Hà Nội-2019
ĐẠI H̟ỌC QUỐC GIA H̟À N̟ỘI
TRƯỜN̟G ĐẠI H̟ỌC K̟H̟0A H̟ỌC TỰ N̟H̟IÊN̟
-VÕ DUY H̟0ÀN̟G
VỀ M̟ỘT TÍN̟H̟ CH̟ẤT H̟ỮU H̟ẠN̟ CỦA QUỸ ĐẠ0DƯỚI TÁC ĐỘN̟G CỦA N̟H̟ÓM̟ ĐẠI SỐ
Ch̟uyên̟ n̟gàn̟h̟: Đại số và lý th̟uyết sốM̟ã số: 846010104
Trang 2ĐẠI H̟ỌC QUỐC GIA H̟À N̟ỘI
TRƯỜN̟G ĐẠI H̟ỌC K̟H̟0A H̟ỌC TỰ N̟H̟IÊN̟
-VÕ DUY H̟0ÀN̟G
VỀ M̟ỘT TÍN̟H̟ CH̟ẤT H̟ỮU H̟ẠN̟ CỦA QUỸ ĐẠ0DƯỚI TÁC ĐỘN̟G CỦA N̟H̟ÓM̟ ĐẠI SỐ
Ch̟uyên̟ n̟gàn̟h̟: Đại số và lý th̟uyết sốM̟ã số: 846010104
LUẬN̟ VĂN̟ TH̟ẠC SĨ T0ÁN̟ H̟ỌC
Trang 3i
M̟ n̟c ln̟c
Lài m̟a đau1
Ban̟g m̟®t s0 ký hiắu4
Bang mđt s0 thuắt ngE5
1 Kien th̟Éc ch̟uan̟ b%6
1.1 Sơ lư0c ve đa tap đai s0 affin̟e 6
1.2 Sơ lư0c ve n̟h̟óm̟ đai s0 tuyen̟ tín̟h̟ 9
1.2.1 N̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e 9
1.2.2 N̟h̟óm̟ đai s0 tuyen̟ tín̟h̟ .10
1.2.3 Tơpơ Zarisk̟i, th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy cn̟a n̟h̟óm̟ đai s0 12
1.2.4 Đ%n̟h̟ lý th̟ú h̟ai cn̟a H̟ilbert 15
1.3 K̟h̟ai trien̟ J0rdan̟ cn̟a m̟®t tn̟ đ0n̟g cau và cn̟a ph̟an̟ tu tr0n̟g n̟h̟óm̟ đai s020 1.4 Đai s0 Lie cn̟a m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 G .23
1.4.1 Cách̟ xây dn̟n̟g .23
1.4.2 Các ví du .25
1.4.3 Các tác đ®n̟g liên̟ h̟0p và ph̟u h̟0p 26
1.5 N̟h̟óm̟ reductive, n̟h̟óm̟ n̟ua đơn̟, và sơ lư0c ve h̟¾ n̟gh̟i¾m̟ .28
1.5.1 Đ%n̟h̟ lý ch̟ín̟h̟ ve các n̟h̟óm̟ n̟ua đơn̟ 28
1.5.2 Sơ lư0c ve h̟¾ n̟gh̟i¾m̟ 30
1.6 Quy đa0 cn̟a n̟h̟óm̟ đai s0 .31
2 M̟ ®t s0 ph̟iên̟ ban̟ cua tín̟h̟ ch̟at h̟Eu h̟an̟ quy đa0332.1 Đ%n̟h̟ lý h̟uu h̟an̟ cn̟a Rich̟ards0n̟ 33
2.2 Đ%n̟h̟ lý h̟uu h̟an̟ cn̟a Sl0d0wy .39
Trang 43 M̟®t s0 Én̟g dn̟n̟g cua tín̟h̟ ch̟at h̟Eu h̟an̟ các láp liên̟ h̟ap49
3.1 Ún̟g dun̟g và0 đa tap lũy đơn̟ 493.1.1 Ph̟an̟ tu ch̟ín̟h̟ quy cn̟a n̟h̟óm̟ đai s0 493.1.2 Lóp lũy đơn̟ 543.2 Các câu h̟0i cn̟a K̟ulsh̟am̟m̟er ve tín̟h̟ h̟uu h̟an̟ cn̟a s0 lóp bieu dien̟
K̟et lu¾n̟
.57
Trang 51∈( )∈∈∩∩( ( ))= ×…× = ×…×LèI M̟ e ĐAU
Các đieu k̟i¾n̟, tín̟h̟ ch̟at liên̟ quan̟ đen̟ tín̟h̟ h̟uu h̟an̟ đón̟g vai trị k̟h̟á quan̟ TRQN̟G
tr0n̟g các bài t0án̟ m̟an̟g n̟h̟ieu n̟®i dun̟g Đai s0 Có th̟e k̟e ra 0 đây m̟®t s0 tín̟h̟ ch̟at,k̟et qua quan̟ TRQNG̟ n̟h̟ư: tín̟h̟ ch̟at N̟0eth̟er cn̟a vàn̟h̟ (M̟QI iđêan̟ đeu h̟uu h̟an̟sin̟h̟), Đ%n̟h̟ lý cơ s0 H̟ilbert n̟ói ran̟g vàn̟h̟ đa th̟úc h̟uu h̟an̟ bien̟ trên̟ trưịn̟g ln̟ làN̟0eth̟er, tín̟h̟ h̟uu h̟an̟ cn̟a m̟®t s0 l0ai đ0i đ0n̟g đieu (ch̟an̟g h̟an̟, đ0i đ0n̟g đieuGal0is) Tr0n̟g lu¾n̟ văn̟ n̟ày tác gia trìn̟h̟ bày k̟et qua cn̟a Rich̟ards0n̟ đe c¾p đen̟ tín̟h̟h̟uu h̟an̟ cn̟a s0 quy đa0 ún̟g vói n̟h̟óm̟ c0n̟ tr0n̟g n̟h̟óm̟ lón̟ k̟h̟i xét tác đ®n̟g liên̟ h̟0p,m̟®t ph̟iên̟ ban̟ k̟h̟ác cn̟a Sl0d0wy (k̟h̟i xét tác đ®n̟g liên̟ h̟0p đ0n̟g th̟ịi), và m̟®t s0ún̟g dun̟g và0 sn̟ t0n̟ tai cn̟a ph̟an̟ tu ch̟ín̟h̟ quy lũy đơn̟ cũn̟g n̟h̟ư các câu h̟0i cn̟aK̟ulsh̟am̟m̟er tr0n̟g lý th̟uyet bieu dien̟ cn̟a n̟h̟óm̟ h̟uu h̟an̟.
Ch̟0 G là m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 vói H̟ là m̟®t n̟h̟óm̟ c0n̟ sa0 ch̟0 H, G l mđt cắp
reductive Ta xột tỏc đng liên̟ h̟0p cn̟a G lên̟ ch̟ín̟h̟ n̟ó th̟ơn̟g qua tn̟ đan̟g cau tr0n̟g.
Tác đ®n̟g n̟ày cam̟ sin̟h̟ tác đ®n̟g ph̟u h̟0p cn̟a G lên̟ đai s0 Lie g tươn̟g ún̟g Ch̟0 các
ph̟an̟ tu x h̟, và h̟ H̟ K̟ý h̟i¾u G.x, G.h̟ lan̟ lư0t là các quy đa0 cn̟a x và h̟ đ0i
vói h̟ai
tác đ®n̟g n̟ói trên̟ Th̟e th̟ì Đ%n̟h̟ lý h̟uu h̟an̟ cn̟a Rich̟ards0n̟ (xem̟ Đ%n̟h̟ lý 2.1.2) k̟h̟an̟gđ%n̟h̟ gia0 G.x h̟ (tươn̟g ún̟g G.h̟ H̟ ) ch̟i g0m̟ h̟uu h̟an̟ các quy đa0 cn̟a H̟ k̟h̟i
trưịn̟g K̟ có đ¾c s0 0 H̟¾ qua cn̟a k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ n̟ày đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ trưóc đó b0i B.
K̟0stan̟t n̟ói ran̟g: n̟eu K̟ là trưịn̟g đ¾c s0 0, và đai s0 Lie g (tươn̟g ún̟g n̟h̟óm̟ đai s0
G) là n̟ua đơn̟ th̟ì ch̟ún̟g ch̟i có h̟uu h̟an̟ lóp liên̟ h̟0p các ph̟an̟ tu lũy lin̟h̟ (tươn̟g ún̟g,
lũy đơn̟) Th̟êm̟ và0 đó vói đ¾c s0 trưịn̟g K̟ tùy ý và c¾p H̟, GL V l mđt cắp
reductive th̟ì đ%n̟h̟ lý h̟uu h̟an̟ trên̟ van̟ cịn̟ đún̟g (xem̟ Đ%n̟h̟ lý 2.1.4) D0 đó k̟h̟i G là
n̟h̟óm̟ reductive xác đ%n̟h̟ trên̟ m̟®t trưịn̟g đ¾c s0 t0t (g00d ch̟aracteristic, xem̟ Đ%n̟h̟n̟gh̟ĩa 2.3.4), s0 lóp liên̟ h̟0p các ph̟an̟ tu lũy đơn̟ luôn̟ là h̟uu h̟an̟ Đieu n̟ày tra lịim̟®t ph̟an̟ lón̟ ch̟0 gia th̟uyet ve tín̟h̟ h̟uu h̟an̟ cn̟a s0 lóp lũy đơn̟ cn̟a R Stein̟berg đ¾tra tai Đai h̟®i T0án̟ H̟Qc th̟e giói n̟ăm̟ 1966 (k̟h̟ơn̟g có giói h̟an̟ ve h̟¾ s0) Sau đó giath̟uyet n̟ày đã đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ h̟0àn̟ t0àn̟ b0i G Lusztig n̟ăm̟ 1976 (xem̟ Đ%n̟h̟ lý2.3.8) ban̟g cách̟ su dun̟g các côn̟g cu cn̟a lý th̟uyet đ0n̟g đieu gia0 (in̟tersecti0n̟h̟0m̟0l0gy) Tiep đen̟, th̟ay ch̟0 tác đ®n̟g liên̟ h̟0p th̟ơn̟g th̟ưịn̟g, P Sl0d0wy n̟gh̟iên̟cúu câu h̟0i tươn̟g tn̟ k̟h̟i G tác đ®n̟g lên̟ Gn̟ G G (tươn̟g ún̟g, gn̟ gg) ban̟g ph̟ép liên̟ h̟0p (tươn̟g ún̟g, ph̟u h̟0p) đ0n̟g th̟òi và cũn̟g th̟u đư0c n̟h̟un̟g k̟etqua tươn̟g tn̟ n̟h̟ư cn̟a Rich̟ards0n̟ (xem̟ [12]) Đ¾c bi¾t H̟¾ qua 2.2.2 k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ n̟eun̟h̟óm̟ c0n̟ sin̟h̟ b0i các ph̟an̟ tu h̟1, , h̟n̟ H̟ là tách̟ tr0n̟g G (n̟gh̟ĩa là cau xa
Trang 6=( )( ) ∩ ∈( ) ∩
reductive th̟ì G h̟1, h̟2, , h̟n̟ H̟n̟ van̟ ch̟i g0m̟ h̟uu h̟an̟ quy đa0 cn̟a H̟ Gan̟ đây
trưịn̟g h̟0p n̟h̟óm̟ c0n̟ sin̟h̟ b0i các ph̟an̟ tu h̟1, , h̟n̟ H̟ k̟h̟ôn̟g tách̟ tr0n̟g G đư0c
n̟h̟ieu sn̟ quan̟ tâm̟ v mđt s0 vớ du (khỏ phỳc tap) ch0 viắc G h̟1, h̟2, , h̟n̟ H̟n̟g0m̟ vô h̟an̟ lóp liên̟ h̟0p đ0n̟g th̟ịi cn̟a H̟ đã đư0c tìm̟ ra 0 [1], [17] (xem̟ Ví du 2.2.4,
Đ%n̟h̟ lý 2.2.5) Tuy v¾y n̟eu xét lóp liên̟ h̟0p bìn̟h̟ th̟ưịn̟g (k̟h̟i n̟ 1), th̟ì s0 lóp liên̟
h̟0p cn̟a H̟ van̟ h̟uu h̟an̟ th̟e0 m̟®t k̟et qua cn̟a R Guraln̟ick̟ (xem̟ Đ%n̟h̟ lý 2.2.6).
M̟®t ún̟g dun̟g quan̟ TRQN̟G cn̟a tín̟h̟ ch̟at h̟uu h̟an̟ cn̟a các lóp liên̟ h̟0p các ph̟an̟ tulũy đơn̟ là sn̟ t0n̟ tai cn̟a ph̟an̟ tu ch̟ín̟h̟ quy lũy đơn̟ (xem̟ Đ%n̟h̟ lý 3.1.8) Tù đó dan̟đen̟ bài t0án̟ tìm̟ h̟ieu đa tap lũy đơn̟ (n̟ói ch̟un̟g có k̟ỳ d%), giai k̟ỳ d% cn̟a n̟ó (ph̟ép giaicn̟a Sprin̟ger (Sprin̟ger’s res0luti0n̟)) m̟à n̟®i dun̟g đi ra n̟g0ài ph̟am̟ vi cn̟a lu¾n̟ văn̟.Ún̟g dun̟g th̟ú h̟ai m̟à lu¾n̟ văn̟ đe c¾p đen̟ là h̟ai câu h̟0i cn̟a K̟ulsh̟am̟m̟er ve tín̟h̟ h̟uuh̟an̟ cn̟a s0 lóp các bieu dien̟ cn̟a n̟h̟óm̟ h̟uu h̟an̟ và0 m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 tuyen̟ tín̟h̟ batk̟ỳ (k̟h̟ơn̟g n̟h̟at th̟iet là n̟h̟óm̟ GL V ).
Tr0n̟g lu¾n̟ văn̟ n̟ày tác gia trìn̟h̟ bày vi¾c ĐQc h̟ieu và viet lai ch̟i tiet m̟®t s0 tr0n̟gcác k̟et qua n̟ói trên̟ N̟g0ài ra đơi ch̟0 tác gia có bő sun̟g th̟êm̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ h̟0¾c ví du(ch̟an̟g h̟an̟ N̟h̟¾n̟ xét 2.3.9, h̟ay Ví du 2.3.10).
Lu¾n̟ văn̟ g0m̟ 3 ch̟ươn̟g Ch̟ươn̟g đau là ch̟ươn̟g k̟ien̟ th̟úc ch̟uan̟ b% Đ%n̟h̟ lý quan̟
TRQN̟G đư0c tác gia trìn̟h̟ bày ch̟i tiet ch̟ún̟g m̟in̟h̟ là Đ%n̟h̟ lý th̟ú h̟ai cn̟a H̟ilbert (GQI
th̟e0 R Stein̟berg) n̟ói rang anh cna mđt tắp dày (xem̟ Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.2.14) quam̟®t cau xa cũn̟g là mđt tắp dy (xem Mắnh đe 1.2.15) N̟g0ài ra tác gia trìn̟h̟ bàym̟®t s0 k̟ien̟ th̟úc cơ ban̟ ve n̟h̟óm̟ đai s0, ph̟an̟ tu n̟ua đơn̟, lũy đơn̟ cn̟a n̟h̟óm̟ đai s0,sơ lư0c ve cau trúc cn̟a n̟h̟óm̟ reductive, đai s0 Lie cn̟a n̟h̟óm̟ đai s0, quy đa0 cn̟a n̟h̟óm̟đai s0 Đ¾c bi¾t lu¾n̟ văn̟ trìn̟h̟ bày cách̟ dùn̟g Đ%n̟h̟ lý th̟ú h̟ai cn̟a H̟ilbert đe rút ra
k̟et qua quan̟ TRQN̟G ve quy đa0 cn̟a n̟h̟óm̟ đai s0: M̟QI quy đa0 đeu m̟0 tr0n̟g ba0 đón̟g
cn̟a n̟ó (xem̟ Đ%n̟h̟ lý 1.6.1).
Tr0n̟g Ch̟ươn̟g 2 tác gia trìn̟h̟ bày Đ%n̟h̟ lý h̟uu h̟an̟ Rich̟ards0n̟ và m̟®t s0 ví du ún̟gdun̟g Điem̟ m̟au ch̟0t tr0n̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ là m̟®t s0 tín̟h̟ t0án̟ ve Đai s0 Lie cn̟a n̟h̟óm̟đai s0 và k̟h̟ơn̟g gian̟ tiep xúc cn̟a quy đa0 Sau đó tác gia trìn̟h̟ bày ph̟iên̟ ban̟ cn̟a P.Sl0d0wy k̟h̟i xét tác đ®n̟g liên̟ h̟0p đ0n̟g th̟ịi Vì đieu k̟i¾n̟ ve c¾p reductive đưa ra b0iRich̟ards0n̟ k̟h̟á quan̟ TRQN̟G, n̟ên̟ tác gia dàn̟h̟ m̟®t m̟uc cn̟a ch̟ươn̟g ch̟0 vi¾c tìm̟ h̟ieuk̟y h̟ơn̟ ve các c¾p reductive và ún̟g dun̟g cn̟a Đ%n̟h̟ lý h̟uu h̟an̟ Rich̟ards0n̟ rútra s0
lóp liên̟ h̟0p các ph̟an̟ tu lũy đơn̟ là h̟uu h̟an̟ k̟h̟i đ¾c s0 cn̟a k̟ là t0t Tr0n̟g ph̟an̟ n̟ày,
tác gia cũn̟g trìn̟h̟ bày th̟êm̟ ví du ve c¾p k̟h̟ơn̟g reductive (Ví du 2.3.10).
Tr0n̟g Ch̟ươn̟g cu0i (Ch̟ươn̟g 3), tác gia trìn̟h̟ bày ún̟g dun̟g cn̟a các k̟et qua n̟óitrên̟ tr0n̟g vi¾c k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ sn̟ t0n̟ tai các ph̟an̟ tu ch̟ín̟h̟ quy lũy đơn̟ k̟h̟i đ¾c s0ch̟ar.k̟ t0t, và ún̟g dun̟g tr0n̟g vi¾c tìm̟ h̟ieu h̟ai câu h̟0i cn̟a K̟ulsh̟am̟m̟er ve tín̟h̟
Trang 7∶ →=
( | |)
= ∶ →
cn̟a lóp liên̟ h̟0p các bieu dien̟ cn̟a n̟h̟óm̟ h̟uu h̟an̟ và0 m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 bat k̟ỳ ch̟0trưóc Cu th̟e h̟ơn̟, ch̟0 K̟ là m̟®t trưịn̟g đón̟g đai s0, Γ là m̟®t n̟h̟óm̟ h̟uu h̟an̟ th̟0a
m̟ãn̟ ch̟ar.K̟, Γ 1, và G là m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 tuyen̟ tín̟h̟ bat k̟ỳ Câu h̟0i 1 h̟0i li¾u
ch̟i t0n̟ tai h̟ay k̟h̟ơn̟g m̟®t s0 h̟uu h̟an̟ các bieu dien̟ ρ Γ G sai k̟h̟ác liên̟ h̟0p tr0n̟gG Bên̟ can̟h̟ đó, câu h̟0i 2 h̟0i liắu chi t0n tai hay khụng mđt s0 h̟uu h̟an̟ bieu dien̟ρ Γ G sa0 ch̟0 h̟an̟ ch̟e xu0n̟g m̟®t n̟h̟óm̟ c0n̟ Syl0w ch̟0 trưóc Γp th̟u®c và0 lóp đã
ch̟0 K̟h̟i G GLn̟, th̟ì tín̟h̟ h̟uu h̟an̟ tr0n̟g câu h̟0i 1 có th̟e suy đư0c tù đ%n̟h̟ cő đien̟cn̟a M̟asch̟k̟e tr0n̟g lý th̟uyet bieu dien̟ n̟h̟óm̟ h̟uu h̟an̟ Ca h̟ai câu h̟0i trên̟ đeu có cách̟tiep c¾n̟ cn̟a Sl0d0wy th̟ôn̟g qua k̟h̟a0 sát các lóp liên̟ h̟0p đ0n̟g th̟ịi, tuy n̟h̟iên̟ lu¾n̟văn̟ ch̟i có đieu k̟i¾n̟ trìn̟h̟ bày câu h̟0i th̟ú n̟h̟at, câu h̟0i th̟ú h̟ai dùn̟g 0 mỳc đ giúithiắu.
e ti Ve Mđt Tớnh Chat Huu H̟an̟ Cn̟a Quy Đa0 Dưói Tác Đ®n̟g Cn̟a N̟h̟óm̟ ĐaiS0” là n̟®i dun̟g tác gia cH̟QN̟ đe n̟gh̟iên̟ cúu và làm̟ lu¾n̟ văn̟ t0t n̟gh̟i¾p sau h̟ai n̟ăm̟th̟e0 H̟Qc ch̟ươn̟g trìn̟h̟ ca0 H̟Qc ch̟uyên̟ n̟gàn̟h̟ Đai S0 Và Lý Th̟uyet S0 tai trưịn̟g ĐaiH̟Qc K̟h̟0a H̟Qc Tn̟ N̟h̟iên̟-ĐH̟QGH̟N̟.
Đe h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ q trìn̟h̟ n̟gh̟iên̟ cúu và h̟0àn̟ th̟i¾n̟ lu¾n̟ văn̟ n̟ày, lịi đau tiên̟ tácgia xin̟ ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ cam̟ ơn̟ sâu sac đen̟ TS Đà0 Ph̟ươn̟g Bac, cán̟ b® k̟h̟0a T0án̟-Cơ-Tin̟H̟Qc– trưịn̟g Đai H̟Qc K̟h̟0a H̟Qc Tn̟ N̟h̟iên̟-ĐH̟QGH̟N̟ Th̟ay đã trn̟c tiep ch̟i ba0và h̟ưón̟g dan̟ tác gia tr0n̟g su0t q trìn̟h̟ n̟gh̟iên̟ cúu đe tác gia h̟0àn̟ th̟i¾n̟ lu¾n̟ văn̟n̟ày N̟g0ài ra tác gia xin̟ ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ cam̟ ơn̟ các th̟ay, cô tr0n̟g k̟h̟0a T0án̟-Cơ-Tin̟H̟Qc đã đón̟g góp n̟h̟un̟g ý k̟ien̟ q báu ch̟0 lu¾n̟ văn̟.
N̟h̟ân̟ d%p n̟ày, tác gia cũn̟g xin̟ cam̟ ơn̟ K̟h̟0a-Cơ-Tin̟ H̟Qc, trưòn̟g Đai H̟QcK̟h̟0a H̟Qc Tn̟ N̟h̟iên̟, lãn̟h̟ đa0 k̟h̟0a và các an̟h̟ ch̟% đan̟g côn̟g tác tai trưòn̟g đã ta0đieu k̟i¾n̟ và th̟ịi gian̟ ch̟0 tác gia tr0n̟g su0t quá trìn̟h̟ n̟gh̟iên̟ cúu Tác gia cũn̟g xin̟cám̟ ơn̟ đe tài QG.18.01 d0 TS Đà0 Ph̟ươn̟g Bac ch̟n̟ trì đã có n̟h̟un̟g h̟0 tr0 ve m̟¾ttài ch̟ín̟h̟.
Cu0i cùn̟g, tác gia xin̟ cam̟ ơn̟ n̟h̟un̟g n̟gưòi th̟ân̟, ban̟ bè đã ln̟ bên̟ tác gia, đ®n̟gviên̟ tác gia h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ k̟h̟óa HQc v ban luắn vn ny.
Trõn TRQNG cam n!
H Nđi, n̟gày th̟án̟g n̟ăm̟ 2019
H̟Qc Viên̟
Trang 8Sp(V ) Nhóm sympleticSL(V ) Nhóm tuyen tính đ¾c bi¾t[] ( )( / ) /Bang mđt s0 ký hiắu
LieG, g Đai s0 Lie cn̟a n̟h̟óm̟ G
Greg T¾p các điem̟ ch̟ín̟h̟ quy cn̟a G
Greg,ss T¾p các điem̟ ch̟ín̟h̟ quy, n̟ua đơn̟ cn̟a G
R Trưòn̟g s0 th̟n̟c
C Trưòn̟g s0 ph̟úc
Fq Trưòn̟g h̟uu h̟an̟ g0m̟ q ph̟an̟ tu
k̟ Ba0 đón̟g đai s0 cn̟a trưòn̟g k̟
k̟s Ba0 tách̟ đư0c cn̟a trưòn̟g k̟
Gal L K̟ N̟h̟óm̟ Gal0is cn̟a m̟0 r®n̟g Gal0is L K̟
#A S0 ph̟an̟ tu cn̟a t¾p A
GL(V ) N̟h̟óm̟ tuyen̟ tín̟h̟ tőn̟g qt
S0(V ) N̟h̟óm̟ trn̟c gia0 đ¾c bi¾t
ch̟ar.k̟ Đ¾c s0 cn̟a trưịn̟g k̟
G0 Th̟àn̟h̟ ph̟an̟ liên̟ th̟ơn̟g ch̟úa đơn̟ v% tr0n̟g n̟h̟óm̟ G
Ga N̟h̟óm̟ c®n̟g tín̟h̟
Gm̟ N̟h̟óm̟ n̟h̟ân̟ tín̟h̟
k̟ X Đai s0 các h̟àm̟ ch̟ín̟h̟ quy cn̟a đa tap X vói h̟¾ s0 tr0n̟g k̟
diag a1, , an̟ M̟a tr¾n̟ ch̟é0 vói các ph̟an̟ tu trên̟
Trang 9Ban̟g mđt s0 thuắt ngE
Cau xa M0rphism
a tap ai s0 Algebraic Variety
Đ¾c s0 t0t G00d ch̟aracteristic
Đan̟g gi0n̟g Is0gen̟y
H̟àm̟ lóp Class fun̟cti0n̟
N̟găn̟ (te bà0) Cell
N̟h̟óm̟ đai s0 tuyen̟ tín̟h̟ Lin̟ear algeraic gr0up
N̟h̟óm̟ reductive Reductive gr0up
N̟h̟óm̟ n̟ua đơn̟ Sem̟isim̟ple gr0up
N̟h̟óm̟ h̟au đơn̟ Alm̟0stsim̟ple gr0up
N̟h̟óm̟ lũy đơn̟ Un̟ip0ten̟t gr0up
Ph̟an̟ tu ch̟ín̟h̟ quy Regular elem̟en̟t
Ph̟an̟ tu n̟ua đơn̟ Sem̟isim̟ple elem̟en̟t
Ph̟an̟ tu lũy đơn̟ Un̟ip0ten̟t elem̟en̟t
Quy đa0 0rbit
Tác đ®n̟g liên̟ h̟0p C0n̟jugate acti0n̟
Tác đ®n̟g đa liên̟ h̟0p M̟ulti-c0n̟jugate acti0n̟
Tác đ®n̟g ph̟u h̟0p Adj0int acti0n
Tỏc đng liờn h0p 0ng thũi Simultane0usly c0njugate acti0n
Tắp đai s0 Algebraic Set
Trang 10[]( )( )( ) = +−( ) ( ) ×∶ →f (x) ≠ f (y).Ch̟ươn̟g 1K̟ien̟ th̟Éc ch̟uan̟ b%
Tr0n̟g ch̟ươn̟g n̟ày cũn̟g n̟h̟ư xuyên̟ su0t lu¾n̟ văn̟, n̟eu k̟h̟ơn̟g gia th̟iet gì th̟êm̟ ta
ln̟ xét k̟ l mđt trũng úng ai s0 ieu kiắn ắc s0 se đư0c lưu ý th̟êm̟ k̟h̟i can̟.
1.1 Sơ lưac ve đa tap đai s0 affin̟e
Ve trn̟c giác, mđt tắp V cna kn 0c GQI l mđt tắp ai s0 n̟eu và ch̟i n̟eu nú ltắp nghiắm cna mđt H̟Q h̟uu h̟an̟ các đa th̟úc tr0n̟g k̟ x1, , xn̟ Ví du,
t¾p n̟gh̟i¾m̟ cn̟a đa th̟úc F x, y x2 y2 1 tr0n̟g C2, có các điem̟ th̟n̟c ch̟ín̟h̟là đưịn̟g trịn̟ đơn̟ v% M̟®t cách̟ tn̟ n̟h̟iên̟ ta cũn̟g có th̟e đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa đa tap affin̟e n̟h̟ưlà mđt tắp ai s0 Tuy nhiờn, khỏi niắm ny cha có tín̟h̟ n̟®i tai Ch̟an̟g h̟an̟, m̟®t đatap affin̟e quan̟ TRQNG̟ là GLn̟ k̟ (n̟h̟óm̟ các m̟a tr¾n̟ vn̟g k̟h̟a n̟gh̟%ch̟ cap n̟) k̟h̟ơn̟g
xác đ%n̟h̟ b0i t¾p n̟gh̟i¾m̟ tr0n̟g M̟atn̟ k̟ , n̟h̟ưn̟g lai có th̟e xem̟ là t¾p đai s0 tr0n̟g
M̟atn̟ k̟ k̟ Vì v¾y ta can̟ đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa ve đa tap đai s0 (affin̟e) m̟®t cách̟ ch̟ín̟h̟ xác
h̟ơn̟ n̟h̟ư sau.
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.1.1 (xem̟ [16]) M̟®t đa tap ai s0 l mđt cắp V, A tr0ng ú V l mđt
tắp h0p, v A l mđt k-ai s0 cna các h̟àm̟ tr0n̟g V vói giá tr% trên̟ k̟ C¾p n̟ày th̟0a
m̟ãn̟ các tín̟h̟ ch̟at sau :
1 A là h̟uu h̟an̟ sin̟h̟ n̟h̟ư m̟®t k̟-đai s0.
2 A có tín̟h̟ ch̟at tách̟ điem̟ trên̟ V , túc là vói M̟QIx ≠ y ∈ V , t0n̟ tai f ∈ A sa0 ch̟0
3.M̟QI đ0n̟g cau giua các k̟-đai s0 ϕ A k̟ đeu là m̟®t đ%n̟h̟ giá ex tai m̟®t điem̟
Trang 11( )( )↔ ( )( ) ( )⊆ ′(| )( ′′) ( |)∶ ( ) → ( ) ∶ →∶ (○∈ = { ∈ | ( ) = ( ) ≠ }( ) = [ / ]= {}( ) ( ) ∶( ) = { ∈ | ( ) = ( ) = ∈ }∈
(U, A)∗→ (V, B) là m®t cau xa Gia su f ∗ ∶ B → A là đoi cau xa liên ket cua f Khi đó
Do đó:
N̟h̟¾n̟ xét 1.1.2 Tù đieu k̟i¾n̟ th̟ú h̟ai tr0n̟g đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa, các điem̟ cn̟a V có tươn̟g
ún̟g 1-1 vói k̟-đ0n̟g cau đai s0 cn̟a A tói k̟, h̟ay ta có m̟®t s0n̟g án̟h̟
V H̟0m̟
k̟−đai s0 A, k̟
Gi0n̟g n̟h̟ư k̟h̟i làm̟ vi¾c vói n̟h̟óm̟, ta can̟ n̟h̟un̟g k̟h̟ái n̟i¾m̟ bő sun̟g n̟h̟ư n̟h̟óm̟ c0n̟,đ0n̟g cau n̟h̟óm̟, tích̟ trn̟c tiep, n̟h̟óm̟ th̟ươn̟g; bây giị ta can̟ đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa các k̟h̟ái n̟i¾m̟tươn̟g ún̟g: đa tap affin̟e c0n̟, cau xa giua các đa tap affin̟e, tích̟ trn̟c tiep Vi¾c đ%n̟h̟n̟gh̟ĩa đa tap th̟ươn̟g ph̟úc tap h̟ơn̟ và k̟h̟ôn̟g dùn̟g trn̟c tiep n̟ên̟ lu¾n̟ văn̟ k̟h̟ơn̟g đe c¾pđen̟.
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.1.3 (Cau xa giua các đa tap affin̟e, xem̟ [16]) Ch̟0 U, A và V, B
là h̟ai đa tap affin̟e Th̟e th̟ì m̟®t cau xa f U, A V, B là m̟®t án̟h̟ xa f U
V sa0 ch̟0 án̟h̟ xa liên̟ k̟et f ∗ ϕ ϕ f gui B và0 A Ta GQI f ∗ là đ0i cau xa liên̟k̟et vói f
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.1.4 (Đa tap affin̟e c0n̟, xem̟ [16]) Ch̟0 V, A là m̟®t đa tap affin̟e
và V ′ V N̟eu ban̟ th̟ân̟ V ′, A V cũn̟g là m̟®t đa tap affin̟e, ta n̟ói đó là m̟®t
đa tap affin̟e c0n̟ cn̟a V, A Ta có th̟e th̟ay ran̟g V , A V′ là m̟®t đa tap affin̟ek̟h̟i V l tắp khụng iem cna mđt HQ cỏc ph̟an̟ tu cn̟a A.
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.1.5 (Đa tap affin̟e c0n̟ ch̟ín̟h̟, xem̟ [16]) Ch̟0 V, A là m̟®t đa
tap affin̟e và f A Th̟e th̟ì Vf x V f x ex f 0 đư0c GQI là mđttắp c0n m0 cna V Có th̟e th̟ay Vf , Af cũn̟g là m̟®t đa tap affin̟e, tr0n̟g đó AfA 1 f là vàn̟h̟ các th̟ươn̟g ch̟0 b0i
Af 1, f, f 2, −1A.
Bő đe sau đây k̟h̟á quan̟ TRQN̟G và h̟ay đư0c su dun̟g.
B0 đe 1.1.6 (xem̟ [16, p 3]) Ch̟0 U, A , V, B là các đa tap đai s0 affin̟e và f
n̟eu fcau.
là t0àn̟ án̟h̟, th̟ì f (U ) là m̟®t đa tap c0n̟ cua V và f ∶ U → f (U ) là m̟®t đan̟g
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Vói I = K̟er(f ∗ ∶ B → A), ta có dãy k̟h̟óp sau:
0 —→ I —→ B —f→∗ A —→ 0.
Ta ch̟i ra f Uv V ev gg v 0 vói M̟QI g I Th̟¾t v¾y ch̟0 u U , vói M̟QI
g ∈ I, th̟ì g(f (u)) = f ∗(g)(u) Vì f ∗(g) = 0, n̟ên̟ f ∗(g)(u) = 0, k̟é0 th̟e0 g(f (u))
= 0.
Trang 12∈ − ∈ ( − ) == ∈ ( ) =| ≅ / ( ( ) / ) ⊆ ()f(U)( ) = { ∈ | ( ) = ( ) = ∈}( ( )) = ( ) ∈ ( ) =( )( ) = ( )( )∶ →( [ ])( ) ( )và ϕ ∶ V → ϕ(V ) là m®t đang cau.( ) = ≤ ≤( ( ( ) ( ))ϕ ∈ B, ta can chi raf ∗ ϕ uϕ v,đưoc chúng minh.
Đa0 lai, gia su v ∈ V th̟0a m̟ãn̟ ev(g) = g ( v ) = 0 vói M̟QI g ∈ I.
Bf ∗,,,, ¸ ¸ Aev ,,,.z ev =euk̟.Ta đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩaev(ϕ) = ev((f ∗)−1(ϕ))
N̟h̟¾n̟ th̟ay n̟eu ψ và ψ′ cùn̟g án̟h̟ xa và0 ϕ A qua f ∗, th̟ì ψ ψ′ I, th̟ì ev ψ ψ′ 0.
Th̟e0 gia th̟iet eveu vói u U n̟à0 đó Bây giị ta ch̟i ra f u v Th̟¾t v¾y, vói M̟QI
ϕ(f (u)) = ϕ(v).
Tù sơ đ0 trên̟ eu(f ∗(ϕ)) = ev(ϕ) vói M̟QI ϕ ∈ B D0 đó
k̟é0 th̟e0 ϕ f u ϕ v vói M̟QI ϕB D0 tín̟h̟ ch̟at tách̟ f u v D0 đó
f Uϕ V ev g g v 0 vói M̟QI g I
H̟ơn̟ n̟ua BB I, k̟é0 th̟e0 f U , B I V, B là đa tap c0n̟ M̟¾t k̟h̟ác, t0n̟ tai
g∗ ∶ A → B/I sa0 ch̟0 g∗ ○ f ∗ = id, f ∗ ○ g∗ = id D0 đó f ○ g = id, g ○ f = id V¾y
Bő đe
M̟¾n̟h̟ đe 1.1.7 (xem̟ [16]) M̟QI đa tap đai s0 affin̟e (trùu tưan̟g) đeu đan̟g cau vái m̟®t đa tap affin̟e c0n̟ cua đa tap k̟n̟, k̟ X1, , Xn̟vái n̟ n̟guyên̟ dươn̟g n̟à0 đó.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ GQI đa tap affin̟e trên̟ là V, A , tr0n̟g đó đai s0 A đư0c sin̟h̟ b0i t¾p
h̟uu h̟an̟ f1, f2, , fn̟ Ta xây dn̟n̟g án̟h̟ xa:
ϕ V k̟n̟
vf1 v , , fn̟v.
K̟h̟i đó án̟h̟ xa tươn̟g ún̟g ϕ∗ đư0c ch̟0 b0i ϕ∗ Xifi vói M̟QI 1 i n̟ Rõ ràn̟g ϕ∗
là t0àn̟ cau tù k̟[X1, , Xn̟] tói A Th̟e0 bő đe trên̟, ϕ(V ) là m̟®t đơn̟cau cn̟a V
và0
k̟n̟
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.1.8 (Tích̟ h̟ai đa tap) Ch̟0 U, A , V, B là các đa tap affin̟e Ta đ%n̟h̟
Trang 14( )∶ ⊗ → ∶ → ∶ →( × ⊗ )∶ × → ∶ × →= ~ ⊗ ~⊗( ) ∶ ( ) → ( ) ∶ ( ) → ( )( ) ( )∶−× → ( ) ( ∶→ (( )đong nhat GL(V ) ≡ GLn( ) ( )( )( ( ) [ ] )( ) × []
Bây giò ta k̟iem̟ tra tín̟h̟ ch̟at 3 tr0n̟g các đieu k̟i¾n̟ đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa đa tap Ch̟0
ϕ A Bk̟ là m̟®t đ0n̟g cau k̟-đai s0 Tù đó cam̟ sin̟h̟ ϕ1 A k̟, ϕ2 B k̟ đ
%n̟h̟ n̟gh̟ĩa b0i:
ϕ1(a) = ϕ(a ⊗ 1), ϕ2(b) = ϕ(1 ⊗ b), vói M̟QI a ∈ A, b ∈ B.
D0 đó t0n̟ tai x ∈ U, y ∈ V sa0 ch̟0 ϕ1 = ex, ϕ2 = ey Ta có
(a ⊗ b)(x, y) = a(x), b(y) = ex(a).ey(b) = ϕ1(a).ϕ2(b) = ϕ(a ⊗ b).
Vì v¾y ϕ e(x,y) Tù đó án̟h̟ xa A A B, B A B cam̟ sin̟h̟ ra các cau xa ch̟ieu
π1 U VU ; π2 U VV.
Ta n̟h̟¾n̟ th̟ay U V, A B th̟0a m̟ãn̟ m̟®t tín̟h̟ ch̟at ph̟ő dun̟g n̟h̟ư sau: Ch̟0 m̟®t đa tap
đai s0 affin̟e W, C và m̟®t cau xa p1 W, C V, B , và p2 W, C V,
B , th̟e th̟ì t0n̟ tai duy n̟h̟at đ0n̟g cau p ∶ (W, C) → (U × V, A ⊗ B) sa0 ch̟0 π1 ○
p = p1, π2 ○ p = p2.
1.2 Sơ lưac ve n̟h̟óm̟ đai s0 tuyen̟ tín̟h̟
1.2.1N̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.2.1 M̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e là mđt cắp G, A sa0 ch0 G, A là m̟®t
đa tap affin̟e, đ0n̟g th̟ịi là m̟®t n̟h̟óm̟ sa0 ch̟0 các ph̟ép t0án̟ n̟h̟óm̟ là các cau xa, cu
th̟e ph̟ép n̟h̟ân̟ m̟ G G G, x, y xy, và ph̟ép lay n̟gh̟%ch̟ đa0 i G G,
x x 1 là các cau xa.
Ví dn̟ 1.2.2 Ta có các ví du sau ve n̟h̟óm̟ đai s0:
1 Ch̟0 V là m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ vectơ n̟ ch̟ieu trên̟ trưịn̟g k̟ Th̟e th̟ì GL V , k̟ T11,
, Tn̟n̟D tr0n̟g đó D là đ%n̟h̟ th̟úc cn̟a Tijn̟n̟ và k̟ T11, , Tn̟n̟D là vàn̟h̟ các
th̟ươn̟g cn̟a k̟[T11, , Tn̟n̟] vói t¾p đón̟g n̟h̟ân̟ {1, D, D2, } C0 đ%n̟h̟
m̟®t cơ s0 cn̟a V Ta
2 N̟h̟óm̟ SL V các bien̟ đői tuyen̟ tín̟h̟ vói đ%n̟h̟ th̟úc ban̟g 1 là n̟h̟óm̟ đai s0 c0n̟
cn̟a GL V N̟h̟óm̟ n̟ày cịn̟ GQI là n̟h̟óm̟ tuyen̟ tín̟h̟ đ¾c bi¾t.
3 N̟h̟óm̟ các m̟a tr¾n̟ đưịn̟g ch̟é0 tr0n̟g GL V là m̟®t đa tap c0n̟ cn̟a GL V cũn̟g
Trang 15∶ →x( ) ∶ × → ∶ →∶ →⊗= ○ = ○xyxy( ) = xx{ ∗( ) ∈ }∈ii=1{ } ≤≤∈ { } ≤≤∈∈( xj ) ≤≤ ∈ ≤ ≤
Chúng minh Neu f = 0 thì khơng có gì phai chúng minh, do đó ta gia su f
0.
ii
x
.
Nhắn xột 1.2.3 Ch0 G, A l mđt n̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e, m̟ G G G và i G G lan̟ lư0t là
các ph̟ép n̟h̟ân̟ và các ph̟ép n̟gh̟%ch̟ đa0 Tù đó ta có đ0i cau xa m̟∗ A A A và i∗ ∶
A → A Vói m̟®t ph̟an̟ tu x ∈ G c0 đ%n̟h̟, xét cau xa ρx∶ G → G ch̟0 b0i
ρx(y) = y.x = m̟(y, x).
Tù đó ch̟0 ta đ0i cau xa ρ∗ A A Đây là m̟®t đ0n̟g cau k̟-đai s0 cn̟a A, vì ρx là
m̟®t tn̟ đ0n̟g cau cn̟a đa tap G H̟ơn̟ n̟ua, ρxy ρy ρx, d0 đó ρ∗ ρ∗ ρ∗ D0 đó, ρ∗
gui G và0 các tn̟ đan̟g cau cn̟a A, ρ∗ x ρ∗ là m̟®t đ0n̟g cau n̟h̟óm̟ Cau xa ρ∗
đư0c GQI là ph̟ép t%n̟h̟ tien̟ ph̟ai cn̟a A b0i x ∈ G Tươn̟g tn̟ λ∗
x GQI là ph̟ép t%n̟h̟ tien̟
trái cn̟a A b0i
B0 đe 1.2.4 (xem̟ [16, p 4]) Ch̟0 B là k̟h̟ôn̟g gian̟ c0n̟ cua A sin̟h̟ bái t¾p h̟ap
ρx f , x G , tr0n̟g đó f A là m̟®t ph̟an̟ tu c0 đ%n̟h̟ trưác Th̟e th̟ì k̟h̟ơn̟g gian̟ B làh̟uu h̟an̟ ch̟ieu.
Vì m̟∗f ∈ A ⊗k̟ A,
n̟ên̟
m̟∗f = Σn̟ g ⊗ h̟ ,
vói gi, h̟iA sa0 ch̟0 n̟ là s0 n̟h̟0 n̟h̟at N̟h̟¾n̟ th̟ay gi 1 in l mđt c s0 cna B.
Thắt vắy, trúc het, cỏc gi l đc lắp tuyen tớnh (tự tớnh chat nh0 nhat cna n).
Tng tn, cỏc hi cng đc lắp tuyen̟ tín̟h̟ D0 đó t0n̟ tai xj 1 jn̟ th̟u®c G sa0
ch̟0 đ%n̟h̟ th̟úc (h̟i(xj))(i,j) k̟h̟ác k̟h̟ơn̟g Th̟êm̟ n̟ua, vói y ∈ G tùy ý,
(ρ∗f )(x) = f (xy) = Σg x h̟ y n̟ ( ) ( )
i=1
D0 đó, ρ∗f = Σn̟ ( )n̟ = Σ ( ) ≤ ≤
h y g N̟ói riên̟g, ρ∗ fh̟ x .g , vói M̟QI 1 j n̟ D0 đó, m̟0i
yii
=
i=1
xjiji
i 1
gi là m̟®t tő h̟0p tuyen̟ tín̟h̟ cn̟a ρ f 1 jn̟ Vì v¾y, giB vói M̟QI 1 in̟.
M̟¾t k̟h̟ác, B đư0c sin̟h̟ b0i {gi}1≤i≤n̟ Ta có đieu ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
1.2.2N̟h̟óm̟ đai s0 tuyen̟ tín̟h̟
Ch̟0 V là k̟h̟ơn̟g gian̟ vectơ n̟ ch̟ieu trên̟ trưịn̟g k̟ Vói M̟QI v V và a∗ V ∗, xét m̟atr¾n̟ h̟¾ s0 m̟v,a∗ ∶ GL(V ) → k̟ đư0c ch̟0 b0i :
m̟v,a∗ (T ) = a∗(T (v)).
Rõ ràn̟g,
Trang 16I{ + = +∈( ) ∗⊆= ∶ ( ) —→{ | ∈ ∈}= ( [ ]) ( ( ) )(( ( ) )′−∶∗→ ( ) () = |i{ } ≤≤( ○ )( ) = ( ( ))mv,a∗ (T ) = a∗(T (v)).iiii=thúc:iiJm̟vv′,a∗m̟v,a∗ m̟v′,a∗ , tr0n̟g đó v, v′V ,ı›m̟v,a∗+b∗ = m̟v,a∗ + m̟v,b∗ , tr0n̟g đó a∗, b∗ ∈ V ∗. (1.1)
Ch̟0 A′ là m̟®t k̟-đai s0 sin̟h̟ b0i m̟v,a∗ v V, a∗ V ∗ , và D là án̟h̟ xa đ%n̟h̟ th̟úc:
D det GL Vk̟,T detT.
Ch̟0 A A D 1 là vàn̟h̟ các th̟ươn̟g tươn̟g ún̟g Th̟e th̟ì GL V , A là m̟®t
n̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e M̟0i đa tap c0n̟ cn̟a GL V , A đ0n̟g th̟ịi là m̟®t n̟h̟óm̟ c0n̟
đư0c GQI là m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 tuyen̟ tín̟h̟.
B0 đe 1.2.5 (xem̟ [16, p 7]) Ch̟0 G, A là n̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e, B A là k̟h̟ôn̟g
gian̟ c0n̟ h̟uu h̟an̟ ch̟ieu bat bien̟ (őn̟ đ%n̟h̟) dưái tác đ®n̟g cua ρG Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa án̟h̟xa α G GL B ch̟0 bái α x ρx
B Th̟e th̟ì α là m̟®t cau xa cua các n̟h̟óm̟ đais0 affin̟e và m̟a tr¾n̟ h̟¾ s0 tr0n̟g G (đưac k̟é0 lùi bái α) sin̟h̟ ra cùn̟g m̟®t k̟h̟ôn̟ggian̟ vái
{λ∗
GB}.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Ch̟0 v ∈ B, a∗ ∈ B∗, xét cau xa m̟v,a∗ ∶ GL(B) → k̟ đư0c ch̟0 b0i cơn̟g
Vì A —m̟ →∗ A ⊗ A, n̟ên̟ có m̟∗v = ∑n̟= g ⊗ h̟ (vói n̟ là s0 n̟h̟0 n̟h̟at) N̟h̟ư các
l¾p lu¾n̟
1 ii
Trang 17= (−1)det α(y)D ○ = ○○ ∗⊆ L ({ }) {}( ) ∗=( )[ ] ∗ = L ( x( | ∈ ≤ ≤ ))( ) = { ∈| }∈ ∈ { }⊆µ∈Mλø∈λ1∈r1;λ2∈r2tìm.λ1 λ2
D ○ α)(y) det.(α(y))
= det(α ○ i)(y).
D0 đó, 1 α D α i vói i là m̟®t cau xa, n̟ên̟ α là m̟®t cau xa.
H̟ơn̟ n̟ua, các gi là đc lắp tuyen tớnh CHQN a m̟®t cách̟ ph̟ù h̟0p, h̟i n̟am̟
tr0n̟g k̟h̟ôn̟g gian̟ c0n̟ W sin̟h̟ b0i các m̟a tr¾n̟ h̟¾ s0 Vì v¾y k̟h̟ôn̟g gian̟ đư0c sin̟h̟
b0i d%ch̟ ch̟uyen̟ trái cn̟a v ∈ W th̟0a m̟ãn̟
(λ∗
g v | g ∈ G) ⊆ W.
N̟g0ài ra, Wλ∗
GB là k̟h̟ôn̟g gian̟ tuyen̟ tín̟h̟ sin̟h̟ b0i λ∗
GB , suy ra Bő đe
đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
H̟¾ qua 1.2.6 M̟QI n̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e đeu là m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 tuyen̟ tín̟h̟, h̟ay đó làn̟h̟óm̟ c0n̟ đón̟g cua m̟®t n̟h̟óm̟ GL V n̟à0 đó.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Ch̟0 G, A là m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e Th̟e th̟ì A là h̟uu h̟an̟ sin̟h̟, Ak̟ f1, , fn̟ Ch̟0 Bρfi x G, 1 in̟ Th̟e0 Bő đe 1.2.4, B
là h̟uu h̟an̟ ch̟ieu và őn̟ đ%n̟h̟ b0i ρG Lai th̟e0 Bő đe 1.2.5, cau xa α ∶ G →
GL(B) ch̟0 ph̟ép n̟h̟ún̟g can̟
1.2.3Tôpô Zarisk̟i, th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy cua n̟h̟óm̟ đai s0
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.2.7 Ch̟0 V, A là m̟®t đa tap đai s0 affin̟e Ch̟0 τFVF là t¾p k̟h̟ơn̟g điem̟ cn̟a t¾p các h̟àm̟ tr0n̟g A Các ph̟an̟ tu cn̟a τ là các t¾p
c0n̟ đai s0 cn̟a V H̟ơn̟ n̟ua, ta có các đieu k̟i¾n̟ sau:
1 , V τ
2 Ch̟0 Fλτ vói M̟QI λ Λ Ch̟0 Fλ là tắp cỏc khụng iem cna fàA
The thỡ gia0 F l tắp khụng iem cna {fà}àM
,.
3.Ch0 FCh0i là t¾p h̟0p các k̟h̟ơn̟g điem̟ cn̟a {fi} F Th̟e th̟ì1, F2 ∈ τ
F1 ∪ F2 là t¾p k̟h̟ơn̟g điem̟ cn̟a {F 1 F 2 } .λ λ∈ri;i=1,2.
K̟h̟i đó, τ xác đ%n̟h̟ m̟®t tơpơ trên̟ V tr0n̟g đó các t¾p đón̟g là các ph̟an̟ tu cn̟a τ
Trang 18( ) ( )( ) = ∈ = { ∈ | ( ) =} = { ∈ | ( ) = } =∪ = = == ≠ ≠≠∩ ≠ ∈≠( ) ( ) ( × ⊗ )∈=∪∈ = ø= { ⊆|}( ≤ 4 = ∈=∩ ) ∪ ∪ ( ∩ ) ∩≥⊆ ⊆ ≥ = ∪∪ ≥= ( ∩ ) ∪ ∪ ( ∩ )⊆=
B0 đe 1.2.8 Ch̟0 V, A là m̟®t đa tap đai s0 affin̟e Th̟e th̟ì V, A là bat k̟h̟a quy k̟h̟i
và ch̟s k̟h̟i A là m̟ien̟ n̟guyên̟.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Ch̟0 V, A là bat k̟h̟a quy và f.g 0, vói f, g A Xét S x V f x
0 và T x V g x 0 Th̟e th̟ì S và T là các t¾p đón̟g tr0n̟g V và V
S T Tù V là bat k̟h̟a quy, V S h̟0¾c V T D0 đó f 0 h̟0¾c g 0 Đa0
lai, ch̟0 A là m̟®t m̟ien̟ n̟gun̟ Xét các t¾p c0n̟ m̟0 ch̟ín̟h̟ Vf và Vg; tr0n̟g đó f 0,g 0 Vì f.g 0, n̟ên̟ Vf Vg 0 H̟ơn̟ n̟ua, m̟0i t¾p m0 S chỳa mđt tắp c0n̟
m̟0 ch̟ín̟h̟ Vf , f A và f 0 Tù đó suy ra M̟QI c¾p t¾p m̟0 k̟h̟ác r0n̟g đeu có
gia0 k̟h̟ác r0n̟g D0 đó, V là bat k̟h̟a quy.
N̟h̟¾n̟ xét 1.2.9. 1.An̟h̟ qua cau xa cn̟a m̟®t đa tap bat k̟h̟a quy ln̟ là bat k̟h̟a quy.
2.N̟eu U, A và V, B là bat k̟h̟a quy th̟ì UV, A B cũn̟g bat k̟h̟a quy
Bây giị ta se ch̟ún̟g m̟in̟h̟ m̟®t đ%n̟h̟ lý cơ ban̟ cn̟a k̟h̟ôn̟g gian̟ N̟0eth̟er.
Đ%n̟h̟ lý 1.2.10 M̟QI k̟h̟ôn̟g gian̟ N̟0eth̟er có th̟e bieu dien̟ th̟àn̟h̟ h̟ap cua h̟uu h̟an̟ cuacác t¾p c0n̟ đón̟g bat k̟h̟a quy.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ GQIV là m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ N̟0eth̟er Ch̟0
Γ FV F là t¾p đón̟g và k̟h̟ơn̟g th̟e bieu dien̟
dưói dan̟g h̟0p h̟uu h̟an̟ các t¾p bat k̟h̟a quy .
Th̟e0 đieu k̟i¾n̟ N̟0eth̟er cn̟a V , ch̟0 F Γ là ph̟an̟ tu cn̟c tieu Bây giị gia su ban̟
th̟ân̟ F k̟h̟ơn̟g bat k̟h̟a quy Suy ra F F1 F2; F1, F2 là các t¾p c0n̟ đón̟g cn̟a V Tín̟h̟
ch̟at cn̟c tieu cn̟a F tr0n̟g Γ k̟é0 th̟e0 ca h̟ai t¾p F1, F2 đeu là h̟0p cn̟a h̟uu h̟an̟ các t¾p
bat k̟h̟a quy D0 đó, F cũn̟g v¾y, n̟h̟ưn̟g đieu n̟ày m̟âu th̟uan̟ vói F Γ Tù đó Γ và
V có th̟e bieu dien̟ đư0c dưói dan̟g h̟0p cn̟a các t¾p c0n̟ đón̟g, bat k̟h̟a quy.
≤ Xét m̟®t bieu dien̟ V = F1 ∪ F2 ∪ Fr, tr0n̟g đó Fi là t¾p c0n̟ bat k̟h̟a quy, vóii r Ta có th̟e ch̟0 F1 F l mđt tắp c0n úng bat kha quy Th̟e th̟ì F F VF F1 F Fr Bây giị F Fi là đón̟g vói i 2 và F là bat k̟h̟a quy D0 đóF1 F Fi vói i 2 n̟à0 đó Đieu n̟ày m̟âu th̟uan̟ vói V F1 Fr D0 đó, F1 là t¾p đón̟g bat k̟h̟a quy cn̟c đai tr0n̟g V Tươn̟g tn̟, Fi (i 2) cũn̟g có tín̟h̟ ch̟at n̟h̟ư
trên̟ Lai n̟ua, n̟eu F là t¾p c0n̟ đón̟g bat k̟h̟a quy cn̟c đai th̟e th̟ì FF
F1 .F Fr n̟ên̟ FFi vói i n̟à0 đó Đieu n̟ày suy ra FFi D0
đó tat ca các t¾p c0n̟ đón̟g bat k̟h̟a quy cn̟a V có th̟e viet đư0c dưói dan̟g F1 ∪
Trang 19( )∈∈( )( )=∈− =∈ ==( ) ( ) = { ∈ | ( ) =∈ } ( )( )4′ ( ) 4 ( ′)′
H̟¾ qua 1.2.11 Ch̟0 V, A là m̟®t đa tap đai s0 affin̟e K̟h̟i đó đ%n̟h̟ lý trên̟ cũn̟g đún̟g
ch̟0 V vái tơpơ Zarisk̟i, h̟ay V có th̟e bieu dien̟ th̟àn̟h̟ h̟ap cua h̟uu h̟an̟ các t¾p c0n̟ đón̟gbat k̟h̟a quy.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Th̟e0 đ%n̟h̟ lý cơ s0 H̟ilbert, M̟QI k̟-đai s0 h̟uu h̟an̟ sin̟h̟ đeu là N̟0eth̟er.
D0 đó, A là N̟0eth̟er, túc là M̟QI iđêan̟ cn̟a A đeu h̟uu h̟an̟ sin̟h̟ Vói m̟0i t¾p c0n̟
đón̟g U cn̟a V , ta liên̟ k̟et m̟®t iđêan̟ I U cn̟a A đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa b0i I U fA f x
0 vói M̟QI x U Cu th̟e I U cn̟a A là m̟®t iđêan̟ cn̟a các ph̟an̟ tu cn̟a A làm̟ tri¾t
tiêu tr0n̟g U Tù U là đón̟g, ta suy ra U là t¾p các k̟h̟ơn̟g điem̟ cn̟a I U Vì v¾y,
U U , U và U là đón̟g suy ra I U I U D0 đó, đieu k̟i¾n̟ cn̟c đai
cn̟a iđêan̟ cn̟a A ta có đieu k̟i¾n̟ cn̟c tieu cn̟a các t¾p đón̟g cn̟a V Vì v¾y V cùn̟g
vói tơpơ Zarisk̟i là m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ N̟0eth̟er D0 đó, áp dun̟g đ%n̟h̟ lý trưóc ta có đieucan̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
Ch̟0 G, A là m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e Tù G có cau trúc n̟h̟óm̟ và các tác đ®n̟g
n̟h̟óm̟ là các cau xa Th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy cna G cú mđt tớnh chat ắc biắt 0c
ch0 tr0ng m̟¾n̟h̟ đe sau:
M̟¾n̟h̟ đe 1.2.12 Ch̟0 G, A là m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e, th̟e th̟ì các th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat
k̟h̟a quy cua G là rài n̟h̟au N̟eu G0 là th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy cua G ch̟úa ph̟an̟ tu
đơn̟ v% e, th̟ì G0 là n̟h̟óm̟ c0n̟ đón̟g, ch̟uan̟ tac vái ch̟s s0 h̟uu h̟an̟ tr0n̟g G H̟ơn̟ n̟ua,
các th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy cua G là m̟®t láp k̟e cua G0.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Gia su G có h̟ai th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy gia0 n̟h̟au, k̟h̟i đó t0n̟ tai xG sa0 ch̟0 X n̟am̟ tr0n̟g ca h̟ai th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy Tù tín̟h̟ ch̟at th̟uan̟ n̟h̟at,
m̟®t tn̟ đ0n̟g cau cn̟a G gui m̟®t th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy và0 m̟®t th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a
quy M̟¾t k̟h̟ác, vì ph̟ép t%n̟h̟ tien̟ trái b0i m̟®t ph̟an̟ tu cn̟a G là m̟®t tn̟ đ0n̟g
cau, suy ra M̟QI ph̟an̟ tu cn̟a G đeu n̟am̟ tr0n̟g h̟ai th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy Lay
m̟®t th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy V cn̟a G Th̟e th̟ì m̟0i m̟®t ph̟an̟ tu cn̟a V đeu n̟am̟
tr0n̟g m̟®t th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy Vx k̟h̟ác V Đieu đó dan̟ đen̟ m̟®t ph̟ân̟ tích̟ k̟h̟ác
cn̟a G th̟àn̟h̟ các th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy Đieu n̟ày m̟âu th̟uan̟ D0 đó, các th̟àn̟h̟
ph̟an̟ bat k̟h̟a quy cn̟a G là ròi n̟h̟au.
Ch̟0 x G0 , th̟e th̟ì xG0 cũn̟g là m̟®t th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy và n̟ó ch̟úa x Vì
h̟ai th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy trên̟ k̟h̟ôn̟g gia0 n̟h̟au, n̟ên̟ xG0 G0 và vói y G tùy ý,
yG0y 1 G0 D0 đó, G0 là n̟h̟óm̟ c0n̟ ch̟uan̟ tac cn̟a G Rõ ràn̟g, các lóp k̟e cn̟a n̟ó
cũn̟g là th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy cn̟a G Đa0 lai, ch̟0 F là m̟®t th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a
quy cn̟a
G CH̟QN̟ x F , th̟e th̟ì x−1F G0, h̟ay F xG0, suy ra đieu can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
N̟h̟¾n̟ xét 1.2.13 1 G0 là t¾p c0n̟ đón̟g n̟h̟0 n̟h̟at cn̟a G có ch̟i s0 h̟uu h̟an̟ tr0n̟g
Trang 20= = [ ∶ ] ==⊆A = k[V].∶ →′ ⊆ ′()⊆≠ ∈ ≠∈=
2.Tr0n̟g m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 tùy ý, các th̟àn̟h̟ ph̟an̟ bat k̟h̟a quy và các th̟àn̟h̟ ph̟an̟ liên̟ th̟ôn̟g là n̟h̟ư n̟h̟au Ta GQI G0 là th̟àn̟h̟ ph̟an̟ trun̟g h̟òa cn̟a đơn̟ v% và n̟óiran̟g n̟h̟óm̟ G là liên̟ th̟ơn̟g n̟eu G G0.
3.Vói G 0n̟, ta có G0 S0n̟, ch̟i s0 G G0 2 Các n̟h̟óm̟ GLn̟, SLn̟, Sp2n̟ là các n̟h̟óm̟ liên̟ th̟ôn̟g.
1.2.4Đ%n̟h̟ lý th̟É h̟ai cua H̟ilbert
Ta n̟h̟ac lai ch̟0 k̟ = k̟ là m̟®t trưịn̟g đón̟g đai s0, (V, A) là m̟®t đa tap affin̟e,
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.2.14 Mđt tắp c0n U V đư0c GQI là dày (epais) tr0n̟g V n̟eu
th̟0a m̟ãn̟ đ0n̟g th̟ịi h̟ai đieu k̟i¾n̟:
1 U là bat k̟h̟a quy.
2 U chỳa mđt tắp c0n m0 trự mắt H cn̟a U :
H̟ ⊆ U ⊆ U.
Ta có k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ quan̟ TRQN̟G sau đây ve cau xa giua các đa tap đai s0:
M̟¾n̟h̟ đe 1.2.15 (xem̟ [16, Pr0p 1, p 14]) Ch̟0 U, V là các đa tap, α U V là m̟®t
cau xa, và U U là m̟®t đa tap c0n̟ dày Th̟e th̟ì α U cũn̟g là m̟®t đa tap c0n̟ dàycua V
Trưóc k̟h̟i ch̟ún̟g m̟in̟h̟ k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ n̟ày ta can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ m̟®t bő đe th̟uan̟ túy đais0 sau:
B0 đe 1.2.16 (xem̟ [16, Lem̟m̟a 1, p 15]) Ch̟0 A và B là các m̟ien̟ n̟guyên̟, B A
và A là đai s0 h̟uu h̟an̟ sin̟h̟ trên̟ B Ch̟0 f 0, f A Th̟e th̟ì t0n̟ tai g 0, g Bsa0 ch̟0 vái M̟QI trưàn̟g đón̟g đai s0 F = F , M̟QI đ0n̟g cau α ∶ B → F
B α .¸ F F
ccc¸,
cccsJ ccc α˜
A
Trang 21rđng lờn R[1x] hoắc R[x ]. →boi g¯ (X) nào đó.0∈( )( )
là mo r®ng duy nhat cna α trên
R[x].( ) ≠[ ] [ ] [ ][ ] ( )= ( )−−= ( ) = ( ) = ( )∶ [ ] →∈ ( ) =
Đong cau α cho ánh xa α¯ ∶ RP → K xác đ%nh
boi
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Bő đe 1.2.16.Bưác 1 Ch̟0 F là m̟®t trưịn̟g, R là m̟®t vàn̟h̟ c0n̟ cn̟a F vàx ≠ 0 ∈ F Th̟e th̟ì M̟QI đ0n̟g cau cn̟a R và0 m̟®t trưịn̟g đón̟g đai s0 K̟ đeu có th̟e m̟0
Th̟¾t v¾y, bây giị ch̟0 α : R K̟ là m̟®t đ0n̟g cau, P là h̟at n̟h̟ân̟ cn̟a α Th̟e th̟ì P
là m̟®t iđêan̟ n̟gun̟ t0 d0 K̟ là m̟®t trưịn̟g Xét RP là đ%a ph̟ươn̟g h̟óa cn̟a R tai P
α¯ (a ) = α ( a ) vói a ∈ R, s ∈ R × P
sα(s)
N̟eu α có th̟e m̟0 r®n̟g tói RP x h̟0¾c RP x 1 , th̟ì α có th̟e m̟0 rđng túi R x h0ắc
R x 1 N̟g0ài ra α¯ RP là m̟®t trưịn̟g vì K̟erα¯ P RP là ideal cn̟c đai cn̟a RP
D0 đó, k̟h̟ơn̟g m̟at tín̟h̟ tőn̟g qt, ta có th̟e gia su α R cng l mđt trũng, kớ hiắu
l R Vói
m̟0i đa th̟úc g(X) vói h̟¾ s0 trên̟ R, ch̟0 g(X) l a thỳc anh thuđc R[X] ắt
I = {g(X) ∈ R¯(X) | g(x) = 0}.
Rõ ràn̟g, I là m̟®t iđêan̟ tr0n̟g R¯[X], vói R¯[X] là m̟®t m̟ien̟ ch̟ín̟h̟ D0 đó, I đư0c sin̟h̟
Trưàn̟g h̟ap 1 g¯0 X k̟h̟ơn̟g là m̟®t h̟an̟g s0 k̟h̟ác k̟h̟ôn̟g.
Ta ch̟Qn̟ λ K̟ sa0 ch̟0 g¯0 λ 0 (cH̟QN̟ đư0c vì K̟ là đón̟g đai s0) Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩaα˜ R x K̟
ch̟0 b0i α˜ α trên̟ R và α ˜ x λ Đ0n̟g cau α˜ xác đ%n̟h̟ t0t vì n̟eu f1 x f2 x
, th̟ì
f1 − f2 ∈ I, suy raf1 − f2 ⋮ g0 D0 v¾y f1(λ) = f2(λ), k̟é0 th̟e0 α˜ xác đ%n̟h̟ t0t Rõ
ràn̟g, α˜
Trưàn̟g h̟ap 2 g¯0 X là m̟®t h̟an̟g s0 k̟h̟ác k̟h̟ơn̟g, ta có th̟e đ0n̟g n̟h̟at n̟ó vói 1.
N̟h̟¾n̟ th̟ay M̟QI ph̟an̟ tu b cn̟a R sa0 ch̟0 α b 0 đeu là k̟h̟a n̟gh̟%ch̟ (đan̟g gia th̟ietR = α(R) là m̟®t trưịn̟g) D0 đó t0n̟ tai g¯0 ∈ R[x] sa0 ch̟0 g0(x) = 0 và g0 có dan̟g :
g0(X) = 1 + a1X + … + am̟Xm̟, (1.3)
tr0n̟g đó a1, , am̟P Bây giò xét x−1 th̟ay ch̟0 x K̟h̟i đó α là đư0c m̟0 r®n̟g
lên̟
R[x−1] (n̟ên̟ th̟0a m̟ãn̟ gia th̟iet cn̟a bưóc 1) h̟0¾c t0n̟ tai f0(Y ) ∈ R[Y ] sa0 ch̟0:
Trang 220
x
tr0n̟g đó b1, , bn̟∈
P , và
Trang 23∈ −() ≠ [ ]xthì x ∈ −1R ho¾c x∈ R 00⊇
α(nx) = 0 mâu thuan vói α(x) ≠ 0.( )⊇⊇ ⊆⊆∶ →=( ) ≥ ( )⊇ ′′= | ( )+ + … +0 = 1 + b1 + … + bn .xn−1
Ta gia su g0 và f0 đeu là các đa th̟úc có b¾c n̟h̟0 n̟h̟at tr0n̟g các đa th̟úc th̟0a m̟ãn̟ đieu
k̟i¾n̟ (1.3) và (1.5) K̟h̟ơn̟g m̟at tín̟h̟ tőn̟g qt gia su n̟ ≤ m̟ Bây giị ta có
xxn̟Vì v¾yTù đó suy ra0 = xm̟+ b1xm̟−1 + + bn̟xm̟−n̟.0 = 1 + a1x + … + am̟−1xm̟−1 + am̟(−b1xm̟−1 − … −bn̟xm̟−n̟).
Đieu n̟ày m̟âu th̟uan̟ vói tín̟h̟ n̟h̟0 n̟h̟at cn̟a m̟ D0 đó ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ x0n̟g bưóc n̟ày.
N̟eu x R và α x 0, th̟ì tù (1.5), ta ch̟i ra α m̟0 r®n̟g đư0c lên̟ R x 1 Th̟¾t
v¾y,
th̟e0 trên̟ suy ra
f0(Y ) = 1 + b1Y + … + bn̟Y n̟,
tr0n̟g đó b1, , bn̟∈ P và f0( 1 ) = 0 N̟h̟ưn̟g vì 0 = xn̟+ b1xn̟−1 + … + bn̟, và bi ∈
P , n̟ên̟
Bưác 2 Ch̟0 F, R n̟h̟ư 0 bưóc 1 Đ¾t R0 là vàn̟h̟ c0n̟ cn̟c đai cn̟a F sa0 ch̟0 R0 R
và α m̟0 r®n̟g lên̟ đư0c R0 Th̟e th̟ì R0 là m̟®t vàn̟h̟ đ%n̟h̟ giá Cu th̟e, vói x ∈ F , x ≠ 0
Th̟¾t v¾y, đ¾t τ là H̟Q các c¾p R′, α′ vói R′ là vàn̟h̟ c0n̟ cn̟a F , R′ R và α′ làm̟®t m̟0 r®n̟g cn̟a α Tr0n̟g τ , đ%n̟h̟ ngha mđt quan hắ thỳ tn̟ b0i R′, α′ R′′, α′′
n̟eu R′ R′′ và α′′ α′
R Th̟e th̟ì M̟QI t¾p c0n̟ đư0c sap h̟0àn̟ t0àn̟ tr0n̟g tr0n̟g τ đeu
có ch̟¾n̟ trên̟ Th̟e0 bő đe Z0rn̟, τ có m̟®t ph̟an̟ tu cn̟c đai, gia su ph̟an̟ tu n̟ày là R0,α0 Rõ ràn̟g th̟e0 bưóc 1 th̟ì R0 là vàn̟h̟ đ%n̟h̟ giá.
Bưác 3 Ch̟0 F, R n̟h̟ư tr0n̟g bưóc 1, ch̟0 SR là m̟®t m̟0 r®n̟g n̟gun̟, vói RS F Th̟e th̟ì α có th̟e m̟0 r®n̟g
đư0c thnh mđt 0ng cau Skk.
Thắt vắy, ch0 ph̟an̟ tu 0 ≠ x ∈ S Th̟e th̟ì x th̟0a m̟ãn̟:
Trang 24i⊇i∈ ∈∈= [ ] ≠∈[ ] ⊆ ∈ ∈⊆ ∶ →−−−= = [ ] = [ ] ≠∈−≠∈′′= = [ ] ≠∈= + + +≠= ≠ ∶ → ( ) ≠ ∑ ( )=0≠∈∶ → ( ) ≠−|U=[ ] ⊇ [ ] =∈[ ] ( ) ≠[ ] ⊇ [ ] =( ) ( )
Trưàng hap 2 Phan tu x thoa mãn m®t ràng bu®c đa thúc trong B[x] Xét F −=
đưoc
Bây giò, ch̟0 R0 n̟h̟ư tr0n̟g bưóc 2 Th̟e th̟ì h̟0¾c x R0 h̟0¾c x 1 R0 N̟eu x 1
R0 th̟e th̟ì R x 1 R0 và d0 đó x R0 Tr0n̟g M̟QI trưòn̟g h̟0p x R0, k̟é0
th̟e0 S R0 D0 đó α m̟0 r®n̟g đư0c th̟àn̟h̟ m̟®t đ0n̟g cau α˜ S K̟
Bưác 4 Ta dan̟ ra Bő đe tù các bưóc 1, 2, 3 Ch̟0 A B là các m̟ien̟
n̟guyên̟, A B x1, , xn̟ , 0fA Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ bő đe ban̟g
quy n̟ap th̟e0 n̟ Gia su bő đe đã đún̟g k̟h̟i n̟ 1 Đ¾t B1 B x1, , xn̟ 1 ,
k̟é0 th̟e0 AB1 xn̟ D0 đó t0n̟ tai 0gB vói tín̟h̟ ch̟at n̟êu tr0n̟g bő
đe Th̟e0 gia th̟iet quy n̟ap, t0n̟ tai 0 g B vói tín̟h̟ ch̟at can̟ th̟iet.
Vì v¾y, ta ch̟i can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ch̟0 n̟ 1, A B x , vói 0 fA
ch̟0 trưóc Trưàn̟g h̟ap 1 Ph̟an̟ tu x là siêu vi¾t trên̟ B Đ¾t fb0 b1x
bm̟xm̟ vói bm̟ 0.CH̟QN̟ g bm̟ 0 N̟eu α B k̟, α g 0 th̟ì m̟ α bi Xi k̟h̟ơn̟g đ0n̟g
n̟h̟at ban̟g k̟h̟ơn̟g D0 đó, vì k̟ là trưịn̟g đón̟g đai s0, n̟ên̟ cH̟QN̟ đư0c λ ∈ k̟ sa0 ch̟0
Σm̟ α(b )λi ≠ 0.i=0
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa α˜ b0i α˜(x) = λ, k̟é0 th̟e0 α˜ là m̟0 r®n̟g can̟ tìm̟.
Frac(A) là trưịn̟g các th̟ươn̟g cn̟a A Đieu đó suy ra B[x] là đai s0 trên̟ B D0 đó f 1
cũn̟g đai s0 trên̟ B Bây giò cH̟QN̟ đư0c g 0, g B sa0 ch̟0 g và gf 1 là ph̟an̟ tu
n̟guyên̟ trên̟ B (d0 g th̟n̟c sn̟ t0n̟ tai) Ch̟0 α B K̟ là m̟®t đ0n̟g cau sa0 ch̟0α g 0 Tù bưóc 1 suy ra ran̟g α m̟0 rđng lờn 0c B[g1] Mắt k̟h̟ác tùbưóc 3, α m̟0 r®n̟g lên̟
B g−1, gx, gf −1 B xA.
Lai có B g−1, gx, gf −1 B xA n̟ên̟ α m̟0 r®n̟g đư0c lên̟ A H̟ơn̟ n̟ua, f −1
B g−1, gx, gf −1 , n̟ên̟ α f 0 V¾y Bő đe đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
Ta quay lai ch̟ún̟g m̟in̟h̟ M̟¾n̟h̟ đe 1.2.15.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ M̟¾n̟h̟ đe 1.2.15 Nhắn thay U l mđt a tap c0n cn̟a V và α là m̟®t
cau xa D0 đó k̟h̟ơn̟g m̟at tín̟h̟ tőn̟g qt, tù vi¾c U ′ U là bat k̟h̟a quy, và M̟QI t¾pm̟0 là r0n̟g h̟0¾c trù m̟¾t có th̟e gia su ran̟g U ′ là trù m̟¾t tr0n̟g U H̟ơn̟ n̟ua, U chỳamđt tắp c0n m0 chớnh Tiep en, thắm chớ cú the gia su U l mđt tắp c0n m̟0 ch̟ín̟h̟,n̟gh̟ĩa là
U ′ = {x ∈ U | f (x) ≠ 0} vói f ∈ k̟[U ] n̟à0 đó.
Lai có α U là m̟®t đa tap c0n̟ đón̟g, n̟ên̟ có th̟e gia su α U trù m̟¾t tr0n̟g V Đieu
đó suy ra đ0i cau xa
Trang 25[ ] [ ]= ∗e ○ α (h)p∶ → ○ ( ) ≠=∈[]= ( ) ⊆ ( )= ( ) = ( )cc ,,,,,,CHQNA = k[U ], B = α∗(k[V ]) Vì U ′ = {X ∈∗U | f (x) ≠∗0} là trù m¾t trongU, f ≠ 0,= e○ α∗−1 (α∗(h))x˜i= x
(mod I), B = k, f = 1 The thì ton tai g ≠ 0 vói tính chat can thiet Cho k
—I→dk s,,c,,,=cc ,,,,trong V.qik
là m̟®t ph̟ép n̟h̟ún̟g H̟ơn̟ n̟ua, k̟ V và k̟ U đeu là m̟ien̟ n̟guyên̟ d0 U và V là bat k̟h̟a
quy Ta có sơ đ0 sau:
k̟[V ], ˛ α∗ .¸ B ⊆ .¸ A
eq c
cc ,,, Φ ep
th̟e0 Bő đe 1.2.16, t0n̟ tai g ∈ k̟[V ] sa0 ch̟0 α (g) ≠ 0, α (g) ∈ B có tín̟h̟ ch̟at n̟h̟ư đã
n̟ói Đ¾t W = {y ∈ V | g(y) ≠ 0} Th̟e th̟ì W là t¾p c0n̟ m̟0 k̟h̟ác r0n̟g, d0 đó trù m̟¾t,
Ta ch̟i ra W ⊆ α(U ′) Th̟¾t v¾y, ch̟0 q ∈ W K̟h̟i đó g(q) ≠ 0 Tù đó suy ra
(eq○ (α∗)−1) (α∗(g)) = eq(g) = g(q) ≠ 0.
Th̟e0 Bő đe 1.2.16, t0n̟ tai Φ A k̟ sa0 ch̟0 Φ là m̟0 r®n̟g cn̟a eq α∗,−1 và Φ f
0 Mắt khỏc the0 ieu kiắn %nh ngha cna mđt a tap Φ ep vói m̟®t p U n̟à0 đó.
Th̟e th̟ì Φ(f ) = f (p) ≠ 0, k̟é0 th̟e0 p ∈ U ′ = Uf N̟g0ài ra, vói h̟ ∈ k̟[V ], ta có:
h̟(α(p)) = eα(p)(h̟)
= Φ(α∗(h̟))
eqh̟ h̟ q
D0 v¾y q α p Tù đó suy ra W α U ′ và ta có đieu can̟ ch̟ún̟g minh.
B e 1.2.16 nờu trờn cú mđt s0 ỏp dung.
Hắ qua 1.2.17 (xem̟ [16, p 19]) M̟QI iđêan̟ th̟n̟c sn̟ I cua k̟ x1, xn̟ có k̟h̟ơn̟g điem̟ k̟h̟ơn̟g tam̟ th̟ưàn̟g tr0n̟g k̟n̟.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Ta có th̟e gia su I là cn̟c đai Áp dun̟g Bő đe 1.2.16 ch̟0 A = k̟[x1, xn̟]/
I,
và Id(g) ≠ 0 K̟h̟i đó m̟0 r®n̟g đư0c đ0n̟g cau lên̟ A —→α k̟ Đ¾t α(X¯ ) = a K̟h̟i
đó
ii
Trang 26∈ ( )=−∈ ( )( ) =+( )( )⊗∈ ( )= [ ]( ) ∈ ( / ) =+( ) = +== ∈ ( )= = ∈ ( )=∈ ( / ) ∈ ( )
1.3 K̟h̟ai trien̟ J0rdan̟ cua m̟®t tE đ0n̟g cau và cua
ph̟an̟ tE tr0n̟g n̟h̟óm̟ đai s0
Đe n̟gh̟iên̟ cúu cau trúc cn̟a n̟h̟óm̟ đai s0 th̟ì bưóc quan̟ TRQN̟G đau tiên̟ là tìm̟ h̟ieuth̟u®c tín̟h̟ các ph̟an̟ tu tr0n̟g n̟h̟óm̟ Ta se dùn̟g các k̟et qua ve dan̟g ch̟uan̟J0rdan̟ tr0n̟g Đai s0 tuyen̟ tín̟h̟ đe làm̟ đieu n̟ày.
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.3.1 (xem̟ [16, p 22]) Ta n̟ói m̟®t ph̟an̟ tu X En̟d V là n̟ua đơn̟ n̟euX là ch̟é0 h̟óa đư0c Ph̟an̟ tu X là lũy lin̟h̟ n̟eu Xn̟ 0 vói m̟®t n̟ n̟gun̟ dươn̟g n̟à0
đó Ph̟an̟ tu X là lũy dơn̟ n̟eu X Id là lũy lin̟h̟.
Sau đây ta se e cắp (khụng chỳng minh) mđt s0 ket qua e i en viắc hieu phõntớch mđt phan tu bat k̟ỳ cn̟a n̟h̟óm̟ đai s0 th̟àn̟h̟ h̟ai ph̟an̟, ph̟an̟ n̟ua đơn̟ và ph̟an̟ lũyđơn̟.
M̟¾n̟h̟ đe 1.3.2 (xem̟ [16, Pr0p 1, p 24]) Ch̟0 V là k̟h̟ôn̟g gian̟ vectơ n̟ ch̟ieu
trên̟ trưàn̟g đón̟g đai s0 k̟, và ch̟0 X En̟d V là m̟®t tn̟ đ0n̟g cau cua V Th̟e th̟ìt0n̟ tai các tn̟ đ0n̟g cau S, N̟ th̟u®c En̟d V sa0 ch̟0: X S N̟ , tr0n̟g đó Slà n̟ua đơn̟, N̟ là lũy lin̟h̟, và S, N̟ gia0 h̟0án̟ vái n̟h̟au H̟ơn̟ n̟ua, S, N̟ đưac xác đ%n̟h̟ duy n̟h̟at th̟e0 đieu k̟i¾n̟ vùa n̟êu và đưac GQI tươn̟g ún̟g là ph̟an̟ n̟ua đơn̟ và ph̟an̟lũy lin̟h̟ cua X.
N̟h̟¾n̟ xét 1.3.3 K̟h̟ái n̟i¾m̟ trên̟ có th̟e đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa, vói m̟®t ch̟út th̟ay đői, vói
m̟®t trưịn̟g k̟ tùy ý (k̟h̟ơn̟g n̟h̟at th̟iet đón̟g đai s0) Ch̟ún̟g ta có th̟e đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa m̟®t tn̟
đ0n̟g cau th̟u®c En̟d V là n̟ua đơn̟ n̟eu tn̟ đ0n̟g cau tươn̟g ún̟g tr0n̟g V k̟ k̟ là n̟ua
đơn̟ K̟h̟i đó h̟ai đieu k̟i¾n̟ trên̟ se đư0c th̟0a m̟ãn̟, tuy n̟h̟iên̟ ch̟ún̟g ta k̟h̟ơn̟g ch̟ac ch̟an̟li¾u th̟àn̟h̟ ph̟an̟ n̟ua đơn̟ và lũy lin̟h̟ (tươn̟g ún̟g, lũy đơn̟) có th̟u®c En̟d V h̟ay
k̟h̟ơn̟g M̟¾c dù v¾y, n̟eu K̟ là h̟0àn̟ th̟i¾n̟ th̟ì các th̟àn̟h̟ ph̟an̟ n̟ua đơn̟ và lũy lin̟h̟
(tươn̟g ún̟g, lũy đơn̟) se thuđc End V Thắt vắy, ch̟0 σ Gal k̟ k̟ Đ¾t X S
N̟ là ph̟ân̟ tích̟ cn̟a X tr0n̟g En̟d V Th̟e th̟ì σX σS σN̟ , vói σS là n̟ua đơn̟,σN̟ là lũy lin̟h̟ và σS.σN̟ σN̟.σS H̟ơn̟ n̟ua σX X vì X En̟d V xác đ%n̟h̟
trên̟ trưòn̟g cơ s0 k̟ B0i tín̟h̟ duy n̟h̟at cn̟a ph̟ân̟ tích̟, σS S và σN̟ N̟ Vì
trưịn̟g k̟ là h̟0àn̟ th̟i¾n̟, n̟ên̟ S En̟d V và σS S vói M̟QI σ Gal k̟ k̟
Tươn̟g tn̟ N̟ En̟d V .
Bây giị ch̟ún̟g ta se m̟0 r®n̟g m̟®t ph̟an̟ ý tư0n̟g cn̟a k̟h̟ai trien̟ J0rdan̟ tr0n̟g trưịn̟gh̟0p k̟h̟ơn̟g gian̟ vô h̟an̟ ch̟ieu Ch̟0 V là k̟h̟ôn̟g gian̟ vectơ (k̟h̟ôn̟g n̟h̟at th̟iet h̟uu h̟an̟
Trang 27Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.3.4 (xem̟ [16, p 27]) Ph̟an̟ tu X En̟d V đư0c GQI là h̟uu h̟an̟
đ%a ph̟ươn̟g n̟eu V = ∑λ∈Λ Vλ vói m̟0i Vλ là k̟h̟ôn̟g gian̟ c0n̟ őn̟ đ%n̟h̟ h̟uu h̟an̟ ch̟ieu
Trang 28∈∈ ( )( )( ) =+( ′) ⊆ ′ ( ′) ⊆ ′ | = | + | |=∩I{| = | + |== ∈=∈ ( )=+∈ ( )| = | | =|( ) ( )
h0ắc mđt cỏch núi khỏc, n̟eu m̟0i v V đư0c ch̟úa tr0n̟g m̟®t k̟h̟ơn̟g gian̟ c0n̟ őn̟ đ%n̟h̟
h̟uu h̟an̟ ch̟ieu dưói tác đ®n̟g cn̟a X.
Ta biet m̟®t tn̟ đ0n̟g cau trên̟ k̟h̟ơn̟g gian̟ c0n̟ vô h̟an̟ ch̟ieu ch̟ưa ch̟ac t0àn̟ án̟h̟ k̟e ca k̟h̟i n̟ó đơn̟ án̟h̟ Tuy n̟h̟iên̟ ta có k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ sau:
B0 đe 1.3.5 (xem̟ [16, Lem̟m̟a, p 27]) Ch̟0 X En̟d V là h̟uu h̟an̟ đ%a ph̟ươn̟g Th̟e th̟ì các k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ sau đây là tươn̟g đươn̟g:
(a)X là m̟®t tn̟ đan̟g cau.
(b) Tat ca các giá tr% riên̟g cua X đeu là k̟h̟ác k̟h̟ơn̟g.
M̟¾n̟h̟ đe 1.3.6 (xem̟ [16, Pr0p 1]) Ch̟0 X th̟u®c En̟d V là h̟uu h̟an̟ đ%a ph̟ươn̟g.
Th̟e th̟ì t0n̟ tai các tn̟ đ0n̟g cau S, N̟ th̟u®c En̟d V sa0 ch̟0 X S N̟ và S, N̟ làgia0 h̟0án̟ N̟eu V ′ là k̟h̟ôn̟g gian̟ c0n̟ h̟uu h̟an̟ ch̟ieu bat bien̟ dưái tác đ®n̟g cua X, th̟ì
S V V , N̟ V V , và X V′ S V′ N̟ V′ là ph̟ân̟ tích̟ cua X V′ th̟àn̟h̟ cácph̟an̟ n̟ua đơn̟ và lũy lin̟h̟ n̟h̟ư đã n̟ói á m̟n̟c trưác.
N̟h̟¾n̟ xét 1.3.7 Các ph̟an̟ tu n̟ua đơn̟ và lũy lin̟h̟ S và N̟ đư0c đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa t0t.
Th̟¾t v¾y, xét các k̟h̟ơn̟g gian̟ c0n̟ riên̟g Vλ v Và The thỡ W VVà bat bien dúi
tỏc đng cn̟a X, vàJX WSλ WN̟λ Wı›X|W = Sµ|W + N̟µ|W(1.6)
là k̟h̟ai trien̟ J0rdan̟ th̟àn̟h̟ các th̟àn̟h̟ ph̟an̟ n̟ua đơn̟ và lũy lin̟h̟ D0 tín̟h̟ duy n̟h̟at cn̟ak̟h̟ai trien̟ ta có:
Sλ WSµ W và N̟λ WN̟λ W .
D0 đó S, N̟ đư0c đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa t0t Vì Sλ.N̟λN̟λ.Sλ vói M̟Qi λ Λ, n̟ên̟ S.N̟ N̟.S,
Tù đó suy ra XSN̟
B0 đe 1.3.8 Ch̟0 x Aut V là m̟®t tn̟ đan̟g cau h̟uu h̟an̟ đ%a ph̟ươn̟g Th̟e th̟ì t0n̟
tai các tn̟ đan̟g cau s, u Aut V sa0 ch̟0 các đieu k̟i¾n̟ sau đưac th̟óa m̟ãn̟:1.x s.u, vái s là n̟ua đơn̟, u là lũy đơn̟ đ%a ph̟ươn̟g.
2.s và u là gia0 h̟0án̟.
Trang 29∈ ∶ →∈ ∗ ∶ →∈ ∈ === [ ] xx∈∗∗= ○ ○ = ○○−∗∗=( )∈∶ → ( ) ∈ ( ) =đơn.
N̟h̟¾n̟ xét 1.3.9 Ph̟ân̟ tích̟ trên̟ và 0 m̟uc trưóc đư0c GQI là ph̟ân̟ tích̟ J0rdan̟
Bây giị ta ch̟uyen̟ san̟g tìm̟ h̟ieu ph̟ân̟ tích̟ J0rdan̟ tr0n̟g n̟h̟óm̟ đai s0 tùy ý Ch̟0
G là m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 và A k̟ G Th̟e0 Bő đe 1.2.5, các tn̟ đan̟g cau ρ và λ
là h̟uu h̟an̟ đ%a ph̟ươn̟g vói M̟QI x G Ta có đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa sau:
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.3.10 (a)M̟®t ph̟an̟ tu s G đư0c GQI là n̟ua đơn̟ n̟eu ρs A A
cũn̟g là n̟ua đơn̟.
(b)M̟®t ph̟an̟ tu u G đư0c gQI là lũy đơn̟ n̟eu ρ∗
u A A cũn̟g là lũy đơn̟.
N̟h̟¾n̟ xét 1.3.11 Ph̟an̟ tu s là n̟ua đơn̟ n̟eu và ch̟i n̟eu s−1 là n̟ua đơn̟ Tù đó λxi ρx−1 i−1 Vì v¾y λ∗
x i∗ ρ∗
x 1 i∗ Vì v¾y ρ∗
x là n̟ua đơn̟ n̟eu và ch̟i n̟eu λ∗
x
cũn̟g có tín̟h̟ ch̟at đó Ta cũn̟g có ρ∗
x là lũy đơn̟ n̟eu và ch̟i n̟eu λ∗
x cũn̟g v¾y N̟ói
cách̟ k̟h̟ác, x là n̟ua đơn̟ n̟eu và ch̟i n̟eu λx cũn̟g n̟ua đơn̟, và x lũy đơn̟ n̟eu và ch̟i
n̟eu λx cũn̟g lũy
M̟¾n̟h̟ đe 1.3.12 Ch̟0 x G Th̟e th̟ì t0n̟ tai ph̟an̟ tu y, z G sa0 ch̟0 x
y.z z.y, tr0n̟g đó y n̟ua đơn̟ còn̟ z lũy đơn̟ M̟ői ph̟ân̟ tích̟ n̟ày là duy n̟h̟at và cácph̟an̟ tu tươn̟g ún̟g đưac GQI là th̟àn̟h̟ ph̟an̟ n̟ua đơn̟ và th̟àn̟h̟ ph̟an̟ lũy đơn̟ cua x.Ch̟ún̟g lan̟ lưat đưac k̟í h̟i¾u bái xs và xu M̟®t k̟h̟ai trien̟ n̟h̟ư v¾y đưac GQI là k̟h̟aitrien̟ J0rdan̟ cua x tr0n̟g n̟h̟óm̟ G.
B0 đe 1.3.13 Ch̟0 A là m̟®t đai s0 trên̟ trưàn̟g k̟ (k̟h̟ơn̟g can̟ th̟iet ph̟ai có tín̟h̟ gia0
h̟0án̟ h̟ay k̟et h̟ap) Ch̟0 σ là m̟®t tn̟ đan̟g cau k̟-đai s0 cua A th̟óa m̟ãn̟ tín̟h̟ ch̟at h̟uuh̟an̟ đ%a ph̟ươn̟g Ch̟0 σ s.u là k̟h̟ai trien̟ J0rdan̟ cua σ Th̟e th̟ì s và u tươn̟g ún̟gcũn̟g là các k̟-đai s0 các tn̟ đ0n̟g cau cua A.
M̟¾n̟h̟ đe 1.3.14 N̟eu G là n̟h̟óm̟ c0n̟ đón̟g cua GL V và x G, th̟e th̟ì h̟ai k̟h̟ai
trien̟ J0rdan̟ cua x, xem̟ n̟h̟ư tn̟ đan̟g cau trên̟ V và xem̟ x n̟h̟ư m̟®t ph̟an̟ tu th̟u®c G,ph̟ai trùn̟g n̟h̟au.
M̟¾n̟h̟ đe 1.3.15 K̟h̟ai trien̟ J0rdan̟ là đưac ba0 t0àn̟ bái các đ0n̟g cau cua n̟h̟óm̟ đai
s0.
Ca h̟ai M̟¾n̟h̟ đe 1.3.14 và 1.3.15 đeu là h̟¾ qua cn̟a bő đe sau:
B0 đe 1.3.16 Ch̟0 ρ G GL V là m̟®t bieu dien̟ cua G và x G Th̟e th̟ì ρ
Trang 30== [ ]∈( ) = ( )∗ = ( ⊗ )—→ ( )(∗)∈ ∗ ∈ ( )( −)( ) = () ( )( ) = { ∶ → | ( ) = ( ) + ( )}( ) = { ∈ ( ) | = ∈}∶ ( ∶ [ ] → [ ]) ( ( ○∶ [ ] → )∶ ( ) →∗ = Σ= [ ]→ ( )( ∗∗= ( ) = ( ( ))(f ∗ X)(x) = Σn (Xv )u (x) = X(λ −1 f ). =
1.4 Đai s0 Lie cua m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 G
1.4.1Cách̟ xây dEn̟g
Tr0n̟g m̟uc n̟ày ta se xây dn̟n̟g đai s0 Lie cn̟a m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e G Bat đau vói
đai s0 A k̟ G các h̟àm̟ ch̟ín̟h̟ quy trên̟ G, ta dan̟ ra các ph̟ép t%n̟h̟ tien̟ trái λx, x
G ch̟0 b0i λx f y f x 1y N̟h̟¾n̟ th̟ay t¾p L G các ph̟ép đa0 h̟àm̟ bat
bien̟ trái cn̟a A (gia0 h̟0án̟ vói ph̟ép t%n̟h̟ tien̟ trái) có cau trúc (tn̟ n̟h̟iên̟, th̟ơn̟g
qua m̟óc Lie cn̟a trưịn̟g vectơ (các ph̟ép đa0 h̟àm̟)) cn̟a m̟®t đai s0 Lie h̟an̟ ch̟e vàta GQI đó là đai s0 Lie cn̟a G Cu th̟e:
L Gδ Derk̟ A, A λxδ δλx vói M̟QI x G ,
tr0n̟g đó Derk̟ A, A Án̟h̟ xa k̟-tuyen̟ tín̟h̟ δ A A δ fg fδ g gδ f
H̟ơn̟ n̟ua, n̟h̟ị ph̟ép t0án̟ n̟h̟óm̟ cn̟a G, dan̟ đen̟ ph̟ép t%n̟h̟ tien̟ trái, ta có th̟e đ0n̟g
n̟h̟at các đa0 h̟àm̟ bat bien̟ trái cn̟a G vói các ph̟ép đa0 h̟àm̟ tai điem̟ đơn̟ v% (ch̟ín̟h̟ là
k̟h̟ơn̟g gian̟ tiep xúc tai đơn̟ v%) Ta se ch̟i rõ các ph̟ép đ0n̟g n̟h̟at n̟ày K̟ý h̟i¾u g
T G e Derk̟ A, k̟e là k̟h̟ôn̟g gian̟ tiep xúc tai đơn̟ v% Ta đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa án̟h̟ xa tn̟ n̟h̟iên̟e L G g là ph̟ép đ%n̟h̟ giá tai e:
e δ k̟ G k̟ Ge δ k̟ G k̟e.
Ch̟ieu n̟gư0c lai g L G ch0 b0i phộp chắp , chuyen mđt phộp a0 h̟àm̟ điem̟
X g th̟àn̟h̟ m̟®t ph̟ép đa0 h̟àm̟ bat bien̟ trái X Derk̟ A, A ch̟0 b0i côn̟g th̟úc:
f Xid X µ∗f, (1.7)
tr0n̟g đó µ∗ đ0i cau xa cn̟a ph̟ép n̟h̟ân̟ trên̟ G Vói bieu th̟%:
ta cón̟uii=1⊗ vi∈ k̟[G] ⊗ k̟[G],iixi 1
Ch̟0 G là m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e, A k̟ G là đai s0 các h̟àm̟ ch̟ín̟h̟ quy trên̟ đó.
Ve m̟¾t t¾p h̟0p ta đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa đai s0 Lie là k̟h̟ôn̟g gian̟ tiep xúc tai điem̟ đơn̟ v%
g T G e Der A, κ e
N̟h̟¾n̟ xét 1.4.1 Ph̟ép chắp ch0 b0i cụng thỳc (1.7) xỏc %nh mđt ỏnh xa g L G ,
n̟gh̟ĩa là tươn̟g ún̟g X X ch̟0 m̟®t án̟h̟ xa k̟-tuyen̟ tín̟h̟, và X ch̟0 m̟®t ph̟ép đa0
h̟àm̟ bat bien̟ trái.
Trang 31= −1−1X(λf)g(x) + f (x)X(λg)x= ( −1δλf )(e)x∶ ( ) —→∈ ( (∗ ) ∈ ( )∶ →∶ →∶ →( ) ≅( )∶ →∶ → ( )( ∗ )( ) = ( ) =Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Th̟¾t v¾y(fg ∗ X)(x) = X(λx−1 (fg)) = X((λx−1 f )(λx−1 g))= (X ∗ f )(x)g(x) + f (x)(X ∗ g)(x).H̟ơn̟ n̟ua,
(λy(f ∗ X))(x) = (f ∗ X)(y−1x) = X(λx1 yf ) = X(λx−1 ((λyf ) ∗ X)
(x).
Sau đây là m̟¾n̟h̟ đe ch̟ín̟h̟ đe c¾p đen̟ tươn̟g ún̟g n̟ói trên̟.
M̟¾n̟h̟ đe 1.4.2 (xem̟ [4, Pr0p 3.1, p 12]) Ta có e L Gg là m̟®t đan̟g cau
cua các k̟h̟ơn̟g gian̟ vectơ vái án̟h̟ xa n̟gưac X g XL G Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Ta k̟iem̟ tra các h̟0p th̟àn̟h̟ cn̟a h̟ai án̟h̟ xa n̟ói trên̟.
H̟0p th̟àn̟h̟ th̟ú n̟h̟at ch̟0 b0i:
(f ∗ (e ○ δ))(x) = e ○ δ(λx− f )
= (λx−1 δf )(e) = δf (x).
H̟0p th̟àn̟h̟ th̟ú h̟ai ch̟0 b0i:
f X e X λe−1 f Xf.
Vì v¾y các án̟h̟ xa trên̟ là n̟gh̟%ch̟ đa0 cn̟a n̟h̟au.
Tù đan̟g cau L G g n̟ói trên̟, g có đư0c cau trúc cn̟a đai s0 Lie h̟an̟ ch̟e cam̟
sin̟h̟ tù m̟óc Lie trên̟ L G D0 đó ta cũn̟g GQI g là đai s0 Lie cn̟a G.
N̟eu ϕ G H̟ là m̟®t đ0n̟g cau giua các n̟h̟óm̟ đai s0, th̟ì vi ph̟ân̟ cn̟a cau xa đó
dϕ g h̟ là án̟h̟ xa trên̟ các đai s0 Lie tươn̟g ún̟g Cau trúc đai s0 Lie cn̟a L G có
các tín̟h̟ ch̟at tn̟ n̟h̟iên̟ sau:
M̟¾n̟h̟ đe 1.4.3 (xem̟ [4, Pr0p 3.2]) Ch̟0 G, H̟ là các n̟h̟óm̟ đai s0, φ G H̟ là
m̟®t đ0n̟g cau, th̟e th̟ì:
1.Vi ph̟ân̟ dϕ g h̟ là m̟®t đ0n̟g cau giua các n̟h̟óm̟ Lie h̟an̟ ch̟e.
Trang 32[ ] = [ ]( ) ≅ ( )[ ] = [ ]( ) = ( )−/ ∶ [ ] → [ ]>( ) = ( ) ∈ []( ) = ( ) ∈ ( ) =∈( ) ( ) = ( ) =×−( => =(−/ ) = (− ) ( − ( − ))= Σ ∂t≅ ( )= ( ) ∈ ( [ ])∗∂t
M̟¾n̟h̟ đe 1.4.4 (xem̟ [4, Pr0p 3.3]) Ch̟0 G là m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0, H̟ là n̟h̟óm̟ c0n̟
đón̟g, và J là iđêan̟ cua k̟[G] tươn̟g ún̟g vái H̟, k̟[H̟] = k̟[G]/J K̟h̟i đó:1 L(H̟) = {δ ∈ L(G) | δJ ⊂ J }.
2 h̟ = {X ∈ g | X(J ) = 0}.
1.4.2Các ví dn̟
Ví dn̟ 1.4.5 1 N̟h̟óm̟ c®n̟g Ga Vàn̟h̟ h̟àm̟ ch̟ín̟h̟ quy k̟ Gak̟ t Vì Ga có ch̟ieu
ban̟g 1, L Ga k̟, vói m̟óc Lie đ0n̟g n̟h̟at vói 0 e đóL Ga sin̟h̟ b0i các ph̟ép
đa0 h̟àm̟ bat bien̟ trái d dt k̟ t k̟ t N̟eu ch̟ar.k̟ 0, th̟ì t0án̟ tu p là
đ0n̟g n̟h̟at vói 0 vì d dt ptn̟n̟ n̟ 1 n̟ p 1 tn̟p và tích̟ cn̟a p s0
n̟guyên̟ liên̟ tiep ch̟ia h̟et ch̟0 p.
2 N̟h̟óm̟ n̟h̟ân̟ Gm̟ Vàn̟h̟ h̟àm̟ ch̟ín̟h̟ quy k̟ Gm̟ k̟ t, t 1 Lai có ch̟ieu
cn̟a Gm̟ ban̟g 1 Vì v¾y L Gm̟ k̟, tr0n̟g đó L Gm̟ sin̟h̟ b0i ph̟ép đa0
h̟àm̟ δ ch̟0 n̟h̟ư sau, δ xác đ%n̟h̟ duy n̟h̟at b0i giá tr% cn̟a n̟ó tai t, δ t f tk̟ t, t 1 Đieu k̟i¾n̟ bat bien̟ trái đòi h̟0i f xt f t vói M̟QI x k̟ , vì
v¾y f t at vói a k, nhắn 0c mđt ang cau cna L Gm̟ tói k̟ N̟eu δt at, th̟ì δp t apt, vì v¾y p-t0án̟ tu có dan̟g a ap vói p ch̟ar.k̟
0 Lưu ý ran̟g đai s0 Lie h̟an̟ ch̟e cn̟a Ga và Gm̟ là đan̟g cau n̟eu và ch̟i n̟eu
ch̟ar.k̟ 0 vì các p-t0án̟ tu tác đ®n̟g k̟h̟ác n̟h̟au trên̟ đai s0 Lie.
Ví dn̟ 1.4.6 (N̟h̟óm̟ tuyen̟ tín̟h̟ tng quỏt) Vỡ GLn l mđt tắp c0n m0, trù m̟¾t cn̟a
M̟atn̟= k̟n̟2 , n̟ên̟ k̟h̟ơn̟g gian̟ tiep xúc cn̟a GL tai E có m̟®t cơ s0 ba0 g0m̟ các ph̟épn̟
đa0 h̟àm̟ ∂ij
|
En̟
Đ0n̟g n̟h̟at X ∈ gln̟ vói m̟a trắn TQA đ (xij)nìn cna nú the0 cụng thỳc:
∂
Xxij.
i,jij
Ph̟ép đ0n̟g n̟h̟at ch̟0 ta m̟®t đan̟g cau giua các k̟h̟ôn̟g gian̟ vectơ gln̟ M̟atn̟ k̟
Đe tín̟h̟ t0án̟ m̟óc Lie cn̟a h̟ai vectơ tiep xúc và an̟h̟ cn̟a n̟ó qua ph̟ép đ0n̟g n̟h̟at, xétm̟a tr¾n̟ T tij M̟atn̟ k̟ GLn̟ , tr0n̟g đó m̟0i tij là h̟àm̟ TQA đ the0 i, j ắt TX l
ma trắn vúi m̟0i ô là k̟et qua cn̟a ph̟ép đa0 h̟àm̟ cn̟a tij th̟e0 trưịn̟g vectơ bat bien̟ trái
∗X
Vì
n̟ên̟
µ∗tij= Σ tim̟⊗ tm̟j,
tij∗ X = (id ⊗ X)(µ∗(tij)) = Σ tim̟(Xtm̟j) = Σ tim̟xm̟j.n
m
Trang 33∗=I{∗ ∗=[][]≅ ( )n[ ] =−( ( ) −)⊂ ≅ ()n =( ( ) ∗ ) = Σ = ( )( )∗ [ ] = ∗ ∗ − ∗ ∗ ∈ = [ ]∗[]∗ [ ] = ∗ ∗ − ∗ ∗ = ( − )∶ → ( )X (d(Int(g))e(X).∈ ( ) ∶ → (−( )( ) =i
D0 đó T XTX, tr0n̟g đó ve trái vùa đư0c đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa, và ve ph̟ai là ph̟ép n̟h̟ân̟ m̟a
tr¾n̟ Th̟e th̟ìJT X YT XY,ı›T ∗ Y ∗ X = T Y X.(1.8)
M̟¾t k̟h̟ác, m̟óc Lie cn̟a h̟ai vectơ tiep xúc X và Y là vectơ X, Y sa0 ch̟0 ph̟ép đa0
h̟àm̟ bat bien̟ trái X, Y cam̟ sin̟h̟ tù n̟ó ch̟0 b0i
fX, Yf X Yf Y X, vói M̟QI f A k̟ G
D0 đó k̟et h̟0p vói đan̟g th̟úc (1.8) ta có:
TX, YT X Y T Y X T XY Y X
Vì v¾y, ph̟ép đ0n̟g n̟h̟at trên̟ ch̟0 đan̟g cau gl M̟atn̟ k̟ vói đai s0 Lie tr0n̟g đó m̟óc
Lie trên̟ m̟a tr¾n̟ ch̟0 b0i: X, Y XY Y X.
Ví dn̟ 1.4.7 (Các n̟h̟óm̟ m̟a tr¾n̟ k̟h̟ác) Đe xây dn̟n̟g đai s0 Lie cn̟a các n̟h̟óm̟ m̟a
tr¾n̟ cő đien̟ k̟h̟ác, ta can̟ xác đ%n̟h̟ các đa0 hm bat bien trỏi lm triắt tiờu cỏc hmthuđc iờan xác đ%n̟h̟ ch̟ún̟g tr0n̟g k̟ GLn̟ Vói SLn̟ tươn̟g ún̟g vói iđêan̟ ch̟ín̟h̟ sin̟h̟ b0i
det tij 1 Vì v¾y đai s0 Lie cn̟a ch̟ún̟g tươn̟g ún̟g vói các đa0 h̟àm̟ bat bien̟ trái sa0
ch̟0 ch̟ún̟g tri¾t tiêu đa th̟úc det tij Tín̟h̟ t0án̟ tù đai s0 tuyen̟ tín̟h̟ ch̟0 ta :
det t Xxii Tr X
Tù đó, sln̟ gl M̟atn̟ k̟ là đai s0 Lie các m̟a tr¾n̟ vói vet ban̟g 0 Đai s0 Lie cn̟a
n̟h̟óm̟ các m̟a tr¾n̟ k̟h̟ác đư0c tín̟h̟ t0án̟ tươn̟g tn̟ Vói m̟0i đieu k̟i¾n̟ xác đ%n̟h̟ xtSx S
(ví du n̟h̟ư các n̟h̟óm̟ S0n̟, Spn̟), Đai s0 Lie tươn̟g ún̟g là g = {X ∈ gln̟ | Xt =
−SXS−1}.
1.4.3Các tác đ®n̟g liên̟ h̟ap và ph̟n̟ h̟ap
M̟0i n̟h̟óm̟ đai s0 affin̟e G đeu tác đ®n̟g lên̟ ch̟ín̟h̟ n̟ó b0i các tn̟ đan̟g cau tr0n̟g:
In̟t g xgxg−1.
Tù đó vói m̟0i g G c0 đ%n̟h̟, ta có cau xa In̟t g G G, gui x gxg 1 Cau xa
n̟ày cam̟ sin̟h̟ vi ph̟ân̟ trên̟ k̟h̟ơn̟g gian̟ tiep xúc đư0c k̟í h̟i¾u b0iAd(g) ∶ g —→ g
Tù đó ta th̟u đư0c đ0n̟g cau n̟h̟óm̟ đai s0 Ad G GL g Đe h̟ieu rõ h̟ơn̟ tác đ®n̟g
ph̟u h̟0p Ad trên̟ các đai s0 Lie ta đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa các tác đ®n̟g t%n̟h̟ tien̟ trái và ph̟ai cn̟a
Trang 34=( )( )( )∈ ( ) ( ()( ( ))( ) = (( ) )( ) = ( )( ) = ( )( )( ( )( ) ) = ( (( ) ∗ ))( ) = (( ) ∗ )( )mói ad ∶ g → gl(g) The thì= ( )( )( )( ) = []
• T%n̟h̟ tien̟ trái: δ ∈ Derk̟(A, A) ( λxδλx−1 Derk̟(A, A).
• T%n̟h̟ tien̟ ph̟ai: δ Derk̟ A, Aρxδρx−1 Derk̟ A, A
K̟h̟i đó các đa0 h̟àm̟ bat bien̟ trái (gia0 h̟0án̟ vói ph̟ép t%n̟h̟ tien̟ trái δx) se bat bien̟vói ph̟ép tác đ®n̟g trái n̟ói trên̟ H̟ơn̟ n̟ua L G őn̟ đ%n̟h̟ đ0i vói tỏc đng phai Khang
%nh sau ch0 liờn hắ vói Ad vói ph̟ép t%n̟h̟ tien̟ ph̟ai.
M̟¾n̟h̟ đe 1.4.8 (xem̟ [4, Pr0p 3.4]) Qua ph̟ép đ0n̟g n̟h̟at g vái L G n̟ói trên̟, tác
đ®n̟g ph̟n̟ h̟ap Ad ch̟ín̟h̟ là tác đ®n̟g ph̟ai cua G lên̟ L(G).
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Vói X ∈ g = Der(A, κ(e)) là m̟®t ph̟ép đa0 h̟àm̟ điem̟, ta có
Ad(x)(X)(f ) = d(In̟tx)e(X)(f ) = X(In̟t(x)∗(f )).
M̟¾t k̟h̟ác, vói δ ∈ L(G) là m̟®t ph̟ép đa0 h̟àm̟ bat bien̟ trái ún̟g vói X ta có:
e ρxδρx−1fρxδρx−1 f eδρx−1 fxλx−1 δρx−1 fe
= (δλx−1 ρx−1 f (e) = (δIn̟t(x)∗f )(e).
D0 đó Ad x ún̟g vói ρxδρx−1 .
Ví dn̟ 1.4.9 Vói G GLn̟, đ0n̟g n̟h̟at m̟®t cách̟ ch̟ín̟h̟ tac đai s0 Lie gln̟ cn̟a n̟h̟óm̟ n̟àyvói đai s0 m̟a tr¾n̟ M̟atn̟ ta có:
Ad y X tijρyρy−1 tijXeTy−1ijX y= ρy Σ(TX)im̟(y−1)m̟j= ρy(ΣΣ tik̟xk̟m̟(y−1)m̟j)k= ΣΣΣtih̟yh̟k̟xk̟m̟(y−1)m̟j= (TyXy−1)ijkhyXy−1 tij.
Th̟e th̟ì tác đ®n̟g ph̟u h̟0p tr0n̟g trưịn̟g h̟0p GLn̟ ch̟0 b0i:
Ad(y)(X) = yXy−1.
Ta tiep tuc lay vi ph̟ân̟ cn̟a bieu dien̟ ph̟u h̟0p Ad ∶ G → GL(g), th̟u đư0c bieu dien
Mắnh e 1.4.10 (xem [6, Đ10.4]) Ta cú cụng th̟úc sau ch̟0 vi ph̟ân̟ cua Ad:
ad X YX, Y
Vì ch̟ún̟g m̟in̟h̟ n̟ày ph̟úc tap n̟ên̟ ta th̟ùa n̟h̟¾n̟ k̟et qua n̟ày.
mm
Trang 35= { }= { }/=( )=⋅=⋅R là tâm cna G.
1.5 N̟h̟óm̟ reductive, n̟h̟óm̟ n̟Ea đơn̟, và sơ lưac ve
h̟¾ nghiắm
Ch0 G l mđt nhúm ai s0 liên̟ th̟ôn̟g, và ch̟0 R là ph̟an̟ tu cn̟c đai tr0n̟g các
n̟h̟óm̟ c0n̟ liên̟ th̟ôn̟g, giai đư0c, ch̟uan̟ tac cn̟a G K̟h̟i đó R t0n̟ tai và xác đ%n̟h̟ duy
n̟h̟at, và đư0c gQI là căn̟ cn̟a G.
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.5.1 (a)N̟h̟óm̟ G đư0c GQI là reductive n̟eu Ru 1 (n̟gh̟ĩa là căn̟R k̟h̟ôn̟g ch̟úa ph̟an̟ tu lũy đơn̟ k̟h̟ôn̟g tam̟ th̟ưòn̟g) Đieu n̟ày tươn̟g ng vúi
viắc cn R l mđt xuyen.
(b)Nhúm G đư0c GQI là n̟ua đơn̟ n̟eu R 1 , h0ắc mđt cỏch tng ng G
khụng cú mđt n̟h̟óm̟ c0n̟ abel, ch̟uan̟ tac vói ch̟ieu dươn̟g.
N̟h̟¾n̟ xét 1.5.2 (a)N̟eu G là reductive, th̟ì căn̟ R cũn̟g là m̟®t xuyen̟ và là th̟àn̟h̟
ph̟an̟ liên̟ th̟ôn̟g Z G 0 cn̟a tâm̟ cn̟a G Thắt vắy vỡ R l mđt nhúm c0n chuan
tac, n̟ên̟ ch̟uan̟ tac h̟óa N̟G(R) = G = N̟G(R)0), và ZG(R)0 = N̟G(R)0 = G D0
đó
(b)Vói m̟0i n̟h̟óm̟ liên̟ th̟ơn̟g G, G R là m̟®t n̟h̟óm̟ n̟ua đơn̟ và G có m̟®t ph̟ân̟ tích̟
h̟au trn̟c tiep G R G1, tr0n̟g đó G1 là n̟h̟óm̟ n̟ua đơn̟.
Ví dn̟ 1.5.3 (a)N̟h̟óm̟ GLn̟ là m̟®t n̟h̟óm̟ reductive Căn̟ R cn̟a G có m̟®t k̟h̟ơn̟g
gian̟ c0n̟ riên̟g Vi n̟am̟ tr0n̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ V Vì R là ch̟uan̟ tac, n̟ên̟ G h̟0án̟ v%
các k̟h̟ơn̟g gian̟ Vi n̟ói trên̟ và d0 đó giu bat bien̟ (őn̟ đ%n̟h̟) tőn̟g V0 các k̟h̟ơn̟ggian̟ n̟ày Vì G tác đ®n̟g bat k̟h̟a quy trên̟ V , n̟ên̟ V0 V Vì v¾y R có dan̟g
ch̟é0, d0 đó G là m̟®t xuyen̟ và G là reductive Th̟n̟c ra tù vi¾c G là liên̟ th̟ơn̟g,
G se ph̟ai c0 đ%n̟h̟ tùn̟g k̟h̟ơn̟g gian̟ Vi, d0 đó ch̟i có duy nhat mđt Vi Vắy R
chi g0m cỏc ma trắn vụ h̟ưón̟g De th̟ay GLn̟ R SLn̟ là k̟h̟ai trien̟ h̟au trn̟c tiep
cn̟a GLn̟ tr0n̟g ch̟ú ý n̟êu trên̟ Cu th̟e h̟ơn̟ R ∩ SLn̟ là n̟h̟óm̟ h̟uu h̟an̟ ch̟0 b0i
µn̟= {diag(a, a, , a) | an̟= 1}.
(b)Các n̟h̟óm̟ SLn̟, Sp2n̟, S0n̟ là các n̟h̟óm̟ n̟ua đơn̟.
1.5.1Đ%n̟h̟ lý ch̟ín̟h̟ ve các n̟h̟óm̟ n̟Ea đơn̟
Trang 36∶ ( ) → ( )⊆−= ( ) ⊗(⋅ ⋅)( ) ( ) ⊗( ) == ( )/( )( ) = ( ( ) ) ∈∈(α, α)>‡ α →× → × →= − = −−= ( | < ∈ )vái α < 0:α
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.5.4 Mđt ắc trng cna T đư0c GQI là n̟gh̟i¾m̟ cn̟a G n̟eu t0n̟ tai
m̟®t cau xa giua các n̟h̟óm̟ đai s0 xα Ga k̟ G, tr0n̟g đó Ga k̟ là n̟h̟óm̟ c®n̟g
cn̟a k̟ sa0 ch̟0 th̟0a m̟ãn̟ các đieu k̟i¾n̟ dưói đây:
1.Cau xa xα ch̟0 m̟®t đan̟g cau lên̟ an̟h̟ Xα, tr0n̟g đó Xα là m̟®t n̟h̟óm̟ lũy đơn̟,
ch̟uan̟ tac h̟óa b0i T
2 t.xαr t−1 xα α t r vói M̟QI tT, r k̟.
Ch̟0 R là t¾p các n̟gh̟i¾m̟ cn̟a G, và ch̟0 V X T Z R Th̟e th̟ì V là m̟®t k̟h̟ơn̟g
gian̟ vectơ trên̟ R có ch̟ieu ban̟g ch̟ieu cn̟a T Đ0n̟g n̟h̟at X T vói X T Z 1 Vóim̟0i n̟h̟óm̟ n̟ua đơn̟ G, tâm̟ h̟óa Z T T cn̟a m̟0i xuyen̟ cn̟c đai luôn̟ ban̟g ch̟ín̟h̟
n̟ó (xem̟ [6, §24.1, Lem̟m̟a]) Tù đó suy ra n̟h̟óm̟ th̟ươn̟g W N̟ T T là m̟®t
n̟h̟óm̟ h̟uu h̟an̟ và đư0c GQI là n̟h̟óm̟ Weyl cn̟a G Rõ ràn̟g, W tác đ®n̟g trên̟ X T và
d0 đó có th̟e
c0i n̟ó tác đ®n̟g trên̟ V n̟h̟ư m̟®t n̟h̟óm̟ các tn̟ đan̟g cau CH̟QN̟ m̟®t tích̟ vơ h̟ưón̟g xácđ%n̟h̟ dươn̟g th̟ích̟ h̟0p trên̟ V , bat bien̟ dưói tác đ®n̟g cn̟a W , và k̟í h̟i¾u n̟ó b0i ,
Th̟e th̟ì ta có các k̟et qua sau:
Đ%n̟h̟ lý 1.5.5 T¾p R V l¾p thnh mđt hắ nghiắm thu GQN̟, và Xα và X αsin̟h̟ ra các n̟h̟óm̟ c0n̟ đan̟g cau vái SL2 h̟0¾c PSL2 N̟h̟óm̟ c0n̟ n̟ày ch̟úa m̟®t ph̟an̟tu wα cua N̟ (T ) tr0n̟g đó tác đ®n̟g lên̟ V n̟h̟ư ph̟ép ph̟an̟ xa ún̟g vái α, n̟gh̟ĩa là:
w x = x − 2(α, x) .α.
N̟h̟óm̟ Weyl W đưac sin̟h̟ bái {wα, α ∈ R} CHQN mđt c sỏ cua hắ nghiắm R ắtU = (Xα| α > 0, α ∈ R)
là n̟h̟óm̟ c0n̟ sin̟h̟ bái các Xα vái α 0 H̟ơn̟ n̟ua đ¾t U − là n̟h̟óm̟ c0n̟ sin̟h̟ bái các XαUXα α 0, α R
Đ¾t B T.U, B T.U (lưu ý T ch̟uan̟ h̟óa U và U ) Th̟e th̟ì U là n̟h̟óm̟ c0n̟ cn̟cđai, liên̟ th̟ơn̟g, lũy đơn̟ cua G, B là n̟h̟óm̟ B0rel c0n̟ và đ0n̟g cau ch̟ín̟h̟ tac:
XU
α>0
Trang 37=× ( ≤ ≤ )( ( ) =+()(−)>( )( ( )) =−∈ = ±{ ∈}∈ − ( )( ) ⊆∈∈(⋅ ⋅)(α, α)∈∈ ∈ = ∑α
M®t cơ so ∆ cho mđt hắ nghiắm R l mđt tắp con cna R sao cho
Ví dn̟ 1.5.6 Ta k̟iem̟ tra đ%n̟h̟ lý trên̟ đún̟g ch̟0 n̟h̟óm̟ G SLn̟ Ch̟0 T là n̟h̟óm̟
đưịn̟g ch̟é0, vói m̟0i i, j, i ≠ j, α(i, j) ∶ T → k̟× đư0c ch̟0 b0i côn̟g th̟úc
α i, jdiag t1, , tnti.t
j 1
l mđt nghiắm Ta có xαi,jr I r.Eij là cau xa tng ỳng vúi nghiắm i,j Mđt
nghiắm i, j là dươn̟g n̟eu j i e đây, U B ba0 g0m̟ tích̟ các m̟a tr¾n̟ đưịn̟g ch̟é0
dưói, m̟a tr¾n̟ lũy đơn̟ và các m̟a tr¾n̟ đưịn̟g ch̟é0 trên̟ M̟0i tích̟ n̟h̟ư v¾y có đ%n̟h̟th̟úc c0n̟ góc i i bên̟ trái k̟h̟ác k̟h̟ôn̟g 1 i n̟ Đa0 lai, bat k̟ỳ m̟a tr¾n̟ n̟à0 cũn̟g có
ph̟ân̟ tích̟ duy n̟h̟at n̟h̟ư trên̟.
1.5.2Sơ lưac ve h̟¾ nghiắm
Ch0 V l mđt khụng gian vect huu han ch̟ieu M̟®t ph̟ép đ0i xún̟g sα tác đ®n̟g
lên̟ m̟®t vectơ α n̟h̟ư m̟®t tn̟ đ0n̟g cau cn̟a V sa0 ch̟0 giu c0 đ%n̟h̟ m̟®t siêu ph̟an̟g
th̟e0 tùn̟g điem̟ và nú bien thnh Mđt hắ nghiắm R tr0ng V l mđt tắp huu han
cna cỏc phan tu sinh k̟h̟ác k̟h̟ơn̟g cùn̟g vói ph̟an̟ tu đ0i xún̟g sα vói m̟0i α R sa0 ch̟0:
1 sα RR vói M̟QIα R.
2.Vói m̟0i α, β R, β sα l mđt bđi nguyờn cna
Mđt hắ n̟gh̟i¾m̟ R đư0c GQI là th̟u GQN̟ n̟eu n̟h̟ư vói α, tα R th̟ì t 1.
N̟h̟óm̟ W đư0c sin̟h̟ b0i sα, α R là m̟®t n̟h̟óm̟ h̟uu h̟an̟ và đư0c GQI làn̟h̟óm̟ Weyl cn̟a h̟¾ n̟gh̟i¾m̟ R N̟eu , là m̟®t tích̟ tr0n̟g xác đ%n̟h̟ dươn̟g trên̟ V ,
bat bien̟ dưói tác đ®n̟g cn̟a W th̟ì ph̟ép đ0i xún̟g sα đư0c ch̟0 b0i côn̟g th̟úc:
s (x) = x − 2(α, x) , x ∈ V.
1 ∆ là m̟®t cơ s0 ch̟0 k̟h̟ơn̟g gian̟ vectơ V
2.M̟0i α R có bieu th̟% α Rβ∈S m̟β.β tr0ng ú m l nguyờn.
Mđt c s0 nh vắy luụn t0n̟ tai và vói ∆, ∆′ là h̟ai cơ s0 cn̟a R, th̟ì t0n̟ tai w W
Trang 38→(( ) ( )= ∪⊆⊇>−∈trong α(G) Lay m®t điemThe thì ta có.
1.6 Quy đa0 cua n̟h̟óm̟ đai s0
Tr0n̟g m̟uc n̟ày ta se áp dun̟g k̟et qua cơ ban̟ cn̟a H̟ilbert ve t¾p dày đe tìm̟ h̟ieuquy đa0 cn̟a n̟h̟óm̟ đai s0.
Đ%n̟h̟ lý 1.6.1 (xem̟ [16, C0r 1 t0 Pr0p 1, p 19]) Ch̟0 G là m̟®t n̟h̟óm̟ đai s0
liên̟ th̟ơn̟g tác đ®n̟g lên̟ m̟®t đa tap V Th̟e th̟ì M̟QI quy đa0 đeu là m̟á tr0n̟g ba0 đón̟gcua n̟ó.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Ta xét án̟h̟ xa quy đa0 α: G G.v, g g.v K̟h̟i đó α là cau xa , kộ0
the0 G l mđt tắp dy (xem Mắnh e 1.2.15) D0 ú G chỳa mđt tắp c0n m0
Khi đó
g0.v ∈ U ⊆ G.v ⊆ G.v.g.v ⊆ g.g0−1U ⊆ G.v.
Vắy G.vgGgU G.v l mđt tắp c0n m0 Tự ú suy ra đieu can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
H̟¾ qua 1.6.2 (xem̟ [16, C0r 2, p 19]) Ba0 đón̟g G.v là h̟ap cua G.v và n̟h̟un̟g
quy đa0 k̟h̟ác vái s0 ch̟ieu n̟h̟ó h̟ơn̟.Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Ta có
G.v = G.v ‡ G-quy đa0 k̟h̟ác,
tr0n̟g đó h̟0p rịi các G-quy đa0 k̟h̟ác là t¾p c0n̟ đón̟g N̟h̟ac lai ran̟g n̟eu VW là các
t¾p bat k̟h̟a quy th̟ì s0 ch̟ieu
dim̟ V dim̟ W.
D0 đó ba0 đón̟g G.v là h̟0p cn̟a G.v và các quy đa0 vói s0 ch̟ieu n̟h̟0 h̟ơn̟.
H̟¾ qua 1.6.3 (xem̟ [16, C0r0llary 3, p 20]) Quy đa0 vái s0 ch̟ieu n̟h̟ó n̟h̟at se là
đón̟g D0 đó quy đa0 đón̟g đ0i vái m̟®t tác đ®n̟g tùy ý ln̟ t0n̟ tai.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Gia su G.x là quy đa0 vói s0 ch̟ieu n̟h̟0 n̟h̟at K̟h̟i đó lay ba0 đón̟g G.x
cn̟a quy đa0 n̟ày, n̟eu n̟ó k̟h̟ơn̟g đón̟g th̟ì và th̟e0 H̟¾ qua 1.6.2, G.x G.x là h̟0p cn̟a
các quy đa0 vói s0 ch̟ieu n̟h̟0 h̟ơn̟ Đieu n̟ày m̟âu th̟uan̟ vói đieu k̟i¾n̟ s0 ch̟ieu cn̟a G.x
là n̟h̟0 n̟h̟at V¾y G.x là đón̟g.
Bây giị ch̟ún̟g ta se trìn̟h̟ bày m̟®t k̟et qua quan̟ TRQN̟G se dùn̟g 0 ch̟ươn̟g sau Ch̟0
G là n̟h̟óm̟ liên̟ th̟ơn̟g, xét tác đ®n̟g cn̟a G lên̟ đa tap affin̟e X, x X Xét án̟h̟ xa
quy đa0 η ∶ G → G.x, g ( g.x, và vi ph̟ân̟ cn̟a n̟ó (dη)e∶ g → Tx(G.x) Xét gx
Trang 39dim Tx(G.x)= dim g − dimgxdim Gx= dim gx.= ( ) − ( )∈≤ ( ) ( ) = ( )=−
B0 đe 1.6.4 (xem̟ [11, Lem̟m̟a 2.1]) Án̟h̟ xa (dη)e∶ g → Tx(G.x) là lên̟ k̟h̟i và ch̟s k̟h̟i
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Vì G.x ch̟i g0m̟ m̟®t quy đa0 n̟ên̟ M̟QI điem̟ cn̟a n̟ó đeu trơn̟ D0đó dim̟ G.x dim̟ Tx G.x Vì M̟QI th̟ó η 1 y , y G.x đeu là lóp k̟e cn̟a Gx
n̟ên̟ ch̟ún̟g có cùn̟g s0 ch̟ieu, suy ra th̟e0 Đ%n̟h̟ lý tőn̟g quát ve ch̟ieu (xem̟ [6, Th̟e0rem̟
4.5, p 34]) ta có dim̟ G − dim̟ Gx= dim̟ G.x V¾y ta có ưóc lư0n̟g sau:
dim̟ G − dim̟ Gx = dim̟ G.x
≥ dim̟(dη)e(g)
dim̟ G dim̟
gx.
V¾y dim̟ Gx dim̟ gx và dau ban̟g xay ra k̟h̟i và ch̟i k̟h̟i dim̟ dη e g dim̟ Tx G.x ,
Trang 40≤∈∩∈∩( )=⊕( ) ( )Ch̟ươn̟g 2
M̟ ®t s0 ph̟iên̟ ban̟ cua tín̟h̟ ch̟at h̟Eu
h̟an̟ quy đa0
2.1Đ%n̟h̟ lý h̟Eu h̟an̟ cua Rich̟ards0n̟
Trưóc k̟h̟i ph̟át bieu đ%n̟h̟ lý h̟uu h̟an̟ Rich̟ards0n̟, ta can̟ k̟h̟ái n̟i¾m̟ quan̟ TRQNG̟ sause đư0c tìm̟ h̟ieu k̟y h̟ơn̟ tr0n̟g M̟uc 2.3.
Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 2.1.1 (C¾p reductive) Ta n̟ói c¾p H̟, G tr0n̟g đó H̟ là n̟h̟óm̟ đai s0 c0n̟
cn̟a G l mđt cắp reductive neu ai s0 Lie c0n tng ún̟g h̟ cn̟a g là m̟®t h̟an̟g tu
trn̟c tiep xem̟ n̟h̟ư Ad H̟ -m̟ôđun̟ c0n̟, n̟gh̟ĩa là t0n̟ tai Ad H̟ -m̟ôđun̟ c0n̟ m̟ cn̟a g sa0
ch̟0:
g h̟ m̟.
Đ%n̟h̟ lý 2.1.2 (Đ%n̟h̟ lý h̟uu h̟an̟ Rich̟ards0n̟, xem̟ [11, Th̟e0rem̟ 3.1]) Ch̟0 H̟ G là
m̟®t c¾p reductive các n̟h̟óm̟ đai s0 tuyen̟ tín̟h̟ xỏc %nh trờn mđt trng úng ai s0ắc s0 0 vái các đai s0 Lie tươn̟g ún̟g h̟ và g Ta xét tác đ®n̟g liên̟ h̟ap cua G lên̟ ch̟ín̟h̟n̟ó Ta có các k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ sau:
(a) Vái x h̟, k̟ý h̟i¾u G.x là m̟®t quy đa0 cua x tr0n̟g h̟ dưái tác đ®n̟g liên̟ h̟ap(ch̟ín̟h̟ là m̟®t láp liên̟ h̟ap cua G tr0n̟g g) Th̟e th̟ì G.x h̟ là h̟ap rài cua m̟®ts0 h̟uu h̟an̟ các láp liên̟ h̟ap cua H̟.
(b) Vái h̟ H̟, k̟ý h̟i¾u G.h̟ là m̟®t quy đa0 cua h̟ tr0n̟g G dưái tác đ®n̟g liên̟ h̟ap(ch̟ín̟h̟ là m̟®t láp liên̟ h̟ap cua G tr0n̟g G) Th̟e th̟ì G.h̟ H̟ là h̟ap rài cua m̟®ts0 h̟uu h̟an̟ các láp liên̟ h̟ap cua H̟.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (a): N̟h̟óm̟ G tác đ®n̟g lên̟ ch̟ín̟h̟ n̟ó ban̟g tác đ®n̟g liên̟ h̟0p dan̟ ra án̟h̟
xa