáo viên khoa Toán anh dạy nghiêm túc” thường bị phản ứng giáo viên khoa khác họ cho người nói ám “nếu giảng viên khoa khác dạy không nghiêm túc” Thật phát biểu, người nói có muốn ám “nếu anh giáo viên khoa Tốn anh dạy nghiêm túc” Ở viết phát biểu ban đầu dạng → hai phát biểu hiểu nhầm có dạng (¬ ) → (¬ ) → Tuy nhiên, bao gồm them hai phát biểu sau, phát biểu → thành phép kéo theo hai chiều theo nghĩa GS Nguyễn Hữu Anh Phép kéo theo hai chiều: mệnh đề ngược lại ký hiệu ↔ (cũng đọc , , hay P điều kiện cần đủ để có ) Theo trên, hai chiều → → nên ngược lại Do ta có bảng chân trị phép kéo theo hai chiều sau: ↔ 0 1 0 1 §2 DẠNG MỆNH ĐỀ Trong Đại số ta có biểu thức đại số xây dựng từ:  số nguyên, hữu tỉ, thực,… mà ta gọi số  biến , , … lấy giá trị số  phép toán thao tác số biến theo thứ tự định Khi thay biến biểu thức đại số số kết thực phép toán biểu thức số Trong phép tốn mệnh đề ta có “biểu thức logic” tương tự mà ta gọi dạng mệnh đề xây dựng từ:  mệnh đề (hằng mệnh đề)  biến mệnh đề , , … lấy giá trị mệnh đề  phép nối thao tác mệnh đề biến mệnh đề theo thứ tự định Ở thứ tự xác định dấu “()” để rõ phép nối thực cặp mệnh đề nào, biểu thức Ví dụ như: ( , , ) = ( ∧ ) ˅ ((¬ ) → ) dạng mệnh đề , , biến mệnh đề mệnh đề Giả sử , dạng mệnh đề, ¬ , ∧ , → , ↔ dạng mệnh đề Bằng cách ta xây dựng dạng mệnh đề ngày phức tạp Mặt khác, điều ta quan tâm dạng mệnh đề ( , , , … ) chân trị mệnh đề có ( , , , … ) khi thay biến mệnh đề , , , … mệnh đề , , , … có chân trị xác định, nghĩa phụ thuộc chân trị ( , , , … ) theo chân trị , , , … theo thể cụ thể , , , … qua mệnh đề cu thể , , , … Nói cách khác dạng mệnh đề ( , , , … ) có bảng chân trị xác định dòng cho biết chân trị ( , , , … ) theo chân trị cụ thể , , ,… GS Nguyễn Hữu Anh Ví dụ: Ta xây dựng bảng chân trị hai dạng mệnh đề ˅( ˄ ) và ( ˅ )˄ theo biến mệnh đề , , ˄ ˅( ˄ ) ˅ ( ˅ )˄ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Ta thấy hai dạng mệnh đề ˅( ˄ ), ( ˅ )˄ có bảng chân trị khác Điều cho thấy thứ tự thực phép nối quan trọng cần thiết dấu “()” Tuy nhiên ta quy ước phép nối ¬ với phép nối khác mà khơng có dấu “()” phép nối ¬ ưu tiên thực trước Ví dụ ¬ ˅ có nghĩa thực ¬ trước thực , nói cách khác biểu thức ¬ ˅ (¬ )˅ Trong trường hợp muốn thực sau ta phải đặt dấu ngoặc: ¬( ˅ ) Ta xây dựng bảng chân trị hai dạng mệnh đề → ¬ ˅ ¬ → ¬ ˅ 0 1 1 1 1 0 0 1 1 Như hai dạng mệnh đề tương đương logic theo nghĩa sau → ¬ ˅ có bảng chân trị Ta nói chúng Định nghĩa 1.2.1: hai dạng mệnh đề , nói chúng tương đương logic chúng có bảng chân trị Khi ta viết ⟺ Chú ý tương đương logic dạng mệnh đề trị dù biến có lấy giá trị ↔ luôn lấy giá Định nghĩa 1.2.2: i ii Một dạng mệnh đề coi ln ln lấy chân trị Một dạng mệnh đề coi sai hay mâu thuẫn ln ln lấy chân trị Từ nhận xét trên, ta ln có Mệnh đề 1.2.1: hai dạng mệnh đề GS Nguyễn Hữu Anh tương đương logic → Nếu để ý đến phép kéo theo chiều ta có Định nghĩa 1.2.3: dạng mệnh đề nói hệ logic mệnh đề Khi ta viết ⟹ Ta nói hệ logic Như nói hệ logic tương đương logic với có nghĩa hệ logic → Trong phép tính mệnh đề, ta thường không phân biệt dạng mệnh đề tương đương logic Ta có Quy tắc thay thứ nhất: dạng mệnh đề ta thay biểu thức dạng mệnh đề tương đương logic dạng mệnh đề thu cịn tương dương logic với Chú ý: Ta sử dụng khái niệm biểu thức theo nghĩa tự nhiên: dạng mệnh đề “xuất hiện” , hay nói cách khác xây dựng từ số dạng mệnh đề khác qua phép nối Ví dụ: → ( → ) tương đương logic với → (¬ ˅ ) biểu thức thay dạng mệnh đề tương dương logic ¬ ˅ → Với quy tắc thay ta “rút gọn” dạng mệnh đề cách thay biểu thức dạng mệnh đề tương đương đơn giản giúp cho bước rút gọn dễ dàng Ngoài ra, cần nhận biết số Thường suy từ số đơn giản nhờ: Quy tắc thay thứ hai: giả sử dạng mệnh đề ( , , , … ) Nếu ta thay nơi p xuất E dạng mệnh đề tùy ý ( ’, ’, ’, … ) dạng mệnh đề nhận theo biến , , , … , ’, ’, ’, … Ngoài hai quy tắc thay trên, ta sử dụng 10 quy luật logic phát biểu dạng tương đương logic rút gọn dạng mệnh đề cho trước Ta có Định lý 1.2.2 (Quy luật logic): với , , biến mệnh đề, mâu thuẫn (hằng sai), ta có tương đương logic: i Phủ định phủ định: ¬¬ ⇔ ii Quy tắc De Morgan: ¬( ∧ ) ⇔ ¬ ∨ ¬ ¬( ∨ ) ⇔ ¬ ∧ ¬ iii Luật giao hoán: ∨ ⇔ ∧ iv ∨ ⇔ ∧ Luật kết hợp: ∧ ( ∧ ) ⇔ ( ∧ ) ∧ ) ∨ ( ∨ ) ⇔ ( ∨ ) ∨ ) v Luật phân bố: ∧( ∨ ) ⇔ ( ∧ )∨( ∧ ) ∨ ( ∧ ) ⇔ ( ∨ ) ∧ ( ∨ ) GS Nguyễn Hữu Anh vi vii Luật lũy đẳng (Idempotent Rules) ∧ ⇔ ∨ ⇔ Luật trung hòa: ∧1⇔ ∨0⇔ viii Luật phần tử bù: ∧ ¬ ⇔ ∨ ¬ ⇔ ix Luật thống trị: ∧ ⇔ ∨ ⇔ x Luật hấp thụ: ∧ ( ∨ ) ⇔ ∨ ( ∧ ) ⇔ Chứng minh: đọc giả kiểm tra dễ dàng 10 quy luật logic cách lập bảng chân trị hai vế tương đương logic  đpcm Ví dụ: Từ quy tắc De morgan ta ¬( ∧ )  ⟺ ¬ ∨ ¬ Thay p r s ta ¬( ( ∧ ) ∧ )  ⟺ ¬ ( ∧ ) ∨ ¬ Hãy chứng minh dạng mệnh đề sau [ ( → ) ∧ [ ( → ) → (¬ ∨ ) ] ] → (¬ ∨ ) Muốn ta thay r→s p ¬t sau đúng: (1.2.1) u q đưa chứng minh dạng mệnh đề [ ∧ ( → ) ] → Ta sử dụng liên tiếp quy tắc thay thứ tương đương logic sau: [ ∧ ( → ) ] →  [ ∧ (¬ ∨ ) ] →  [ ( ∧ ¬ ) ∨ ( ∧ ) ] →  [ 0 ∨ ( ∧ ) ] →  [ ( ∧ ) ] →  ¬ ∨¬ ∨  ¬ ∨1  Do 1.2.1 Tương tự ta có: ( ∧ ) →  ¬ ∨¬ ∨  ¬ ∨ (¬ ∨ )  ¬ ∨( → ) (1.2.2) GS Nguyễn Hữu Anh 10 Tai lieu Luan van Luan an Do an ⟶ ⟶ ⟶ ( ∨ ) ¬ ¬ ∧ ¬ ∴ Dùng PP Phủ định lần 34 a) Sai b) Đúng c) Đúng = (0) sai nên (0) ⟶ (0) d) Đúng: chọn = (0) sai nên (0) ⟶ ¬ (0) e) Cho b) Đúng c) Đúng = tùy ý, chọn = Khi d) Đúng ( , ) đúng f) Sai cì có phủ định là: ∀ ∃ , ¬ ( , ) Thật cho ¬ ( , ) g) Đúng = hay = (5) ¬ (5) sai c) Đúng: chọn 38 a) Sai = e) Sai: chọn x=0 phần tử tùy ý cho ( ) 37 a) Đúng: thay >0 b) Sai: chọn d) Đúng: chọn tùy ý, chọn = + h) Đúng 39 a) Sai: chọ = −1 = > < Phủ định cho viết b) Đúng Phủ định cho viết c) Đúng 1.3=3 số lẻ Phủ định viết khơng xác Phủ định là: tích hai số lẻ số chẵn d) Đúng Phủ định viết khơng xác Phủ định : tồn số hữu tỉ có bình phương số vơ tỉ 40 a) Tồn số nguyên cho chia hết cho số chẵn b) Tồn số nguyên chẵn có bình phương số lẻ c) Tồn số nguyên , , cho − , − d) Tồn số thực cho > 16 −4 ≤ e) Tồn số thực cho | − 3| < − số lẻ ≤4 ≤ −4 hay ≥ 10 41 a) ∀ , ¬ ( ) ∨ ( ) ⟺ ∀ , ¬ ( ) ∧ ¬ ( ) b) ∃ , ¬ ( ) ∧ ¬ ( ) ⟺ ∃ ,¬ ( ) ∨ ( ) ⟺ ∃ , ( ) → ( ) c) ∃ , ¬ ( ) → ( ) ⟺ ∃ , ¬ ¬ ( ) ∨ ( ) ⟺ ∃ , ( ) ∧ ¬ ( ) d) ∀ , ( )∨ ( ) ∧¬ ( ) ⟺∀ , ( )∧¬ ( ) 43 a) ∃ ∀ , d) Trong = b) ∀ ∃ , + =0 c) ∀ , ( ≠ 0) → (∃ , = 1) b) c) phải thay ∀ , (| | = 1) → (∃ , 44 a) ∀ ∈ , ( ≠ 0) → ∃! viết: ∀ ≠ 0, ∃! : =1 b) ∀ ∈ , ∀ ∈ , ∃! ∈ : = : = Nếu + = 1) hiểu ngầm mệnh đề c) ∀ , ∃! : = +7 45 ∀ , ∃! , = −2 ∃! , ∀ , = −2 sai Thật ta cần kiểm tra ∃ , ∀ , ≠ −2 Muốn vậy, ta cho = tùy ý chọn = − + = −2 + ≠ −2 GS Nguyễn Hữu Anh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn 115 Tai lieu Luan van Luan an Do an Với kết a) sai b) 46 Chọn = 0, = 0, = ( , ) ( , ) ≠ Như ∀ ∃! ( , ) sai Suy ∃! ∀ ; ( , ) sai Từ ta thấy hai kết luận a) b) 47 Với tập hợp vũ trụ mệnh đề sai = {1,2} mệnh đề “∃! , > 1” với = {1,2} 49 a) Đúng Qui tắc đặc biệt hóa phổ dụng PP khẳng định sử dụng b) Sai Có thể ơng Bình đóng thuế khơng cơng dân tốt (vi phạm luật giao thơng chẳng hạn!) c) Sai Có thể Hà không quan tâm đến môi trường để riêng túi nhựa bỏ (bị mẹ bắt chẳng hạn!) d) Sai.Có thể Minh khơng nộp chưa làm xong khơng chịu làm (do Minh khơng phải sinh viên nghiêm túc) 50 a) b) hiển nhiên c) Sử dụng Qui tắc đặc biệt hóa phổ dụng, Qui tắc tổng quát hóa phổ dụng Phép chứng minh theo trường hợp, d) Xét hai vị từ : ( ): " ≥ 0" ( ): " ≤ 0" Khi “ ∀ , ( ) ∨ ( )” “ ∀ , ( )” “ ∀ , ( ) ” sai 54.Suy luận sai ngay bước qui nạp đầu tiên: (1) → (2) 55 Giả sử số liên tiếp có tổng ≤ 38 Khi ta có: (1 + + ⋯ + 25) ≤ nghĩa 25.39 ≤ 25.38 25.38: mâu thuẫn 56 a) Suy dễ dàng từ nguyên lý qui nạp b) Cần chứng minh qui nạp bất đẳng thứ phụ > + < c) Cần chứng minh qui nạp bất đẳng thứ phụ: > > + 10 < +3 +1 < 57 Giả sử 1+2+⋯+ = +2 Khi ấy: 1+ +⋯+ +1= + 2 + +1= +1+ 2 Tuy nhiên (1) sai nên không áp dụng nguyên lý qui nạp 58 Công thức cần chứng minh ( + 1) + ( Giả sử công thức với + 2) + ⋯ + ( + 1) = + ( + 1) , ≥0 = Ta có: (( + 1) + 1) + (( + 1) + 2) + ⋯ + ( + 2) GS Nguyễn Hữu Anh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn 116 Tai lieu Luan van Luan an Do an =( + + + 1) + ( + + + 2) + + + + + 1) + ( + 1)2 + + + ( + 1)2 + + …+( =( + 1) + ( = ( + 1) + + 2) + ⋯ + ( + 1) + (2 + 1) (2 + 1) + + + + 12 + = ( + 1) + ( + 2) +6 CHƯƠNG Bốn tập hợp Tuy nhiên cách viết sau khơng hợp lý có phần tử kể lần tập hợp a) Đúng b) Đúng c) Đúng a) e) Sai Ta phải viết {2} ⊂ a) Sai b) c) d) Đúng a) {0,2} b) 2, , a) b) c) e) Đúng , d) Đúng b) f) Sai Ta phải viết {2} ∈ , , c) , , , , d) f) Sai Chỉ có d) khác ∅ phươn trình tương ứng có nghiệm a) {1,2,3,5} b) g) ∅ i) {1,3,4,5,8} h) {1} a) c) d) Đúng b) e) f) Sai 10 a) c) b) b) Sai, chọn d) ≠ tùy ý 12 a) Sai, chọn \{2} c) d) ≠ tùy ý = ∅, = ∅, = = = c) Đúng Ta có: ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) = ( ∪ ) ∩ Suy ( ∩ ) ⊂ ∩( ∩ )= ∩ Do 11 d) ⊂ Tương tự ta có = {1 }, 13 a) Sai Chọn 15 a) ∩ ( ∩ ̅ ) = ( ∩ ̅ ) ∩ c) ̅ ∪ ∪( ∩ 21 a) ∘ ( ) = − ∩ ̅) = ℎ ∘ ( ) = ℎ(3 ) = ℎ( ); ∘ b) ∩ ∩ = =( ∪ )∩ ∩ ∩ ⊂ Nghĩa = {2 } f) {1,2,3,4,5,8} e) ̅ = {2 + 1/ ∈ } f) = e) {4,8} = ∩ ∩ =∅ =∅ = b) Đúng b) ( ∩ ) ∪ ( ∩ =∅ ∩ ∩ ̅ ∩ )∪( ̅∩ ) = d) Tập hợp cho ∩ ∩ ∩ ∘ ( ) =3 −3 ∘ ℎ( ) = ế ℎẵ ế ẻ ∘ ℎ( ) = 3ℎ( ) − ( )= − 2, ( )= ( )=9 , − 3, ℎ = ℎ, ℎ = ℎ = ℎ Bằng qui nạp ℎ 22 ( )= = 23 a) ∩( ∪ ) = ∩ =ℎ b) (1) = (−3) = nên ∩( ∪ ) ∪ ∩( ∪ ) ∩( ∪ )= song ánh Ánh xạ ngược ( ) = 27 ∩( ∪ )= ( ) : → cho ( )= − không đơn ánh GS Nguyễn Hữu Anh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn 117 Tai lieu Luan van Luan an Do an c) Hàm số tăng ngặt [4,9] nên đơn ánh Mặt khác ([4,9]) ⊂ [21,96] Hơn với ∈ [21,96] phương trình + − = có nghiệm = −1 + + Do ( ) = −1 + + song ánh với ánh xạ ngược d) song ánh Ánh xạ ngược: ế ≥0 ( )= ế +1= 10 = 252 b) = 35 10 c) − − = 56 4 33 a) 34 a) Đó tập hợp có dạng ∪ với tập ≠ ∅ {2,4,6,8,10} ⊂ {1,3,5,7,9,11} Do theo Nguyên lý nhân số tập hợp là: (2 − 1)2 b) Tương tự trên, số tập hợp có dạng (2 − 1) c) Tổng quát hóa: tập hợp số chẵn có phần tử tập hợp số chẵn có phần tử số tập hợp ∪ chứa số chẵn là: (2 − 1)2 35 = 20 38 a) Số nhãn hiệu thỏa tính là: |( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ∩ )| = | ∩ | + | ∩ | + | ∩ | = Số nhãn hiệu thỏa tính là: |( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ∩ )| = 18 − = 14 Do số nhãn hiệu thỏa tính 10 b) Số nhãn hiệu khơng thỏa tính 15 - 14=1 7 − = 112 40 a) − = 126; − − 41 − … = b) 2 − 2; − − ! ! !… ! 44 Gọi , , tập hợp sinh viên làm thí nghiệm thứ nhất, thứ hai thứ ba tương ứng Ta có: | | = 21 − = 16, | | = 21 − = 14, | | = 21 − = 15 Áp dụn 38 ta | ∩ | + | ∩ | + | ∩ | = 33 Số sinh viên làm hai thí nghiệm là: |( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ∩ )| = 33 − 3| ∩ ∩ |+| ∩ ∩ | = 15 Do có 21 − 15 = sinh viên làm thí nghiệm 45 Mỗi đường xác định ký tự (đi ngang) chọn dãy gồm có (đi lên) Do số đường khác + = + ký tự + 10 + − 13 = = 286 4−1 14 10 + − 47 a) = = 1001 5− 46 b) Chia cho đứa trẻ lớn hai bi, lại chia cho đứa: c) Chia bi lạc họ đứa: 12 8+5−1 = = 495 5−1 5+5−1 = = 126 5−1 48 a) Cho vào hợp vật, lại − vật chia cho hộp: GS Nguyễn Hữu Anh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn − + −1 = −1 −1 −1 119 Tai lieu Luan van Luan an Do an b) −1 −1 49 a) Đây số nghiệm ≥ phương trình + + + =8 8+4−1 11 = = 165 4−1 b) Chỉ có nghiệm: = = = =8 + c) Chính số nghiệm phương trình + + = 28 với , , ≥ 0,0 ≤ ≤ 24: 31 − = 4475 3 số nghiệm ≥ + + + =3 50 a) Theo Nguyên lý nhân, số số hạng (2 ) (3 ) là: × × = 420 420 × × = 15120 Do hệ số b) Số số hạng có dạng = 7, với ∈ , ≤ ≤ 5: + số nghiệm phương trình + + + 11 7+5−1 = = 330 5−1 8 53 a) = 28 b) = 70 c) = 28 8 d) Đây số byte có nhiều bit 0: + + = 37 15 25 25 55 a) = 105 b) = 2300, = 12650 56 a) = ( )( ) b) Có tam giác có chung hai cạnh với đa giác ( − 4) tam giác có chung cạnh với đa giác Do số tam giác khơng có cạnh chung ( − 1)( − 2) − ( − 4) − = ( − + 20) 59 a) (1 + 2) = b) (1 + − ) =1 c) 1 = ! ( − )! ! d) 1 = ! ( − 1)! ! = (−1) ! = (1 − 1) = ! 60 Giả sử cửa có bồ câu Khi ta có: ≤ −1 < = : mâu thuẫn 61 a) Ít lần: Nguyên lý chuồng bồ câu b) Gọi số lần tung Do 60 Ta cần có: Do giá trị nhỏ ≥ 13 c) 6( − 1) + GS Nguyễn Hữu Anh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn 120 Tai lieu Luan van Luan an Do an 63 a) Ta chọn 10 chuồng bồ câu: [1,2),[2,3),…,[9,10),{10} Do nguyên lý chuồng bồ câu có hai phần tử ≠ có bậc hai thuộc tập hợp, nghĩa là: < √ − < b) Cho trước số nguyên > Trong + phần tử khác {1,2, … , phần tử , cho: < √ − Nếu không chia hết cho , phương trình dồng dư vơ b) Gọi = nghiệm Mặt khác giả sử | ta đưa việc giải phương trình đồng dư = : ≡ ( ′) Theo a) phương trình có nghiệm ≡ ( ) ′ : ≡ 1( ) Đó nghiệm phương trình đồng dư ban đầu 55 a) (3,16)=1 Ta có × 11 ≡ 33 ≡ 1( b) (5,23)=1 Ta có × 14 ≡ 70 ≡ 1( 16) nên 23) nên c) Phương trình có dạng ≡ −12 ≡ 10( Mà × ≡ 1( 11) nên ≡ × 10 ≡ 64) nên ≡ 14(6 − 7) ≡ 9( 16) 23) 11) d) Phương trình có dạng ≡ −52 ≡ 12( Mà × 13 ≡ 65 ≡ 1( ≡ 11 × ≡ 13( (11) 64) ≡ 13 × 12 ≡ 28( 64) CHƯƠNG a) Giả sử ̅ ′ hai phần bù Mà ( ̅ ∧ ) ∨ Suy ̅ ≺ ̅ ∨ =( ̅∨ )∧( ∨ Ta có: ( ̅ ∧ ) ∨ )=( ̅∨ =0∨ = ′ )∧1 = ̅ ∨ = ′ Tương tự xét ( ̅ ∧ ) ∨ ta có ≺ ̅ Nghĩa ̅ = ′ b) Kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa phần bù sử dụng a) GS Nguyễn Hữu Anh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn 125 Tai lieu Luan van Luan an Do an a) Do ≺ nên trội chung Như = sup{ , } = ∨ ≺ b) Do a) c) ∧ ≺ d) ≺ a) ⟹ ≺ ≺ ∨ ∨ = ∧ ≺ Suy ∧ ≺ ∧ ≺ ≺ ∨ Suy ∨ ≺ ∨ b) ( ∧ ̅) ∨ ∨ ∧ nên ∨( ∧ )= ∧ ∨ ( ∧ ) = ( ∧ ̅) ∨ ∧ ≺ = : ≺ ̅ ≺ ∨( ∧ ) = ∧ ⟹ ̅∧ trội chung , Hơn ∨ ∨ ∨ ̅= ∧ ̅ ∨ ̅ ∧ = ( ∧ ̅ ) ∨ ( ∧ ̅ ) ∧ ( ∧ ̅ ) ∨ = ( ∧ ̅ ) ∨ ∨ Do phần bù là: ∧ ∈ ℬ Khi ̅ ∈ ℬ = a) Xét phần tử ∧ ̅ ∈ ℬ, = ∨ ̅∈ℬ , ℬ = ∅, { }, { , }, { , , } , ℬ = ∅, { }, { , }, { , , } , ℬ = b) Có đại số ∅, { }, { , } { , , } ∨ c) Với , ∈ ℬ tùy ý ta có ̅ , ∈ ℬ nên ∈ ℬ Suy = ̅∨ ∧ ∈ ℬ Đó đại số Bool với phần tử trung hòa ∧ Hơn với ≺ ̅ ∧ phần bù Tuy nhiên khơng phải đại số ≠ khơng chứa a) Giả sử ≺ ( ) , tồn cho = hay = , nghĩa = hay = ( ) = Ta có ( ) ≺ ( ) nên ≺ suy (2,3,7) ta phải có (35) = b) Trực tiếp từ định nghĩa đại số (5,7), 70 = (35,2) à 42 = a) Do 35 = { , }, (70) = { , , }, (42) = { , , } b) Mỗi đẳng cấu phải biến nguyên tử thành nguyên tử nên xác định hoàn toàn song ánh {2,3,5,7} { , , , } Có tất 4! = 24 đẳng cấu khác 11 a) ( ⨁ )⨁ = ∨( ∧ ) ∧ ̅ ∨ ( ∨ )∧ ∧ ∧ ̅ ∨( ∧ = ∧ = ∧ ( ∧ )∨ = ∧ ⨁ ∧ ∧ ̅) ∨ ( ∧ ∧ ) ∨ ∧ ̅ ∧ ∧ ( ∧ ̅) ∨ ∨ ∧ ∧ ∧ ∨ ( ∧ ⨁ ) = ⨁( ⨁ ) ∧ ⨁ = ( ∧ ∧ ̅) ∨ = ∨ ∧ ∧ ∧ ( ∨ ̅) ∨ ( ∧ ) ∧ ∨ = ( ∧ )⨁( ∧ ) Các tính chất khác hiển nhiên b) Đặt = ∧ ∨( ∧ ) ( ⨁ )∧ Suy ∧ ≺ ⨁ Tương tự ∧ ≺ ⨁ ∧ = ∧ ∧ ⨁ ∧ ∧ = GS Nguyễn Hữu Anh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn ∧ 126 Tai lieu Luan van Luan an Do an ⨁′ ≺ ⨁ Vậy ( ⨁ ) ∨ ⨁′ = Do ( ⨁ ) ∧ ⨁′ Mặt khác = ∧( ∨ )∧ ∨ ∧( ∨ )∧ ⨁ ∨ = ( ∧ )⨁( ∧ ) = Như ⨁ = ⨁′ = ⨁′ ∨ 13 a) = ⟹ ≺ Đặt Mặt khác giả sử b) ≺ =( ∧ )∨( ∧ )= ∧ = ∧ Ta có: ∧ = ∧ ≺ = ∨ ∨ = ∨ ∨ ≺ Ngược lại giả sử ∨ Suy = = ∨( ∧ )= ∨ c) Ta có ∨ ∨( ∧ ) ≺ = ≻ ≺ ∨ ∨ =1 ∧ ≺ ≺ ≺ Khi ∨ nghiệm (1) d) Nếu nghiệm, b) ≻ ∧ = ∧ ∧ = ∧ e) Nghiệm = có dạng ∧ với = ∨ ≺ Ngược lại = ∧ Như ∧ ≺ ≺ nên nghiệm c) nghiệm ∧ ̅= ∧ với nên ta đưa (1) 14 Do 1728 = chia hết cho phương nên khơng đại số Bool Hơn số mũ khơng có dạng − 1, ∈ nên khơng có thứ tự trở thành dàn bù phân bố, nghĩa đại số Bool 16 a) ( ) = nguyên tử b) Nhận xét ngun tử khơng trội ∨ trội trực tiếp Do ta chứng minh qui nạp ( ) = có nguyên tử trội Suy ( ∨ ) = ( ) + ( ) − ( ∧ ) 17 a) b) = 1 ℎ 18 a), b) 19 a) ̅ ̅ b) c) =1 d) e) c), d) = 1, ù ý ̅ ̅ c) ̅ d) ̅ ̅ ̅ = 15 điểm có thành phần Cịn lại (2 − 15) = 49 điểm, nên có hàm Bool thỏa điều kiện 20 a) Có 6 + = điểm số thành phần có giá trị béhoơn 2, nên tổng số hàm Bool thỏa điều kiện = 128 b) Có c) =2 = = 256 21 Ta có (1,0) = (0,1) nên hàm Bool có dạng , , số thuộc {0,1} 22 Ta có (1,0,0) = (0,0,1) = (0,1,0) (1,1,0) = (1,0,1) = (0,1,1) Do hàm Bool có dạng: ( , , ) = ∨ ( ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ) số tùy ý thuộc {0,1} ∨ ̅ GS Nguyễn Hữu Anh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn ̅ ∨ ( ̅∨ ( ̅∨ ∨ ̅ ), với ∨ ̅ )∨ 127 Tai lieu Luan van Luan an Do an 23 Hàm Bool biến không thay đổi giá trị ta hoán vị biến hà m Bool 22 Tương tự hàm Bool biến thay đổi giá trị ta hốn vị biến có dạng: ∨ ̅ ̅ ̅∨ ( ̅∨ )∨ ( ( , , , )= ̅∨ ∨ thuộc {0,1} ̅∨ ̅∨ ∨ ∨ ̅∨ ) với ̅∨ ̅∨ ∨ số tùy ý )∨ ( , , , , 24 Xét , , ∈ {0,1} Khi số số Giả sử = Ta có: ( , , )= ( , , )⟹ ( , , )=0 Tương tự trường hợp khác ta có = Nếu > 2 cũng không tồn hàm Bool biến ≠ thỏa điều kiện Tuy nhiên = hàm Bool có dạng ( , ) = ∨ ̅ với số tùy ý thuộc {0,1} 25.Lập bảng chân trị Khi hàm chẵn xác định hoàn toàn = tiên Do hàm chẵn = 2, ta hàm chẵn: Với biến 26 Tương tự 25, số hàm lẻ = hay 27 a) Hai vế Với ∨ ̅ , dòng đầu ∨ ̅ , 0,1 = 2, ta hàm lẻ: , ̅, , =0 ℱ ×ℱ ⟶ ℱ b) Xét ánh xạ ( , ) ⟼ )= ( ,…, với ( , , … , ánh xạ song ánh Suy |ℱ c) Bằng qui nạp )∨ ̅ ( ,…, ) Khi ta kiểm dễ dàng | = |ℱ | × |ℱ |.Bằng qui nạp ta suy |ℱ | = tính phân bố 28 a) Viết hàm theo − biến lại tổng Bool từ tối tiểu sử dụng tính phân bố, ta viết tổng Bool từ tối tiểu theo biến b) ≺ ⟺ ∃ℎ: = ℎ Do hàm Bool trội 29 a) b) ∨ = 31 a) b) 32 ∨ ̅∨ ∨ ̅∨ ̅∨ ̅∨ ∨ ̅∨ ∨ ∨ ̅∨ ∨ = ̅ ̅ ∨ ∨ ̅∨ ∨ ̅∨ ̅∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ̅∨ ̅ ∨ tích số từ đơn xuất Suy có ̅ ∨ ̅ ̅∨ ∨ ̅ ∨ ∨ ̅∨ ∨ ̅ ̅ ̅ ∨ 34 ∨ 35 Cổng NOT tổng hợp sau: ̅ GS Nguyễn Hữu Anh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn 128 Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn