Tài liệu ôn thi olympic toán đại số

– biên) – – THANH PHONG thi sinh viên T b [6], [9], [10] Oly Ụ Ụ Ụ Ụ hươn 1 Ứ Ứ .6 .6 .7 .7 §2 Ủ Ứ .11 11 .12 14 16 17 17 Ứ 21 §3 21 23 hươn 29 Ủ N 29 29 29 29 .29 30 31 31 Ma 31 .31 31 31 Ma tr .32 32 33 § 35 35 36 Ừ .42 42 42 NG Ủ 49 49 49 ng c a ma tr n .50 hươn hươn 55 Ứ Ứ 61 61 61 61 Ứ 64 .64 66 67 70 .72 .73 hươn Ì §1 81 Ì H .81 n tính khơng n tính 81 D ng ma tr n c a h n tính 81 Nghi m c a h 82 H n 83 § Ì 83 .83 Gauss .86 89 Sử d nh lý v nghi m c Sử d ix c 91 gi i h i x ng 94 .96 hươn §1 Ơ Ơ E E TUY N TÍNH 108 Khái ni .108 c l p n tính ph n tính 108 s chi u c Ma tr n chuy 108 .108 t x1, x2 , , xn  sang  y1, y2 , , yn  109 Không gian - H ng c a m t h 110 T ng t ng tr c ti p .110 111 §2 ÁNH X TUY N TÍNH 116 Khái ni m ánh x n tính .116 Ma tr n c a ánh x n tính 117 Ảnh h t nhân c Giá tr T ng c u n tính 118 118 ng c c 119 119 §3 CHÉO HĨA MA TR N VÀ ỨNG DỤNG 124 Chéo hóa ma tr n 124 Ứng d ng c a chéo hóa ma tr n .126 ng 128 § ỨC CỰC TIỂU 134 c c c ti u 134 n c c ti u 134 Bài t p áp d ng 135 136 hươn TỔ HỢP 144 §1 CHỈNH HỢP – TỔ HỢP – HOÁN V 144 Ch nh h p 144 T h p .144 Hoán v 145 §2 NH THỨC NEWTON – TAM GIÁC PASCAL 146 Nh th c Newton .146 Tam giác Pascal 147 ỨNG MINH VÀ NGUYÊN LÝ QUY N P 148 ng minh tr c ti p ph n ch ng 148 Nguyên lý qui n p .149 §4 NGUYÊN LÍ DIRICHLET - NGUYÊN LÍ CỰC H N .152 Ngun lí Dirichlet (hay cịn g i nguyên lí chu ng thỏ) .152 Nguyên lý c c h n 153 Error! Bookmark not defined 166 hươn Ứ ,… ửK Ứ K , h n nh n h K f ( x)  a0  a1 x   an x n ,  K , i  0,1, , n a0 K ủ K[x] f ( x)  a0  a1 x   an x n nh n h an  f (x an h K f (x) n nh n h nh n h n m i 0 i 0 f ( x)   x i ; g ( x)   bi x i n  m vaø  bi , i  0, , n nh n h n m i 0 i 0 f ( x)   x i ; g ( x)   bi x i n n deg( f f ( x)  g ( x)  max( m , n )  a i 0 i mn  bi  x i f ( x).g ( x)   ck x k , ck  k 0 nh  ab i  j k i j  f ( x), g ( x)  K [ x] deg( f )  deg( g ) f ( x)  g ( x)  deg( f )  deg( g ) f ( x)  g ( x)  b) deg(fg)= deg(f )+deg(g) a) h h deg( f  g )  max{deg( f ),deg( g )} deg( f  g )  d eg( f )  deg( g )  K[x], g(x) nh  K[x] cho f ( x )  g( x )q( x )  r( x ), deg(r)  deg( g) q(x), r(x  f (x) cho g(x) f (x), g (x)  K [x], K nh n h q(x)  K [x] cho f (x) = q (x)g (x f (x) K [x h ng n nh f (x) nE ỏ h (x h (x) | f (x h(x g(x ủ h f ( x), g ( x)  K [ x] vaø deg( f )  deg( g ) nh a) ủ h f (x g(x f (x g (x nh n h = g (x) hay g (x f (x) | g (x) hay g ( x) f ( x)  f ( x), g ( x)  K [ x] UCLN ( f ( x), g ( x )) nh n h f (x g(x a) h (x b) h (x) c) ▪ h f (x g (x)  UCLN ( f ( x), g ( x))  b1g ( x), h (x) | g (x) h (x) b) r ( x)  UCLN ( f ( x), g ( x))  UCLN ( g ( x ), r ( x)) a) f ( x)  g ( x) q ( x) r (x) = UCLN ( f ( x), g ( x))  b1g ( x), r ( x)  b) b g(x) h( x)  UCLN ( f ( x), g ( x)), f ( x)  g ( x) q ( x)  r ( x) G h '( x)  UCLN ( g ( x), r ( x)) g (x f (x h( x ) | f ( x) h( x) | g ( x) nên h( x ) | r ( x) r (x) Suy h( x) | h '( x) h '( x ) | h( x) g (x h(x h(x ’(x ’(x h( x)  h '( x) ■ nh f ( x), g ( x) u(x hứn v(x) cho f ( x)u ( x)  g ( x)v( x)  nh , UCLN ( f ( x), g ( x))  f ( x), g ( x) deg( f )  deg( g ) UCLN ( f ( x), g ( x ))  n = deg(g f ( x )u ( x )  g ( x ) v ( x )  u ( x ), v ( x ) cho n = hay g(x) = b0 u(x) = v( x)  b01 ỏ f ( x) u ( x)  g ( x) v( x)  f (x), g (x ỏ deg( f )  deg( g ) deg(g) = n f ( x)  g ( x)q( x)  r ( x),deg(r )  deg( g ) neáu r ( x)  n, n > q (x r (x) cho r ( x )  g(x r ( x )  , suy  UCLN ( f ( x), g ( x)) UCLN ( g ( x), r ( x)) deg(r )  deg( g )  n ’(x), ’(x) cho g ( x)v '( x)  r ( x)u '( x)  hay f ( x)u '( x)  g ( x)(v '( x)  q( x)u '( x))  u ( x)  u '( x); v( x)  v '( x)  q ( x)u '( x) f ( x)u ( x)  g ( x)v( x)  UCLN ( f ( x ), g ( x )) u(x), v(x) cho f ( x)u ( x)  g ( x)v( x)  f (x g (x UCLN ( f ( x), g ( x))  ■ t n t i nh t hai ph n tử khác c a A ph n tử c a B y, nguyên lí Dirichlet m r ng v i m t c phát bi Gi sử A B t p h p h u h n s( A), s( B ) ng kí hi u s ng ph n tử c a A B Gi sử có m t s t nhiên k s( A)  k.s(B) ta có m t quy t ng ng m i ph n tử c a A v i ph n tử c a B n t i nh t k  ph n tử c a A ng v i m t ph n tử c a B Chú ý k  1, ta có l i nguyên lí Dirichlet * Nguyên lí Dirichlet cho di n tích N u K m t hình ph ng, K1, K2 , , Kn hình ph ng cho Ki  K v i i  1, n K  K1  K2   Kn , K di n tích c a hình ph ng K , Ki di n tích c a hình ph ng Ki t n t i nh t hai hình ph ng Hi , H j (1  i  j  n) cho Hi H j m t ph ng n n m tr n A ) m chung (Chú ý r n t i hình trịn tâm A m P m c a t p h p A nhỏ cho hình trịn n th ng, th tích v t th … * Nguyên lí Dirichlet vô h n: N u chia m t t p vô h n qu táo vào h u h n i có nh t m a vơ h n qu táo Ví dụ Trong m c 5.5 n ng u nhiên vào ô m t giá tr −1, ho c ng t t c ô theo hàng ; theo c t ng chéo Ch ng minh r ng t n t i nh t hai t ng có giá tr b ng Gi i G i t ng l t S1, S2, , S12 Có t t c 12 t ng Ta nh n th y r ng t ng ch có th nh n giá tr {−5, −4, … 0, … 4, 5} Có t t c 11 giá tr khác T u c n ch ng minh Ví dụ Gi sử m t nhóm i m i c p hai ho c b n ho c thù Ch ng tỏ r i b n l n ho i k thù l n Gi i 153 G i A m t i Trong s i c a nhóm ho c có nh i b n c a A ho c có nh i k thù c a A u suy t ngun lí Dirichlet, nh i khác ch có th b n ho c thù c a A Tr ng h u ta g i B, C, D b n c a A n i b n h v i A l p thành m t b ib nl c l i, t c n i B, C, D khơng có b n c ch ng tỏ h b i thù l có th ch ng h p có nh i k thù c a A ụ Trong n Gi i n - Trong quen n nhóm Theo n-1 ụ m Trong khu m m m = 48.20m + 47.0,6m +2.5,9m 1000m = 95.10m + 94.0,52m +2.0,56m m m m m m m m2 g, 45  95  4560 m < 154 < m2 Nguyên lý c c h n Nguyên lí Trong t p h p h u h n khác r ng s th c ln có th ch s bé nh t s l n nh t c Nguyên lí Trong m t t p h p khác r ng s t nhiên ln ln có th ch s bé nh t c Sử d ng nguyên lí c c h n m c v n d ng cho nhi u l p c bi t có gi i tốn t h gi i toán nh ng ph i xét c a t n giá tr l n nh t, giá tr nhỏ nh t theo m t ch c sử d ng k t h p v c bi ng minh ph n ch cv nd ng h p t p giá tr c n kh o sát ch t p h p h u h n (ngun lí 1) ho c có th vơ h n n t i ph n tử l n nh t ho c nhỏ nh t (nguyên sử d ng nguyên lí c c h n gi i tốn hình h c t h ng dùng m gi i d ng có th sử d ng nguyên lí (ho ch ng tỏ r ng giá tr c n kh o sát c a tốn c n có giá tr l n nh t (nhỏ nh ng nh n giá tr l n nh t (nhỏ nh t) - Ch mâu thu n, ho nh o sát l c nhỏ ng minh ph n ch ng, ta s Ví dụ B s cá l n nh t (nhỏ u ph i ch ng minh c 100 cá Bi t r ng minh r c c t ng c Ta s p x i câu cá theo th t i th nh c nhi u cá nh N i th 16  17  18  51 cá s N i th c 14 cá ho 14  13  12  11  50 V c t ng c c c a h gi m d i th b c cá nh t c không b i 50 cá 155 c không Ví dụ Trong m t bu i ti c v i m t s i tham gia nh nh, xét quan h u A b n c a B B nc aA ng minh r ng i bu i ti c ln có th cho: V i m i m t phòng b t kì, nh t m t nửa s b n c a phòng l i Gi i V i m t cách chia b t kì s   c p P; Q cho P Q i thành nhóm, g i s ng t t c khác phòng P, Q b n c a Xét cách chia v i m l n nh t có th (vì s cách chia h u h n nên m nh n h u h n giá tr ), ta ch ng minh cách chia thỏa mãn yêu c u Th t v y, v i P b t kì, g i aP s b n c a phòng bP s b n c a khác phòng N u ta chuy n P sang phịng cịn l i ta s c ng aP  bP vào m Do gi thi t ch n m l n nh t nên ta ph i có aP  bP  hay aP  bP V y v i cách chia mà m l n nh t có th thỏa mãn u c u Ví dụ Trên m t m m Ch ng minh r c v i nhi u nh tm ts ng xu v i kích c khơng gi i n m s p ho c ngửa bàn) nt im ng xu ch ti p ng xu khác Gi i c h t, ý r ng m ng xu không th ti p xúc v ng xu khác l ( ng d n: dùng ph n ch i di n v i c nh l n nh t l n nh t tam giác) Bây gi , s ng xu h u h n nên t n t ng xu v ng kính nhỏ nh ng xu này, theo nh n xét bên trên, ch có th ti p xúc v i nhi u nh t ng xu khác Ví dụ Cho ABC tam giác nh n L m P b t kì trong tam giác Ch ng minh r ng kho ng cách l n nh t kho ng cách t P m A, B , C c a tam giác không nhỏ c nh c n kho ng cách bé nh t kho ng cách t P t i ba Gi i 156 G i A1, B1, C1 ng hình chi u c a P xu ng A BC , AC , AB Ta có: APC1  C1PB  BPA1  A1PC  CPB1  B1PA  3600 (1) P B Theo nguyên lí c c h n, t n t i:  B1 C1 C A1  max APC1 , C1PB, BPA1 , A1PC, CPB1 , B1PA   Gi sử max APC1 , C1PB, BPA1 , A1PC, CPB1 , B1PA  BPA1 (2) T (1) (2) suy ra: BPA1  60 hay cos BPA1  PA1  PB y PB  2PA1 c k t qu sau: max PA, PB, PC  PB  2PA1  2min PA1, PB1, PC1 §1, §2 nh Tìm s nh c 120 giác u có n nh (n  3) Tìm s nh c Cn ng th ng song song d1 d2 ng th ng d2 m Hỏ ng th ng d1 có 10 c ch n b cho? 2800 M t t h c sinh g m có nam n C n ch ngh Hỏi có cách ch n n u m i cách: 157 l p thành m m Trên a) Có nh t n b) Có nhi u nh t n a) 252; b) 672 V i ch s 0, 1, 2, 3, 4, có th l c s t nhiên có ch s khác t thi t ph i có m t ch s 17280 Cho t p X  {1,2,3,4,5} a) X có t p g m ph n tử b) Có s t nhiên có ch s ch s ng c nh tl yt X a) 10; b) 48 Tìm s h ng không ch a x khai tri n nh th c Newton 12 1  a)   x  x  18   b)  x   x   ( x  0) ; 10   c)  2x   x   ( x  0) ; 10  1 d)  x   x  ( x  0) ; a) 495 Tìm h s : a) a2 b 4c khai tri n c a (a  b  c) 101 99 200 b) x y khai tri n c a (2 x  y) 25 10 15 c) x y khai tri n c a ( x  xy) d) x y z khai tri n c a (2 x  y  z) 10 e) x khai tri n c a ( x   x ) 158 ( x  0)  1 f) x khai tri n c a  x    x  a) 105 Rút g n bi u th c sau: n a) A  Cn  Cn  Cn   Cn n n b) B  Cn  Cn  Cn   (1) Cn 2 2n 2n c) C  C2 n  5C2 n  C2 n   C2 n 2 4 2n 2n d) D  C2 n  C2 n  C2 n   C2 n 3 5 n 1 n 1 C2 n e) E  5C2 n  C2 n  C2 n   2n a) n ; b) 0; c) ; d) 2n 2n  42 n ; e)  42 n 2     15 10 Khai tri n (1  x  x  x )  a0  a1x  a2 x   a15 x a) Tính h s a10 b) Tính t ng T  a0  a1  a2   a15 ; S  a0  a1  a2   a15 a) 101; b) 11 Ch ng th c sau: n 1 2n n 1 a) C2 n  C2 n   C2 n  C2 n  C2 n   C2 n  k k 1 k 2 m k m k b) CmCn  CmCn  CmCn   Cm Cn  Cm  n (v i k , m, n ba s t nhiên thỏa m  k  n ) 2015 2014 2013 2015 2015 Áp d ng CMR: C2015 C2015  C2015 C2015  C2015 C2008   C2015 C2015  C4030     c) Cn  Cn1     Cnn  C2nn 159 n d)  Cnk k 0 k 1  2n 1  n 1 2n ng d n a) Khai tri n nh th c 1  x  , l theo v c ng th t cho x  , x  1 r i c ng, tr c m n mn b) So sánh s h ng c a x k hai khai tri n (1  x ) (1  x ) (1  x ) 2n n n c) So sánh s h ng c a x n hai khai tri n (1  x ) (1  x ) (1  x ) d) Xét Cnk k 1  Cnk11 v i k  0,1,2, , n n 1 §3 12 ([14]) Ch ng minh b ng ph n ch (k  * s nguyên t d ng 4k  ) ng d n n ch ng 13 ([14]) Cho p s nguyên t Ch ng minh b ng ph n ch ng r ng ng d n p s vô t n ch ng 14 ([14]) Ch ng minh r ng 1.2.3  2.3.4   n(n  1)(n  2)  n(n  1)(n  2)(n  3) ng d n Dùng nguyên lí qui n p 15 ([14]) Ch ng minh r ng 4n 1  52 n 1 chia h t cho 21 v i m i s n ng d n Dùng nguyên lí qui n p 16 ([14]) Ch ng minh r ng 32 n 1  40n  67 chia h t cho 64 v i m i s nguyên n ng d n Dùng nguyên lí qui n p 17 ([14]) Cho n s  x1  x2   xn Ch ng minh r ng v i n  , ta có 160 n n xi x i 1 i 1 v  i 1 xi 1 xi c xn 1  x1 ng d n Dùng nguyên lí qui n p §4 S dụng nguyên lý Dirichlet 18 ([16]) Trên m t ph m Bi t r t n t m cách xa nhỏ kính b ng ch m b t kì s ng minh r ng t n t i hình trịn bán ng d n TH1 N m n m m TH2 L p lu ph i ch ng minh ng trịn bán kính b ng ch u 19 ([16]) ng có tính ch t m ng th ng chia hình vng thành hai t giác có t s di n tích b ng Ch ng minh r ng có nh ng th ng s m ng d n Cho hình vuông ABCD, g i E , P , F , Q theo th AB, BC , CD , DA G i J1, J2 , J3 , J4 t m m cho J1, J2 n m c nh EF; J3 , J4 n m c nh PQ thỏa mãn: EJ1 FJ2 PJ3 QJ4     J1F J2 E J3Q J P ng th ph i ch ng minh am m T 20 ([16]) Trong m t ph ng cho t p h p A có n m (n  2) M t s c n i v i b n th ng Ch ng minh r ng t p h p A c n i v i s m khác thu c A ng d n Gi sử a  A Kí hi u S(a) s n th ng  S(a)  n  không t n t 161 u c m m c a A n i v i a thành m a , b cho S (a )  n  1, S(b )  G i S t p h p giá tr nh n t n  giá tr c l p lu n S ng S(a) nh m a1  A, a2  A (a1  a2 ) mà n t S(a1)  S(a2 ) 21 ([16]) Ch ng minh r ng m không song song v i m t c nh c i v i s c nh ch n, t n t ng chéo ng d n Sử d ng nguyên lí 22 ([16]) M t hình l nh b ng 15 ch có m t hình c u bán kính b ng ch a nh m s ng d n Chia c nh c a hình l l ỏ n t i hình l p nhỏ ch a nh hình c u ngo i ti p hình l p nhỏ 23 (O 2015, [7]) M m m t ph ho ỏ Ch ng minh r ng ta t màu ng d n K 1 ch m Ch ng minh r ng n b ng Có 2197 hình m Ch ng minh bán kính u ph i ch ng mính c bơi b ng m t hai màu xanh c m t hình ch nh t có b nh ng th ng song song 1, 2 , 3 Theo nguyên lí Dirichlet, m lên 2 , 3 L p lu m màu Chi u ph i ch ng minh 24 ([17]) m M1, M2 , , M1000 m t ph ng V m kính b ng tùy ý Ch ng minh r ng t n t mS SM1  SM2   SM1000  1000 ng d n ng kính S1S2 Ch ng minh  S2 M1  S2 M2   S2 M1000   2000 ng tròn bán ng tròn cho:  S1M1  S1M2   S1M1000  u ph i ch ng minh S dụng nguyên lý c c h n 25 ([17]) Trên m ng th un m khác A1, A2 , , An theo th t t trái qua ph i (n  4) M c tô b ng m t màu khác c c dùng Ch ng minh r ng t n t i m n th ng ch mc a hai màu nh m c a hai màu cịn l i 162   ng d n Xét t p A  k  k  n Theo nguyên lí c c h n, t n t i i nhỏ nh t mà Ai khác màu v i A1, A2 , , Ai 1 A1, A2 , , Ai i A B   k  k  i gi m Ak , Ak 1, , Ai b n màu Xét b n màu màu  Theo n th ng  A j Ai  thỏa mãn nguyên lí c c h n, t n t i j l n nh t mà j  B L p lu yêu c u tốn 26 ([17]) ng h c, m ng có h c sinh M i h c sinh quen v i nh t n  h c sinh t ng khác Ch ng minh r i ta có th ch n t m ng m t b n cho ba h c ch t quen ng d n G i A h c sinh có nhi u b n nh t m ng khác G i s b n nhi u nh t k Gi sử A ng th nh t t p b n quen A M  B1, B2 , , Bk  thi t, có nh t h c sinh C ng th ng th quen v i A Vì C quen không k h c sinh gi thi t C quen v i nh t n   k h c sinh t N  D1, D2 , , Dm  nh i quen C ng th nh t nên theo c ng th 2, ng th hai m  n   k Vì u t p c a t p h p g m n h c sinh M  N  k  n   k  n  nên M  N   Ch n B  M  N ta có A, B, C t quen 27 ([17]) Ch ng minh r ng m t ph ng t , không th nh m u (M m M ( x, y) m t ph ng t u c hai thành ph n t x, y u s nguyên) ng d n 28 ([17]) Trên m t ph khác N th Hỏi v i cách n Không th nh m cg i n ch ng nguyên lí c c h n, nh cm m, kho ng cách gi t m v m g n nh t C ti p t cm c ng g p khúc khép kín khơng? c g p khúc khép kín 29 (O.2016, [8]) Xét m ng 16  16 t o thành t cách gi a hàng c ): 163 ng a) Tìm s hình vng v nh m ng có di n tích b b) Tìm s hình vng v nh m ng có di n tích b di n tích) di n tích) ng d n Xem [8] 30 (O 2017) Ông V tr ng 30 xoan d c theo rìa xung quanh m t m n n 20m  40m (xem hình, AD  BC  40m ), kho ng cách gi a hai c nh 4m n tu i khai thác, ông V mu n ch t m t s bán Hỏi ơng V có bao t n u: a) Ơng V mu n ch t khơng c nh s 11 c nh BC? b) Ông V mu n ch t s 30 mà khơng có liên ti p b ch t? c) Ông V mu n ch t s 30 mà gi a hai b ch t b t kì (tính c thu n c chi ng h ) ln có hai khơng b ch t? 164 ng d n Xem wedsite c a H i Toán h c Vi t Nam a) 45; b) 26625; c) 13940 165 [1] O Tài li is [2] Lê Ng m Th Long, Nguy n Minh Tu n, viên toàn qu c, NXB Giáo d [3] H i toán h c Vi t Nam, l n th 18 d ib thi Olympic toán sinh O pic Toán h c sinh viên O c sinh viên [4] H i toán h c Vi t Nam, l n th 19 Q d ib [5] H i toán h c Vi t Nam, l n th 20 Y d ib án Olympic Toán h c sinh viên [6] H i toán h c Vi t Nam, Kỷ y u kỳ thi Olympic Toán h c sinh viên l n th 21 [7] H i toán h c Vi t Nam, Kỷ y u kỳ thi Olympic Toán h c sinh viên l n th 23 [8] H i toán h c Vi t Nam, Kỷ y u kỳ thi Olympic Toán h c sinh viên l n th 24 Q Q [9] [10] Jean-Marie Monier [11] Lê Tu n Hoa, 2005 , 1996 i s n tính qua ví dụ t p, Nxb giáo d c Hà N i, [12] [13] Q L [14] Q nh, Tài li i s 10, NXB GD, 2011 [15] Q nh, Tài li i s Gi i tích 11, NXB GD, 2011 [16] Tr nh Vi Nguyên lí Dirichlet ng dụng gi p, Lu th c Toán h c – i h c Khoa h i h c Thái Nguyên), 2009 [17] Lê Th Bình, Các tốn Hình h c t h p, Lu – i h c Khoa h i h c Thái Nguyên), 2009 166 c Toán h c [18] David C.Lay, Linear algebra and its applications (fourth edition), Addison Wesley, 2012 [19] S.Krenk, J.Hogsberg, Truss structures 2, Springer Science + Business Media Dordrecht 2013 [20] Applications of systems of linear homepage.ntu.edu.tw/~jryanwang/ /Applications%20in%20Ch1.pdf 167 equations,