Bài giảng môn toán lớp 12 Chương VI: Phương trình đẳng cấp47115

CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP a sin2 u + b sin u cos u + c cos2 u = d Cá c h giả i : π • Tìm nghiệm u = + kπ ( lúc cos u = sin u = ±1) • Chia hai vế phương trình cho cos2 u ≠ ta phương trình : ( atg 2u + btgu + c = d + tg 2u ) Đặt t = tgu ta có phương trình : ( a − d ) t + bt + c − d = Giả i phương trình tìm đượ c t = tgu Bà i 127 : Giả i phương trình cos2 x − sin 2x = + sin2 x ( *) Vì cosx = khô n g nghiệ m nê n Chia hai vế củ a (*) cho cos2 ≠ ta đượ c ( *) ⇔ − 3tgx = + tg x + tg x ( ) Đặ t t = tgx ta có phương trình : 2t2 + 3t = ⇔ t = 0∨ t = − Vaä y ( * ) ⇔ tgx = hay tgx = − ⇔ x = kπ hay x = − π + kπ, k ∈ ฀ Bà i 128 : Giả i phương trình cos3 x − sin x − cos x sin x + sin x = ( *) π + kπ cos x = sin x = ±1 (*) vô nghiệ m • Do cos x = khô n g nghiệ m nê n chia hai vế củ a (*) cho cos 3x ta coù (*) ⇔ − 4tg x − 3tg x + tgx (1 + tg x ) = • Khi x = ⇔ 3tg x + 3tg x − tgx − = ( ) ⇔ ( tgx + 1) 3tg x − = 3 π π ⇔ x = − + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ฀ ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± DeThiMau.vn Baø i 129 : Giả i phương trình cos4 x − sin x cos2 x + sin x = ( * ) Do cosx = khoâ n g nghiệ m nê n chia hai vế củ a (*) cho cos4 x ≠ Ta coù : (*) ⇔ − 4tg x + tg x = ⇔ tg x = ∨ tg x = ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⇔ tgx = ±1 = tg ⎜ ± ⎟ ∨ tgx = tg ⎜ ± ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠ π π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ฀ Baø i 130 : Giả i phương trình sin 2x + 2tgx = ( * ) Chia hai vế củ a (*) cho cos2 x ≠ ta đượ c sin x cos x 2tgx + = (*) ⇔ 2 cos x cos x cos2 x ⇔ 2tgx + 2tgx + tg x = + tg x ( ) ( ) ⎧t = tgx ⇔⎨ ⎩2t − 3t + 4t − = ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩( t − 1) 2t − t + = ⇔ tgx = ( ⇔x= ) π + kπ, k ∈ ฀ Bà i 131 : Giả i phương trình sin x sin 2x + sin 3x = cos3 x ( * ) ( *) ⇔ sin2 x cos x + sin x − sin3 x = cos3 x • Khi cos x = ( sin x = ± ) ( * ) vô nghiệm • Chia hai vế phương trình (*) cho cos3 x ≠ ta đượ c 2sin2 x 3sin x sin3 x + − =6 cos2 x cos x cos2 x cos3 x ⇔ 2tg x + 3tgx + tg x − 4tg x = ( *) ⇔ ( ) ⇔ tg x − 2tg x − 3tgx + = ( ) ⇔ ( tgx − ) tg x − = ⇔ tgx = = tgα ∨ tgx = ± ⇔ x = α + kπ ∨ x = ± π + kπ, k ∈ ฀ ( với tgα = 2) DeThiMau.vn Bà i 132 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i A, nă m 2003) Giả i phương trình cos 2x cot gx − = + sin2 x − sin 2x ( *) + tgx Điề u kiệ n sin 2x ≠ vaø tgx ≠ −1 ( ) 2 cos 2x cos2 x − sin2 x cos x cos x − sin x = = Ta coù : sin x + tgx cos x + sin x 1+ cos x = cos x ( cos x − sin x ) ( tgx = −1 neân, sin x + cos x ≠ ) ( ) cos x − = cos2 x − sin x cos x + sin2 x − sin 2x sin x cos x − sin x ⇔ = − sin 2x sin x Do : ( *) ⇔ ⇔ ( cos x − sin x ) = sin x ( cos x − sin x ) ⇔ cos x − sin x = hay = sin x ( cos x − sin x ) (**) ⎡ tgx = ( nhận so với tgx ≠ −1) ⇔⎢ sin x ⎢ = − tg x ( cos x ≠ ) ⎢⎣ cos x cos x π ⎡ x = + kπ, k ∈ ฀ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢⎣2tg x − tgx + = ( vô nghiệm ) π + kπ, k ∈ ฀ ( nhaän sin 2x ≠ ) Lưu ý : m cá c h khác 1 ( * *) ⇔ − sin 2x + (1 − cos 2x ) =0 2 ⇔ = sin 2x + cos 2x ⇔x= π⎞ ⎛ ⇔ = sin ⎜ 2x + ⎟ : vô nghiệm 4⎠ ⎝ Bà i 133 : Giả i phương trình sin 3x + cos 3x + cos x = ( * ) ( *) ⇔ ( 3sin x − sin3 x ) + ( cos3 x − cos x ) + cos x = ⇔ 3sin x − sin3 x + cos3 x − cos x = Vì cosx = khô n g nghiệ m nê n chia hai vế phương trình cho cos3 x ≠ ta đượ c ( *) ⇔ 3tgx (1 + tg x ) − 4tg x + − (1 + tg x ) = DeThiMau.vn ⇔ − tg x − tg x + 3tgx + = ⎧ t = tgx ⇔⎨ ⎩ t + t − 3t − = ⎧⎪ t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩( t + 1) t − = ( ) ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± π π ⇔ x = − + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ฀ Bà i 134 : Giả i phương trình 6sin x − cos3 x = 5sin 4x.cos x ( *) cos 2x Điề u kiệ n : cos 2x ≠ ⇔ cos2 x − sin2 x ≠ ⇔ tgx ≠ ±1 10 sin 2x cos 2x cos x ⎧ ⎪6 sin x − cos x = Ta coù : (*) ⇔ ⎨ cos 2x ⎪⎩cos 2x ≠ ⎧6 sin x − cos3 x = sin 2x cos x ⇔⎨ ⎩ tgx ≠ ±1 ⎪⎧6 sin x − cos x = 10 sin x cos x ( * *) ⇔⎨ ⎪⎩tgx ≠ ±1 Do cosx = khô n g nghiệ m củ a (**), chia hai vế phương trình (**) cho cos3 x ta đượ c ⎧ 6tgx − = 10tgx ( * *) ⇔ ⎪⎨ cos2 x ⎪⎩tgx ≠ ±1 ⎧⎪t = tgx với t ≠ ±1 ⇔⎨ ⎪⎩6t + t − = 10t ⎧t = tgx với t ≠ ±1 ⎧t = tgx với t ≠ ±1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩3t − 2t − = ⎩(t − 1) (3t + 3t + 1) = ⎧ t = tgx với t ≠ ±1 ⇔⎨ : vô nghiệm ⎩t = ( ) Bà i 135 : Giả i phương trình sin x − sin x + cos x = ( * ) • Vì cosx = khô ng nghiệ m nê n chia hai vế phương trình cho cos x ( *) ⇔ tgx (1 + tg x ) − 4tg x + + tg x = DeThiMau.vn ⎧t = tgx ⇔⎨ ⎩−3t + t + t + = ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩( t − 1) 3t + 2t + = ⇔ tgx = ( ⇔x= ) π + kπ, k ∈ ฀ Bà i 136 : Giả i phương trình tgx sin x − sin x = ( cos 2x + sin x cos x )( * ) Chia hai vế củ a phương trình (*) cho cos x cos2 x − sin x + sin x cos x ( *) ⇔ tg x − 2tg x = cos2 x ⇔ tg x − 2tg x = − tg x + tgx ( ( ) ) ⇔ tg x + tg x − 3tgx − = ⎧ t = tgx ⇔⎨ ⎩ t + t − 3t − = ⎧⎪ t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩( t + 1) t − = ( ) ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± ⇔x=− π π + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ฀ Bà i 137 : Cho phương trình ( − 6m ) sin x + ( 2m − 1) sin x + ( m − ) sin x cos x − ( 4m − 3) cos x = ( *) a/ Giaû i phương trình m = ⎡ π⎤ b/ Tìm m để phương trình (*) có nhấ t mộ t nghiệ m trê n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 4⎦ π Khi x = + kπ cosx = sin x = ±1 nê n (*) thaøn h : ± ( − 6m ) ± ( 2m − 1) = ⇔ = vô nghiệm chia hai (*) cho cos3 x ≠ ( *) ⇔ ( − 6m ) tg x + ( 2m − 1) tgx (1 + tg x ) + ( m − ) tg x − ( 4m − 3) (1 + tg x ) = ⎧⎪ t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩ t − ( 2m + 1) t + ( 2m − 1) t − 4m + = ( * *) DeThiMau.vn ⎧⎪t = tgx ⇔⎨ ⎪⎩( t − 1) t − 2mt + 4m − = ( ) ⎧⎪t = tgx a/ Khi m = (*) nh ⎨ ⎪⎩( t − 1) t − 4t + = π ⇔ tgx = ⇔ x = + kπ, k ∈ ฀ ( ) ⎡ π⎤ b/ Ta coù : x ∈ ⎢ 0, ⎥ tgx = t ∈ [ 0,1] ⎣ 4⎦ Xé t phương trình : t − 2mt + 4m − = ( ) ⇔ t − = 2m ( t − ) t2 − = 2m (do t = khôn g nghiệ m ) t−2 t2 − Đặt y = f ( t ) = ( C ) vaø (d) y = 2m t−2 t − 4t + Ta coù : y ' = f ( t ) = ( t − 2) ⇔ Do (**) luô n có nghiệ m t = ∈ [ 0,1] trê n yê u cầ u bà i toá n ⎡( d ) y = 2m điểm chung với ( C ) ⇔⎢ ⎢⎣( d ) cắt ( C ) điểm nhaát t = ⇔ 2m < ∨ 2m ≥ 2 ⇔ m< ∨m≥1 Caù c h khaù c : Y C B T ⇔ f(t) = t − 2mt + 4m − = ( ) vô nghiệ m trê n [ 0,1 ) ⎧Δ ≥ ⎪af (0 ) ≥ ⎪⎪ Ta có (2) có nghiệ m ∈ [ 0,1] ⇔ f (0) f (1) ≤ hay ⎨af (1) ≥ ⎪ ⎪0 ≤ S ≤1 ⎪⎩ DeThiMau.vn ... kπ, k ∈ ฀ Baø i 137 : Cho phương trình ( − 6m ) sin x + ( 2m − 1) sin x + ( m − ) sin x cos x − ( 4m − 3) cos x = ( *) a/ Giả i phương trình m = ⎡ π⎤ b/ Tìm m để phương trình (*) có nhấ t mộ t... phương trình sin 3x + cos 3x + cos x = ( * ) ( *) ⇔ ( 3sin x − sin3 x ) + ( cos3 x − cos x ) + cos x = ⇔ 3sin x − sin3 x + cos3 x − cos x = Vì cosx = khô n g nghiệ m nê n chia hai vế phương trình. .. t ≠ ±1 ⇔⎨ : vô nghiệm ⎩t = ( ) Bà i 135 : Giả i phương trình sin x − sin x + cos x = ( * ) • Vì cosx = khô ng nghiệ m nê n chia hai vế phương trình cho cos x ( *) ⇔ tgx (1 + tg x ) − 4tg x +