Giáo trình Toán rời rạc Chương IV: Đồ thị euler và đồ thị Hamilton39288

CHƯƠNG IV ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON 4.1 ĐƯỜNG ĐI EULER VÀ ĐỒ THỊ EULER Có thể coi năm 1736 năm khai sinh lý thuyết đồ thị, với việc cơng bố lời giải “bài tốn cầu Konigsberg” nhà toán học lỗi lạc Euler (1707-1783) Thành phố Konigsberg thuộc Phổ (nay gọi Kaliningrad thuộc Nga) chia thành bốn vùng nhánh sông Pregel, vùng gồm hai vùng bên bờ sông, đảo Kneiphof miền nằm hai nhánh sông Pregel Vào kỷ 18, người ta xây bảy cầu nối vùng với B B D A D A C C G Dân thành phố thắc mắc: “Có thể dạo qua tất bảy cầu, cầu lần không?” Nếu ta coi khu vực A, B, C, D đỉnh cầu qua lại hai khu vực cạnh nối hai đỉnh ta có sơ đồ Konigsberg đa đồ thị G hình Bài tốn tìm đường qua tất cầu, cầu qua lần phát biểu lại mơ hình sau: Có tồn chu trình đơn đa đồ thị G chứa tất cạnh? 4.1.1 Định nghĩa: Chu trình (t.ư đường đi) đơn chứa tất cạnh (hoặc cung) đồ thị (vô hướng có hướng) G gọi chu trình (t.ư đường đi) Euler Một đồ thị liên thông (liên thông yếu đồ thị có hướng) có chứa chu trình (t.ư đường đi) Euler gọi đồ thị Euler (t.ư nửa Euler) Thí dụ 1: Đồ thị Euler Đồ thị không nửa Euler Đồ thị nửa Euler 54 DeThiMau.vn Đồ thị Euler Đồ thị nửa Euler Điều kiện cần đủ để đồ thị đồ thị Euler Euler tìm vào năm 1736 ơng giải tốn hóc búa tiếng thời bảy cầu Konigsberg định lý lý thuyết đồ thị 4.1.2 Định lý: Đồ thị (vô hướng) liên thông G đồ thị Euler đỉnh G có bậc chẵn Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử G đồ thị Euler, tức tồn chu trình Euler P G Khi lần chu trình P qua đỉnh G bậc đỉnh tăng lên Mặt khác, cạnh đồ thị xuất P lần Do đỉnh đồ thị có bậc chẵn 4.1.3 Bổ đề: Nếu bậc đỉnh đồ thị G không nhỏ G chứa chu trình đơn Chứng minh: Nếu G có cạnh bội có khun khẳng định bổ đề hiển nhiên Vì giả sử G đơn đồ thị Gọi v đỉnh G Ta xây dựng theo quy nạp đường v v1 v2 v1 đỉnh kề với v, với i  1, chọn vi+1 đỉnh kề với vi vi+1  vi-1 (có thể chọn deg(vi)  2), v0 = v Do tập đỉnh G hữu hạn, nên sau số hữu hạn bước ta phải quay lại đỉnh xuất trước Gọi k số nguyên dương để vk=vi (0i0) số tối thiểu đỉnh cần thiết để G’ chứa chu trình Hamilton Như vậy, G’ có n+k đỉnh y b a a' b’ Gọi P chu trình Hamilton ayb a G’, a b đỉnh G, y đỉnh Khi b khơng kề với a, trái lại ta bỏ đỉnh y chu trình ab a, mâu thuẩn với giả thiết tính chất nhỏ k Ngoài ra, a’ đỉnh kề a (khác với y) b’ đỉnh nối tiếp a’ chu trình P b’ khơng thể đỉnh kề với b, trái lại ta thay P chu trình aa’ bb’ a, khơng có y, mâu thuẩn với giả thiết tính chất nhỏ k Như vậy, với đỉnh kề với a, ta có đỉnh khơng kề với b, tức số đỉnh n khơng kề với b khơng thể số đỉnh kề với a (số đỉnh kề với a khơng nhỏ +k) 61 DeThiMau.vn n +k Vì khơng có đỉnh n vừa kề với b lại vừa không kề với b, nên số đỉnh G’ khơng 2( +k)=n+2k, mâu thuẩn với giả thiết số đỉnh G’ n+k (k>0) Định lý chứng minh 4.2.4 Hệ quả: Nếu G đơn đồ thị có n đỉnh đỉnh G có bậc khơng nhỏ n 1 G đồ thị nửa Hamilton Chứng minh: Thêm vào G đỉnh x nối x với đỉnh G ta nhận n 1 đơn đồ thị G’ có n+1 đỉnh đỉnh có bậc khơng nhỏ Do theo Định lý 4.2.3, G’ có chu trình Hamilton Bỏ x khỏi chu trình này, ta nhận đường Hamilton G 4.2.5 Định lý (Ore, 1960): Nếu G đơn đồ thị có n đỉnh hai đỉnh không kề có tổng số bậc khơng nhỏ n G đồ thị Hamilton Mặt khác, theo giả thiết số đỉnh kề với b không nhỏ 4.2.6 Định lý: Nếu G đồ thị phân đôi với hai tập đỉnh V1, V2 có số đỉnh n (n  2) bậc đỉnh lớn Thí dụ 4: a n G đồ thị Hamilton e da f e b c d a b g f h g Đồ thị G có đỉnh, đỉnh có bậc 4, nên theo Định lý 4.2.3, G đồ thị Hamilton a b b d e f c Đồ thị G’ có đỉnh bậc đỉnh bậc kề nên tổng số bậc hai đỉnh không kề 8, nên theo Định lý 4.2.5, G’ đồ thị Hamilton Đồ thị phân đơi có bậc đỉnh (> 3/2), nên theo Định lý 4.2.6, đồ thị Hamilton 62 DeThiMau.vn 4.2.7 Bài tốn xếp chỗ ngồi: Có n đại biểu từ n nước đến dự hội nghị quốc tế Mỗi ngày họp lần ngồi quanh bàn tròn Hỏi phải bố trí ngày bố trí cho ngày, người có hai người kế bên bạn Lưu ý n người muốn làm quen với Xét đồ thị gồm n đỉnh, đỉnh ứng với người dự hội nghị, hai đỉnh kề hai đại biểu tương ứng muốn làm quen với Như vậy, ta có đồ thị đầy đủ Kn Đồ thị Hamilton rõ ràng chu trình Hamilton cách xếp yêu cầu toán Bái tốn trở thành tìm chu trình Hamilton phân biệt đồ thị đầy đủ Kn (hai chu trình Hamilton gọi phân biệt chúng khơng có cạnh chung) n 1 Định lý: Đồ thị đầy đủ Kn với n lẻ n  có chu trình Hamilton phân biệt n(n  1) Chứng minh: Kn có cạnh chu trình Hamilton có n cạnh, nên số chu n 1 trình Hamilton phân biệt nhiều n Giả sử đỉnh Kn 1, 2, , n Đặt đỉnh tâm đường tròn đỉnh 2, , n đặt cách đường tròn (mỗi cung 3600/(n-1) cho đỉnh lẻ nằm nửa đường tròn đỉnh chẵn nằm nửa đường trịn Ta có chu trình Hamilton 1,2, , n,1 Các đỉnh giữ cố định, xoay khung theo chiều kim đồng hồ với góc quay: 360 360 360 n  360 , , , , , n 1 n 1 n 1 n 1 n3 n 1 ta nhận khung phân biệt với khung Do ta có chu trình 2 Hamilton phân biệt Thí dụ 5: Giải toán xếp chỗ ngồi với n=11 Có (111)/2=5 cách xếp chỗ ngồi phân biệt sau: 10 11 1 11 10 1 11 10 1 11 10 63 DeThiMau.vn 11 10 5 3 8 1 1 8 1 9 BÀI TẬP CHƯƠNG IV: Với giá trị n đồ thị sau có chu trình Euler ? a) Kn, b) Cn, c) Wn, d) Qn Với giá trị m n đồ thị phân đơi đầy đủ Km,n có: a) chu trình Euler ? b) đường Euler ? Với giá trị m n đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n có chu trình Hamilton ? Chứng minh đồ thị lập phương Qn đồ thị Hamilton Vẽ liệt kê tất chu trình Hamilton đồ thị lập phương Q3 Trong họp có 15 người ngày ngồi với quanh bàn trịn lần Hỏi có cách xếp cho lần ngồi họp, người có hai người bên cạnh bạn mới, xếp ? Hiệu trưởng mời 2n (n  2) sinh viên giỏi đến dự tiệc Mỗi sinh viên giỏi quen n sinh viên giỏi khác đến dự tiệc Chứng minh luôn xếp tất sinh viên giỏi ngồi xung quanh bàn tròn, để người ngồi hai người mà sinh viên quen Một ơng vua xây dựng lâu đài để cất báu vật Người ta tìm thấy sơ đồ lâu đài (hình sau) với lời dặn: muốn tìm báu vật, cần từ phịng bên ngồi (số 1, 2, 6, 10, ), qua tất cửa phòng, cửa lần; báu vật giấu sau cửa cuối Hãy tìm nơi giấu báu vật 64 DeThiMau.vn 10 11 13 12 14 15 16 17 18 21 20 19 Đồ thị cho hình sau gọi đồ thị Peterson P a e b g f h k d a) Tìm đường Hamilton P b) Chứng minh P \ {v}, với v đỉnh P, đồ thị Hamilton i c Giải toán người phát thư Trung Hoa với đồ thị cho hình sau: 10 Chứng minh đồ thị G cho s d r c hình sau có đường Hamilton (từ s đến r) khơng có chu trình Hamilton e g b f a 65 DeThiMau.vn h 11 Cho thí dụ về: 1) Đồ thị có chu trình vừa chu trình Euler vừa chu trình Hamilton; 2) Đồ thị có chu trình Euler chu trình Hamilton, hai chu trình khơng trùng nhau; 3) Đồ thị có đỉnh, đồ thị Hamilton, đồ thị Euler; 4) Đồ thị có đỉnh, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton 12 Chứng minh mã qua tất ô bàn cờ có x x ô vuông, ô lần, trở chỗ cũ 66 DeThiMau.vn ... Hamilton; 2) Đồ thị có chu trình Euler chu trình Hamilton, hai chu trình khơng trùng nhau; 3) Đồ thị có đỉnh, đồ thị Hamilton, đồ thị Euler; 4) Đồ thị có đỉnh, đồ thị Euler, khơng phải đồ thị Hamilton.. .Đồ thị Euler Đồ thị nửa Euler Điều kiện cần đủ để đồ thị đồ thị Euler Euler tìm vào năm 1736 ơng giải tốn hóc búa tiếng thời bảy cầu Konigsberg định lý lý thuyết đồ thị 4.1.2 Định lý: Đồ thị. .. qua hai lần Bài toán đặt đưa toán sau: Trong đồ thị Euler GT, tìm đồ thị có số cạnh (khi chu trình Euler đồ thị hành trình ngắn nhất) Định lý (Gooodman Hedetniemi, 1973) Nếu G đồ thị liên thơng