Thông tin tài liệu
CHƯƠNG VI CÂY Một đồ thị liên thông chu trình gọi Cây dùng từ năm 1857, nhà toán học Anh tên Arthur Cayley dùng để xác định dạng khác hợp chất hố học Từ dùng để giải nhiều toán nhiều lĩnh vực khác Cây hay sử dụng tin học Chẳng hạn, người ta dùng để xây dựng thuật tốn có hiệu để định vị phần tử danh sách Cây dùng để xây dựng mạng máy tính với chi phí rẻ cho đường điện thoại nối máy phân tán Cây dùng để tạo mã có hiệu để lưu trữ truyền liệu Dùng mơ hình thủ tục mà để thi hành cần dùng dãy định Vì đặc biệt có giá trị nghiên cứu thuật toán xếp 6.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 6.1.1 Định nghĩa: Cây đồ thị vô hướng liên thơng, khơng chứa chu trình có hai đỉnh Một đồ thị vơ hướng khơng chứa chu trình có hai đỉnh gọi rừng Trong rừng, thành phần liên thông Thí dụ 1: Rừng sau có cây: c b i d a f g h e j k m l n 6.1.2 Mệnh đề: Nếu T có n đỉnh T có hai đỉnh treo Chứng minh: Lấy cạnh (a,b) tuỳ ý T Trong tập hợp đường sơ cấp chứa cạnh (a,b), ta lấy đường từ u đến v dài Vì T nên u v Mặt khác, u v phải hai đỉnh treo, đỉnh, u chẳng hạn, khơng phải đỉnh treo u phải đầu mút cạnh (u,x), với x đỉnh không thuộc đường từ u đến v Do đó, đường sơ cấp từ x đến v, chứa cạnh (a,b), dài đường từ u đến v, trái với tính chất đường từ u đến v chọn 6.1.3 Định lý: Cho T đồ thị có n đỉnh Các điều sau tương đương: 1) T 2) T liên thông có n1 cạnh 3) T khơng chứa chu trình có n1 cạnh 4) T liên thơng cạnh cầu 5) Giữa hai đỉnh phân biệt T ln có đường sơ cấp 87 DeThiMau.vn 6) T khơng chứa chu trình thêm cạnh có chu trình Chứng minh: 1)2) Chỉ cần chứng minh có n đỉnh có n1 cạnh Ta chứng minh quy nạp Điều hiển nhiên n=2 Giả sử có k đỉnh có k1 cạnh, ta chứng minh T có k+1 đỉnh có k cạnh Thật vậy, T ta xoá đỉnh treo cạnh treo tương ứng đồ thị nhận k đỉnh, có k1 cạnh, theo giả thiết quy nạp Vậy T có k cạnh 2)3) Nếu T có chu trình bỏ cạnh chu trình T liên thơng Làm lại T khơng cịn chu trình mà liên thơng, lúc ta có n đỉnh có n1 cạnh, trái với 2) 3)4) Nếu T có k thành phần liên thơng T1, , Tk có số đỉnh n1, , nk (với n1+n2+ +nk=n) Ti nên có số cạnh ni1 Vậy ta có n1=(n11)+(n21)+ +(nk1)=(n1+n2+ +nk)k=nk Do k=1 hay T liên thông Hơn nữa, bỏ cạnh T hết liên thơng, cịn liên thơng T n đỉnh với n2 cạnh, trái với điều chứng minh 4)5) Vì T liên thơng nên hai đỉnh phân biệt T ln có đường sơ cấp, nối hai đường sơ cấp thế, hai đường tạo chu trình bỏ cạnh thuộc chu trình này, T liên thơng, trái với giả thiết 5)6) Nếu T chứa chu trình hai đỉnh chu trình nối hai đường sơ cấp Ngoài ra, thêm cạnh (u,v), cạnh tạo nên với đường sơ cấp nối u v chu trình 6)1) Nếu T khơng liên thơng thêm cạnh nối hai đỉnh hai thành phần liên thông khác ta không nhận chu trình Vậy T liên thơng, 6.2 CÂY KHUNG VÀ BÀI TỐN TÌM CÂY KHUNG NHỎ NHẤT 6.2.1 Định nghĩa: Trong đồ thị liên thông G, ta loại bỏ cạnh nằm chu trình ta đồ thị liên thông Nếu loại bỏ cạnh chu trình khác đồ thị khơng cịn chu trình (vẫn liên thơng) ta thu nối đỉnh G Cây gọi khung hay bao trùm đồ thị G Tổng quát, G đồ thị có n đỉnh, m cạnh k thành phần liên thơng áp dụng thủ tục vừa mơ tả thành phần liên thông G, ta thu đồ thị gọi rừng khung G Số cạnh bị loại bỏ thủ tục mn+k, số ký hiệu (G) gọi chu số đồ thị G 6.2.2 Bài toán tìm khung nhỏ nhất: Bài tốn tìm khung nhỏ đồ thị số tốn tối ưu đồ thị tìm ứng dụng nhiều lĩnh 88 DeThiMau.vn vực khác đời sống Trong phần ta có hai thuật toán để giải toán Trước hết, nội dung toán phát biểu sau Cho G=(V,E) đồ thị vơ hướng liên thơng có trọng số, cạnh eE có trọng số m(e)0 Giả sử T=(VT,ET) khung đồ thị G (VT=V) Ta gọi độ dài m(T) khung T tổng trọng số cạnh nó: m(T)= m(e) e E T Bài toán đặt số tất khung đồ thị G, tìm khung có độ dài nhỏ Cây khung gọi khung nhỏ đồ thị toán đặt gọi tốn tìm khung nhỏ Để minh hoạ cho ứng dụng toán khung nhỏ nhất, hai mơ hình thực tế tiêu biểu cho Bài tốn xây dựng hệ thống đường sắt: Giả sử ta muốn xây dựng hệ thống đường sắt nối n thành phố cho hành khách từ thành phố đến số thành phố lại Mặt khác, quan điểm kinh tế địi hỏi chi phí xây dựng hệ thống đường phải nhỏ Rõ ràng đồ thị mà đỉnh thành phố cạnh tuyến đường sắt nối thành phố tương ứng, với phương án xây dựng tối ưu phải Vì vậy, tốn đặt dẫn tốn tìm khung nhỏ đồ thị đầy đủ n đỉnh, đỉnh tương ứng với thành phố với độ dài cạnh chi phí xây dựng hệ thống đường sắt nối hai thành phố Bài tốn nối mạng máy tính: Cần nối mạng hệ thống gồm n máy tính đánh số từ đến n Biết chi phí nối máy i với máy j m(i,j) (thơng thường chi phí phụ thuộc vào độ dài cáp nối cần sử dụng) Hãy tìm cách nối mạng cho tổng chi phí nhỏ Bài tốn dẫn tốn tìm khung nhỏ Bài tốn tìm khung nhỏ có thuật tốn hiệu để giải chúng Ta xét hai số thuật toán vậy: thuật toán Kruskal thuật toán Prim 6.2.3 Thuật toán Kruskal:Thuật toán xây dựng tập cạnh ET khung nhỏ T=(VT, ET) theo bước Trước hết xếp cạnh đồ thị G theo thứ tự không giảm trọng số Bắt đầu từ ET=, bước ta duyệt danh sách cạnh xếp, từ cạnh có độ dài nhỏ đến cạnh có độ dài lớn hơn, để tìm cạnh mà việc bổ sung vào tập ET khơng tạo thành chu trình tập Thuật toán kết thúc ta thu tập ET gồm n1 cạnh Cụ thể mơ tả sau: Bắt đầu từ đồ thị rỗng T có n đỉnh Sắp xếp cạnh G theo thứ tự không giảm trọng số Bắt đầu từ cạnh dãy này, ta thêm dần cạnh dãy xếp vào T theo nguyên tắc cạnh thêm vào không tạo thành chu trình T 89 DeThiMau.vn Lặp lại Bước số cạnh T n1, ta thu khung nhỏ cần tìm Thí dụ 2: Tìm khung nhỏ đồ thị cho hình đây: 33 v2 18 v1 17 v3 20 16 v4 v5 v2 v6 v4 v1 14 v6 v3 v5 Bắt đầu từ đồ thị rỗng T có đỉnh Sắp xếp cạnh đồ thị theo thứ tự không giảm trọng số: {(v3, v5), (v4, v6), (v4, v5), (v5, v6), (v3, v4), (v1, v3), (v2, v3), (v2, v4), (v1, v2)} Thêm vào đồ thị T cạnh (v3, v5) Do số cạnh T 1
Ngày đăng: 30/03/2022, 14:55
Xem thêm:
