CHƯƠNG III ĐỒ THỊ Mạng kiểu lưới (hoặc mảng hai chiều) rất hay được dùng cho các mạng liên kết. Trong một mạng như thế, số các bộ xử lý là một số chính phương, n=m 2 . Các bộ xử lý được gán nhãn P(i,j), 0 i, j m1. Các kết nối hai chiều sẽ nối bộ xử lý P(i,j) với bốn bộ xử lý bên cạnh, tức là với P(i,j1) và P(i1,j) chừng nào các bộ xử lý còn ở trong lưới. P 2 P 4 P 5 P 6 P(0,0) P(0,1) P(0,2) P(0,3) P(1,0) P(1,1) P(1,2) P(1,3) P(2,0) P(2,1) P(2,2) P(2,3) P(3,0) P(3,1) P(3,2) P(3,3) Mạng kết nối quan trọng nhất là mạng kiểu siêu khối. Với các mạng loại này số các bộ xử lý là luỹ thừa của 2, n=2 m . Các bộ xử lý được gán nhãn là P 0 , P 1 , , P n-1 . Mỗi bộ xử lý có liên kết hai chiều với m bộ xử lý khác. Bộ xử lý P i nối với bộ xử lý có chỉ số biểu diễn bằng dãy nhị phân khác với dãy nhị phân biểu diễn i tại đúng một bit. Mạng kiểu siêu khối cân bằng số các kết nối trực tiếp của mỗi bộ xử lý và số các kết nối gián tiếp sao cho các bộ xử lý có thể truyền thông được. Nhiều máy tính đã chế tạo theo mạng kiểu siêu khối và nhiều thuật toán đã được thiết kế để sử dụng mạng kiểu siêu khối. Đồ thị lập phương Q m biểu diễn mạng kiểu siêu khối có 2 m bộ xử lý. 3.4. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬN VÀ SỰ ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊ: 3.4.1. Định nghĩa: Cho đồ thị G=(V,E) (vô hướng hoặc có hướng), với V={v 1 ,v 2 , , v n }. Ma trận liền kề của G ứng với thứ tự các đỉnh v 1 ,v 2 , , v n là ma trận A= ),()( ,1 ZnMa njiij , trong đó a ij là số cạnh hoặc cung nối từ v i tới v j . P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 0 P 7 Như vậy, ma trận liền kề của một đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng, nghĩa là jiij aa , trong khi ma trận liền kề của một đồ thị có hướng không có tính đối xứng. Thí dụ 11: Ma trận liền kề với thứ tự các đỉnh v 1 , v 2 , v 3 , v 4 là: 0212 2110 1103 2030 Ma trận liền kề với thứ tự các đỉnh v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 là: 01011 10200 01001 01210 11011 3.4.2. Định nghĩa: Cho đồ thị vô hướng G=(V,E), v 1 , v 2 , , v n là các đỉnh và e 1 , e 2 , , e m là các cạnh của G. Ma trận liên thuộc của G theo thứ tự trên của V và E là ma trận M= ),()( 1 1 ZmnMm mj niij , v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 v 2 v 5 v 4 v 3 v 1 ij m bằng 1 nếu cạnh e j nối với đỉnh v i và bằng 0 nếu cạnh e j không nối với đỉnh v i . Thí dụ 12: Ma trận liên thuộc theo thứ tự các đỉnh v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 và các cạnh e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 là: 011010 000101 110000 101100 000011 3.4.3. Định nghĩa: Các đơn đồ thị G 1 =(V 1 ,E 1 ) và G 2 =(V 2 ,E 2 ) được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một song ánh f từ V 1 lên V 2 sao cho các đỉnh u và v là liền kề trong G 1 khi và chỉ khi f(u) và f(v) là liền kề trong G 2 với mọi u và v trong V 1 . Ánh xạ f như thế gọi là một phép đẳng cấu. Thông thường, để chứng tỏ hai đơn đồ thị là không đẳng cấu, người ta chỉ ra chúng không có chung một tính chất mà các đơn đồ thị đẳng cấu cần phải có. Tính chất như thế gọi là một bất biến đối với phép đẳng cấu của các đơn đồ thị. Thí dụ 13: 1) Hai đơn đồ thị G 1 và G 2 sau là đẳng cấu qua phép đẳng cấu f: a x, b u, c z, d v, e y: v 2 v 3 v 4 v 5 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 a b c e d u v z G 1 G 2 2) Hai đồ thị G 1 và G 2 sau đều có 5 đỉnh và 6 cạnh nhưng không đẳng cấu vì trong G 1 có một đỉnh bậc 4 mà trong G 2 không có đỉnh bậc 4 nào. 3) Hai đồ thị G 1 và G 2 sau đều có 7 đỉnh, 10 cạnh, cùng có một đỉnh bậc 4, bốn đỉnh bậc 3 và hai đỉnh bậc 2. Tuy nhiên G 1 và G 2 là không đẳng cấu vì hai đỉnh bậc 2 của G 1 (a và d) là không kề nhau, trong khi hai đỉnh bậc 2 của G 2 (y và z) là kề nhau. x y d c g e h u v x y w t z G 1 G 2 4) Hãy xác định xem hai đồ thị sau có đẳng cấu hay không? G 1 G 2 Hai đồ thị G 1 và G 2 là đẳng cấu vì hai ma trận liền kề của G 1 theo thứ tự các đỉnh u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 và của G 2 theo thứ tự các đỉnh v 6 , v 3 , v 4 , v 5 , v 1 , v 2 là như nhau và bằng: 010010 101000 010101 001010 100101 001010 3.5. CÁC ĐỒ THỊ MỚI TỪ ĐỒ THỊ CŨ. a b u 1 v 3 v 1 u 2 u 4 u 6 u 5 u 3 v 6 v 2 v 4 v 5 3.5.1. Định nghĩa: Cho hai đồ thị G 1 =(V 1 ,E 1 ) và G 2 =(V 2 ,E 2 ). Ta nói G 2 là đồ thị con của G 1 nếu V 2 V 1 và E 2 E 1 . Trong trường hợp V 1 =V 2 thì G 2 gọi là con bao trùm của G 1 . Thí dụ 14: G G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 1 , G 2 , G 3 và G 4 là các đồ thị con của G, trong đó G 2 và G 4 là đồ thị con bao trùm của G, còn G 5 không phải là đồ thị con của G. 3.5.2. Định nghĩa: Hợp của hai đơn đồ thị G 1 =(V 1 ,E 1 ) và G 2 =(V 2 ,E 2 ) là một đơn đồ thị có tập các đỉnh là V 1 V 2 và tập các cạnh là E 1 E 2 , ký hiệu là G 1 G 2 . a e d c b a c b a d c e b a d c b a d b c e a d c b x . G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 1 , G 2 , G 3 và G 4 là các đồ thị con của G, trong đó G 2 và G 4 là đồ thị con bao trùm của G, còn G 5 không phải là đồ thị con của G. 3. 5.2. Định. thuật toán đã được thiết kế để sử dụng mạng kiểu siêu khối. Đồ thị lập phương Q m biểu diễn mạng kiểu siêu khối có 2 m bộ xử lý. 3. 4. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬN VÀ SỰ ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊ:. P 2 P 4 P 5 P 6 P(0,0) P(0,1) P(0,2) P(0 ,3) P(1,0) P(1,1) P(1,2) P(1 ,3) P(2,0) P(2,1) P(2,2) P(2 ,3) P (3, 0) P (3, 1) P (3, 2) P (3, 3) Mạng kết nối quan trọng nhất là mạng kiểu siêu khối.